Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль.
Число «ноль» в математике
Принадлежность к натуральным числам
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль.
Основные свойства нуля
0 — целое число.
На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: 0/2=0 0/2=0.
Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: −0, +0, однако это не числа в обычном смысле.
Любое число при сложении с нулём не меняется: a+0=0+a=a. При вычитании нуля из любого числа получается то же число: a−0=a.
Умножение любого числа на ноль даёт ноль:
a⋅0=0⋅a=0.
При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
0/a=0 при a ≠ 0.
Деление на ноль
Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.
В самом деле, если обозначить a/0=b, то по определению деления формально должно быть b⋅0=a, в то время как выражение b⋅0, при любом b b, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.
Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.
Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике
Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.
В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.
Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив M0, M1…Mn−1. Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.
В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.
История цифры 0
Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.
Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)
В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты».
От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr(отсюда слова цифра, шифр, и итал. zero, ноль), она попала в Западную Европу.