Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно? [Veritasium]

Возможно ли доказать всё, что истинно? Поиски ответа на этот вопрос раскололи математическое сообщество, заставили нас пересмотреть своё представление о бесконечности, помогли выиграть Вторую мировую войну и создать устройство, на котором вы посмотрите это видео. Как именно, расскажет Дерек Маллер в новом видео от Veritasium.

Расшифровка видео
0:00
вот сайт с шаурмой bloks [музыка]
0:08
фундаменте математике есть слабое место из-за которого мы никогда не сможем
0:13
знать все наверняка всегда будут истинные утверждения которые нельзя
0:18
доказать никто точно не знает что это за утверждение но вероятно они похожи на
0:25
гипотезу о числах близнецах так называют пары простых чисел где одно больше
0:30
другого на 2 например 11 и 13 или 17 12 чем дальше по числовой прямой тем реже
0:37
встречаются простые числа такие близнецы и тем более но гипотезы о парных простых
0:43
числах гласит что на самом деле их бесконечно много до сих пор никто еще не смог это
0:50
доказать или опровергнуть но поражает другое вероятно никто
0:56
никогда не сможет ведь мы точно знаем что в любой математической системе где возможны
1:02
простые арифметические действия всегда будут истинные утверждения которые невозможно доказать такова жизнь
1:13
списочке игра жизнь созданная в 1970 году математиком джоном канвы к сожалению он
1:21
умер от к видов 2020 жизнь разворачивается на бесконечном
1:27
поле из квадратных ячейки каждая из которых либо живо либо мертва в игре
1:33
всего 2 правило первое любая мертвая клетка имеет 3 соседей оживает и второе
1:40
любая живая клетка которая меньше двух или больше трех соседей умирает вы
1:46
задаете начальную конфигурацию клеток и стыду я двум правилам жизнь создает
1:51
следующее поколение затем еще одну еще одно и так далее это все происходит
1:56
автоматически он мой назвал жизнь игрой без игроков хоть правила и простые они порождают
2:03
разнообразные довольно сложное поведение иногда возникают стабильные конфигурации
2:08
которые застывает на месте другие застревают вечной петли меня есть туда-сюда некоторые выбегают по полю в
2:15
бесконечность как этот глайдер многие просто исчезают
2:24
но есть те что будут расти вечно создавая все новые живые клетки можно
2:32
предположить что раз правила просты и любое поведение можно предсказать придут
2:39
ли клетки и в покой или же будут без конца расти но как
2:45
выяснилось сделать этого в принципе невозможно чем закончится жизнь для той или иной
2:51
конфигурации вопрос неразрешимый это значит что нельзя создать алгоритм
2:57
который гарантированно найдет ответ за конечный промежуток времени до всегда
3:02
можно запустить игру и посмотреть что произойдет ведь она сама по сути всего лишь алгоритм но и здесь нет никаких гарантий
3:10
даже через миллион поколение нельзя будет утверждать проживут не клетки и
3:15
вечно или только два миллиона поколение ортелий 10 в степени google является ли
3:22
жизнь каким-то уникальным примером неразрешимости нет есть множество столь
3:29
же неразрешимых систем плитки wanna квантовая физика
3:34
продажа авиабилетов и даже карточная игра magic чтобы понять как возникает
3:41
неразрешимость во всех этих случаях придется вернуться на сто пятьдесят лет назад к моменту когда в математике
3:48
случился раскол 1874 немецкий математик
3:54
георг кантор опубликовал труд открывший новое направление дисциплины теорию множеств
4:00
множество это точно описано и собрание чего-либо ваша обувь это множество как и все планетарии мира
4:08
множество в котором ничего нет называется пустым и есть множество в котором есть абсолютно все для конторы
4:15
интересовали множество чисел например натуральный это положительные целые один два три четыре и так далее
4:22
вещественные включающие дробный 1 3 5 вторых и иррациональный и корень из 2 по сути
4:32
любое число которое можно представить как бесконечную десятичную дробь он задался вопросом каких чисел больше
4:40
всех натуральных или вещественных промежутке от нуля до единицы ответ вроде бы очевиден и тех и тех
4:47
бесконечное количество так что по идее множество должны быть равными чтобы это проверить cantare представил
4:53
бесконечную таблицу которые каждому натуральному числу соответствовало бы вещественное от 0 до 1
5:00
так как это все будут просто бесконечные десятичные дроби неважно какой из них мы
5:07
поставим 1 можно записать в случайном порядке главное чтобы в списке были все
5:12
не было повторений каждому вещественному чувству соответствовало целая если
5:17
лишних чисел не осталось значит множество всех натуральных чисел и вещественных на выбранном отрезке одного
5:23
размера допустим мы это проделали у нас есть бесконечная таблица которой
5:30
каждое целое число выступает как неповторимый порядковый номер каждого вещественного числа теперь кантер
5:37
предлагает нам придумать еще одно вещественное число мы сделаем это следующим образом прибавим к первой
5:44
цифре 1 числа единицу затем единицу к 2
5:49
цифры 2 числа к 3 цифры 3 числа и так
5:54
далее по списку если попалась девятка обкатываем до восьмерки получившиеся вещественное число
6:01
находится где-то между нулём и единицей и что самое главное в нашем списке его
6:08
точно не было ведь от первого числа она отличается первым десятичным знаком от 2
6:14
вторым и так далее до самого конца от каждого числа в списке она отличается
6:20
как минимум одной цифрой той что на диагонали
6:26
отсюда и название диагональный метод кантера он показывает что промежуток от
6:32
нуля до единицы вмещает больше вещественных чисел чем вообще может существовать натуральных выходит
6:39
бесконечности бывают разных размеров кантер ввел понятие континуума или несет
6:44
на множество и счетного примеров 1 довольно много есть и и больших размеров
6:50
работа контора стало очередным потрясением для математики до этого в течение 2000 лет евклидовой начала
6:57
считались непоколебимым фундаментом но на рубеже 19-го века лобачевский гаусс
7:02
открыли не евклидову геометрию что заставило математика в более пристально изучить основы своей дисциплины
7:09
то что они увидели и мне понравилось понятие предела что лежит в основе
7:14
матанализа оказалось плохо определенным а теперь кантер показал что бесконечность принципе куда сложнее чем
7:22
казалось это стало последней каплей разгорелись ожесточенные споры и на
7:28
излете 19-го столетия сообщество математиков раскололась на одной стороне
7:34
были интуиции они стык которые считали что работа kontra полная чушь что математика
7:39
это изобретение человеческого ума и контров ских бесконечностей не существует анри пуанкаре писал что
7:46
потомки прочитают о теории множеств какая хвори которые нам удалось побороть леопольд кроне кир называл kontra ученым
7:53
шарлатанам и растлителем молодых умов а еще старательно мешал его карьере на
8:00
другой стране были формалисты которые считали что теория множеств наконец-то поставить математику начисто логическую
8:06
основу неформальным лидером формалист of был немецкий математик давид гильберт в то время он был живой
8:14
легендой с невероятным авторитетом и работами практически во всех сферах математике
8:19
но даже чуть не опередила энштейна в открытии общей теории относительности он создал математические концепции в
8:26
последствии ставший основой квантовой механики и он знал что работа контрагента гилберт был убежден что
8:32
формальная и строгая система доказательств опирающиеся на теорию мной смогла бы решить все математические
8:38
трудности скопившийся за последний век и большинство специалистов с ним соглашались никто не сможет изгнать нас
8:45
из рая который создал cantare писал герберт но в 1901 году бертран рассел указал на
8:52
серьезную проблему в теории множеств он понимал что если множеством может содержать что угодно она также содержит
8:58
другие множество и даже себя например множество всех множеств должно включать себя как и множество всех
9:05
множеств более чем пятью элементами или множество всех множеств содержащих себя
9:10
но это приводит к одному затруднения как быть c множеством всех множеств которые
9:17
себя не содержат если r не содержит себя оно должно содержать себя но если r
9:24
содержит себя она по определению не должно содержать себя то есть r содержит себя если и
9:31
только если она себя не содержит рассол обнаружил так называемый парадокс сама референции вам наверное известен
9:38
другой его вариант допустим есть городок котором живут одни мужчины и действует
9:45
очень странные законы а бритья в частности закон гласит что брадобрей должен брить только тех мужчин что не
9:51
бреется сами носом брадобрей живет в том же городе и он тоже мужчина кто же бреет
10:00
его если он не бреется сам его должен брить брата бри но брадобрей не может брить
10:06
себе и так как он не бреет тех кто бреется сам так что брадобрей должен брить себя если и только если он не
10:14
бреет себя это противоречит интуитивен ты приветствовали парадокс рассела думая
10:20
что он доказал безнадежности арии кантера но c мыло и другие последователи
10:26
гилберта решили проблему перри определив понятие множества так чтобы множество всех множеств
10:32
больше не являлась множеством как и те множество что не содержит себя это
10:38
устранило продукта вызванной сама референции гилберт и и формалисты выиграли битву но
10:44
сама референция так легко сдаваться не решила перенесемся в 60-е годы 20 века
10:53
математик how an размышлял о разных способах разложить разноцветную плитку
10:58
условия такие совмещать можно края одного цвета но вращать ее переворачивать плитку нельзя только
11:04
передвигать по плоскости вопрос можно ли по случайному набору плиток сказать получится ли замостить
11:10
ими всю плоскость получится ли соединить плитки без зазоров до бесконечности
11:16
оказалось что для произвольного набора плиток нельзя понять сложится за мощение или нет задача
11:23
неразрешима прямо как судьба клеток в игре жизнь
11:29
вопрос на самом деле один и тот же и сводится он в проблеме сама референции
11:35
что только предстояло узнать гилберту и формалисты гилберт стремился создать в
11:42
математике новую надежную систему доказательств сама идея чего-то подобного ведет свою
11:48
историю от древней греции в основе всегда лежит аксиома утверждение принимаемая за истины
11:54
например что между двумя точками можно провести только одну прямую на основе аксиомы с помощью правил вывода которое
12:02
позволяет выводить новые утверждение старых строится доказательства так получается сохранить истинность
12:08
утверждений если верны исходной таверны и новый гилберт хотел получить
12:14
формальную систему доказательств систему символов язык со строгим набором операций тогда логические математические
12:22
утверждения можно перевести на этот язык фраза если бросить книгу она упадет превратиться в если а то б а тезис не
12:30
бывает бессмертных людей будет выглядеть вот так формалисты хотели придать математическим
12:37
аксиомам форму символических утверждений и установить правила вывода в качестве правил математических операций в этой
12:44
системе рассол вместе с white ходом разработали изложили такую формальную систему в 3
12:51
том некий принципе я математика опубликованном в 1913 это монументальный
12:56
труд почти в две тысячи страниц плотного математического текста и лишь на 760 2
13:03
страницы наконец-то приводятся доказательства что 1 плюс 1 равно 2 после чего автор из уха
13:11
констатируют приведенное выше предложение иногда оказывается полезным они
13:17
планировали написать и 4 том но сил на это похоже у них не хватило что
13:22
неудивительно до математическая нотация подобное густым джунглям но зато она
13:28
точна в отличие от обычного языка она не оставляет места ошибкам или нечеткой логики а самое главное
13:35
позволяет описывать свойства самой формальной системы для гилберта в
13:43
математике существовало три больших вопросов 1 полнота математике
13:50
то есть возможно ли доказать любое истинное утверждение если доказательства
13:56
у всего что он на самом деле верно второй вопрос непротиворечивость математики свободно ли оно от
14:02
противоречий если можно одновременно доказать что а истинное что не а та же истина
14:08
эта проблема ведь тогда можно доказать что угодно и третий вопрос разрешимость
14:13
математике то есть есть и такой алгоритм который однозначно скажет следует и какой-то
14:20
вывод из аксиом гилберт был убежден что она все три вопроса можно ответить да на
14:29
большой конференции тридцатого года гилберт произнес пламенную речь в которой говорил об этих вопросах и
14:34
закончил фразой которая емко выражает мечту формалист of пусть нашим лозунгом будет не игнор обе muse что значит мы не
14:42
узнаем а нечто совершенно иное мы должны знать и мы будем знать эти слова высечены на
14:48
его надгробии но к моменту когда гилберт произносил эти слова его мечта уже
14:54
начало рушиться за день до выступления на той же конференции 24-летний логик
15:01
курт гёдель рассказывал о том что он нашел ответ на первый вопрос гилберта о полноте ответ
15:09
был отрицательным полная формальная система математики невозможно
15:14
единственным кто проявил интерес к его рассказу был джон фон нейман бывший студент гилберта он единственный
15:21
задавал год или уточняющие вопросы на следующий год гидель опубликовал доказательство теоремы о неполноте и
15:26
теперь уже все включая гилберт и обратили на него внимание а вот и сама
15:36
доказательства get или чё ты хотел использовать логику и математику чтобы
15:42
найти ответы на вопросы о том как работают логика и математика он взял основные
15:50
знаки математической системы и присвоил каждому из них свой номер
15:57
это так называемая нумерация гибель знак
16:02
отрицания это один знак или это два
16:07
знак если то 3 но если выразить все эти
16:13
символы с помощью чисел как быть самими числам нулю присваивается цифра 6 а если хотите
16:21
написать единицу ставите рядом знак следующее число следующие
16:26
непосредственно за нулем число это один чтобы написать два нужно поставить рядом с с 0 это будет
16:34
означать двойку и так вы можете выразить любое целое число до громоздко но
16:39
работает в этом суть всей системы итак нумерация геделя подходит для всех
16:46
необходимых знаков и всех чисел а значит можно записывать уравнение скажем 0
16:52
равно и курс но этим знаком присвоенные номера 656 мы
17:02
можем создать новую карточку представляющие это уравнение 0 равно 0
17:08
вот как это делается берем простые числа начиная с 2 и возводим каждая степень
17:16
равную номеру элемента уравнение по системе геделя то есть 2 в степени 6 на
17:22
3 в степени 5 и 5 в степени 6 равно 240 3 миллиона двести сорок три миллиона
17:30
это число геделя для уравнения 0 равно 0
17:36
и такие числа можно получить для абсолютно любого набора символов
17:41
[музыка] нумерация геделя словно бесконечная колода карт который для любого набора
17:47
любых символов записанных в любом порядке найдется своя карточка с уникальным
17:53
номером красота система в том что любой номер можно разложить на простые множители и понять какие символы он
18:01
представляет в этой колоде будут встречаться как истинные
18:06
утверждения так и ложный но как доказать
18:11
истинность утверждения нужно обратиться к аксиомам у которых тоже есть свои номера геделя
18:19
образованные всё тем же образом вот например аксиома в которой сказано
18:24
нет следующего числа за любым числом x равного нулю логично в этой системе нет отрицательных
18:32
чисел поэтому 0 не может следовать ни за каким числом возьмем эту аксиому а затем
18:40
подставим вместо x0 и получим 1 не равно
18:45
0 у нас получилось простейшие доказательство которое утверждает что 1
18:52
не равно нулю карточка с доказательством что 1 не равно нулю
18:58
имеет свое число geode или мы вычислили его таким же способом взяли простые
19:05
числа 2 мозги и в степень номера аксиомы умножить на 3
19:11
в степени 1 не равно нулю и в итоге мы видим огромное число в нем 73 миллиона
19:19
знаков если расписывать полностью так что я оставил его в экспоненциальной форме и как видите номера становится
19:27
очень большими поэтому проще будет называть их буквами например число
19:32
геделя а число геделя б число геделя c и так далее все это понадобилось году лью
19:41
чтобы найти вот эту карточку здесь сказано нет доказательства для утверждения с
19:48
числом геделя g и вот в чем дело число геделя для этой
19:54
карточки и есть джей то есть здесь говорится что это утверждение не
20:01
доказуемо и во всей бесконечной колоде нет доказательства для этой карты
20:07
задумайтесь если утверждение ложно и доказательства есть то вы доказали что
20:14
доказательства нет это тупик парадокс
20:20
это означало бы противоречивость системы
20:25
другой вариант содержание карточки истинное утверждение с номером джин
20:30
нельзя доказать но тогда эта математическая система содержит кристины и утверждения у которых нет
20:38
доказательств и такая система не полна это и есть теорема геделя о неполноте он
20:47
показал что любая математическая система способная к простейшим арифметическим
20:52
вычислением всегда будет содержать истинные утверждения у которых нет доказательства в сериале офис есть
21:01
момент где обыгрывается парадоксом а референции из доказательства гитель джим мой враг оказалось что он злейший враг и
21:09
самому себе а враг моего врага мой друг так что джим получается мой друг но
21:17
если он враг самому себе а враг моего друга мой враг значит джим мой враг но
21:29
теорема геделя о неполноте говорит что истинность и доказуемо сть совсем не
21:34
одно и то же гилберт ошибался в математике всегда будут истинные утверждения которые
21:40
нельзя доказать он мог утешаться мыслью что возможно получится установить непротиворечивость
21:46
математики то есть что в ней нет противоречий но затем юдоль в своей второй теореме показал что любая
21:53
непротиворечивая система не способна доказать собственную непротиворечивость две теоремы гёделя о неполноте гласят
22:02
что лучшее на что можно рассчитывать это на непротиворечивую но не полную систему
22:08
но такая система не может доказать свою непротиворечивость в один момент
22:13
откуда-то может выскочить парадокс и окажется что все это время система была сама противоречиво остается третий и
22:21
последний критерий гилберта разрешим или математика есть ли такой алгоритм который точно
22:28
покажет следует не какое-либо утверждение из аксиома или нет тридцать шестом году алан тьюринг нашел способ
22:34
решить эту задачу но для этого ему нужно было изобрести современный компьютер в то время
22:41
вычислениями занимались не машины а люди часто женщины которые проводили долгие
22:47
нудные расчеты тьюринг хотел создать полностью механический вычислитель мощности которого хватало бы для задач
22:53
любой сложности но который был бы достаточно простым чтобы принцип работы оставался понят он
23:01
пришел к мысли об устройстве закрепленном на бесконечной ленте с квадратными ячейками
23:06
содержащим либо ноль либо единицу аппарат оснащен головки чтения-записи
23:11
которая считывает по одной цифре за 1 а дальше может выполнить одну из нескольких операций записать сверху
23:18
новое значение перейти влево или вправо или же остановиться
23:24
остановка означает завершение программы сама программа это некий набор
23:29
внутренних инструкций что-то вроде алгоритма который сообщает машине что делать исходя из счета на информации
23:36
текущего состояния эту программу можно передать другой машине тьюринга и она будет исполнять ее
23:43
точно также как первое несмотря на всю простоту идея неограниченная памяти
23:50
длина программ позволяет таким машинам выполнять по сути любые типы расчетов нужно лишь время от сложения и вычитания
23:58
до алгоритмов ютюба они могут всего то же самое что и современные компьютеры
24:05
поэтому машина тьюринга могла бы решить вопрос разрешимости гилберта когда
24:10
машина тьюринга останавливается программа прекращается а цифры на ленте и будут ответом но иногда машина так и
24:17
не прекращает работу застревая в бесконечном цикле можно ли зная вводные
24:22
данные заранее сказать да считает их программа до конца или нет сью ринг понял что проблема остановки очень
24:29
похоже на проблему неразрешимости если возможно узнать о становится машина или
24:34
нет значит возможно узнать следует и утверждение из axium возьмем к примеру гипотезу о
24:41
числах близнецах программа скажет машине тьюринга начинается аксиомы и с помощью правил вывода сформулировать все
24:47
непосредственно вытекающие из нее теоремы следующим шагом построить все возможные теоремы вытекающие из
24:54
предыдущих и так далее каждую новую теорему программа сверяет гипотеза и числах близнецах и при совпадении
25:01
останавливается иначе продолжает работать решив проблему установки можно было бы доказать гипотезу о числах
25:08
близнецах и разобраться со многими другими не решенными задачами тьюринг предположил что возможно создать
25:14
машину аж которая умеет определять остановится машина тьюринга или нет при
25:19
тех или иных входных данных вы задаете программу вводите данные аж все это проверяет и выдает один из
25:26
двух результатов остановится либо не остановится нас пока не волнует как устроена машина аж нам известно лишь что
25:33
она всегда права и вы дает верный результат можно модифицировать машин ваш
25:39
добавив дополнительные компоненты один из них при результате остановится запускает бесконечный цикл а вторая
25:47
получив результат не остановится моментально останавливается эту новую машину назовем h плюс
25:55
программу для этой машины мы можем записать на ленту в виде кода что будет
26:02
если дать этой машине ее собственный код и как программу и как алгоритм для
26:07
оценки теперь аж симулирует то как будет действовать h плюс если в нее ввести ее собственный
26:15
код по сути h должна определить поведение машины частью которой сама является при
26:21
конкретных заданных обстоятельств если h делает вывод что h плюс никогда не
26:29
остановится h плюс тут же останавливается
26:34
если h считает что h плюс остановится h плюс должна уйти в бесконечный цикл
26:45
любые выходные данные получаемый заш оказываются ложными противоречит
26:53
единственное объяснение состоит в том что машины аж не может быть невозможно
26:59
предсказать какие данные точно заставят машину тьюринга остановиться а это
27:05
значит что математика не разрешим нет такого алгоритма который всегда мог бы
27:11
определить выводится ли утверждение из аксиомы вероятно гипотезу о числах близнецах так
27:17
и не удастся подтвердить мы можем не узнать бесконечные парные простые числа или нет проблема неразрешимости
27:25
возникает даже в физических систем в квантовой механике одно из важнейших
27:31
свойств много- частичные системы эта разница энергии между основным и
27:36
возбужденным состоянием или спектральная щит в некоторых системах это разность
27:42
большая других ее совсем нет в них наблюдается континуум энергетических уровней вплоть до основного состояния
27:50
это важно поскольку при низких температурах квантовая система с пищевым спектром способны к фазовым переходом
27:56
тогда как система щелью нет им не хватает энергии чтобы преодолеть эту самую щель но попытки определить
28:03
какому именно типу принадлежит та или иная система всегда давались очень тяжело
28:08
а не так давно в 2015 году математики доказали что в большинстве случаев этот
28:15
вопрос просто напросто не разрешим авторы работы пишут даже идеальные и
28:22
полное описание микроскопических взаимодействия между частицами материала не всегда позволяет вывести их
28:28
макроскопические свойства помните что тьюринг хотел сделать свои компьютеры
28:33
настолько мощными насколько это возможно по сей день лучший вычислительные
28:39
системы делают все то же самое что может делать машина тьюринга это называется
28:44
полнотой по тьюрингу оказывается есть много таких полных систем но несмотря на
28:51
свою мощность каждая полная по тюнингу система имеет слабое место аналог
28:56
проблемы остановки связанный с неразрешимости плитки wanna отвечают критерию полноты
29:02
проблема остановки для них вопрос за мощения поверхности для сложных квантовых систем полных по тьюрингу
29:08
проблема остановки вопросе спектральный челик игра жизнь полная по тюнингу
29:14
ее аналог проблемы остановки остановится игра или нет есть много других примеров
29:19
продажа авиабилетов карточная игра magic слайды в powerpoint экселевский таблицы
29:26
почти все языки программирования созданной полными по тьюрингу в теории
29:31
нам нужен только один язык программирования ведь с помощью одной системы полной по тюнингу
29:37
можно запрограммировать что-угодно вот например машина тьюринга внутри игры
29:42
жизнь а так как игра жизнь сама является
29:50
полной потере нгу она должна уметь симулировать саму себя и она умеет это игра жизнь запущены
30:07
внутри игры жизнь life
30:15
мечта давида гильберта нашла свое реальное воплощение современных
30:20
вычислительных машинах курт гёдель последние годы жизни страдал
30:25
от психических расстройств он думал что его хотят отравить отказывался от пищи и
30:31
в конечном итоге умер от голода гилберт и умер в сорок третьем его эпитафией
30:38
стали слова из его же выступления мы должны знать и мы будем знать на правда
30:44
в том что мы не знаем порой мы не можем знать но в попытках разобраться мы
30:51
открываем новое то что меняет мир алан тьюринг применил свои идеи во время
30:58
второй мировой войны возглавив группу в блетчли-парк которые удалось создать вычислительную
31:03
машину которая взломала вражеский код по некоторым оценкам количество разведданных которые получили тьюринг с
31:10
коллегами приблизила конец войны на 24 года после войны тьюринг и джон фон нейман разработали
31:17
первый программируемый электронный компьютер и ник и на основе наработок
31:22
тьюринга но сам он не дожил до рассвета своих идей пятьдесят втором британское
31:27
правительство обвинило его в грубой непристойности узнав что он гей его
31:33
признали неблагонадежным и принудили гормонотерапии пятьдесят четвертом он
31:38
совершил самоубийство тьюринг изменил наш мир его называют
31:46
самой влиятельной фигурой в кибернетике все современные компьютеры основаны на
31:52
его идеях но идея тьюринга и вычислениях возникли из размышлений о машине
31:58
тьюринга которые в свою очередь обязаны вопросу гилберта а разрешимость математике так
32:04
что дешифровщики тьюринга заодно все современные компьютеры плоды причудливых
32:09
парадоксов сама референции фундаменте
32:15
математике есть слабое место из-за которого мы никогда не сможем знать все наверняка
32:20
всегда будут истинные утверждения которые не я доказать это обстоятельство могло бы
32:26
свести математиков с ума и привести к полному краху этой дисциплины но случилось иначе попытки решить
32:34
проблему изменили наше представление о бесконечности переломили ход мировой войны и помогли создать устройство на
32:42
которых вы смотрите это видео переведено и озвучено студией арт дай дар

Поделиться: