БИОГРАФИЯ ГОСТЯ: Эдвард Френкель — математик из Калифорнийского университета в Беркли, работающий на стыке математики и квантовой физики. Он автор книги «Любовь и математика: сердце скрытой реальности».
*https://www.youtube.com/watch?v=AQXz0JhaVhk
**https://300.ya.ru/v_Gx1jJhzw
Таймкоды
00:00:03 Введение в теорему Гёделя
- Обсуждение теоремы Гёделя о неполноте и её влияния на математику.
- Упоминание о Курт Гёделе, австрийском математике и логике, работавшем в США.
00:01:40 Основы математики
- Математика основана на аксиомах, которые принимаются без доказательств.
- Пример аксиомы: через две точки на плоскости можно провести только одну прямую.
00:02:24 Евклидова геометрия
- Евклидова геометрия как одна из первых формальных систем.
- Обсуждение пятого постулата Евклида и его неоднозначности.
00:03:48 Субъективность аксиом
- Аксиомы определяются наблюдателями и могут быть субъективными.
- Математика кажется объективной, но основана на аксиомах.
00:05:17 Альтернативные геометрии
- Возможность замены пятого постулата Евклида на противоположный.
- Примеры альтернативных геометрий: сферическая и гиперболическая.
00:06:27 Правила вывода и противоречивость
- Логические правила вывода из аксиом.
- Необходимость избирательности системы для избежания противоречий.
00:08:45 Теорема Гёделя о неполноте
- Доказательство Гёделя о том, что не все истинные утверждения можно вывести из аксиом.
- Революционное значение теоремы для логики и математики.
00:10:02 Проблема остановки Тьюринга
- Доказательство Тьюринга о невозможности алгоритмического решения проблемы остановки.
- Влияние теоремы Гёделя на понимание вычислений.
00:12:29 Эмерджентность и клеточные автоматы
- Идея эмерджентности: как простые правила могут порождать сложное поведение.
- Пример игры «Жизнь» Конвея как иллюстрация эмерджентности.
00:14:11 Парадоксы восприятия
- Примеры парадоксов восприятия: «синее платье», «ваза Рубинса», «утка-кролик».
- Сложности в определении однозначного ответа в некоторых ситуациях.
00:15:44 Проблемы определения объектов на картинках
- На картинках могут быть объекты, которые сложно определить, например, кролик или утка.
- Нейросеть может выдавать вероятности для каждого объекта, но эти вероятности субъективны.
- Разные люди могут по-разному интерпретировать одни и те же картинки.
00:16:27 Субъективность восприятия
- Восприятие картинок зависит от индивидуального опыта и восприятия.
- Психологи, нейробиологи и философы не могут однозначно объяснить различия в восприятии.
- Принцип дополнительности Нильса Бора помогает объяснить субъективность восприятия.
00:17:25 Принцип дополнительности
- Принцип дополнительности объясняет, что на один и тот же объект можно смотреть под разными углами.
- Ограничения восприятия мешают нам увидеть всю картину целиком.
- Квантовая механика подтверждает, что физическая реальность не является определённой.
00:18:09 Роль людей в обучении нейросетей
- Нейросети создаются и обучаются людьми.
- Люди, участвующие в обучении, имеют свои истории и предубеждения.
- Эти предубеждения могут влиять на результаты обучения.
00:19:05 Мышление и бессознательное
- Вопрос о том, является ли мышление вычислением, остаётся открытым.
- Сознание не охватывает всю психику, существуют деструктивные наклонности и бессознательные процессы.
- Аналитическая психология предполагает существование личного и коллективного бессознательного.
00:19:56 Влияние бессознательного
- Бессознательные процессы вызывают сильные эмоции и побуждают к действиям.
- Утверждение о полностью осознанных действиях становится неубедительным при учёте бессознательных факторов.
Расшифровка видео
0:03
Ты упомянул теорему Гёдаля о неполноте.
0:06
Расскажи немного о ней. Как ты её
0:08
понимаешь? Сломала ли она математику? А
0:12
может другой вопрос: где границы
0:15
математики? Что такое математика с точки
0:18
зрения теоремы Гёдаля? О, да. А сколько
0:22
у тебя времени?
0:24
Мы уже говорили о времени и вроде
0:27
сошлись на том, что это иллюзия.
0:30
Курт Гёдель был великим австрийским
0:33
математиком и логиком. Перед Второй
0:36
мировой он переехал в США и работал в
0:39
институте перспективных исследований в
0:42
Пристане, где был коллега Эйнштейна и
0:45
других выдающихся
0:47
учёных Фонеймона, Германа Вейля. Но,
0:51
знаете, тут на ум
0:54
приходит одна интересная цитата
0:56
Эйнштейна по этому поводу. Он как-то
0:59
сказал, что единственная причина, почему
1:02
он пошёл туда работать, это привилегия
1:05
прогуливаться вечером домой вместе с
1:08
Гёделем. Другими словами, Эйнштейн
1:10
считал, что Гёдель был умнее него. В
1:14
общем, его самым важным
1:17
вкладом были две его теоремы о
1:21
неполноте. Первая и вторая теорема о
1:24
неполноте.
1:26
И о чём же они? Речь идёт об
1:30
ограничениях, присущих математическому
1:34
рассуждению, о способе получения
1:36
математических теорем, как мы это
1:39
делаем. Итак, слегка проясним, как
1:43
вообще делается математика, что такое.
1:46
Мы обсуждали,
1:49
что основа физики — это математика,
1:52
химии — это физика, а биологии химия. Но
1:54
что есть основа самой
1:57
математики? Математика основана на
2:00
аксиомах.
2:02
Любая область математики может быть
2:07
представлена тем, что называется
2:09
формальной
2:11
системой. А в основе формальной системы
2:14
лежит система аксиом или постулатов. Это
2:18
утверждения, которые принимаются как
2:21
данность без доказательств. без
2:24
доказательств. Одна из самых первых
2:26
формальных систем была Эвклидова
2:29
геометрия, разработанная Эвклидом в его
2:32
знаменитой книге Начала ещё 2.200 лет
2:35
назад. И это
2:37
ну это предмет, который мы изучаем со
2:39
школьной скамьи. Но на самом деле речь
2:43
идёт о геометрии плоскости. Говоря
2:46
плоскость, я имею в виду этот стол
2:48
бесконечно растянутый во всех
2:50
направлениях. Идеальная плоскость
2:52
идеально ровного
2:54
стола. И эфклидова геометрия касается
2:58
геометрических фигур на плоскости, в
3:01
частности линий, треугольников,
3:04
окружностей и так далее. Так что же
3:07
такое аксиома? Аксиома — это когда у вас
3:10
есть две точки, две отдельные точки на
3:14
плоскости, и через них можно провести
3:17
только одну линию. Звучит вроде
3:20
разумно, но это пример
3:24
аксиомы. В математике, так сказать,
3:27
должно быть зерно. Вы должны начать с
3:29
чего-то и выбрать определённые постулаты
3:34
или утверждения, которые не требуют
3:37
доказательств. Обычно это те, которые
3:40
интуитивно понятны, но в любом случае вы
3:43
не можете заниматься математикой, не
3:46
определив эти аксиомы. А определяет их
3:49
наблюдатель, потому что они субъективны.
3:53
Наблюдатель появляется в процессе выбора
3:57
аксиом. Но кто их определяет? Черепахи,
4:00
на которых всё держится. Да, точно. Как
4:01
любил говорить Алан Уудс. А кто
4:03
наблюдает за наблюдателями? Да. И вот в
4:07
математике, но математики довольно
4:10
хитрые. Это такая своего рода игра с
4:13
зеркалами. Мы часто любим говорить, и я
4:15
и сам так говорил.
4:18
что математика объективна — это
4:20
единственная объективная
4:23
наука. Но только потому, что мы скрываем
4:27
этот факт в подвале, что всё основано на
4:32
аксиомах. И суть в том, что нет
4:35
единственно верного выбора. Вариантов
4:38
много. Эвклидова геометрия отлично это
4:41
иллюстрирует, потому что у
4:44
Эвклида было пять аксиом. Четыре из них
4:48
казались очевидными, а
4:51
пятая, ставшая известна как пятый
4:54
постулат, гласит, что если у вас есть
4:57
прямая и точка вне этой прямой, то через
5:00
эту точку проходит единственная прямая,
5:03
параллельная первой, то есть не
5:05
пересекающая её. И самому Ивклиду это не
5:09
давало покоя, потому что он чувствовал,
5:11
что это как бы он принимает как должное
5:14
то, что не очевидно.
5:17
И ещё много веков после этого математики
5:20
пытались вывести эту аксиому из других
5:23
аксиом, которые казались более
5:25
очевидными, и не смогли. И только 2.000
5:29
лет спустя они осознали, что не только
5:31
нельзя вывести этот постулат, но можно
5:34
заменить на
5:36
противоположный. И у вас также получится
5:39
полноценная, согласованная,
5:41
непротиворечивая геометрия, которую
5:44
называют Невклидовой.
5:46
Звучит, конечно, сложно, но на самом
5:49
деле нет. Представь сферу, поверхность
5:52
баскетбольного меча, ну или идеальную
5:54
поверхность
5:56
земли. Допустим, у вас есть точки, а
5:59
меридианы как аналоги
6:01
линий. Любые два меридиана пересекаются,
6:05
в отличие от параллельных прямых на
6:07
плоскости.
6:08
Есть ещё так называемая гиперболическая
6:11
плоскость, где наоборот бесконечно много
6:14
прямых, которые не пересекаются. Может
6:16
быть реализован любой вариант на любой
6:19
вкус. Это наглядный пример, что такое
6:22
формальная
6:23
система. Вы начинаете с набора
6:26
аксион, которое вы принимаете как
6:28
должное. И здесь появляется выбор,
6:31
который позволяет создавать разную
6:33
математику. Дальше в ход идут правила
6:36
вывода. Логические правила. Если А
6:39
истина, а из А следует Б, то Б
6:44
истина. Большинство из них были выведены
6:48
Аристотелем ещё до Ивклида. И дальше
6:52
схема такая.
6:54
Есть аксиомы, принимаемые как истинные
6:56
утверждение, и есть способ получать
6:59
новые
7:00
утверждения, используя правило
7:03
логического вывода из
7:04
аксион. Каждое полученное утверждение —
7:07
это
7:08
теорема, добавляемая в набор истинных
7:11
утверждений. И тогда вопрос: как далеко
7:15
можно зайти? Сколько утверждений можно
7:17
так доказать? Конечно, вы хотите, чтобы
7:20
система была нетривиальной. чтобы не
7:24
доказывать всё подряд. Если всё
7:26
доказывать, значит, система
7:28
противоречива. Ты доказываешь
7:30
утверждение А и его отрицание. Это
7:33
бесполезно. Она должна быть
7:36
избирательной, чтобы не доказывать
7:38
противоречивые
7:40
утверждения. И тут встаёт вопрос о
7:43
противоречивости. Система должна быть
7:45
непротиворечивой, то есть без внутренних
7:48
противоречий.
7:50
И к началу XX века в математическом мире
7:54
господствовала идея, что, в принципе,
7:56
всю математику можно вывести таким
7:59
образом. Надо просто найти правильную
8:02
систему аксиом, и тогда всё, что вам
8:05
когда-либо
8:07
понадобится, может быть получена с
8:10
помощью этой процедуры, которая, по
8:13
сути, алгоритмическая и которая может
8:15
быть запущена на компьютере.
8:19
А теперь подумайте, что особенного в
8:21
этом процессе. В этом процессе вы
8:25
просто манипулируете символами,
8:28
переходите от одного утверждения к
8:29
другому, не особо понимая его смысла.
8:33
Идеальная песочница для компьютерной
8:35
программы. Чисто синтаксический процесс,
8:38
в котором есть жёсткие
8:40
правила перехода от одного утверждения к
8:43
следующему.
8:45
Большинство математиков считали, что
8:47
таким образом можно получить все
8:49
истинные утверждения. И будь это
8:51
правдой, это сильно бы подкрепила тезис
8:54
о том, что всё в жизни
8:57
вычислимо. Или что жизнь — это
8:59
вычисление, по крайней мере, математика
9:00
вычислима, ведь её можно
9:02
запрограммировать. И компьютер спустя
9:05
какое-то
9:06
время в зависимости от его мощности
9:09
выдаст все истинные утверждения.
9:12
Первая теорема геодоля неполноте гласит,
9:14
что это не так. Она не просто утверждает
9:17
это, а доказывает на высшем уровне
9:19
строгости, который доступен в
9:21
математике, то есть в рамках другой
9:22
формальной системы, в которой он
9:24
работал.
9:26
Если
9:27
точнее, он доказал, если у вас есть
9:30
достаточно сложная формальная система,
9:33
позволяющая говорить вам, допустим, о
9:35
числах, что у вас есть целые числа 1 2 3
9:39
4, и вы формализовали операцию сложения
9:42
и умножения внутри системы.
9:47
Если она не противоречива, то есть если
9:49
она не полная, а иначе она бесполезна,
9:52
то в ней будут истинные утверждения,
9:54
которые невозможно вывести этим линейным
9:57
синтаксическим процессом доказательства
10:02
теоремым. Это невероятно. Это была
10:04
настоящая революция в логике, 1931 год.
10:07
Революция в математике. И мы всё ещё
10:09
ощущаем отголоски этого открытия. И
10:14
примерно в то же время зарождаются
10:17
компьютеры, инженерная мысль, лежащая в
10:20
основе вычислительных систем. Что
10:23
иронично. Тюринг появляется Алант
10:25
Тюринг, которого считают отцом
10:27
современных вычислений. Так вот, он
10:30
сделал нечто очень похожее. У него была
10:32
проблема остановки. Он доказал, что
10:35
проблема остановки не может быть решена
10:37
алгоритмически, что, грубо говоря, из
10:40
всех компьютерных программ нельзя
10:42
выбрать с помощью алгоритма, какие из
10:45
всех возможных компьютерных программ
10:47
имеют смысл, какие нет, а какие
10:49
остановятся. Удручающие результаты по
10:52
всем фронтам
10:54
или, наоборот,
10:57
жизнеутверждающие. Это как посмотреть?
10:59
Всё полно парадоксов в целом. Да, ты
11:02
прав. Это удручает, если мы с самого
11:04
начала были в чём-то убеждены, а потом
11:07
вдруг это не
11:09
подтверждается. Но ладно, я на это
11:12
возражу. А что, если бы он
11:15
доказал, что всё можно доказать? И что
11:18
тогда, что останется делать математику?
11:21
Меня бы это
11:23
удручало. А здесь есть возможность
11:25
сделать что-то новое, открыть что-то
11:27
такое, чего, возможно, компьютер не
11:30
сможет. Опять же, с оговоркой на наше
11:33
текущее понимание, возможно, появятся
11:36
новые технологии или
11:38
идеи. И само значение слова вычисления,
11:42
ведь сейчас мы мыслим о них в рамках
11:44
машинююринга или тези чёрча и всего
11:46
такого. Но что если в будущем появится
11:50
новый алантюринг и предложит что-то
11:53
другое, теория будет развиваться как
11:55
переход от ньютоновской гравитации к
11:57
Эйнштейновской. Может быть, в рамках
12:00
этой концепции появятся другие
12:03
возможности, понимаешь? Так. Э, так
12:09
что для меня это не столько
12:13
вопрос окончательного решения, как оно
12:16
есть или как должно быть, сколько вопрос
12:19
принятия этого как открытого процесса.
12:22
Думаю, это в каком-то смысле гораздо
12:25
ценнее, чем решать всё раз и навсегда.
12:28
Понимаешь, не
12:30
знаю, знаком ли ты с идеей клеточных
12:34
автоматов
12:36
и идеей эмерджентности.
12:38
Я часто думаю об игре Жизнь Конвея. Да,
12:42
глядя на всё это. Удивительно, да? И
12:45
думаю, что можно сделать с таким
12:46
небольшим набором инструментов? Как из
12:50
простых правил, распределённая система
12:52
может порождать сложное поведение.
12:55
заставляет задуматься, что может то, что
12:57
мы называем
12:58
вычислениями на базовом уровне — это
13:02
что-то простое, но начиная рассматривать
13:05
всё более высокие уровни абстракции,
13:08
картина размывается. Может после пары
13:11
стаканчиков начинаешь видеть что-то
13:13
гораздо более сложное, интересное и
13:16
прекрасное, чем исходные правило,
13:18
которые, как говорит наша научная
13:20
интуиция, не могут породить такую
13:22
сложность и красоту. Не знаю, есть ли у
13:25
кого-то хороший ответ, хорошая модель
13:28
того, почему это
13:30
возникает, почему из множества простых
13:32
вещей возникает
13:35
сложность. Это вопрос почему, а не Но на
13:38
каждое почему в конечном итоге
13:41
найдётся строгий ответ. Не обязательно
13:44
ответ может быть приблизительный,
13:47
который всё же что-то упускает, как
13:49
квантовая механика. На 99% мы можем
13:52
описать это.
13:54
с точностью или достоверностью
13:57
99%. Да, а потом, может быть,
14:02
ну, через лет 100 или в следующем году
14:05
кто-то предложит другую точку зрения,
14:08
которая изменит наше
14:10
представление. Кстати, раз уж мы говорим
14:13
о парадоксах и тому подобном, хочу вот
14:16
что ещё
14:17
сказать. Помнишь, как все с ума сходили
14:20
из-за того синего платья? Синее или
14:23
чёрное оно было? Да, оно было, кажется,
14:26
жёлто-белым или чёрно-синим.
14:29
Twitter чуть не сломался. Помнишь ту
14:32
ночь? Таких примеров уйма, когда люди
14:36
видят одно и то же по-разному и
14:38
невозможно сказать, кто прав, а кто нет.
14:42
Например, есть ещё так называемая ваза
14:45
рубинца, где с одной стороны это ваза, а
14:49
с другой- два лица.
14:52
Есть ещё картинка
14:54
утка-кролик. Если кто не видел, можно
14:57
запросто загуглить и найти. Людвик
15:00
Витгенштейн посвятил этому несколько
15:02
страниц в своей книге. Есть и много
15:06
других. Или, например, квадраты, которые
15:09
можно увидеть под разными углами. Так
15:12
вот, когда мы говорим о
15:16
нейросетях, мы говорим об обучающих
15:20
данных. Например, у вас есть картинки,
15:23
которые вы скармливаете своей программе
15:26
и пытаетесь найти самую оптимальную
15:28
нейросеть, которая может определить, что
15:31
это: собака или кошка или ещё что. Но
15:34
иногда однозначного ответа
15:38
нет. И что тогда? Ну, я задаю вопрос, я
15:43
не знаю ответа. Достиг ли современный и
15:46
понимания того, что иногда на картинке
15:51
может быть что-то, что невозможно
15:54
определить. С одной стороны, это кролик,
15:57
а с другой- утка. Как же тогда обучать
16:01
нейросеть, которая должна отличать уток
16:04
от кроликов? Как она это обработает? Ну,
16:08
она может выкрутиться из этого, сказав,
16:11
что есть такая-то вероятность, что это
16:14
утка, и такая-то вероятность, что это
16:16
кролик. Это хороший подход, но я бы
16:18
добавил, что нет никаких заданных
16:21
процентов. Например, в какой-то момент
16:24
мне стало любопытно, я
16:26
посмотрел. И для некоторых, для каждой
16:29
картинки такого рода, а их в интернете
16:31
можно найти целую кучу, мой мозг сразу
16:34
же её как-то интерпретирует.
16:37
Но поскольку я знаю, что другие люди
16:40
могут видеть её по-другому, я напрягал
16:43
свой ум и зрение и пытался разглядеть её
16:46
по-другому. Иногда я видел это сразу, а
16:49
потом мог переключаться между двумя
16:52
вариантами, а иногда для некоторых
16:54
картинок мне требовалось время. В этом
16:57
смысле, даже если эти вероятности
16:59
существуют, они субъективные. Кто-то
17:01
сразу видит это так, а кто-то иначе. Я
17:04
думаю, что ни психологи, ни
17:06
нейробиологи, ни философы не знают, что
17:08
с этим
17:09
делать. Лучший ответ, конечно, с точки
17:13
зрения научного ума, хотя я и говорю:
17:16
«Нет, не ищите интерпретации, оставьте
17:19
место для мистики или тайны». Но,
17:21
конечно, в теории я хочу
17:24
объяснение. И лучшее объяснение, которое
17:26
я нашёл — это принцип дополнительности
17:28
ниль собора. Это как частица и волна.
17:32
На одно и то же можно смотреть
17:34
по-разному. И когда смотришь под одним
17:36
углом, другая сторона скрыта.
17:39
Представьте это как обратную сторону
17:41
Луны. Мы смотрим на Луну лишь с одной
17:43
стороны и не видим другую. Есть
17:46
дополненная перспектива, где мы видим
17:48
другую сторону, но не ту, что видим
17:50
обычно. Но Луна та же, она там. Это наши
17:54
ограничения мешают нам охватить всё
17:57
целиком. Это и есть дополнительность. И
18:00
из квантовой механики мы знаем, что
18:02
такова наша физическая реальность. Это
18:05
не что-то определённое и не то или иное.
18:09
И как небольшое
18:11
отступление, раз уж мы заговорили про
18:14
нейросети, в уравнении присутствуют
18:17
люди. Это создано людьми. Если говорить
18:20
о чат GPT, то он использует обучение с
18:23
подкреплением от обратной связи с
18:25
человеком. Мы по сути используем группу
18:28
людей, чтобы обучать эту сеть. И вот об
18:31
этом люди часто
18:34
забывают. Или я вот порой задумываюсь,
18:37
что у всех этих людей своя история. У
18:40
каждого, кто размечал или скармливал
18:43
данные сети или делал ЧФ, есть своя
18:46
история о жизни. Они выросли, у них есть
18:49
предубеждения. Предубеждения и то, что
18:52
им нравится и не нравится. и что для них
18:56
самих незаметно. Они могут не
18:59
осознавать, что руководствуются
19:01
предубеждениями. Ты затронул очень
19:03
важный вопрос. Не столько вопрос,
19:06
сколько это не бак, а скорее фишка.
19:10
Когда в этих вычислениях является ли
19:14
мышление вычислением, неявно
19:17
предполагается, будто наше сознание
19:20
охватывает всю нашу психику, но мы
19:24
знаем, что это не так. Мы все наблюдали
19:28
за другими людьми, у которых были
19:31
деструктивные наклонности. Они явно
19:33
делали что-то разрушительное для себя.
19:35
Да и многие из нас ловили себя на чём-то
19:38
подобном. Это часть человеческой
19:40
природы. И в аналитической психологии за
19:44
последние 100 лет проведено множество
19:48
исследований, которые предполагают, если
19:50
не доказывают существования того, что
19:53
Карл Юнг называл личным бессознательным
19:55
и коллективным бессознательным. Это
19:57
своего рода набор идей вне поля нашего
20:00
зрения, которые вызывают у нас сильные
20:03
эмоции, побуждают нас действовать
20:05
определённым образом, даже если мы не
20:07
можем этого осознать. Если мы с этим
20:11
согласны, то утверждение, что всё можно
20:14
объяснить нашими действиями, которые
20:18
совершенно нейтральны и абсолютно
20:21
праведны и абсолютно осознанны,
20:24
становятся неубедительным.