Лекция 10. Построение системы комплексных чисел на основе операций сложения и умножения. Введение вычитания и деления комплексных чисел.
Расшифровка видео
0:00
вы много не слышали они имеют такой
0:02
непривычный вид и свойств обладают
0:05
мнимой и действительной частью просили
0:09
комплексные числа на ваши головы
0:14
подпишитесь на rutube youtube канал
0:17
поставте лайкусик
0:26
обычно когда студентов знакомят с
0:29
комплексными числами говорят ребята вот
0:32
это комплексное число a и b здесь
0:36
действительные числа a и эта мнимая
0:39
единица которое знакомо вам еще со школы
0:43
квадрат числа и равен -1 и далее
0:47
показывают как как складывать и вычитать
0:49
и умножать и так далее но почему-то не
0:52
говорят а почему комплексное число имеет
0:55
такой вид и связи с чем возникла
0:58
необходимость вообще введению этих
1:00
комплексных чисел и как они строились
1:02
обо всем об этом в нашем видео погнали
1:17
обычно на протяжении всего курса
1:19
математики волей или неволей происходит
1:22
обогащение запаса чисел ученика
1:27
[музыка]
1:29
пухова
1:31
изначально мы приходим в школу
1:35
запасом натуральных чисел таких как 1 2
1:38
3 и так далее
1:41
потом учителя нас знакомят с таким
1:44
числом как 0 и с отрицательными числами
1:48
все вместе вместе с натуральными числами
1:52
это целые числа
1:56
далее 4 а знакомят нас с дробными
2:00
числами
2:00
как отрицательными так и положительными
2:05
и все вместе с целыми числами они
2:09
составляют
2:12
рациональные числа
2:15
далее учителя говорят а есть еще и
2:18
рациональные числа ну это типа там
2:21
корень из 3 корень из 5 и так далее и
2:26
вместе с рациональными числами они
2:28
составляют множество действительных
2:31
чисел и
2:33
на последнем этапе происходит обогащение
2:36
запаса чисел за счет комплексных чисел
2:43
вот она множество комплексных чисел
2:46
система комплексных чисел достаточно
2:49
непривычно для нас но обладает нужными и
2:52
важными свойствами
2:53
обычно знакомство с комплексными числами
2:56
происходит следующим образом
2:58
учительница дает вам какое-то уравнение
3:02
типа x квадрате плюс 1 равно нулю и
3:07
предлагает его решить как видно
3:10
действительных корней нет тогда она
3:12
говорит ну лан в эту теперь взрослый по
3:16
можно сказать что x
3:19
первое второе равно плюс минус
3:23
и
3:25
и
3:26
эта мнимая единица и
3:30
i в квадрате равно минус 1 и
3:35
возник задача построить такую систему
3:38
чисел в которой вот это уравнение имела
3:43
бы решение в качестве основы для
3:45
построения новой системы чисел мы
3:48
возьмем точки плоскости
3:50
напоминаю что изображение действительных
3:53
чисел . мы прямой основана на взаимно
3:58
однозначное соответствие
4:01
между
4:02
этими действительными числами и самими
4:07
точками
4:10
тут предположительно тут отрицательным и
4:13
является настолько привычным для нас что
4:16
мы уже не разделяем где точки прямой а
4:19
где сами эти действительные числа но
4:22
теперь мы хотим ввести новую систему
4:25
чисел основанную на точках плоскости они
4:29
прямой и
4:30
до этого нам никогда не приходилось
4:33
складывать точке плоскости или умножать
4:36
или вычитать и так далее поэтому когда
4:39
мы будем вводить операции сложения и
4:42
умножения вычитания и так далее то мы
4:45
будем основываться лишь на том что
4:49
построенная нами числа должны обладать
4:52
нужными для нас свойствами пусть дана
4:56
прямоугольная система координат
4:59
условимся обозначать точке плоскости
5:03
буквами
5:06
альфа-бета гамма и так далее и пусть .
5:12
альфа
5:13
с абсциссой а и
5:16
ординатой b будет записываться как альфа
5:22
равны
5:23
обоим а
5:25
. бета
5:28
абсциссы c и
5:33
ординаты d
5:36
будет записываться как будто равны
5:40
cd
5:41
от а сумма точек альфа и бета с
5:46
координатами а b и
5:49
c d будет точка с координатами х + c и
5:57
b + d
6:02
произведением точек альфа и бета с
6:06
координатами а b и c d
6:10
будет точка с координатами
6:17
отце
6:19
минус беды
6:21
на a
6:24
плюс b c а
6:29
и б сидели на трубе упала бы пропала что
6:34
осталось этим путем во множестве точек
6:37
плоскости мы определим две операции
6:40
сложения и умножения
6:42
покажем что эти операции обладает всеми
6:46
теми же свойствами что и операции в
6:49
системе действительных чисел то есть
6:51
коммутативным ассоциативных связаны
6:54
дистрибутивный законом и имеют обратные
6:58
операции такие как вычитание и деление
7:02
на крым деление на ноль и так сначала
7:05
проверим коммутативностью сил альфа и
7:08
бета то есть альфа плюс бета складывай я
7:12
должна получить beta + альфа
7:16
складываем alpha + бета что это будет а
7:20
плюс c
7:22
b + d
7:25
если beta + альфа
7:28
то я c + а сложу и d + b так как abcd
7:37
это у нас действительное число то
7:39
очевидно для них выполняется закон
7:41
коммутативности поэтому нет никакой
7:44
разницы a + c я сложу или c + а я
7:48
получил одно и то же число точно также
7:50
как числами быд без разницы в каком
7:53
порядке
7:54
раскладывать теперь проверим
7:56
ассоциативность сложение
7:58
до этого возьмем еще одно число гамма с
8:02
координатами е и f то есть у меня alpha
8:06
beta + гамма должно получиться
8:11
альфа плюс
8:13
beta + гамма
8:17
вкладываем alpha + бета это а +
8:22
b + d и
8:26
плюс и
8:31
здесь об и
8:35
бы дон скардино а b плюс beta + гамма
8:41
будет c плюс е
8:45
е это не будто
8:48
это е и d + f
8:53
d + f координатор ну складывай теперь
8:58
все вместе это будет а плюс c плюс е
9:02
это е5
9:05
b + d + f это у меня с одной стороны
9:12
получилось а здесь a
9:16
c плюс е а
9:19
здесь b + d + tf
9:24
как видно они действительно равны
9:28
рассмотрим коммутативностью умножения то
9:32
есть альфа на об этом у меня должно быть
9:35
равно бетона альфа
9:38
альфа на бета а
9:44
на c
9:47
минус b на d
9:52
а на d
9:54
p на c
9:59
теперь бетона альфа
10:03
c на а
10:07
минус b на b
10:13
д на a минус
10:18
c до b
10:21
так как abcd ей и впоследствии нам
10:26
пригодится это действительно и числа тот
10:30
для них выполняется закон
10:32
коммутативностью ассоциативности и так
10:35
далее поэтому а c умножить на c а будет
10:39
одно и то же поэтому что альфу вы
10:43
умножаете на обед чтобы кто на альфа
10:47
получите одно и то же теперь проверим
10:50
ассоциативность то есть альфа умножить
10:53
на b то
10:56
скобочках умножить на гамма должно быть
10:59
равно
11:00
альфа умножить на b то в скобочках
11:04
множить ногам а теперь смотрите альфано
11:08
так альфано об этом уже сегодня находили
11:11
ну найдем еще раз а
11:14
умножить на c
11:17
минус b умножить на d
11:21
теперь а умножить на d
11:25
b умножить на c
11:31
теперь чтобы найти альфа на бета и ногам
11:35
а
11:38
так она бы ты на гамму здесь подпишу
11:41
гамма с координатами я
11:44
вынес путаться нужно вот эту координату
11:47
умножить на е
11:49
она c минус b умножить на a минус
12:02
минус вот эту координату умножить на f a
12:09
b c
12:12
умноженные на f
12:14
так , и
12:18
теперь найдем следующую координату
12:23
для этого нужно а
12:26
це минус беды
12:30
умножить
12:32
на f
12:34
а
12:38
+
12:41
b c умножить на е
12:46
вот такие координаты давайте раскроем
12:49
скобки запишем какой будет явный вид
12:52
отце и минус беды е
12:57
минус
13:01
минус bc
13:03
это первая координата
13:06
2 акции f
13:11
минус b
13:14
плюс a d и е
13:19
b c e это вторая координата ну теперь
13:25
осталось бета умножить на гамму и потом
13:28
альфа умножить на эту скобку
13:32
идет сюда гамму подпишу и
13:36
смотреть как удобном нажать ценное
13:41
умножить на минус дэна
13:49
следующая координата
13:51
с
13:55
плюс дает не
13:59
да и
14:03
теперь найдем чему равно альфа умножить
14:07
это на
14:09
гамму
14:12
смотрите вот сюда сверху координаты
14:15
альфы подпишу а b будет удобно умножать
14:20
первое умножаем это на эту скобочку а
14:25
жить нации
14:28
минус d
14:32
минус b
14:35
умножая на вторую скобочку
14:40
c + до и
14:44
это у нас первая координата
14:48
2 будет наискосок а у ножа на вторую
14:52
скобочку
14:55
умножая на c
14:57
d я
15:01
так это у нас координат
15:08
полюс знак второй координат урожая на
15:12
первую скобочку б
15:15
нацией минус
15:20
так теперь раскроем скобочки не
15:24
посмотрим какие у меня получились
15:25
координата и так
15:28
альфа умножить на бета
15:31
многому у меня равно раскрывая скобочки
15:36
акции е
15:38
минус
15:40
andrey f
15:44
минус
15:46
b c e
15:49
минус беды и
15:52
беды и это у меня первая координата
15:57
вторая координата раскрывая скобки
16:01
отце
16:05
пулю с
16:09
падай и
16:12
падай и
16:14
плюс b
16:16
c e и минус
16:20
pdf
16:22
б.д.
16:26
так
16:28
сравниваю
16:30
тыс отличным его
16:33
с тем что мы получили
16:36
предыдущий смотрим координатор отца и
16:40
его там с плюсом бандой с минус а вот
16:44
она а д э с минусом минус bc так совпало
16:50
2 смотрим акции f с плюсом минус b дфс
16:55
минус а + а дай я с плюсом и + dc и вот
17:01
она абсолютно совпали да значит как
17:04
вывод fishing
17:14
альфа умножить на b t умножить ногами у
17:18
нас совпало спалив умножить об этом
17:22
умножить ногам
17:24
ассоциативность выполнена
17:32
теперь рассмотрим вопрос касающийся
17:35
обратных операций если есть точки альфа
17:39
и бета соответствующими координатами то
17:43
разностью будет тоже . со своими
17:47
координатами x и y то есть
17:52
точку б то
17:55
с координатами c и d я прибавлю к точке
18:02
с координатами x и y и получу нашу точку
18:07
альфа с координатами а и b
18:12
сложим эти координаты c соответственно
18:15
складывается с координаты x 1
18:19
соответственно с координатой y
18:24
значит координату а мы получили
18:27
складывается x а
18:30
координату б мы получили складывает с
18:34
игреком
18:37
отсюда найдем чему равен x x равен а
18:43
минусы а
18:46
y равен
18:48
b минус d
18:52
значит
18:55
альфа минус b то
18:58
это будет .
19:01
координаты которой равны a минус b
19:07
минус d
19:09
это разность однозначно определено
19:13
частности нулем будет служить точка с
19:15
координатами
19:17
00 а
19:18
точкой противоположной например к точке
19:22
альфа то есть минус альфа будет служить
19:25
точка с координатами минус а минус b
19:31
пусть данные две точки альфа и бета
19:35
соответствующими координатами и
19:38
пусть
19:39
бета не равна нулю то есть хотя бы одна
19:44
из координат c или d не равны нулю тогда
19:52
c в квадрате плюс d в квадрате точно не
19:56
будет равно нулю
19:57
частным отделение альфа и бета должна
20:02
быть такая точка с координатами
20:05
x и y что
20:09
c d наша . бета
20:14
умножить на
20:16
x y равно точки альфа с координатами
20:22
а.б.
20:23
давайте как проводится умножение мне
20:26
легче всего вот так снизу подписывать и
20:28
умножать цена x минус
20:34
дэна y
20:38
теперь цен на y + d на x
20:45
равно b
20:48
то есть а это у меня c x минус 2y
20:54
а.б.
20:56
это
20:59
y + d ix вот такая система ну давайте ее
21:06
решим и найдем отсюда x и y
21:10
d y
21:13
но c ix
21:16
то есть x отсюда равно
21:19
up здecь y поделить на c
21:25
y + d
21:30
умножить а + d y
21:35
делить на c вот так
21:47
нам
21:49
качественно c получим
21:52
sb c
21:56
в квадрате
21:58
y + d a
22:05
b в квадрате
22:08
y
22:10
y и y у меня подобный
22:16
цепкало драки плюс d в квадрате
22:20
y равно
22:23
целая минус
22:32
2y равно
22:36
7х минус а
22:39
b в квадрате плюс d в квадрате
22:44
так найдем чему равен x
22:48
плюс
22:50
до y
22:52
d умножить на вот эту дробь
23:01
равно у
23:08
делить на c и равно это все
23:12
пиксу а
23:17
це квадрат плюс t в квадрате
23:22
плюс
23:25
дцп минус b квадрат
23:29
а
23:36
целиком рак для sd квадрате на х равно
23:41
иксу и
23:43
вот это уничтожится и у меня останется
23:49
акция в квадрате плюс
23:53
dcb
23:55
у
23:56
делить на c квадрат плюс d в квадрате
24:00
на c равно x
24:04
c c c
24:07
останется
24:09
от c + d b
24:13
делить на c в квадрате плюс d в квадрате
24:17
равно иксу
24:20
давайте я запишу x лучше на нами
24:25
x равно
24:30
от c
24:32
+
24:33
d b
24:36
разделить на t квадрат плюс d в квадрате
24:40
и
24:44
c квадрат плюс d в квадрате у нас не
24:48
равно нулю
24:50
таким образом ребята не равным нулю
24:56
частная альфа делить на b
24:59
существует и
25:02
компонента x равна a c + d b в квадрате
25:08
плюс d в квадрате
25:11
компонента y-координата
25:14
с b минус д а
25:17
т квадрат плюс d в квадрате
25:22
далее полагая здесь альфа равным бета то
25:29
есть а равна координата c и b равны д мы
25:35
получим точку а
25:37
у меня равно c здесь получится а в
25:42
квадрате b у меня равно d получится b в
25:46
квадрате
25:47
с у меня равно а
25:50
это будет а квадрат b у меня равна b это
25:54
будет b квадрат мы получим здесь
25:57
единицу
25:59
цена
26:01
b&c у меня равно а
26:05
получится а б д у меня равно бы а b
26:10
минус б а а здесь у меня получится 0 в
26:14
данном случае пре-альфы равным бета мы
26:18
получим
26:21
координату 10 и это наша единица будет
26:27
полагая далее альфа с координатами 10
26:32
равной единице можно найти у этого минус
26:37
1 то есть единицы деленная на бета или
26:41
бета в минус первой степени у альфа у
26:46
нас теперь будет координаты
26:51
10 и мы везде подставляем место а
26:56
единичку
26:58
место b0
27:03
тип осмотрим
27:05
бы у нас 0 а единичка что получится
27:11
c +
27:13
0 до или будет c
27:17
деленная на c в квадрате плюс d в
27:21
квадрате это первая координата
27:24
а 2 0 минус d
27:28
минус d c в квадрате на d в квадрате
27:35
плюс d в квадрате
27:37
вот у нас
27:39
точка с координатами
27:42
обратный будто
27:45
таким образом мы построили систему чисел
27:48
изображаемых точками плоскости и
27:51
определили на этой системе основные
27:54
операции назвали мы ее системы
27:57
комплексных чисел на следующем занятии
27:59
мы узнаем откуда взялась вот эта
28:02
традиционная форма записи комплексного
28:04
числа a
28:05
и б и сама мнимой единицы ставьте
28:12
лайки подписывайтесь на оба канала пока
28:18
[музыка]