Дигамма-функция. Часть2. Интегральные представления и разложение в ряд

В этом видео продолжим знакомиться с дигамма-функцией и выводить основные формулы: получим для нее несколько интегральных представлений, разложение в ряд, а также некоторые частные значения. Это 2-ое видео из 2-х про дигамма-функцию, связанных между собой.

Расшифровка видео
0:00
Всем привет в этом видео будем снова
0:02
заниматься Гама функцией и это второе
0:05
видео из серии про эту специальную
0:08
функцию Напоминаю что Гама функция
0:12
обозначается она буквой PS по
0:14
определению равна отношению производной
0:17
от гамма функции к самой гамма функции в
0:20
пределах этого видео аргумент уди гамма
0:23
функции буду обозначать буквой Z но при
0:26
этом аргумент будет действительным
0:28
положительным числом Везде где другое
0:31
условие не обговаривается специально
0:33
сама же гамма функция обычно задаётся
0:36
через следующий несобственный интеграл в
0:39
прошлом видео про гамма функцию мы
0:41
получили для неё два функциональных
0:44
уравнения и нашли формулу для её
0:46
значений при положительных целых
0:48
аргументах ссылку на это первое видео я
0:51
оставлю в описании сегодня выведем для
0:54
гамма функции несколько интегральных
0:57
представлений получим для не ряд а также
1:01
формул для ещ некоторых её частных
1:05
значений
1:07
приступим в прошлом видео мы получили
1:09
что производную от гамма функции можно
1:12
записать через интеграл от нуля до
1:15
бесконечности под интегралом x в степени
1:18
Z – 1 Умно налогам X И на е в степени –
1:23
x и сейчас здесь мы воспользуемся ещ
1:26
Одним интегралом если есть интеграл от
1:30
до плюс бесконечности интегрирование идт
1:33
по переменной Y и под интегралом Е в
1:36
степени – Y – e в степени – Y у x и дел
1:43
это всё на Y здесь X произвольное
1:46
действительное число больше нуля так вот
1:49
оказывается что такой интеграл равен
1:51
логарифму X это далеко не простой
1:54
интеграл и он был найден в отдельном
1:57
видео ссылку на это видео я оставлю в
2:00
описании А теперь смотрите в интеграле
2:03
для производной от гамма функции есть
2:06
Гари X И сейчас мы вместо него подставим
2:10
этот
2:11
интеграл пишу интеграл от нуля до
2:13
бесконечности по переменной X сначала в
2:17
этом интеграле x в степени Z – 1 у на e
2:21
в степени – x теперь ставлю большие
2:25
скобочки и вместо логарифма в них этот
2:28
интеграл по переменной Y теперь
2:31
фактически получился двойной интеграл
2:34
запишем его в более привычном виде
2:37
внешний интеграл здесь по переменной X а
2:40
внутренний по переменной Y и внутри
2:43
интеграла выражение x в степени Z – 1
2:47
умножить на дробь в числителе e в
2:50
степени – Y у e в степени – x – e в
2:56
степени – y x x умножить на е в степени
3:01

x и всё это делить на Y теперь в этом
3:05
двойном интеграле Давайте изменим
3:07
порядок
3:08
интегрирования Пусть внешний интеграл
3:11
будет по переменной Y а внутренний по
3:13
переменной X тогда сразу из внутреннего
3:17
интеграла можно вынести дробь единицу
3:20
дену на Y она не зависит от x А во
3:23
внутреннем интеграле будет e в степени –
3:27
у x Степе – 1 и Умно на e в степени – x
3:33
x в степени Z – 1 Уно на e в степени –
3:39
x Уно на Y +
3:46
1 теперь внутренний интеграл по X и в
3:50
нём стоит разность двух функций давайте
3:53
от каждой из этих функций найдём
3:55
отдельно интеграл по X первая функция
3:58
обвёл красной рамкой Выпишу интеграл от
4:02
неё этот интеграл по переменной X значит
4:06
Е в степени – Y мы можем вынести за этот
4:09
интеграл как константу и посмотрите
4:13
оставшийся интеграл есть ни что иное как
4:15
гамма функция прямо по определению гамма
4:18
функции то есть получаем что этот
4:20
интеграл равен e в степени – Y ум га от
4:27
Z теперь Также вы ите от второй функции
4:31
опять обл её красной
4:34
рамкой в этом интеграле сделаем замену
4:38
Пусть Т будет равно X у y П 1 отсюда
4:42
выразим переменную X будет Т де Y П 1
4:47
тогда дифференциал DX будет равен DT де
4:52
Y П 1 заметим что Y положительное число
4:56
а значит при такой замене пределы в инте
4:59
изменится на Нижнем пределе будет ноль а
5:01
на Верхнем всё также плюс бесконечность
5:04
и в интеграле после замены получаем
5:07
вместо X в Степе Z – 1 T Степе Z – 1 / Y
5:13
1 в Степе Z – 1 Дальше e в степени
5:17
просто – T и вместо дифференциала DX DT
5:22
/ Y +
5:24
1 эти две скобки можно перемножить будет
5:27
Y + 1 в степени Z и интегрирование по
5:31
переменной Т значит это Константа её
5:33
можно вынести за знак
5:35
интеграла в интеграле останется T в
5:38
степени Z – 1 у e в степени – T и это
5:43
опять Есть нечто иное как гамма функция
5:46
то есть в результате получаем 1 / Y + 1
5:50
в степени Z Умно гамму от
5:57
Z это мы нашли отдельно интеграл по X от
6:01
каждой из двух функций но снаружи у нас
6:04
ещё стоит интеграл по переменной Y
6:07
подставим эти найденные выражения внутрь
6:09
интеграла по Y эта дробь единица на Y
6:13
никуда не исчезает дальше вместо
6:16
интеграла от первой функции e в степени
6:19
y x га от Z а вместо интеграла от
6:23
второй функции 1 / Y + 1 степени Z у
6:29
гамму от
6:31
Z теперь Посмотрите интеграл по
6:34
переменной Y а гамма функция имеет
6:37
аргумент Z то есть мы можем вынести
6:40
гамма функцию за знак интеграла как
6:42
константу в интеграле останется e в
6:45
степени – Y – 1 де Y + 1 в степени Z и
6:51
умножить ещё на 1ц дею на
6:57
Y Ну а теперь сравним определение Гама
7:00
функции с этим равенством видим что из
7:03
него можно сразу записать что гамма
7:06
функция равна следующему
7:08
интегралу Таким образом мы получили одно
7:11
из интегральных представлений для гамма
7:13
функции Напоминаю что мы получили его
7:16
при Z > 0 сейчас отсюда получим ещё
7:19
другие интегральные представления для
7:21
Гама функции на этот раз преобразования
7:24
будут значительно проще для начала
7:26
подставим в это равенство вместо Z
7:28
единицу
7:29
получим что пси от единиц равна
7:32
следующему интегралу от нуля до
7:34
бесконечности е в степени мину Y – 1 де
7:40
Y + 1 и умножить это всё на 1ц дену на Y
7:44
но Мы помним что си от единицы равна
7:47
минус гамма где гамма – это постоянная
7:49
Эр
7:52
маскирование А теперь давайте вычтем из
7:55
верхнего равенства нижнее тогда в левой
7:58
части равенства получится P от Z п гам а
8:03
в правой части при вычитании Мы конечно
8:06
сразу два интеграла объединим в один
8:09
видим что при вычитании под интегралом Е
8:12
в степени – Y исчезнет и останется
8:15
разность двух дробей 1 / Y + 1 – 1 / Y +
8:22
1 в степени Z перенесём константу гамма
8:25
в правую часть и получим ещё одно
8:28
интегрально представление для Гама
8:30
функции на этот раз оно не содержит
8:33
экспоненту Ещё немного преобразуем этот
8:36
интеграл сделаем в нём замену Пусть T
8:39
будет равно 1 / Y + 1 отсюда выразим Y
8:44
получится -1 + 1 дет находим
8:50
дифференциал dy ищем производную будет –
8:54
DT /
8:56
T в интеграле ещё есть дробь ени Y после
9:00
замены такая дробь будет
9:04
равна упрости это выражение получим T де
9:08
1
9:09
мит что с пределами интегрирования из
9:13
этого равенства видим что если на
9:15
Верхнем пределе Y стремится к плюс
9:18
бесконечности тогда Т будет стремиться к
9:20
нулю а на Нижнем пределе если Y ра Ну
9:25
тогда будет равно 1 после замены полум
9:29
на Нижнем пределе единица на Верхнем
9:32
ноль под интегралом t – t в степени Z
9:37
умножить вместо дроби 1 / Y T / 1 – T и
9:44
вместо дифференциала D – DT
9:50
детк теперь поменяем в интеграле местами
9:54
предела интегрирования значит по
9:56
свойству интеграла этот минус пропадёт
10:00
из этой скобки вынесем Т тогда в
10:03
числителе здесь будет тк и оно
10:05
сократится с ТК в знаменателе В итоге в
10:09
числителе останется 1 – T в степени Z –
10:13
1 а в знаменателе 1
10:16
мит получили такое более простое
10:19
интегральное представление для гамма
10:21
функции с помощью этого интеграла Уже
10:24
довольно просто можно находить некоторые
10:26
значения для неё кстати заметим если
10:29
вместо Z подставить N П 1 где N
10:32
натуральное число тогда в интеграле
10:34
получится 1 мит в Степе N в числителе 1
10:38
мит в знаменателе А Мы помним из
10:41
прошлого видео что значение гамма
10:43
функции при положительных целых
10:45
аргументах равны ному гармоническому
10:48
числу минус гамма и из этого равенства
10:52
мы сразу получаем интегральное
10:53
представление для гармонических чисел
10:56
эта же формула уже была получена в
10:58
другом видео попутно при вычислении
11:00
одного интеграла кому будет интересно
11:03
ссылка в
11:04
описании попробуем теперь с помощью
11:06
этого интеграла найти какие-нибудь
11:08
частные значения для гамма функции
11:11
например подставим вместо Z 1 де N где N
11:15
натуральное число начиная с единицы при
11:18
этом в интеграле получим в числители 1 –
11:21
T в степени 1 / N – 1 а в знаменателе 1
11:26
T сделаем в интеграле
11:29
очередную замену Пусть Т будет равно x в
11:32
степени N тогда дифференциал DT ищем
11:35
производную от степенной функции N у x в
11:39
степени N – 1 и на DX в интеграле У нас
11:43
есть T в степени 1 / N – 1 после замены
11:50
получим x в степени 1 – N видно что при
11:55
такой замены переменной пределы в
11:57
интеграле не изменят
11:59
на Нижнем так и будет но а на Верхнем
12:01
единица выражение в интеграле числители
12:05
1 ми x в степени 1 ми N умножить вместо
12:10
дифференциала DT N у x в степени N – 1 а
12:16
в знаменателе дроби 1 ми x в степени
12:21
N в числителе раскроем скобки и вынесем
12:24
константу N за интеграл в числителе
12:27
будет X N – 1 ми ени а знаменатель
12:32
останется без изменений вынесу ещё минус
12:35
единицу из знаменателя за
12:41
интеграл что можно сказать про этот
12:43
получившийся интеграл в нём в числителе
12:46
и в знаменателе дроби стоят многочлены с
12:48
целыми положительными степенями А мы
12:51
знаем что интегралы такого вида всегда
12:53
могут быть найдены аналитически
12:55
разложение на простые дроби и так далее
12:58
то есть для Гама функции можно найти
13:01
значение для любого такого аргумента
13:03
вида 1 де N и вообще оказывается что
13:07
можно получить общую формулу для
13:09
значений гамма функции при всех
13:12
рациональных аргументах к этому может
13:15
быть вернёмся в будущем Обратите
13:17
внимание что это свойство сильно
13:19
отличает Гама функцию от гамма функции
13:22
для которой известны точные значения
13:24
только при целых и
13:28
мера возьмём N равно 2 И найдём PS от
13:32
1/2 подставляю вместо N двоку в
13:35
числителе будет X -1 А в знаменателе X
13:39
-1 раскладываем знаменатель дроби на
13:44
множители видим что X – 1 в числителе и
13:47
в знаменателе сокращается и в интеграле
13:50
Остаётся только 1 де X + 1 это уже
13:55
элементарный интеграл он равен логарифму
13:57
от 1 + X
13:59
и подставляя пределы интегрирования
14:01
получаем мину гамма -2
14:05
L2 таким образом нашли пси от
14:09
1/2 заметьте что теперь мы можем
14:11
воспользоваться формулой полученной в
14:13
прошлом видео связывающей значения гамма
14:15
функции отличающиеся друг от друга на
14:18
единицу и с помощью неё получить вообще
14:20
все значения гамма функции для
14:23
положительных полых аргументов точно так
14:26
же как мы делали для целых аргументов в
14:28
предыдущем видео здесь уже не буду
14:30
делать это подробно можете
14:32
самостоятельно это проделать в
14:34
результате будет 2х сумму дробей с
14:38
нечётными знаменателями минус гамма – 2
14:42
Лога Д В итоге ещё раз замечу все
14:46
значения гамма функции от рационального
14:49
аргумента можно найти используя этот
14:51
интеграл при рациональных Z он
14:54
выражается через Элементарные функции А
14:57
что если Z не рациональное число тогда
15:00
для нахождения приближённого значения
15:02
гамма функции намм поможет её разложение
15:05
в ряд которое мы сейчас получим из этого
15:08
интеграла вспомним что бесконечная сумма
15:11
1 ПТ ПТК плюс и так далее То есть это
15:16
сумма по n от нуля до бесконечности т в
15:19
степени N есть нени что иное как сумма
15:21
геометрической прогрессии и мы знаем что
15:24
она равна 1 1
15:27
митр при по модулю меньше ени заметим
15:31
что в интеграле у нас стоит как раз
15:33
такая дробь 1 де 1 мит и мы Вместо неё
15:37
подставим сейчас в интеграл это
15:39
разложение в ряд то есть в интеграле
15:42
будет единица минут в степени Z – 1
15:47
умножить на сумму по n от нуля до
15:49
бесконечности т в степени
15:52
N внесём эту скобку внутрь суммы тогда в
15:57
сумме будет в степени N – T в степени Z
16:02
N – 1 степенные ряды внутри своей
16:06
области сходимости сходятся равномерно и
16:08
их можно почленно интегрировать значит
16:11
мы можем поменять местами знак интеграла
16:13
со знаком
16:15
суммы здесь кто-нибудь заметит что
16:18
вообще говоря прит равном единице ряд
16:20
расходился Но если сейчас при
16:23
интегрировании и подстановке вместо Т
16:26
единицы получится сходящийся ряд значит
16:29
это не проблема и можно было
16:31
переставлять интегралы и сумму находим
16:34
теперь интеграл это элементарный
16:36
интеграл от степенных функций получаем T
16:39
в степени N + 1 / N + 1 ми T в степени N
16:44
Z / N + Z и остаётся подставить предел
16:49
интегрирования понятно что подставляя
16:51
ноль на Нижнем пределе получим ноль а
16:53
подставляя на Верхнем пределе единицу
16:56
внутри суммы получаем единица
16:59
N + 1 Ми 1 де N + Z при выводе этого
17:04
разложения Z было больше нуля и при
17:07
любом таком Z ряд будет сходиться
17:13
абсолютно получили представление для
17:15
гамма функции в виде ряда в принципе с
17:18
помощью него можно найти любое значение
17:20
для гамма функции при положительном
17:23
аргументе подведём
17:25
итоги в этом видео было найдено
17:28
представления для Гама функции и одно
17:31
представление в виде
17:33
ряда также нашли ещё одну
17:35
вспомогательную формулу для значений
17:37
Гама функции вида единица делить на N и
17:40
с помощью неё нашли значение для Гама
17:42
функции от 1/2 рад что вы досмотрели До
17:45
конца Если у вас есть возможность
17:48
поддержите донатом выход новых
17:57
серий
18:03
N

Поделиться: