Это моя работа для 3Blue1Brown “Summer of Math Exposition 1” #SoME1. В этом видео я объясняю, какое отношение знаменитый трюк Дирака с поясом имеет к топологии вращающихся частиц со спином 1/2, таких как электроны.
Я создал 3D-анимацию с помощью Three.js/CCapture.js, а математическую анимацию — с помощью Manim Community v0.8.0.
Расшифровка видео
Введение
0:06
Чтобы выполнить трюк с поясом Дирака, вам понадобятся две вещи. Один: ремень.
0:16
И два: большая книга. Книга заключается в том, чтобы удерживать один конец ремня на месте, а другой
0:22
перемещается. Для начала возьмите свободный конец ремня и поверните его на 360 градусов.
0:34
Теперь вы увидите поворот ремня. Цель состоит в том, чтобы найти способ избавиться от этого поворота.
0:41
Что делает это интересным, так это то, что вам не разрешено вращать ни один из концов ремня, поэтому вы не можете просто развернуть поворот. Однако вам разрешено перемещать оба конца
0:51
вокруг в космосе, пока вы не поворачиваете их при этом. Теперь вы должны попробовать это
0:57
для себя, чтобы убедиться, но что бы вы ни делали, вы не сможете распутать скрутку в ремне. Итак, это был большой провал. Однако вначале вместо того, чтобы крутить
1:09
ремень на 360 градусов, а что, если бы мы вместо этого скрутили его на 720 градусов, что составляет ДВА полных
1:16
вращения? Можем ли мы отменить повороты сейчас? Ну .. смотри это.
1:25
[барабанная дробь] Удивительно! Мы не можем отменить поворот на 360 градусов, но МОЖЕМ отменить поворот на 720 градусов! Это
1:38
Трюк с поясом Дирака. Поль Дирак, один из величайших физиков всех времен, изобрел
1:44
этот трюк, чтобы помочь объяснить своим ученикам причудливую природу квантовых частиц со спином 1/2, таких как электроны и протоны. Старая версия этого трюка была популяризирована
1:55
в книге Мартина Гарднера «Загадки Сфинкса и другие математические головоломки».
2:01
Первый шаг для этого старого трюка — снова надеть ремень. Затем возьмите ножницы и отрезки веревки длиной около 10 футов. Проденьте струны через отверстия
2:11
в ножницы и завязать концы в две петли. Теперь наступите на две петли веревки.
2:17
и держите ножницы прямо перед собой прямо вверх. Затем вращайте ножницы вокруг
2:22
на 720 градусов. Еще раз, вы можете снять скручивание струн, переместив пару
2:29
ножниц, не вращая их. …Но это как-то глупо, так что давайте просто придерживаться
2:35
с поясом. В любом случае, какое отношение все это имеет к квантовой механике!? Хорошо,
2:40
если вы возьмете обычный предмет, например эту консервную банку, и повернете его на 360 градусов, он закончится
2:46
как именно это началось. Но теперь предположим, что у вас есть электрон. Мы нарисуем на нем маленький плюсик, чтобы мы могли
2:55
посмотрите, как он ориентирован. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы повернем этот электрон на 360 градусов.
3:04
Что? Что случилось со знаком плюс? Я вижу только дурацкий минус! Ну давайте держать
3:10
поверните его и посмотрите, поможет ли это. Ах, смотри, это снова плюсик! Итак, мы видим, что когда мы поворачиваем электрон на 360
3:21
градусов, он возвращается не в исходное состояние, а скорее в «отрицательную» версию своего
3:26
исходное состояние. Однако, когда мы повернем его на 720 градусов, мы вернемся к исходному
3:32
состояние. Это свойство электрона пытается объяснить трюк с поясом Дирака.
3:40
В этот момент вы можете сказать: «Подождите, вращение на 360 градусов — это вращение на 360 градусов,
3:46
нельзя сказать, что это только половина!” Ну, чтобы точнее объяснить этот трюк, я
3:52
придется ввести некоторые понятия из разделов математики, известных как «теория групп» и «топология», что займет некоторое время. Сказав это, я думаю, что это хорошо
4:01
усилия того стоят, потому что история трюка с поясом Дирака, на мой взгляд, одна из самых замечательных и фундаментальных во всей физике.
Пространство вращений
4:21
Представьте, что вы хотите повернуть этого снеговика. Вам нужно будет указать две вещи: 1,
4:27
ось вращения и 2, угол поворота.
4:35
Теперь мы можем вращать любой объект, какой захотим, и надо признать, что этот снеговик немного глуповат.
4:40
Так что давайте вместо этого использовать эти оси координат. Мы можем еще раз выбрать ось и угол
4:47
вращать его.
4:52
В этом видео всякий раз, когда я вращаю эти оси координат, я всегда буду включать призрачное изображение его исходной ориентации. Теперь, с этого момента, давайте всегда измерять углы, используя
5:03
радианы вместо градусов. Так, например, π/2 радиана составляет 90 градусов, π радиана составляет
5:09
180 градусов, 2π радиан — 360 градусов, 4π радиан — 720 градусов. Во всяком случае, резюмируя,
5:19
вы можете указать вращение с двумя частями информации. Один, ось, и два,
5:26
угол. Мы определим вращение, чтобы всегда идти против часовой стрелки вокруг
5:32
оси, в соответствии со стандартным «правилом правой руки», которое гласит, что если вы указываете большим пальцем правой руки в направлении оси, то вы вращаетесь в
5:40
в том же направлении, в котором скручиваются ваши пальцы. Теперь давайте упакуем эти две части информации
5:46
вместе по-разному. Вместо того, чтобы использовать ось И угол, давайте использовать один вектор,
5:53
который указывает в направлении оси, но имеет длину угла θ, измеренную
5:58
в радианах. Итак, используя это, как мы можем понять, что такое пространство ВСЕХ вращений? Абстрактно,
6:09
пространство вращений представляет собой множество, и каждая отдельная точка, содержащаяся в множестве, соответствует
6:16
на один оборот. Конкретно мы можем изобразить пространство вращений следующим образом: здесь мы
6:24
есть трехмерный шар с радиусом π. Теперь рассмотрим точку, содержащуюся в этом
6:31
мяч. Эта точка соответствует повороту, а именно тому, который задается вектором, имеющим
6:37
его основание находится в центре шара, а кончик – на самом острие. Этот вектор будет
6:43
имеют длину от 0 до π, потому что сам шар имеет радиус π. Помнить:
6:50
направление этого вектора соответствует оси вращения, а его длина соответствует
6:55
к углу поворота. Чтобы вы вникли в это, я покажу вектор в
7:01
пространство вращений справа и соответствующее ему вращение слева.
7:44
На самом деле есть что-то забавное в пространстве вращений. Заметить, что,
7:50
если вы повернете вокруг оси ровно на π радиан по часовой стрелке, результат
7:57
точно так же, как если бы вы повернулись на π радиан против часовой стрелки.
8:08
Следовательно, это означает, что точка на границе нашего шара соответствует точному
8:19
то же вращение, что и противоположная точка на другой стороне границы.
8:25
Таким образом, мы можем иметь точку в пространстве вращений, выходящую на границу и возвращающуюся обратно.
8:33
Другая сторона. Хотя кажется, что точка прыгает прерывисто, на самом деле это
8:39
просто артефакт нашей визуализации. Так что на самом деле не совсем корректно так говорить
8:45
пространство вращений — шар радиуса π; мы также должны включить это дополнительное условие
8:52
что говорит о том, что противоположные точки на границе этого шара эквивалентны друг другу.
8:59
Давайте теперь подведем итоги части 1. Для определения поворота требуется две части информации:
9:06
ось и угол. В качестве альтернативы мы можем использовать вектор, указывающий в направлении
9:13
оси и имеет длину угла. Мы можем визуализировать пространство вращений как
9:18
шар радиуса π, где каждая точка шара совершает один оборот. Мы должны определить антипод
9:26
точки на границе шара, потому что повороты по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг оси на 180 градусов действительно одинаковы.
Пути через пространство вращений
9:47
Теперь, когда мы понимаем пространство вращений, давайте подумаем о путях через пространство вращений. Вот пример пути. Это что-то вроде монорельса, с точкой
9:59
обходя его в одном направлении.
10:04
Здесь я отобразил точку, идущую по пути, вместе с соответствующим поворотом.
10:17
Введите: Пояс. Если подумать, пояс очень похож на дорожку, потому что он имеет
10:29
начальная точка и конечная точка. Как мы увидим. получается, что ремень действительно соответствует
10:36
пути через пространство вращений. Вот как. Выберите точку вдоль пояса.
10:44
Теперь расположите точку оси x вдоль длины ремня, точку оси y перпендикулярно,
10:50
к ремню, а ось Z указывает по ширине ремня.
10:56
Теперь, когда мы движемся вниз по ленте, наши оси будут меняться соответственно. Поскольку каждая ориентация
11:04
этих осей соответствует вращению, мы видим, что лента действительно следует
11:10
путь в пространстве вращений. Давайте рассмотрим несколько конкретных примеров.
11:18
Вот путь, который вращается вокруг оси абсцисс на постоянно увеличивающийся угол.
11:38
Теперь давайте проделаем то же самое вокруг оси Y…
11:50
…а вот версия вокруг оси Z.
12:23
Вот путь более произвольной формы.
12:31
Хотя это выглядит как-то запутанно. Хорошо, это важно. это тривиально
12:37
путь, путь, который просто остается прямо в центре шара. Обратите внимание, что ремень, соответствующий
12:43
к тривиальному пути совершенно прямой. Хорошо, теперь давайте снова поговорим о трюке с поясом. Помните, что я сказал правила пояса
12:54
трюк есть. «Что делает это интересным, так это то, что вам не разрешено вращать ни один конец ремня,
13:04
так что вы не можете просто сразу отменить поворот. Тем не менее, вам разрешено перемещать оба конца
13:10
в космосе, если вы не поворачиваете их при этом».
13:18
Что означает, что вы не можете вращать концы ремня? Что ж, давайте посмотрим на этот путь. Обратите внимание, что он начинается и заканчивается в середине.
13:30
Это означает, что оси начинаются и заканчиваются без вращения.
13:42
Но давайте посмотрим, что происходит, когда мы меняем конечную точку пути.
13:50
Обратите внимание, что если путь не заканчивается в том же месте, где он начинается, то окончательная конфигурация
13:55
оси не будут не вращаться. Поэтому наше условие о том, что вы не можете вращать
14:02
конец пояса означает, что наш путь в пространстве вращения должен заканчиваться там же, где и начинается.
14:10
Итак, какова была цель трюка с поясом? «Цель состоит в том, чтобы найти способ избавиться от этого
14:16
скручивание». Помните, что совершенно прямой ремень без скручивания соответствует тривиальному пути. Это означает, что выпрямление ремня соответствует сокращению всего
14:28
путь вниз к точке. Теперь, что касается пути, который у нас есть здесь, это очень легко сделать. Однако,
14:35
давайте посмотрим на ремень с поворотом на 2π. Помните, что это был путь, которым мы не были
14:41
можно отменить в начале. И действительно, как ни старайся, у тебя не получится
14:48
сжать этот путь. Интуитивно это происходит потому, что две точки на границе
14:55
на самом деле один и тот же момент. Но, если бы мы хотели сократить этот путь, мы должны были бы как-то
15:00
поставить эти две точки рядом друг с другом, но мы не можем этого сделать, потому что они всегда должны оставаться противоположными. А как насчет пути с поворотом на 4π?
15:16
Давайте немного разделим две нити этого пути, чтобы мы могли лучше его рассмотреть. Теперь помните, раньше мне удавалось раскрутить этот ремень, так что давайте
15:26
посмотрите, как это выглядит здесь.
15:35
[крутая музыка]
15:52
Я знаю, что это было слишком много, так что давайте рассмотрим это немного медленнее.
16:02
Вот путь, соответствующий повороту на 4π. Здесь я обозначил две пары противоположных
16:09
точки. Например, две точки, обозначенные буквой «А», на самом деле всего лишь два проявления
16:15
та же самая точка. Теперь давайте посмотрим, как можно сократить этот путь.
16:30
Ты это видел? Давайте посмотрим на это снова. Обратите внимание, как сближаются точки «А» и «Б».
16:36
друг друга, что позволяет одной части пути протянуться через границу и прийти
16:42
с другой стороны. Довольно аккуратно, правда? Вот еще один способ понять, как можно сократить этот путь.
16:52
На этот раз я оставил путь прямым, а не изогнутым, и покрасил две разные ветки в разные оттенки серого.
17:05
Посмотрим, как эти пути через пространство вращений действуют на нашего снеговика на разных стадиях сокращения.
17:54
Обратите внимание, что по существу происходит два вращения, которые я обозначил «1» и «2».
18:00
сокращение работает, заставляя оси двигаться от параллельных к антипараллельным, а затем уменьшая
18:06
соответствующие им углы поворота.
18:11
Итак, давайте подытожим часть 2. Каждая конфигурация ремня соответствует пути через
18:18
пространство вращений. Тривиальный путь соответствует идеально прямой ленте. Некоторые пути могут
18:26
быть сокращены до одной точки без необходимости перемещать их начальную точку или их конечную точку.
18:32
Трюк с поясом Дирака — это демонстрация того факта, что путь, соответствующий повороту на 2π, нельзя стянуть до тривиального пути, в то время как путь, соответствующий повороту на 4π
18:43
крутить можно.
Теория групп и фундаментальная группа
18:55
Позвольте мне ввести некоторые обозначения. Это выражение следует читать как g — элемент
19:01
G. То есть строчная буква g является одним из элементов множества, названного в верхнем регистре G. При этом из
19:11
кстати поговорим о группах. Слово «группа» в математике имеет весьма специфическое значение.
19:17
значение. А именно, группа — это множество с операцией. Точнее, четыре
19:24
правила, которым должна удовлетворять эта операция. Первое правило состоит в том, что если g1 и g2 — элементы
19:31
множества G, то g1 плюс g2 также должны быть элементом множества G. Здесь мы обозначаем
19:41
наша операция со знаком «плюс». Мы могли бы использовать ряд других символов, но давайте придерживаться этого.
19:51
Второе правило состоит в том, что в группе должен быть какой-то элемент, который мы называем «id», который
19:56
является сокращением от «тождество», так что для любого другого элемента группы g, g плюс id равно
20:03
равно г. Третье правило заключается в том, что если вы сложите вместе g1 и g2, а затем добавите их к
20:11
g3, результат будет таким же, как если бы вы добавили g1 к сумме g2 и g3. Четвертый
20:20
Правило состоит в том, что для любого элемента g должен существовать какой-то другой элемент, который мы будем называть отрицательным.
20:26
g такой, что g плюс отрицательное g равно единице. Здесь отрицательное g называется
20:35
инверсия g. Эти четыре правила являются точным и строгим определением того, что математики
20:43
позвонить в группу. Теперь это все немного абстрактно, что является примером группы? Одним из примеров является набор
20:54
вращения. Возьмем, к примеру, вращение вокруг оси x на π,
21:02
и вращение вокруг оси y на π.
21:08
Как мы добавим их вместе? Ну а для вращений “плюс” просто означает, что мы делаем первое вращение
21:14
первое и второе вращение второе. Итак, чтобы сложить их вместе, сначала давайте повернем
21:20
вокруг оси x на π, а затем давайте повернемся вокруг оси y на π.
21:28
Теперь обратите внимание, что это финальное вращение точно такое же, как если бы мы просто вращали его вокруг
21:34
ось z на π. Итак, надеюсь, вы видите, как можно сложить два вращения вместе и получить третье.
21:51
Как насчет элемента идентификации? Какое вращение соответствует «id»? ну это будет просто
21:57
тривиальное вращение, вращение, при котором вы ничего не делаете!
22:06
Что насчет инверсий? Как мы «обратим» вращение? Ну, если вращение включает в себя вращение
22:12
вокруг некоторой оси против часовой стрелки,
22:17
то мы можем отменить его, просто повернув по часовой стрелке.
22:23
Таким образом, мы видим, что каждое вращение действительно имеет обратное.
22:29
Итак, это завершает объяснение того, как вращения образуют математическую группу. это хорошо
22:35
возможность для меня говорить о матрицах. Напишем актуальную математическую формулу
22:41
для поворота вокруг оси x на угол θ. Выразим вращение как преобразование
22:48
на вектор положения. Мы также можем записать это как матрицу 3 на 3, действующую на оригинал
22:55
вектор. Чтобы объяснить, что отличает матрицы вращения от любой старой произвольной матрицы, мы должны
23:05
обсудить внутренний продукт. Скажем, у вас есть два трехмерных вектора r1 и r2. Внутренний
23:11
Произведение r1 на r2, которое также может быть записано как r1, умноженное на r2, равно
23:19
сумма произведений их компонентов. Геометрически внутреннее произведение двух векторов равно произведению длин векторов.
23:30
векторов, умноженных на косинус угла между ними. Теперь обратите внимание, что повороты сохраняют
23:36
как длины, так и относительные углы. Это означает, что если вы повернете оба вектора вместе, их
23:42
внутренний продукт не изменится.
23:48
Другими словами, если мы обозначим матрицу вращения прописной буквой R, то
23:54
внутреннее произведение R в верхнем регистре, умноженное на r1, и R в верхнем регистре, умноженное на r2, равно внутреннему
24:01
произведение r1 на r2. Чтобы это уравнение выполнялось при любом выборе векторов положения, мы
24:07
необходимость транспонирования матрицы вращения, умноженной на единичную матрицу.
24:16
Когда у нас есть это условие, мы говорим, что матрица «ортогональна». Итак, мы видим, что матрица
24:22
должен быть ортогонален, если он представляет собой вращение. Теперь мы называем группу всех матриц вращения
24:31
ТАК (3). Здесь «3» просто относится к тому факту, что все матрицы трехмерные, «О»
24:42
означает ортогональный, а «S» означает «особый», что означает, что все матрицы
24:47
имеют определитель 1. Это просто потому, что нам не нужны никакие матрицы, которые переворачивали бы
24:53
ориентация наших осей, и определитель -1, но не будем вдаваться в это. Так отсюда
24:58
на выход, всякий раз, когда я говорю “SO(3)”, помните, что я говорю о группе всех вращений
25:04
трехмерного пространства.
25:09
Одна из приятных особенностей теории групп заключается в том, что определение группы настолько общее, что оно применимо во многих различных ситуациях. Вот еще совсем другое
25:20
пример группы. Во-первых, начнем с выбора любого топологического пространства. Например вот
25:27
двумерный тор, который мы называем «T^2». Обратите внимание, что этот тор полый и не заполнен.
25:33
в. Далее выберем одну произвольную точку на торе, которую назовем «базисной».
25:42
Рассмотрим путь на торе, который начинается и заканчивается в этой базовой точке. Помните, что вы
25:48
можно представить путь как маленькую монорельсовую дорогу, по которой поезд движется в одном направлении.
25:53
Важно отметить, что путь направлен, поэтому, если бы поезд пошел в другом направлении
25:58
мы бы считали это отдельным путем. Более того, мы будем считать любые два пути «одними и теми же».
26:07
если они могут непрерывно деформироваться друг в друга.
26:14
Наконец, мы определяем «π_1 (T ^ 2)», которую мы называем «фундаментальной группой тора», как
26:21
множество всех путей, которые начинаются и заканчиваются в базовой точке. Теперь, несмотря на то, что мы использовали
26:27
явный пример тора, каждое топологическое пространство имеет свою собственную ассоциированную фундаментальную группу.
26:35
Теперь вы можете спросить: «Подождите, как мы можем сложить два пути вместе?» Чтобы ответить на него, давайте
26:43
посмотрите на другое топологическое пространство. Здесь у нас есть 2-мерный диск с двумя отверстиями
26:49
вырезать из него. Теперь выберем произвольную базовую точку, а также два пути p1 и p2.
26:58
Вот наш паровозик идет по первому пути, p1… и вот он идет по кругу
27:03
второй путь, п2. Теперь, чтобы определить путь p1 плюс p2, нам нужно, чтобы поезд двигался по кругу.
27:11
p1, а затем обойти p2. Мы можем непрерывно деформировать этот путь, чтобы лучше рассмотреть его.
27:22
Хорошо, так что же тогда является обратным пути? Хорошо, если здесь у нас есть путь p, где
27:28
поезд движется в одном направлении, тогда отрицательный p – это путь, по которому движется поезд
27:33
вокруг в другом направлении.
27:39
Путь p плюс отрицательный p всегда можно преобразовать в тривиальный путь, который является тождеством
27:45
элемент группы.
27:52
Итак, теперь, когда мы знаем, что такое фундаментальная группа, позвольте задать вам вопрос. Что такое…
27:58
фундаментальная группа… SO(3)? Здесь у нас есть немного «группового восприятия», потому что я
28:06
спрашивая: «Что такое фундаментальная группа группы?» Ну, вот ТАК (3). Помните: это всего лишь наш старый друг, пространство вращений. я
28:18
поместите базовую точку прямо в центр. Теперь вот единственный нетривиальный путь в SO(3),
28:27
соответствующий повороту 2π. Если мы добавим этот путь к самому себе, мы получим поворот 4π,
28:33
который можно связать с тождеством. Следовательно, p плюс p равно id. Мы могли бы также перефразировать это как p равно отрицательному p, что
28:46
это просто потому, что p можно непрерывно деформировать в обратное.
28:57
Следовательно, фундаментальная группа SO (3) состоит только из двух элементов.
29:04
Вот полная таблица того, как вы можете сложить эти два элемента вместе.
29:11
Это полное описание фундаментальной группы SO (3). Теперь, если мы символически заменим
29:19
id с 0 и p с 1, то эта таблица начинает выглядеть немного знакомой.
29:27
В частности, мы можем видеть, что фундаментальная группа SO (3) – это просто целые числа по модулю
29:35
2, также известный как Z мод 2.
29:42
Подумайте обо всей прекрасной математике, выраженной в этом уравнении. Весь Дирак
29:49
трюк с поясом — это всего лишь демонстрация того факта, что фундаментальная группа пространства
29:55
вращения — это Z mod 2. Теперь, если вы позволите мне на мгновение, я хотел бы поговорить о том, что делает математику
30:04
так нетривиально. SO(3) — хороший пример объекта, который вы видите в математике. Ты можешь
30:10
думайте об этом как о группе, И вы можете думать об этом как о топологическом пространстве.
30:16
Следовательно, мы можем изучать его с помощью теории групп или с помощью топологии. Часто в
30:24
В математике вы начинаете с того, что думаете об объекте одним способом, а затем обнаруживаете, что можете думать о нем совершенно по-другому. И, что особенно важно, все различные способы
30:34
думать об объекте, взаимодействующем друг с другом. Таким образом, теория групп имеет значение для
30:40
топологии, а топология имеет значение для теории групп.
30:47
Подведем итоги части 3. Группа — это множество с операцией, удовлетворяющей нескольким
30:55
правил. Набор вращений образует группу. Повороты могут быть выражены с помощью матриц,
31:03
а группа матриц вращения обозначается SO(3). Каждое топологическое пространство имеет группу
31:09
связанный с ним, называемый его «фундаментальной группой», которая представляет собой набор путей, начинающихся
31:14
и заканчиваться в базовой точке. Фундаментальная группа SO (3) – это z mod 2.
Квантовый спин и SU(2)
31:34
Наконец пришло время обсудить спин в квантовой механике. Вы, наверное, привыкли думать
31:39
векторов с компонентами x y и z. Обычно мы бы сказали, что векторы являются элементами
31:46
установите R^3, потому что они состоят из трех действительных чисел. Однако квантовые векторы спина
31:52
немного отличаются. Вместо этого они состоят из двух комплексных чисел, где здесь α и
31:57
β — комплексные числа, поэтому мы говорим, что они являются элементами множества C^2. Помнить
32:04
что комплексное число можно записать как плюс bi, где a — действительная часть, а b —
32:10
мнимая часть. Ee также может записать это как r, умноженное на e ^ (iθ), используя формулу Эйлера для выражения
32:17
это с точки зрения величины r и угла θ. Еще раз о комплексных числах
32:23
заключается в том, что они могут быть «сопряжены», так, например, сопряжение α будет минус bi. Окончательно,
32:33
квадрат абсолютного значения комплексного числа – это просто число, умноженное на его сопряженное число, что
32:38
равно a в квадрате плюс b в квадрате, также известном как r в квадрате.
32:44
Чему соответствуют эти комплексные числа в физическом мире? Ну скажи, что у тебя было
32:50
электрон, вектор спина которого имеет компоненты α и β. Если вы измерите направление
32:57
спина электрона вдоль оси z, то вероятность того, что вы обнаружите, что это спин
33:02
up будет абсолютным значением α в квадрате. При этом вероятность того, что вы его найдете
33:08
вращение вниз будет абсолютным значением β в квадрате. Так, например, государство
33:15
с компонентами (1,0) будет измерено как вращение вверх в 100% случаев, в то время как состояние
33:21
с компонентами (0,1) будет измеряться как замедление вращения в 100% случаев.
33:32
Обратите внимание, что поскольку все вероятности в сумме должны равняться 1, абсолютное значение квадрата α
33:37
плюс абсолютное значение квадрата β должно быть равно 1.
33:42
Теперь, как мы обсуждали ранее, векторы в R^3 имеют внутренний продукт, где вы берете
33:49
транспонировать один вектор и умножить его на другой. Однако векторы квантового спина
33:56
есть внутренний продукт, где вы берете сопряженное транспонирование одного вектора, а затем умножаете его на другой.
34:05
Просто для ясности, чтобы взять сопряженное транспонирование вектора спина, вы просто комплексуете
34:10
сопряжение компонентов и превратить вектор-столбец в вектор-строку.
34:16
Теперь вы можете использовать этот внутренний продукт, чтобы извлечь компоненты этих векторов вращения.
34:22
Например, скалярное произведение (1,0) на (α,β) равно α. Точно так же внутренний продукт
34:30
(0,1) с (α,β) есть просто β. Следовательно, вероятность измерить электрон до
34:40
вращаться вверх относительно оси z – это абсолютное значение, возведенное в квадрат внутреннего произведения
34:45
состояния со спином вверх с (α,β). Аналогично, вероятность вращения вниз относительно
34:52
по оси z – абсолютное значение квадрата внутреннего произведения состояния со вращением вниз
34:58
с (α,β). Теперь в оси Z нет ничего принципиально особенного. Здесь я напишу спин
35:08
верхние и нижние состояния относительно оси x и оси y. Таким образом, вероятность
35:16
состояние, которое должно быть измерено, скажем, при измерении спина вниз по оси Y, будет абсолютным значением, возведенным в квадрат
35:22
внутреннего продукта состояния y со спином вниз с (α, β), и аналогичным образом вы бы имели
35:28
то же самое, скажем, вращаться вдоль оси x или что у вас есть.
35:37
Таким образом, в то время как внутреннее произведение векторов положения используется для нахождения длин и углов, внутреннее произведение
35:42
произведение наших сложных двумерных векторов вращения используется для нахождения вероятностей
35:47
измерений. Теперь мы также можем использовать внутренний продукт для повторного выражения другого уравнения, которое мы видели.
35:57
Помните, что условие, что сумма вероятностей должна равняться 1, подразумевает, что абсолютное значение
36:03
α в квадрате плюс абсолютное значение β в квадрате должно быть равно 1. Это эквивалентно
36:08
к утверждению, что внутренний продукт вектора спина с самим собой должен быть равен 1. Когда
36:14
у нас есть это условие, мы говорим, что наш вектор вращения «правильно нормализован» или что у нас есть «физическое состояние».
36:26
Теперь поговорим о ротациях. Как мы обсуждали ранее, повороты действуют на векторы как 3 посредством
36:32
3 матрицы. Однако для того, чтобы повернуть вектор вращения, нам придется вместо этого использовать 2 на
36:38
2 матрица со сложными элементами. Мы обозначим эту матрицу буквой U. Помните, что
36:45
наша матрица вращения должна удовлетворять условию, согласно которому транспонирование матрицы, умноженной на саму матрицу, должно быть равно единице. Что такое аналогичное условие
36:55
которым должна удовлетворять эта новая матрица U? Во-первых, вращение вектора спина не должно изменять его внутренний продукт с самим собой,
37:07
потому что если это начинается как 1, то оно должно оставаться 1 после поворота. Для того чтобы
37:13
для этого мы должны иметь, что сопряженное преобразование U, умноженное на U, равно тождеству
37:20
матрица. Когда у нас есть это условие, мы говорим, что U — унитарная матрица.
37:28
Теперь, помимо унитарности, есть еще одно слегка техническое условие, которое мы
37:35
необходимо поставить на U. Прежде всего заметим, что векторы спина с компонентами (α,β) и
37:42
(e^(iθ) α, e^(iθ) β) не имеют наблюдаемых различий. Так, например, при расчете
37:51
вероятность того, что второе состояние имеет спин вверх по оси z, e^(iθ) не делает
37:57
разница в окончательном ответе, потому что вы просто берете абсолютное значение в квадрате этого внутреннего продукта. Физики склонны называть этот множитель e^(iθ) «фазой». В любом случае,
38:10
это означает, что матрица U и e ^ (iθ), умноженное на U, соответствуют одному и тому же преобразованию.
38:18
Следовательно, чтобы избавиться от этой избыточности, мы можем выбрать для определителя U значение
38:23
быть равным 1. Наконец, мы обозначаем множество всех таких матриц U, которые удовлетворяют этим условиям
38:31
как “SU(2)”. «2» означает, что матрицы двумерные, «U» — двумерные.
38:38
к тому факту, что они унитарные, а «s» означает «особые», что означает, что определитель матриц равен 1.
38:50
Итак, чтобы подвести итог части 4, квантовые спиновые состояния являются векторами в C^2. Внутренний продукт спина
38:57
векторов включает в себя сопряженное транспонирование одного вектора и умножение его на второй
39:03
один. Существуют состояния, которые всегда имеют спин вверх или вниз при измерении относительно
39:08
определенным направлениям в пространстве. Вероятность того, что состояние будет раскручиваться в каком-то направлении
39:14
будет абсолютным значением квадрата его внутреннего произведения с вектором вращения вверх. В
39:19
чтобы повернуть спиновое состояние, вы должны воздействовать на него матрицей U в SU (2).
SU(2) как двойное покрытие SO(3)
39:33
Ранее мы познакомились с SO(3) как с топологическим пространством. Итак, что насчет SU(2)?
39:45
Хорошо, сначала давайте напишем матрицу 2 на 2 U и назовем ее четыре элемента a, b, c и d.
39:54
Теперь помните, что U сопряженное транспонирование, умноженное на U, должно быть равно единичной матрице. Этот
40:01
эквивалентно утверждению, что U сопряженное транспонирование должно быть равно U обратному. Если мы выпишем
40:07
это уравнение явно и использовать тот факт, что определитель U равен 1
40:17
затем, немного посмотрев на это, мы понимаем, что d должно быть равно сопряженному элементу a
40:22
и c должно быть равно минус сопряженному b. Подставляя эти уравнения обратно, мы
40:29
см., что у вас должны быть записи b, -b конъюгата и конъюгата. Теперь обратите внимание, что
40:37
определитель этой матрицы равен абсолютному значению квадрата a плюс абсолютное значение b в квадрате. Если мы напишем a = X + iY и b = X плюс iW, то условие, что
40:52
эта матрица имеет определитель один становится X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2 = 1. Так что это все только для того, чтобы сказать, что полностью
41:03
общая матрица SU (2) может быть задана четырьмя действительными числами, X, Y, Z и W, такими, что X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 + W ^ 2 = 1.
41:12
z это уравнение для чего-то, называемого 3-сферой, которую мы обозначаем «S ^ 3».
41:27
Как мы изображаем эту 3-сферу? Возможно, вы знакомы с 2-сферой, которая
41:33
задается уравнением X^2+Y^2+Z^2=1. Двойная сфера полая, как пляж
41:41
шар, может быть встроен в трехмерное пространство, что позволяет нам легко визуализировать его. Трехмерная сфера, с другой стороны, встроена в четырехмерное пространство, что делает ее намного
41:53
представить сложнее. Однако кое-что мы можем сделать. Давайте снова посмотрим на 2-сферу
42:00
можно разделить его на две половины по экватору. Затем вы можете вырезать сферу сплющить
42:06
из частей и получить два диска. Эти диски можно рассматривать как множество точек с
42:13
X^2 + Y^2 ≤ 1 в плоскости 2d. В любом случае, будем называть эти диски «листами».
42:25
Вот вид сбоку на сферу и два ее листа. Мы можем видеть, как это выглядит
42:33
для точки, чтобы двигаться по сфере с точки зрения листов.
42:41
Обратите внимание, что когда точка попадает на границу одного листа, она появляется на другом листе.
42:49
Таким образом, мы видим, что 2-сфера эквивалентна двум различным дискам, склеенным вдоль
42:58
их граница. Теперь мы можем вернуться к 3-сфере по прямой аналогии. Трехмерную сферу можно изобразить как две
43:09
сплошные шары, склеенные по границе. Если точка попадает на границу
43:16
одного шара он всплывет на другой один раз. Мы снова будем называть каждый шар «листом».
43:25
Итак, как эта 3-сфера связана с SO(3)? Что ж, чтобы обсудить это, мне нужно представить
43:32
понятие покрывающего пространства. Здесь у меня есть пример покрытия пространства и базы
43:41
космос. В этом примере базовое пространство представляет собой просто круг, а покрывающее пространство также
43:48
круг, но он был как бы удвоен сам по себе. Каждая точка накрывающего пространства
43:54
можно спроецировать в точку базового пространства. В этом примере карта проекции
44:01
является функцией 2-к-1. Но вместо этого, что, если мы хотим взять точку в базовом пространстве и «поднять» ее в точку
44:11
в пространстве покрытия? Что ж, теперь у нас есть ДВА возможных варианта ответа на вопрос, который мы могли бы
44:17
поднимите его к. Теперь давайте просто выберем нижнюю точку. Посмотрим, что произойдет, если мы переместим
44:25
укажите в базовом пространстве по кругу, а затем верните его в исходное положение.
44:33
Интересный. Так что, несмотря на то, что мы изначально решили поднять выбор на дно, когда
44:40
мы двигались по петле, мы были вынуждены остановиться на верхнем выборе. Поэтому, когда мы пытаемся поднять пути из базового пространства в покрывающее пространство, иногда
44:53
начальная точка и конечная точка пути не будут одинаковыми в покрывающем пространстве даже
44:58
хотя они были одинаковыми в базовом пространстве. Теперь мы, наконец, можем описать связь между SU(2) и SO(3). SU(2) — покрытие
45:12
пространство SO (3)! Как и в нашем примере, это покрытие два к одному, которое мы называем двойным
45:20
крышка. Просто для ознакомления, давайте посмотрим, что происходит, когда мы перемещаемся вокруг точки в базовом пространстве.
45:44
Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда мы пытаемся поднять путь, соответствующий повороту 2π.
45:53
Обратите внимание, что в накрывающем пространстве SU(2) начальная точка пути отличается от
45:58
конечная точка пути.
46:10
Интересно, что вы могли бы использовать этот факт, чтобы строго доказать, что поворот 2π несжимаем.
46:16
в SO (3). Доказательство следует от противного. Если бы вы могли сократить путь в SO (3) до
46:23
тривиальный путь, то вы также можете непрерывно поднимать «фильм» сокращения до
46:30
охватывая пространство. Это также приведет к сокращению поднятого пути. Однако,
46:37
потому что начальная точка в покрывающем пространстве отличается от конечной точки в покрывающем пространстве, и потому что начальная и конечная точки всегда остаются «привязанными» друг к другу.
46:46
позиций во время этого фильма, то ясно, что мы не можем сжать путь в покрывающем пространстве, поэтому путь в базовом пространстве также должен быть несжимаемым, что
46:56
именно то, что мы хотели доказать. На самом деле, это доказательство — лишь один из аспектов более общего явления, где
47:08
пути в базовом пространстве поднимаются до путей, которые начинаются и заканчиваются в разных точках покрытия
47:13
космос.
47:19
Чтобы закончить эту часть видео, позвольте мне показать вам, как можно свернуть 4π,
47:25
просто для прикола.
47:42
Подведем итоги части 5. SU(2) равно S^3 как топологическое пространство. Ты
47:51
можно представить S^3 как два шара, склеенных по их границам, о которых вы также можете подумать
47:56
как экватор. SU(2) является двойным покрытием SO(3). Если поднять путь, соответствующий
48:05
к повороту 2π в SO (3) к SU (2), то начальная точка и конечная точка пути будут
48:11
не быть одинаковым. Этот факт можно использовать для доказательства того, что поворот 2π несжимаем.
48:18
в SO (3).
Объединяя все это
48:32
В начале этого видео я сказал, что вращение электрона на 360 градусов приводит к отрицательному
48:39
версию своего первоначального состояния. Давайте теперь синтезируем всю математику, которую мы изучили, чтобы понять
48:46
как это утверждение на самом деле имеет смысл. Группа, действующая на спиновые векторы C^2, называется SU(2).
48:52
Следовательно, чтобы повернуть электрон, мы должны поднять путь из SO(3) в SU(2). СУ(2) есть
49:03
двойное покрытие SO(3), а поворот 2π заканчивается на другом элементе SU(2), чем
49:09
Началось. Более конкретно, если мы начнем поднятый путь с единичной матрицы
49:19
тогда это закончится отрицательной единичной матрицей.
49:26
Однако поворот 4π заканчивается там, где он начинается в SU (2).
49:36
Следовательно, поворот электрона на 2π отрицает вектор его спина, а поворот на 4π возвращает
49:46
его в исходное состояние. Так что это завершает объяснение. Просто чтобы записать некоторые явные
49:54
уравнений, позвольте мне объяснить, как найти матрицу вращения SO (3), соответствующую матрице
50:00
в СУ (2). Начните с того, что возьмите вектор положения r, равный (x, y, z), и преобразуйте его в следующее
50:07
Матрица два на два r ставит точки над матрицами Паули, что всего в x раз превышает первую матрицу Паули.
50:13
плюс y, умноженный на вторую матрицу Паули, плюс z, умноженный на третью матрицу Паули. Это на самом деле
50:19
наиболее общая форма бесследовой самосопряженной матрицы 2 на 2. Кроме того, определитель
50:25
этой матрицы равно x^2+y^2+z^2, что равно квадрату длины r. Если мы умножим
50:32
эта матрица на U слева и сопряженная транспонированная U справа общая матрица
50:39
по-прежнему будет бесследным и самосопряженным. При этом его определитель не изменится.
50:45
Следовательно, мы можем записать эту новую матрицу как новый вектор положения, который мы называем r простым числом.
50:51
с точками матриц Паули. Поскольку r и r prime должны иметь одинаковую длину, r prime
50:57
должна быть просто повернутой версией r, поэтому прописная матрица вращения r — это что угодно
51:05
матрица три на три удовлетворяет уравнению r простое число равно прописной букве R умноженное на r, это
51:12
как вы конвертируете матрицу SU (2) u в матрицу SO (3) R.
51:19
Теперь обратите внимание, что U и отрицательное -U соответствуют одному и тому же повороту.
51:27
Вот как мы можем видеть, что SU(2) действительно является двойным покрытием SO(3).
51:34
Наконец, я должен просто упомянуть, что есть эта действительно полезная явная формула для матрицы SU (2) U, соответствующая повороту с заданной осью n и углом поворота.
51:45
θ. А именно, U равно cos(θ/2), умноженному на единичную матрицу, плюс sin(θ/2) по удвоенному отрицательному значению.
51:56
В этой точке матрицы Паули замечают, что если мы подставим θ равно 2π, то U равно
52:04
отрицательная единичная матрица, означающая, что вращение на 2π отрицает вектор спина
52:10
электрон. Мы также можем написать это, используя возведение матрицы в степень, но не будем вдаваться в подробности.
52:15
Вау, рад, что получил всю грудь!
Связывание свободных концов
52:26
Теперь, есть несколько вещей, о которых вы, вероятно, задаетесь вопросом. Во-первых, как вы на самом деле
52:35
вращать электрон? Ясно, что вы не можете просто взять его и повернуть, как теннисный мяч.
52:41
мяч. Есть два способа ответить на этот вопрос. Во-первых, вы можете думать о вращении
52:48
в результате смены системы отсчета. Например, скажем, у вас есть электрон, поставьте
52:55
его на стол, и поставить этот стол в комнате. Если затем обойти электрон и
53:03
непрерывно описывать его квантовое спиновое состояние, используя вашу собственную систему отсчета…
53:17
затем, когда вы закончите ходить вокруг него на 2π радиан, состояние электрона будет отрицательным. Все это хорошо, но есть и более конкретный способ вращения.
53:28
электрон. Видите ли, спин электрона создаст вектор углового момента, который указывает
53:34
в каком-то направлении. Если вы затем поместите этот электрон во внешнее магнитное поле, он
53:40
заставить вектор углового момента вращаться вокруг вектора магнитного поля в процессе
53:46
известная как «прецессия Лармора». Поэтому вы можете использовать магнитные поля для вращения электронов.
53:53
Вот еще кое-что, что может вас заинтересовать: можем ли мы каким-то образом экспериментально обнаружить знак минус, возникающий при вращении на 2π? Удивительно, но ответ: да! Вот как.
54:06
Сначала возьмите свой электрон, а затем поместите его в квантовую суперпозицию в двух разных точках.
54:11
места. Затем поместите один из них в магнитное поле, вращая его на 2π радиан, вызывая
54:19
знак минус. Наконец рекомбинировать электроны. В конце концов, вы обнаружите интерференционные эффекты
54:27
исходя из знака минус. Именно это уже было сделано с нейтронами.
54:33
Посмотрите “нейтронная интерферометрия” для более подробной информации. Итак, когда я сказал, что
54:40
общая фаза не имеет заметных последствий, я был немного неточен. Вы МОЖЕТЕ обнаружить
54:46
общие фазы в квантовой механике, но только если вы делаете суперпозиции и создаете интерференцию
54:51
эксперименты. Вот еще о чем я хотел вам рассказать: о Реальном Проективном Пространстве.
54:59
Если вы возьмете 2-сферу и определите противоположные точки как одну и ту же точку, вы создадите топологическую
55:05
пространство, известное как RP^2, или двумерное реальное проективное пространство.
55:13
Повторим еще раз: каждая ПАРА противоположных точек на двумерной сфере — это всего лишь ОДНА точка в RP^2.
55:22
Мы можем записать это на языке отношений эквивалентности, сказав, что RP^2 есть S^2 по модулю
55:29
отношение эквивалентности, согласно которому точка (X,Y,Z) совпадает с (-X,-Y,-Z). Сейчас эта конструкция
55:39
непосредственно распространяется на 3-сферу. Итак, RP^3 — это просто S^3 по модулю отношения эквивалентности
55:46
что противоположные точки на 3-сфере отождествляются друг с другом. Актуальность
55:53
это имеет для нас то, что топологически SO(3) есть RP^3. Это идет рука об руку с SU (2)
56:02
является S ^ 3 и дает нам еще один способ понять, как SU (2) является двойным покрытием SO (3)
56:12
Что касается темы покрытия пространства, позвольте мне указать, что хотя фундаментальная группа SO(3) — это Z mod 2, фундаментальная группа SU(2) — это тривиальная группа, группа
56:22
только с одним элементом, потому что все пути могут быть сокращены на 3-сфере. Примечание
56:28
что фундаментальная группа SO (3) тогда имеет вдвое больше элементов, чем фундаментальная
56:33
группа СУ(2). Этот факт тесно связан с тем, что SU(2) является ДВОЙНЫМ покрытием
56:40
SO(3), а не, скажем, тройное покрытие. Если вас это заинтриговало, вам, вероятно, следует пойти
56:45
изучите некоторую алгебраическую топологию. Еще одна вещь, которую я хотел упомянуть, — это расслоение Хопфа. …Хорошо, я упомянул об этом.
57:28
Древние философы: Евклид, Платон и др. знали, что сущностью Вселенной является
57:34
на основе математики. Но они не знали, на каких математических объектах она основана. Вместо, скажем, платонического
57:44
тела или треугольники, настоящими строительными блоками Вселенной являются такие вещи, как группы, вектор
57:50
пробелы… вы знаете такие вещи.
57:57
Получается, что природа гораздо более тонкая и творческая, чем мы, люди, потому что не только
58:02
сделала она эти причудливые объекты, вращающиеся на 1/2, она сделала из них целую вселенную.
58:08
Но, как ни странно, даже природа не вольна делать все, что ей вздумается. Она стеснена,
58:17
и ограничен очень строго законами математики. Этот несокращаемый путь
58:24
в SO(3) просто ТАМ, несмотря ни на что. Итак, хотя природа могла изобрести частицу со спином 1/2,
58:32
она никогда не смогла бы изобрести, скажем, частицу со спином 1/3, потому что фундаментальная группа SO(3) — это
58:38
Z mod 2, а не Z mod 3. Таким образом, хотя природа творческая, это творчество может существовать только внутри
58:46
какие-то очень жесткие и, может быть, даже тавтологические границы. Итак, когда мы изучаем физику и математику
58:53
сегодня мы все еще в конце концов получаем то же самое древнее платоновское чувство, хотя и с жутким
58:59
современный поворот. Спасибо за просмотр.