Это история о математичке, владеющей бесконечно острым ножом и совершенным шаром. Она разрезает шар на бесконечное количество частей и снова объединяет их в пять секций. Удивительным образом, она создает две идентичные копии исходного шара. Это феномен известен как парадокс Банаха-Тарского. В то время как логика и доказательства безупречны, противоречие возникает между математикой и нашим представлением о реальности, подчеркивая глубокие и красивые истины о сущности математики.
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:07
рассмотрим этого математика с её
0:09
стандартным бесконечно острым ножом и
0:11
идеальным шаром она беспрестанно
0:13
нарезает и распределяет шар на
0:15
бесконечное количество ящиков затем она
0:18
снова объединяет части в пять точно
0:20
отмеренных секций осторожно перемещая и
0:23
вращая эти секции Казалось бы невозможно
0:25
но она снова объединяет их чтобы
0:27
получить две идентичные безупречные и
0:30
полные копии исходного шара это
0:32
результат известный в математике как
0:34
парадокс банаха Тарского Парадокс здесь
0:38
не только в логике или доказательстве
0:39
которые как и шары безупречны но в
0:42
напряжении между математикой и нашим
0:44
собственным опытом реальности и именно в
0:46
этом напряжении скрываются некоторые
0:48
красивые фундаментальные истины что на
0:51
самом деле представляет из себя
0:53
математика мы вернёмся к этому через
0:55
мгновение но сначала нам нужно
0:57
исследовать основу каждой математической
0:59
системы
1:00
аксиомы каждая математическая система
1:03
строится и развивается с помощью логики
1:05
для достижения новых выводов Но логика
1:08
не может быть применена в пустоте мы
1:10
должны начать с некоторых базовых
1:12
утверждений называемых аксиомами которые
1:15
мы объявляем истинными и Делаем выводы
1:17
оттуда часто они соответствуют нашей
1:20
интуиции о том как работает Мир например
1:23
аксиома о том что добавление нуля К
1:26
числу не имеет эффекта если цель
1:28
математики построить дом аксиомы
1:30
формируют его основу первое как положено
1:33
это то что поддерживает всё остальное
1:35
Но то что становится действительно
1:37
интересным это то что проложив немного
1:39
другой путь можно получить совершенно
1:41
другую но также надёжную структуру
1:44
например когда Клит заложил основы
1:46
геометрии одна из аксиом подразумевала
1:49
что учитывая линию и точку вне линии
1:51
существует только одна Параллельная
1:53
линия проходящая через эту точку но
1:56
позднее математики желая узнать Возможна
1:58
ли геометрия без это аксиомы создали
2:01
сферическую и гиперболической геометрию
2:04
каждая из них действительна и логически
2:06
обоснована и полезна в различных
2:08
контекстах одной из аксиом
2:10
распространённых в современной
2:11
математике является аксиома выбора Она
2:14
обычно вступает в игру в доказательствах
2:17
требующих выбора элементов из множеств
2:19
которые мы грубо упрости до шаров в
2:21
коробках для того чтобы наши выборы были
2:24
допустимыми они должны быть
2:25
последовательными Что означает если мы
2:27
подходим к коробке и выбираем шар затем
2:30
возвращаемся во времени и выбираем снова
2:32
мы бы знали как найти тот же самый шар
2:35
если у нас конечное количество коробок
2:37
это легко даже когда есть бесконечное
2:39
количество коробок и каждое содержит шар
2:42
который нельзя отличить от других это
2:44
просто проблема возникает когда есть
2:46
бесконечное количество коробок с
2:48
неразличимы шарами но в этих сценариях
2:51
аксиома выбора позволяет нам вызывать
2:53
таинственное
2:55
всезнающие всегда будет выбирать те же
2:57
шары без того что нам приходит
3:00
зна о том как делаются эти выборы наша
3:03
меткая математичка следуя доказательству
3:05
банаха Тарского достигает этапа в
3:08
конструкции пяти секций где у неё
3:10
бесконечное количество коробок
3:11
заполненных неразличимы частями Поэтому
3:14
ей нужна аксиома выбора чтобы сделать их
3:17
конструкцию возможной если аксиома
3:20
выбора может привести к такому
3:21
контринсулярные
3:26
математики говорят что нет Потому что
3:28
она не в себе так много ответов важных в
3:31
математике области такие как теория меры
3:34
и функциональный анализ которые являются
3:36
важными для статистики И физики
3:38
построенной На аксиоме выбора Хотя Она
3:40
приводит к некоторым непрактично
3:41
результатам она также приводит к другим
3:44
чрезвычайно полезным к счастью так же
3:47
как существует евклидова геометрия
3:49
Наряду с гиперболической геометрией
3:51
математика с аксиомой выбора существует
3:53
с математикой без неё вопрос для многих
3:56
математиков не в том правильна ли
3:58
аксиома выбора или скажем любая другая
4:00
аксиома или нет а в том Подходит ли она
4:03
для того что вы пытаетесь сделать судьба
4:06
парадокса банаха Тарского зависит от
4:08
этого выбора вот в чём Свобода которую
4:11
даёт нам Математика это не столько
4:14
способ моделировать наш физический мир
4:16
используя аксиомы которые мы интуитивно
4:18
понимаем из нашего повседневного опыта
4:21
Но это способ погрузиться в абстрактные
4:23
математические вселенные и исследовать
4:26
тёмные геометрии и законы не похожие ни
4:29
на что что мы когда-то могли испытывать
4:32
если мы когда-нибудь встретим пришельца
4:34
аксиомы которые покажутся нам абсурдными
4:36
и непостижимые могут быть повседневным
4:38
здравым смыслом для них чтобы
4:40
исследовать это мы могли бы начать с
4:42
того чтобы вручить им бесконечно острый
4:45
нож идеальный шар и посмотреть что же
4:47
они
4:48
[музыка]
4:51
сделают перевёл ревен
4:54
[музыка]