Давид Гильберт — последний на свете математик-универсал. Благодаря уникальному способу саморазвития он стал математиком №1 в мире. А знаменитые проблемы Гильберта, сформулированные на рубеже XIX и XX веков, на долгие годы определили развитие царицы наук.
Этот фильм о красоте математики и о выдающемся человеке. Эпоха золотого века Гёттингена и немецкой науки; период, когда парадоксы теории множеств и вопросы аксиоматики поставили именитых ученых в тупик. На Международном конгрессе 1900 года Давид Гильберт становится связующим звеном для специалистов всех областей математики. Какие проблемы он сформулировал в своем знаменитом докладе и решены ли они сейчас?
Расшифровка видео
С чего все началось
0:00
В августе 1900-го года в Париже проходит международный
0:04
математический конгресс. К своему выступлению Давид
0:07
Гильберт готовится особенно тщательно. Его доклад кардинальным
0:10
образом повлияет на развитие всей математики XX века.
0:14
Он сформулирует 23 задачи. Человек, решивший любую
0:17
из них в дальнейшем, навсегда попадет в историю науки.
0:21
Откуда такое доверие математического сообщества к одному единственному
0:25
мнению? К утру 8 августа подготовленная
0:27
речь уже успела частично распространиться на французском
0:30
языке. Но, взойдя в тот день на трибуну, Гильберт начал
0:33
говорить медленно и отчетливо. Несмотря на непритязательный
0:37
вид докладчика, вокруг него создавалась поразительная
0:40
атмосфера энергии и интеллекта. Кроме математических проблем,
0:44
особенно выделяются следующие слова. «Ожидает ли математику
0:47
когда-нибудь то же, что с другими науками происходит
0:50
с давних пор, не распадется ли она на отдельные частные
0:53
науки, представители которых будут едва понимать друг
0:56
друга и связь между которыми будет становиться все меньше.
1:00
Я не верю в это и не хочу этого. Математическая наука,
1:03
на мой взгляд, представляет собой неделимое целое,
1:06
организм, жизнеспособность которого обуславливается
1:09
связностью его частей». Сейчас 2021 год. Специалист
1:14
по комбинаторике едва ли поймет современные проблемы
1:17
топологии. Статистика, дифференциальная геометрия,
1:20
теория гомологий — все это отдельные острова в
1:22
огромном архипелаге математики. Начиная с 1912 года и до конца
1:27
своих дней Давид Гильберт будет единственным человеком
1:31
на Земле, который разбирался во всех областях математики
1:34
того времени. Он умел видеть мельчайшие связи внутри
1:37
науки. Его невероятный интерес к новым направлениям
1:40
и открытиям, уникальный способ саморазвития сделали
1:43
его настоящим универсальным математиком.
Школьные годы
1:51
Давид гильберт родился в 1862 году. Известно, что
1:55
в школу он пошел только в восемь лет, скорее всего
1:57
свои первые уроки он получил дома от матери. Упоминаний
2:01
о том, что в это время на кого-нибудь произвели впечатление
2:03
способности Гильберта, нет совсем. Позже он вспоминал
2:07
себя как туповатого в юности. После подготовительных
2:10
классов Давид учился в лучшей гимназии города,
2:12
но изучая в первую очередь греческий и латинский языки.
2:16
Считалось, что они вместе с античной литературой
2:18
сделают ученика искусным во всех умственных занятиях.
2:21
Поэзия пробудит в нем эстетическое чувство и разовьет его
2:24
вкус; изучение исторических и философских текстов расширит
2:28
кругозор. Математика же больше всего ценилась как
2:31
средство укрепления силы ума. Однако в гимназии,
2:34
где учился Гильберт, ее преподавание было слабым,
2:37
а естественным наукам не учили вообще.
2:39
У Давида были очень плохие способности к заучиванию
2:42
наизусть, а заниматься приходилось только этим.
2:45
Не особенно быстро он усваивал и новый материал. Казалось,
2:48
он никогда не мог понять то, что предварительно
2:50
не проработал в собственной голове. Несмотря на все
2:53
эти сложности, он был трудолюбивым и никогда не отставал от
2:56
своих школьных товарищей. Позже его родственница
2:59
вспоминала: «Все, что я знаю о дяде Давиде, — это
3:02
то, что все в семье его считали немного не в себе. Школьные
3:05
сочинения писала за него мать. В то же время он мог
3:08
объяснить учителям математические задачи. Никто из родных
3:11
его толком не понимал». Сам Гильберт вспоминал,
3:14
что впервые почувствовал тягу к математике, потому
3:17
что она была легкой, не требующей запоминания.
3:20
Он всегда мог восстановить все в памяти сам. Однако
3:22
до получения диплома гимназии он не мог поступить в университет
3:26
и заняться любимым делом. Те дни у него приятных воспоминаний
3:29
не вызывали. Стоит отметить, что детство
3:32
Гильберта, как и большинства подростков Кенигсберга
3:35
прошло в атмосфере преклонения перед Кантом. И в дальнейшие
3:38
годы интерес к философии не угасал. На мой взгляд,
3:41
это отчасти повлияло на характер математических
3:44
вопросов, которыми он задавался. В летние каникулы семья
3:47
Гильбертов выезжала в Раушен: тогда это был отнюдь не
3:50
курорт, а обычная рыбацкая деревушка. Последний учебный
3:53
год выдался приятным: Давид перешел в Вильгельм-гимназию,
3:56
и там наконец-то учителя оценили и начали поощрять
3:59
его оригинальную личность. Позже он часто вспоминал
4:03
их с признательностью. Почти по всем предметам
4:05
(немецкий, латинский, греческий, теология, физика) была оценка
4:10
«хорошо», а по математике стояла высшая отметка.
4:13
Сохранился документ с характеристикой будущего ученого, в нем
4:17
говорится: «Что касается математики, то здесь он
4:20
(Давид Гильберт) всегда проявлял живой интерес
4:22
и глубокое понимание: он лучшим образом овладел
4:25
всем материалом, проходившимся в школе, и научился применять
4:28
его с уверенностью и изобретательностью». Именно так впервые упоминается
4:33
о Гильберте-математике.
Знаменитый список задач Гильберта
4:39
Но вернемся к международному конгрессу. Какие задачи
4:42
сформулировал Гильберт? Все ли они решены и актуальны
4:45
ли они сейчас? По какому принципу он их выбирал?
4:48
Начнем с последнего вопроса. «Математическая проблема,
4:52
— утверждал Гильберт, — должна быть достаточно трудной,
4:54
чтобы нас привлекать, но в то же время не совсем
4:57
недоступной, чтобы не сделать наши усилия напрасными».
5:00
Проблему можно считать совершенной, только если
5:02
ее можно изложить предельно ясно первому встречному.
5:05
Гильберт стремился выбирать задачи, решение которых
5:08
открывало бы новые горизонты. И первой в списке шла континуум-гипотеза.
5:13
Мы уже обсуждали, почему множества натуральных
5:16
и целых чисел равномощны: такие множества называются
5:19
счетными. А вот множество действительных чисел — это
5:22
бесконечность совершенно другого рода, его элементы
5:25
невозможно занумеровать натуральным рядом. Мощность
5:28
такого множества равна континууму. Континуум-гипотеза
5:31
утверждает, что не существует никаких множеств промежуточной
5:36
мощности: либо счетные, либо континуум, третьего
5:39
не дано. Этой проблемой занимались многие великие
5:42
умы. Чего уж там, сам Георг Кантор, неоднократно заявлял,
5:46
что нашел решение, но… всякий раз вслед за этим
5:48
обнаруживалась ошибка. Проблема все-таки была
5:51
решена в 1963 году, причем совершенно удивительным
5:55
образом — об этом будет сказано отдельно.
5:58
Седьмую проблему Гильберта поймет любой желающий.
6:01
Надо только разобраться в том, что такое алгебраические
6:04
числа. Это числа, которые могут быть корнями многочлена
6:08
с целыми коэффициентами. Смотрите на уравнения.
6:11
Числа 1 и 2, являются алгебраическими. 0, -100, 1/7 то же. Вообще, какое
6:17
рациональное число ни возьми, оно обязательно окажется
6:21
алгебраическим, но ими дело не ограничивается.
6:24
Вот квадратное уравнение с целыми коэффициентами,
6:27
значит, его решения, ±√2, являются алгебраическими.
6:31
Ну что, разобрались? Если да, черкните в комментариях,
6:36
является ли вот такое число алгебраическим.
6:37
Ну а теперь к условию задачи столетия! Является ли число
6:42
2^√2 алгебраическим? Попутно приводилось и более общая
6:47
формулировка. Почему эта проблема была столь важной?
6:50
Попробую объяснить, но сначала ответьте на вопрос.
6:53
Вот если вы 1000 раз кинете дротик в координатную плоскость,
6:58
затем выпишете 2000 полученных координат, то сколько из
7:01
них в среднем окажутся алгебраическими? Подумайте
7:04
на паузе минуту другую, это важный момент. Правильный
7:08
ответ: ноль, ни одного. Нет никаких шансов, что вы попадете
7:12
в алгебраическое число. Говоря упрощенно, почти
7:15
все действительные числа являются неалгебраическими,
7:18
то есть трансцендентными. Но где они, почему мы их
7:21
не видим? Только в 1844 году нашелся
7:25
первый пример трансцендентного числа. Его построил Жозеф
7:29
Луивилль. 40 лет спустя Линдеманом и Вейерштрассом были доказаны
7:33
серьезные утверждения, из которых наконец-таки
7:36
последовала трансцендентность чисел e и π. Именно в этот
7:40
период под руководством Линдемана Гильберт пишет
7:43
диссертацию. А в 1892 году и сам будет работать над
7:47
трансцендентностью известных констант и сделает значительный
7:50
прогресс: его доказательства получились удивительно
7:53
простыми и прозрачными на фоне известных работ.
7:56
В общем, седьмая проблема Гильберта появилась не
7:59
на пустом месте: да и по большому счету она встречается
8:02
еще в трудах Эйлера. Любопытно, что задача в частном случае
8:05
была решена в 1930 году Родионом Кузьминым, а в общем виде
8:10
в 1934 году Александром Гельфондом. Хотя с трансцендентностью
8:15
еще много открытых вопросов. Скажем, до сих пор не ясно,
8:19
является ли сумма или разность чисел e и π трансцендентной,
8:23
то же и с произведением, частным. Мы знаем, что e^
8:26
π трансцендентно, а вот про π^e ничего не понятно.
8:30
Предполагается, что дзета-функция Римана в точках 3, 5, 7 и так
8:34
далее принимает трансцендентные значения, но и это лишь
8:38
гипотеза. Кстати, о дзета-функции.
8:40
Гипотеза Римана была восьмой проблемой Гильберта. И
8:44
хотя сам он ожидал ее скорейшего решения, через сто лет после
8:47
Парижского конгресса она только лишь перекочевала
8:50
в список величайших проблем тысячелетия и по сей день
8:53
является открытой. Давид Гильберт считал, что она
8:56
поможет разрешить проблему Гольдбаха и даже более
8:59
общие задачи, как и все математики, он понимал
9:02
ее особую роль. Хотя большинство проблем
9:04
столетия все-таки было решено, надо отметить, что
9:07
некоторые победы произошли спустя целый век. Скажем,
9:10
красивейшая задача об упаковке шаров, сформулированная
9:13
еще Иоганном Кеплером, была решена компьютерными
9:16
методами, а проверка окончательно завершена всего лишь семь
9:19
лет назад. Но сейчас давайте отвлечемся от проблем и
9:22
посмотрим на то, как Гильберту удавалось всесторонне
9:25
развиваться в математике и развивать ее самому. Как
9:28
можно в течение полувека быть на передовой линии
9:31
науки, постоянно актуализируя свои знания?
Особый способ учиться
9:38
18-летний Гильберт почувствовал себя в университете настолько
9:42
же свободным, насколько стесненным он чувствовал
9:44
себя в гимназии. Преподаватели факультета сами выбирали
9:47
курсы, которым они хотели учить, а студенты сами выбирали,
9:51
у кого и чему учиться. Не было никаких баллов и отчетностей:
9:55
в момент истины студент либо получал степень, выдержав
9:58
экзамен, либо нет. Для кого-то такая свобода была пагубной,
10:01
все сводилось к попойкам и дуэлям, но Гильберт умело
10:04
использовал возможности, умело распоряжался временем.
10:07
В первом семестре он слушал лекции по интегральному
10:10
исчислению, теории определителей и кривизне поверхностей.
10:13
Во втором семестре Давид отправляется в Гейдельбергский
10:16
университет: там видный математик Лазарус Фукс
10:19
читал лекции по теории линейных дифференциальных
10:22
уравнений. На следующий год Гильберт возвращается
10:24
в родной Кенигсберг и благодаря профессору математику
10:28
Веберу изучает теорию чисел, теорию функций, а также
10:31
впервые знакомится с теорией инвариантов: эта самая
10:34
модная математическая теория того времени, именно
10:36
в ней Гильберт сделает свой первый прорыв, снискав
10:40
мировую славу. Став доцентом, Гильберт
10:41
в отличие от многих каждый семестр старался готовить
10:44
новые курсы, чтобы и самому узнавать новое. Этому правилу
10:48
он не изменял до последнего дня преподавания. Теория
10:51
инвариантов, математический анализ, дифференциальные
10:54
уравнения, определители, гидродинамика, теория потенциала,
10:57
квантовая механика, математическая физика и физика вообще,
11:00
теория чисел, сферические гармоники, численные уравнения,
11:03
поля, эллиптические функции, идеалы— впечатляющий список,
11:07
правда? Даже элементарной геометрии нашлось место,
11:10
и скоро будет ясно почему. Гильберт предпринимал
11:13
целые путешествия, чтобы познакомиться с видными
11:16
математиками, вел обширную переписку. Он первым наносил
11:19
визиты французским коллегам, когда впервые оказался
11:22
в Париже. В Кенигсберге каждый вечер «ровно в пять»
11:26
22-летний Гильберт, 20-летний Минковский и 25-летний Гурвиц
11:30
встречались для прогулки «к яблоне». Именно тогда
11:33
Гильберт нашел способ занятий, намного более предпочтительный,
11:37
чем сидеть за пыльными книгами в какой-нибудь
11:38
темной аудитории или библиотеке. «В бесконечных прогулках
11:42
мы погружались в тогдашние проблемы математики, обменивались
11:45
своими вновь приобретенными знаниями, мыслями и научными
11:49
планами». Позже судьба раскидает лучших друзей
11:52
по разным городам, Минковский займется физикой под руководством
11:56
Герца, но ровно через десять лет все трое снова окажутся
11:59
в Кенигсберге, возобновятся математические прогулки.
12:04
В 1893 году Германское математическое общество поручило Гильберту
12:08
и Минковскому создать большой обзор по теории чисел. Тогда
12:12
революционные труды Куммера, Кронекера и Дедекинда были
12:15
чрезвычайно сложными и настолько опережали свое
12:18
время, что большинству математиков они были непонятны.
12:21
А Давида Гильберта ценили не только за его ум, но еще
12:24
и за способность просто и ясно излагать материал.
12:27
Он в свою очередь отнюдь не воспринимал написание
12:30
обзора как черную работу: в тот год Гильберт прочитал
12:33
все книги по теории чисел, опубликованные со времен
12:36
Гаусса, вник абсолютно в каждое доказательство.
12:39
Его обзор, посвященный в первую очередь алгебраической
12:42
теории чисел, получился на 400 с лишним страниц.
12:45
Когда Гильберт стал полным профессором, то благодаря
12:48
ассистентам учился и открывал действительно важные знания
12:51
еще быстрее. Он регулярно устраивал спец. семинары,
12:54
на которых слушались доклады. Мог поручить помощнику
12:57
изучить все-все вышедшие недавно математические
13:00
работы, а затем рассказать о наиболее интересных результатах.
13:04
В годы увлечения физикой он выбирал себе подходящих
13:07
ассистентов, которые уже к тому времени заявили
13:09
о себе в науке. Бывало, Гильберт шел читать лекцию и прямо
13:13
по дороге помощники разъясняли ему какой-либо вопрос, который
13:17
затем, пропустив через себя, знаменитый профессор
13:19
объяснял студентам. Чувствуется, что он овладевал новыми
13:23
серьезными знаниями, только когда в наиболее простой
13:26
и доступной форме мог самостоятельно изложить суть предмета
13:29
первому встречному. Думаю, теперь понятно, как
13:32
Гильберт стал универсальным математиком и почему весь
13:35
математический мир услышал и оценил его доклад.
Столы, стулья и пивные кружки
13:44
Сообщение о том, что в зимнем семестре 1898-1899 года Гильберт
13:49
будет читать курс по геометрии, было неожиданным для студентов,
13:53
за все эти три года в Гёттингене слышавших от него про одни
13:56
только «числовые поля». Однако новое увлечение
13:58
Гильберта не было совсем уж неожиданным. Еще доцентом
14:02
Гильберт послушал в Галле лекцию Ганса Винера об
14:04
основаниях и структуре геометрии. Находясь под
14:06
влиянием абстрактной точки зрения на геометрические
14:09
объекты, по дороге в Кёнигсберг он глубокомысленно заметил
14:13
своим спутникам: «Следует добиться того, чтобы с равным
14:16
успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей
14:19
о столах, стульях и пивных кружках». В этом шутливом
14:22
замечании содержалась суть курса лекций, которые
14:25
он намеревался прочесть. Чтобы понять, в чем состоит
14:28
достижение Гильберта и как вообще книга по элементарной
14:31
геометрии смогла стать бестселлером в математической
14:33
литературе на рубеже веков, нужно разобраться в истории
14:37
вопроса. В третьем веке Эвклид собирает
14:39
воедино известные ему труды по геометрии. Он определяет
14:42
используемые в дальнейшем термины, а затем сводит
14:45
к минимуму количество очевидных утверждений, истинность
14:48
которых не вызывала никаких сомнений и потому принималась
14:52
без доказательства. Из этих аксиом ему удалось
14:55
вывести почти полтысячи теорем, многие из которых
14:58
были совсем неочевидными, но их верность гарантировалось
15:01
законами логики из уже принятой аксиоматики. «Начала»
15:05
Эвклида вызывают восхищение и по сей день, но математики
15:08
XIX века ясно понимали, что указанных аксиом недостаточно,
15:12
в некоторых рассуждениях мы обманываем сами себя.
15:15
Кроме того, пятый постулат не кажется таким уж очевидным:
15:19
многие века математики пытались его доказать как
15:22
теорему. В 1830 году Николай Лобачевский заменил пятый
15:26
постулат его отрицанием и разработал непротиворечивую
15:30
неевклидову геометрию. Это абстрактное открытие
15:33
современники не поняли или по крайней мере не оценили.
15:36
И только когда в 1870 году 21-летний Феликс Клейн обнаружил
15:41
модель, связывающую евклидову и неевклидову геометрию,
15:46
непротиворечивость последней стала очевидна. Но не всем
15:48
было очевидно, что и другие античные аксиомы стоит
15:51
оценить таким же критическим взглядом. Первые результаты
15:54
в этом направлении сделал Морис Паш, который исключил
15:57
оплошности интуиции и свел все к логике. Его труд развил
16:01
Джузеппе Пеано. Ну а следующий шаг был за Гильбертом.
16:05
Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка
16:08
и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического
16:12
смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами,
16:16
которые для них выбираются. Другими словами, назвать
16:19
ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами,
16:22
стульями, пивными кружками — не принципиально. То
16:26
есть мы понимаем и уточняем смысл этих терминов только
16:28
по мере их использования. Затем Гильберт выбрал постулаты,
16:32
исходя из стремления сделать аксиоматику, во-первых,
16:35
полной, во-вторых, независимой, в-третьих, непротиворечивой.
16:38
И в третьем направлении Давид Гильберт однозначно
16:42
сделал прорыв: используя наследие Декарта, он сумел
16:45
показать, что противоречие в евклидовой геометрии
16:48
моментально влечет противоречие в арифметике вещественных
16:51
чисел, с которой все было гораздо прозрачнее. Книга
16:54
«Основания геометрии» была высокого оценена математиками
16:58
XX века и по сей день остается эталоном.
17:01
Если в окрестностях Геттингена увидите человека на велосипеде,
Как узнать Гильберта в толпе
17:09
который везет цветы, а то и удобрения для сада: знайте,
17:13
перед вами Давид Гильберт. Он вообще любил физическую
17:15
активность, а свое рабочее место устроил на свежем
17:18
воздухе. Бывало, Гильберт врывался в аудиторию в
17:21
громадных лыжных ботинках, запыхавшись, взбирался
17:24
на кафедру, сразу начиная читать лекцию. В теплые
17:27
дни мог явиться в рубашке с короткими рукавами и
17:30
отрытым воротом: сказать, что такой наряд для профессора
17:32
был не подходящим — ничего не сказать. Он был слаб
17:35
до женского пола, любил танцы и громкую музыку,
17:39
создавал себе образ этакого светского льва. При этом
17:42
на концерте или в ресторане, почувствовав сквозняк,
17:44
мог одолжить меховую горжетку или боа из перьев у одной
17:47
из присутствующих дам. Кто-то говорит, что ему
17:50
нравилось шокировать людей, привыкших к условностям.
17:53
А кто-то полагает, что он всего лишь поступал рационально,
17:56
не беспокоясь о создаваемом впечатлении. Гильберт всегда
17:59
тянулся к молодежи: помогал начинающим свой путь в
18:02
науку. Не возводил баррикады между собой, математиком
18:05
№1 в мире, и студентами. Проявлял дипломатические
18:08
качества, когда нужно было действовать в целях родного
18:10
Гёттингенского университета. Приглашал зарубежных коллег,
18:14
добивался больших инвестиций в науку от государства,
18:17
достойной оплаты преподавателям в трудное время. Противостояв
18:21
большинству, ратовал за то, чтобы принять диссертацию
18:23
Эмми Нётер, принять ее доцентом в Геттингенский университет.
18:27
А однажды, когда Гильберт сообщил в университете
18:29
о смерти своего лучшего друга, студенты поразились
18:32
не столько трагичности судьбы Германа Минковского,
18:35
сколько тому, что у великого Гильберта выступили слезы.
18:38
Еще один грустный случай всецело отражает характер
18:42
Гильберта. В 1917 году умер известный французский
18:45
математик Гастон Дарбу, его родина была врагом
18:48
Германии: шла Первая мировая война. Гильберт восхищался
18:52
математическими трудами Дарбу, его участием в развитии
18:56
математики. Поэтому он подготовил мемориальную
18:57
статью для научного журнала. Когда та вышла из печати,
19:01
у дома Гильберта собралась разгневанная толпа студентов
19:04
и, как в средние века, потребовала отречения от публикации
19:07
о «вражеском математике». Гильберт своему слову не
19:10
изменил. И даже двадцать лет спустя, уже будучи старым,
19:14
немощным, его человеческие качества в противовес молодым
19:17
умам не позволили провести деление ученых на арийцев
19:20
и неарийцев. Для него в науке были только люди,
19:24
которые решали проблемы, имеющие общепризнанное
19:26
значение, и те, кто этого не делал.
19:28
Как вы помните, самое первое достижение Гильберта связано
Ученый и учитель
19:36
с теорией инвариантов. Его теорема в современных
19:39
учебниках звучит так. Алгебра инвариантов действия редуктивной
19:43
алгебраической группы на аффинном алгебраическом
19:46
многообразии является конечно порождённой. Мы
19:50
также обсудили, почему его работа по основаниям
19:52
геометрии оказалась особенно важной на стыке XIX и XX веков.
19:57
Немало нового Гильберт привнес, работая над обзором
20:00
по алгебраической теории чисел. Он также развивал
20:03
теорию Галуа, занимался основаниями математики,
20:06
получил важные результаты, связанные с интегральными
20:09
уравнениями и даже сумел их адаптировать под нужды
20:12
физики. Из тех же работ по интегральным уравнениям
20:15
родился термин, который обобщает понятие Евклидова
20:17
пространства и знаком большинству студентов — Гильбертово
20:22
пространство. Еще наверняка многие из вас слышали о
20:24
парадоксе «Гранд-отеля», угадайте, кто его архитектор.
20:28
В предисловии к собранию трудов Гильберта на русском
20:30
языке метко сказано, что в его работах сочетается
20:33
решение труднейших, долгое время неприступных, математических
20:37
задач с созданием новых понятий и концепций, оказывающих
20:40
определяющее влияние на развитие математики. Кроме
20:44
того, Гильберт является основателем большой математической
20:46
школы. Среди его учеников — выдающие немецкие математики:
20:51
Отто Блюменталь, Рихард Курант, Герман Вейль, Макс
20:55
Ден, Эрхард Шмидт, Вильгельм Аккерман и не только. Период,
20:59
когда Гиль берт, Клейн и Минковский, работали в
21:02
Гёттингене, можно без каких-либо преувеличений назвать
21:05
золотым веком немецкой математики и физики. Рядом
21:08
с Гильбертом и под его крылом находились Джон фон Нейман,
21:12
Эми Нётер, Макс Борн, Теодор фон Карман, Константин
21:16
Каратеодори и многие другие.
Кульминация и эпилог
21:22
В зимнем семестре 29-30 года Гильберт прочитал свое
21:27
«Прощание с педагогической деятельностью». В этой
21:29
лекции он вернулся к началу своей славы и впервые за
21:32
сорок лет говорил об инвариантах. Вместе со студентами аудиторию
21:36
заполнили профессора. В честь Гильберта была названа
21:39
одна из улиц Гёттингена. Но больше всего он был рад
21:42
тому, что стал почетным гражданином родного Кёнигсберга.
21:46
По этому случаю планировалось большая церемония, и, как
21:49
в старые добрые времена, он тщательно обдумывал
21:51
свою торжественную речь. Задаваясь вопросом, какую
21:54
часть в нашем познании составляет мышление, а
21:56
какую опыт, он апеллирует к Канту. А возвращаясь,
22:00
к царице наук, утверждает: «Средство, которое помогает
22:03
сглаживать различие между теорией и практикой, между
22:06
мышлением и экспериментом, есть математика. Она создает
22:09
связующий мост и постоянно его укрепляет. Таким образом,
22:13
оказывается, что вся наша теперешняя культура, поскольку
22:16
она относится к интеллектуальному познанию и овладению природой,
22:19
основывается на математике!». В той памятной речи есть
22:23
слова, которые как нельзя лучше раскрывают личность
22:25
последнего на свете математика-универсала. Но озвучивать их не вижу
22:29
смысла. Зачем, если вы можете услышать их от самого Гильберта.
22:34
«Слава человеческого духа, как сказал знаменитый кенигсбергский
22:39
математик Якоби, является единственной целью всей
22:44
науки. Мы не должны верить тем, кто сегодня с философским
22:51
видом и тоном превосходства пророчествует падение
22:55
культуры и принимает ограниченность познания. Для нас не существует
23:01
непостижимого, особенно, на мой взгляд, в естественных
23:05
науках. Вместо глупого «никогда не узнаем» пусть
23:12
нашем лозунгом будет: Мы должны знать. Мы будем знать».
23:20
Теперь представьте. В том же самом городе, в тот же
23:24
год и в тот же месяц, всего лишь за несколько часов
23:27
до выступления Гильберта, некий юноша Курт Гёдель
23:31
озвучит две теоремы о неполноте, которые, как гром среди
23:34
ясного неба, перевернут основания математики. В
23:37
сущности, окажется, какую бы непротиворечивую систему
23:40
аксиом мы ни взяли, всегда найдутся утверждения, истинность
23:44
которых выяснить не получится. И это еще не самое ужасное.
23:48
Вот, предположим, повезло нам выбрать аксиоматику,
23:51
которая является непротиворечивой, но мы об этом еще не знаем.
23:54
Так вот никто и никогда это не сможет узнать, никогда
23:59
не сможет доказать. Можно ли назвать это решением
24:02
второй проблемы Гильберта? Скорее это уничтожение
24:05
ее и многих других математических планов. Да и самая первая
24:09
проблема в списке, помните, про мощности бесконечных
24:12
множеств. Выяснилось, что континуум-гипотезу как
24:15
раз нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Но(!) отменяет
24:19
ли все это главный посыл Гильберта: «Мы должны знать.
24:23
Мы будем знать»? Как считаете? В завершение остается прочесть
24:27
самые первые строки, которыми в 1900 году Давид Гильберт
24:31
начал свой знаменитый доклад. «Кто из нас не хотел бы
24:34
приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы
24:38
хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи наших
24:41
знаний и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы
24:45
будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие
24:48
математические умы ближайшего поколения? Какие новые
24:51
факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом
24:55
поле математической мысли?»