Практический способ применения производной для решения реальной задачи.
Расшифровка видео
0:00
так Всем привет тема сегодняшнего видео
0:03
о том как в реальной жизни практически
0:06
применить производную вот обычную
0:10
производную которая Учат в школе как бы
0:12
можно было применить в реальной жизни
0:15
потому что наверняка те люди которые
0:19
любят математику уважают математику там
0:22
учили в школе любили учит математику они
0:24
наверняка слышат вот от людей которые
0:26
там математику недолюбливают и такое
0:28
спрашивает Ну что мне там математика
0:31
производные мне те интегралы для чего
0:33
они мне нужны я вот там умею посчитать
0:35
там табличку умножения знаю сдачу мне
0:38
главное правильно посчитать зарплатой
0:40
чтобы меня не обманули там с налогами
0:42
если где-то надо посчитать поделить и
0:45
все И зачем она математика так вот
0:46
можете им сбросить это видео и показать
0:48
вот реальный пример того как в реально
0:51
как практически можно применить
0:53
знания в вычислении производных на
0:57
практике Значит чего все началось
1:00
значит не на даче понадобилась емкость
1:02
для замешивания раствора вот я там
1:05
смотрел но надо было только такие корыто
1:07
знаете продолговатые бывают продают но
1:09
так денег стоили так хороших денег
1:11
относительно даже бэушная еще привести
1:15
его надо было это корыто там ну
1:17
непонятно как его привести еще было Вот
1:20
и значит что у меня на даче завалялся
1:23
вот такой вот лист я его в масштабе
1:27
нарисовал лист такой как сталь или жесть
1:30
на такой прочный и я подумал Почему бы
1:33
не сделать из него корыто значит что
1:35
надо сделать
1:36
значит размер листа был 2 метра На 1
1:39
метр значит что можно сделать
1:42
вот так вот вырезать уголки вот я их
1:46
вырезал сейчас вырежу быстренько раз
1:49
раз
1:51
вырезаем уголки
1:55
вырезали Ну значит первое замечание что
1:59
уголки надо вырезать квадратами сторона
2:02
квадрата будет X наша то есть мы не
2:05
знаем точно какая нам сторона квадрата
2:06
надо но почему мы не знаем потому что мы
2:10
можем разные квадратик вырезать
2:12
и в зависимости от этого у нас получится
2:16
разного размера финальная
2:19
емкость когда мы борта поднимем
2:20
правильно вот она получилась но Задача В
2:23
чем состоит чтобы подобрать такой такую
2:26
сторону квадрата X чтобы получить Как
2:29
можно больший объем при
2:31
наименьшем при наименьшей вот утилизации
2:35
вот этих уголочков они как бы мы считаем
2:37
что не в утили идут где-то там их
2:39
Конечно можно применить но по факту мы
2:42
их вырезаем они у нас будут безделу
2:43
валяться
2:45
то есть вот задача такая собственно и
2:49
как его больше вырезать чтобы она повыше
2:52
было или наоборот как-то меньше этот
2:54
квадратик чтобы этот чтобы этот тазик
2:56
наш получился более низкий но широкий
2:59
вот какой объем мы вот чтоб получить
3:02
максимальный объем какую сторону
3:04
квадрата Должны мы вырезать собственно в
3:07
этом и состояла задача и вот здесь вот
3:09
реально понадобится производная
3:10
единственное еще Одно замечание в том
3:12
что нужно лучше действительно вырезать
3:14
квадратиком это можно доказать
3:17
математические Вот Но в этом видео этого
3:20
делать не буду тут просто даже вот
3:22
интуитивно понятно Давайте вот смотрите
3:23
вырежем прямоугольником вырезали мы
3:26
прямоугольником во-первых мы больше
3:28
вырезали правильно
3:30
если мы прямоугольником каким-то
3:32
вырезаем у нас еще материал ушел обрезки
3:36
получились раз и потом
3:40
сейчас ровненько вырежем и потом когда
3:43
мы эти борты поднимем
3:46
вот у нас два борта и два борта когда мы
3:49
их поднимем но очевидно что смотрите два
3:53
борта будут одной высоты А другие будут
3:55
выше по высоте то есть вот это вот часть
3:57
она получается тоже не используется
3:59
придется там или загнуть В общем или
4:02
обрезать то есть нам надо вырезать вот
4:04
конкретно квадраты вот этим и займемся
4:08
так смотрите теперь что нам надо сделать
4:12
нам надо стороны нашей
4:14
емкости будущей
4:16
выразить через X через стороны обрезаем
4:19
их квадратов То есть у нашей наша
4:22
емкость она после обрезки обрезки вот
4:26
этих квадратов она будет иметь форму
4:28
параллелограм параллелепипеда такого у
4:32
него будет три значит стороны высота
4:35
условно длина и ну и ширина или глубина
4:39
там как хотите значит смотрите значит
4:42
так и запили так и пишем сейчас значит в
4:47
смотрите в
4:49
V от x нам надо записать равно значит
4:53
Высота высота у нас будет это сторона X
4:57
квадрата вот этого вырезаемого вот она
5:00
Высота высота X Так и запишем X
5:05
есть теперь длина
5:08
длина чему у нас равняется через X То
5:11
есть у нас было вот два метра мы
5:13
вырезали X и X мы вырезали 2x
5:17
сложили и у нас осталось вот какая-то
5:21
длина значит 2 метра минус 2x пишем так
5:25
2 минус
5:28
2x есть и теперь надо записать третью
5:32
сторону а третья сторона то же самое
5:34
будет получается у нас был у нас был
5:37
метр допустим был метр мы вырезали
5:41
вырезали два квадратика со стороной X у
5:44
нас осталось единица минус 2x Так и
5:48
запишем
5:48
единица минус 2x
5:53
все это наш объем это наш объем который
5:58
будет выраженный через сторону
6:00
обрезаемого квадрата теперь нам что надо
6:02
сделать нам надо найти такой X при
6:05
котором объем
6:08
объем будет иметь максимальное значение
6:12
как это сделать Ну тут надо вспомнить
6:15
значит школьный курс математики и если
6:21
кто помнит кто не помнит и напомнит
6:23
Значит надо взять производную от этого
6:24
выражения и приравнять ее к нулю и мы
6:28
найдем точки это будут не точки
6:30
максимума это будут точки экстремума где
6:32
производная принимает 0 это будет точки
6:34
экстремума но так как у нас вот эта
6:38
функция она определена на бесконечности
6:42
то нам надо найти эти точки экстремума
6:44
которые будут удовлетворять определенным
6:47
начальным условиям то есть я их Выпишу
6:50
Значит у нас X
6:54
у нас X во-первых он должен быть больше
6:57
нуля
6:59
больше нуля это первое условие
7:02
Правильно же потому что ну мы не можем
7:05
отрицательный X вырезать Ну в реальной
7:09
жизни мы отрицательный Икс вырезать не
7:11
можем значит X больше 0 и потом у нас 2x
7:15
вот эти вот вырезанные квадратики XX
7:19
вырезанные во-первых они должны быть
7:21
меньше двух метров меньше L В общем виде
7:23
если мы запишем то есть 2 x меньше или
7:26
меньше двух метров должно быть и еще X
7:29
должен быть тут один метр Конечно один
7:32
метр вот и еще 2 x должно быть меньше
7:37
одного метра то есть выходит что самое
7:41
строгое условие у нас 2x
7:44
меньше и меньше единицы меньше одного
7:49
метра то есть X больше 0 и 2x меньше
7:51
единицы Но это равносильно например X
7:54
меньше 0 5 Вот так вот меньше 0 5
7:59
Вот это наш ограниченные условия
8:03
вот так вот записали А теперь еще раз
8:07
вернемся к этому выражению значит когда
8:10
мы находим производную от этого
8:12
выражения приравниваем к нулю мы находим
8:14
так называемые точки экстремума Например
8:16
я на примере покажу У нас например есть
8:20
условно говоря какая-то
8:23
Парабола
8:24
перевернутая кверху например вот так вот
8:27
мы ее перевернули вот когда мы найдем
8:30
производную но этой параболе отвечает
8:33
какая-то функция там а x в квадрате плюс
8:38
BX + C Вот такая функция когда мы найдем
8:42
производную приравняем ее к нулю мы
8:44
найдем иксы X который соответствует вот
8:48
этой точки экстремума тут производная
8:51
равняется нулю вот она и нам вот эта
8:53
точка экстремума как раз и нужно чтобы
8:55
найти максимальный объем Но в нашем
8:57
случае
8:59
Значит эта функция это будет это будет
9:03
гипербола по что там будет X3 степени
9:06
это будет что-то что-то вот такое вот
9:10
например я сейчас другим цветом нарисую
9:12
этом будет например что-то вот такое вот
9:15
такая вот она может быть раз вот так вот
9:17
как-то идет вот сюда и вот так
9:20
нам надо найти
9:22
точку экстремума которая попадет в наши
9:25
ограниченные условия то есть она должна
9:28
быть X больше 0 то есть Вот например
9:30
если она тут попадает она уже нам не
9:32
подходит вот эта точка уже нам не
9:34
подходит то скорее всего она вот тут вот
9:36
где-то будет это точка
9:37
то есть Давайте запишем запишем наше
9:42
уравнение не уравнение нашу функцию
9:45
раскроем скобки Значит так это пишется
9:48
равно X внесем под скобку под первую
9:52
будет так 2x минус 2x
9:57
в квадрате есть первое вторая скобка так
10:01
и останется минус 2x есть равно теперь
10:06
раскрываем скобки значит 2x
10:10
минус 2x в квадрате
10:14
я раскрываем вторую скобку минус 2x на
10:17
2x это будет
10:19
минус
10:21
4x в квадрате и минус 2x² на -2x у нас
10:27
что получится у нас получится минус на
10:30
минус плюс 4x куб плюс
10:34
4x в кубе вот получилось наша наша
10:39
функция перезапишем ее еще немножко
10:43
упростим вот эти два вот эти два вот эти
10:46
два члена их можно сложить между собой
10:49
равняется
10:51
4x в кубе минус 6 x в квадрате
11:00
правильно Да плюс
11:03
2х все вот это есть наша функция А
11:06
теперь теперь нам надо найти производную
11:12
от vpx производную
11:16
приравнять ее к нулю Найти корни Ну там
11:20
видимо два корня будет больше квадратные
11:22
уравнение и найти тот X который попадает
11:25
в наш ограниченные условия это будет Та
11:28
сторона квадрата которая нам надо
11:29
вырезать значит смотрим
11:32
значит производная Значит тут будет 12
11:34
пошла три сносится x в квадрате
11:37
есть минус еще раз 12 просто X и плюс
11:46
плюс 2 Да теперь мы это все приравниваем
11:50
к нулю приравниваем к нулю так как мы
11:52
приравниваем к нулю мы можем еще на
11:54
двойку сократить еще немножко простить
11:56
значит 6 x в квадрате
12:00
минус 6x + 1 равняется нулю а теперь
12:06
решаем это уравнение Ну тут ничего
12:09
сложного обычная квадратное уравнение
12:11
пока будем 2 корня писать а потом
12:13
выберем нужный равняется
12:16
есть такое
12:19
есть такая штука
12:22
Значит так внизу у нас будет два а это 6
12:25
значит 12
12:27
вверху Будет минус B б у нас -6 значит
12:31
будет 6 плюс минус открываем корень под
12:37
корнем что будет B в квадрате это 36
12:41
4 минус минус 4
12:45
на 6 это а 24 на 1 24 так и останется 24
12:52
есть такое равняется дальше
12:58
6 плюс минус 12
13:02
умножить
13:04
плюс минус
13:06
корень вернее
13:09
36 минус 24 это будет 12 есть еще
13:13
смотрите 12 это 4 умножить на 3 значит
13:16
четверку можно вынести за знак корня это
13:18
два будет еще на два сократить значит
13:21
Так и запишем равняется
13:24
6 плюс минус 2 корня из 3
13:30
поделить на 12 сокращаем на 2 получаем
13:34
вот такое выражение значит
13:36
6
13:38
плюс минус
13:41
не чего-то 6 нет не 6 3 конечно 3 плюс
13:46
минус корень из трех ну корень из 3 это
13:49
1 73 3 будет приблизительно может
13:52
приблизительно пишем потому что для
13:54
реальной задачи нам Нам уже надо извлечь
13:57
корень и оперировать какими-то цифрами
14:00
Пускай приблизительными но длина Для нас
14:03
это достаточно поделить на на Что
14:06
поделить на на два сократили Значит на 6
14:09
поделить все теперь что запишем два
14:12
корня
14:15
значит X 1 2 равняется у нас
14:21
X вот так в скобках напишу значит что
14:24
надо взять калькулятор быстренько
14:26
посчитать значит считаем 3 плюс
14:32
173 и поделить на 6 Значит один корень у
14:37
нас будет Вот такой вот
14:40
07889 напишем
14:44
0
14:45
79 а второй корень у нас будет Значит
14:50
надо три минус 173 равно и поделить на 6
14:57
и во второй корень у нас будет 021
15:06
021 ну
15:10
Значит мы сразу можем увидеть что 078
15:13
нам не подходит потому что X у нас
15:15
должен быть значит меньше 05 и больше
15:19
нуля в этот диапазон у нас попадает
15:21
только 021 значит этот мы вычеркиваем и
15:25
он нам не подходит значит подходит по
15:28
идее 021 но теперь надо допустим
15:32
мы можем взять 021 подставить
15:38
подставить подставить в нашу в наше
15:43
в наше выражение объема и посчитать чему
15:47
будет равен объем и просто по по
15:52
[музыка]
15:54
числу которое у нас получится мы можем
15:56
примерно понять правильно мы посчитали
15:58
неправильно но тут все правильно но
16:00
Давайте посчитаем объем и сейчас
16:02
поставлю на паузу Значит нам надо Что
16:05
посчитать Какое выражение нам надо
16:07
посчитать в от 021 посчитать равно
16:15
запишем так 4 в степени
16:20
021
16:21
в кубе
16:23
минус 6
16:26
минус шесть ноль 21
16:31
в квадрате
16:33
и плюс 2 умножить на ноль 21 равно
16:40
равно я поставлю сейчас на паузу
16:43
посчитаю чтобы Время не тратить и
16:46
посмотрим чему наш объем равен
16:50
так Я посчитал объем подставил все
16:53
посчитал на калькуляторе быстренько и
16:56
получилось так что при стороне
16:59
вырезаемого квадрата 21 сантиметр у нас
17:03
получается объем 0,19 метров кубических
17:06
или это еще или если это в литрах это
17:10
190 литров но почти 200 литров Ну я
17:14
уверен что решено Правильно Потому что
17:15
ну 200 литров Это хороший объем значит
17:18
это будет у нас такая
17:21
емкость она будет достаточно плоской
17:24
если в масштабе она будет еще меньше Тут
17:27
еще будет меньше такие
17:30
меньше высота бортика должна быть если в
17:33
масштабе попытаться выразить будет 21
17:36
высота
17:38
20 x у нас равняется 21 сантиметр высота
17:41
и со сторонами там можно посчитать
17:44
сколько это будет примерно 80
17:46
сантиметров и метр метр Метр восемьдесят
17:50
В общем такая невысокая емкость
17:52
получится и это будет максимальный объем
17:55
при минимальном при минимальной
17:58
утилизации обрезаемого материала В общем
18:00
вот это Все решено и так вы можете в
18:05
реальной жизни применить производную
18:07
получить
18:09
получить
18:10
емкость для замешивания раствора объемом
18:13
Ну почти 200 литров 200 литров это вот
18:15
ванна например в квартире там порядка
18:17
200 литров хороший объем получается вот
18:20
значит это была первая часть А еще
18:23
знаете что можно сделать может кому-то
18:26
пригодится во второй части
18:28
мы запишем
18:30
вот это вот уравнение объема запишем
18:33
через параметры L и S и тогда мы получим
18:37
решение в параметрах и просто можно
18:39
брать готовые решения подставлять свои
18:42
стороны сразу получать вырезаемый X это
18:45
будет еще лучше но это еще надо
18:47
расписать в параметрическом виде Это я в
18:51
следующей части сделаю кому интересно
18:52
Посмотрите вторую часть все Всем спасибо
18:55
Вот такая интересная задача получилась