Математика: дьявол прячется в теории множеств! Измеримые vs. неизмеримые множества. Аксиома выбора. Теория меры
Таймкоды
00:00:01 Введение
- Видео посвящено математике, хотя канал также содержит материалы по политике, биологии и путешествиям.
- Автор объясняет, что его канал разнообразен и не ограничивается одной темой.
00:00:31 Измеримые множества
- Видео будет о измеримых множествах и неизмеримых множествах без формул.
- Автор обсуждает, почему выбрал математику, а не физику, и как математика кажется строгой наукой.
- Теория множеств и теория меры будут основными темами.
00:02:13 Теория меры
- Теория меры развивалась в начале XX века во Франции, особенно благодаря Либеку.
- Российская математическая ветвь, связанная с Колмогоровым, также внесла значительный вклад.
- Лузин, ученик Либека, доказал теорему, вошедшую в основы теории меры.
00:04:07 Пример с окружностью
- Пример с нахождением площади окружности через покрытие квадратиками.
- Процесс покрытия квадратиками и нахождение точной верхней грани.
- Пример с покрытием окружности сверху и снизу.
00:08:42 Измеримые множества
- Измеримые множества определяются как те, у которых внутренняя и внешняя меры совпадают.
- Теория меры является основой теории вероятности.
- Измеримые множества позволяют приписывать им меру, что важно для теории вероятности.
00:11:24 Неизмеримые множества
- Вопрос о существовании неизмеримых множеств.
- Либек доказал, что объединение и пересечение измеримых множеств также измеримы.
- Аксиома выбора позволяет доказать существование неизмеримых множеств.
00:12:48 Аксиома выбора
- Аксиома выбора утверждает, что можно выбрать элемент из каждого множества и создать новое множество.
- Если аксиому выбора не принимать, математика будет другой.
00:13:59 Аксиома выбора и неизмеримые множества
- Аксиома выбора позволяет доказать существование неизмеримых множеств.
- Если аксиома выбора не принимается, неизмеримые множества не существуют.
- Конструктивная математика требует алгоритмического задания множеств, что исключает существование неизмеримых множеств.
00:16:43 Личный опыт и размышления
- Автор делится своим опытом участия в олимпиадах по математике и физике.
- Он отмечает, что математика казалась ему четкой и понятной, в отличие от физики.
- После изучения аксиомы выбора и теории множеств, он осознал зыбкость и неопределенность в математике.
00:19:00 Теория множеств и аксиома выбора
- Теория множеств стоит под математикой, но часто не обсуждается в учебных заведениях.
- Аксиоматика теории множеств не проходит в большинстве курсов.
- Теорема Хана-Банаха в функциональном анализе основана на аксиоме выбора, что делает её важной для понимания.
00:20:46 Заключение
- Автор подчеркивает важность аксиомы выбора для доказательства теорем в функциональном анализе.
- Он приглашает слушателей поделиться ссылками на доказательства без использования аксиомы выбора.
- Завершает видео пожеланиями жителям России и Европы после новогодних каникул.
Таймкоды сделпны в Нейросети YandexGPT https://300.ya.ru/v_rxnehSnN
Расшифровка видео
0:00
Математика: дьявол прячется в теории множеств!