Тема лекции: Правило Лопиталя.
Таймкоды
00:00 Теорема Каши о конечных превращениях
- Теорема Каши утверждает, что для функций FX и GX, определенных на интервале AB, существует точка X, где F штрих от X де G штрих от X равняется FB — F A де G B — G A.
- Доказательство корректности формулировки теоремы.
- Условие, что G штрих от X не обращается в ноль.
02:00 Доказательство теоремы Каши
- Введение вспомогательной функции F бо от X.
- Применение теоремы Ролля для нахождения точки X, где F штрих от X равняется нулю.
- Доказательство равенства F штрих от X де G штрих от X равняется FB — F A де G B — G A.
09:06 Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя
- Введение неопределенности вида 0 де 0.
- Рассмотрение функций F и G, стремящихся к нулю.
- Применение теоремы Каши для нахождения точки X, где F штрих от X де G штрих от X равняется K.
19:00 Теорема 2 о пределе при стремлении к плюс бесконечности
- Формулировка теоремы: предел FX де GX при стремлении к плюс бесконечности равен K.
- Введение функций Отт и Отт, определенных на конечном интервале.
- Доказательство предела производной сложной функции при стремлении Т к нулю.
25:08 Предел при стремлении к нулю
- Рассматривается предел функции при стремлении к нулю справа.
- Производится сокращение и замена переменной.
- Применяется теорема о пределе при стремлении к нулю.
26:04 Теорема о пределе
- Предел при стремлении к плюс бесконечности равен K.
- Применяется теорема о пределе при стремлении к нулю.
- Предел при стремлении к плюс бесконечности равен пределу при стремлении к нулю.
28:58 Теорема о неопределенностях
- Рассматриваются неопределенности вида бесконечность делить на бесконечность.
- Устанавливается теорема о пределе при стремлении к плюс бесконечности.
- Предел равен плюс бесконечности, что не умаляет общности рассуждений.
36:16 Монотонность функции
- Функция G от X сохраняет постоянный знак.
- Функция монотонна, так как производная сохраняет знак.
- Предел GX при стремлении к плюс бесконечности равен плюс бесконечности.
42:37 Применение теоремы Каши
- Применяется теорема Каши к отрезку X0.
- Рассматривается случай конечного числа K.
- Предел при стремлении к плюс бесконечности существует и равен K.
48:00 Введение в теорему
- Рассматривается соотношение между функциями F и G.
- Доказывается, что для любого X существует Дельта, что для всех X в интервале A и A + Дельта выполняется условие.
- Используется теорема о разностном отношении для доказательства.
50:08 Доказательство соотношения
- Доказывается, что отношение функций стремится к конечному числу.
- Проверяется правильность соотношения путем перемножения выражений.
- Доказательство идет по схеме, аналогичной проверке разности кубов.
54:43 Предел при X стремящемся к A
- Предел при X стремящемся к A равен плюс бесконечности.
- Для любого X в интервале A и A + Дельта выполняется условие.
- Доказывается, что предел отношения функций равен плюс бесконечности.
58:46 Случай K равного плюс бесконечности
- Рассматривается случай, когда K равно плюс бесконечности.
- Доказывается, что предел отношения производных равен плюс бесконечности.
- Предел отношения функций также равен плюс бесконечности.
01:01:58 Применение теоремы к функциям F и G
- Предел отношения производных равен нулю.
- Предел отношения функций равен плюс бесконечности.
- Теорема полностью доказана для случая X стремящегося к A.
01:03:47 Заключение и дальнейшие шаги
- Рассматривается случай X стремящегося к A -0.
- Доказывается теорема 4 для случая, когда X стремится к плюс бесконечности.
- Обсуждаются другие виды неопределенностей и их преобразования.
- Предел отношения производных равен нулю.
- Предел отношения функций равен плюс бесконечности.
- Теорема полностью доказана для случая X стремящегося к A.
01:10:50 Примеры и теоремы
- Применение теоремы 1 и теоремы 3 для решения неопределенностей.
- Преобразования для устранения неопределенностей.
- Примеры неопределенностей и их преобразования.
01:11:47 Неопределенности и их виды
- Неопределенности разных знаков и их разность.
- Примеры неопределенностей и их раскрытие.
- Логарифмирование для устранения неопределенностей.
01:13:24 Примеры пределов
- Первый замечательный предел и его доказательство.
- Предел при X стремящемся к бесконечности.
- Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
01:15:51 Примеры с логарифмами
- Предел натурального логарифма x / x в степени альфа.
- Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
- Примеры с логарифмами и степенями.
01:17:47 Примеры с степенями
- Предел x в степени альфа / a в степени x.
- Применение правила Лопиталя несколько раз.
- Примеры с степенями и логарифмами.
01:19:39 Примеры с пределами
- Предел x в степени альфа умножить на натуральный логарифм x.
- Предел при X стремящемся к нулю.
- Примеры с неопределенностями и их раскрытие.
01:22:22 Примеры с экспонентами
- Предел e в степени x при X стремящемся к нулю.
- Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Примеры с экспонентами и их пределами.
- 01:23:14
- Примеры с производными
- Предел отношения производных и его значение.
- Примеры с производными и их пределами.
- Неправильное применение правила Лопиталя.
01:26:00 Заключение
- Правило Лопиталя и его условия.
- Примеры неправильного применения правила Лопиталя.
- Заключение и важность правильного применения правил.
Таймкоды сделаны при помощи Нейросети YandexGPT
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:06
потенциального исчисление ещё одна последняя теорема
0:13
значит это уже Пятая теорема так и напишем теорема
0:19
Пять это теорема каши вот теорема каши о конечных
0:27
превращениях у каши много всяких теорем так вот что это не критерий каши или
0:32
что-нибудь ещё вот теорема каши о конечных превращениях Так
0:39
пусть FX GX таковы что
0:47
FX принадлежит C AB G
0:55
X тоже принадлежит C
1:01
Далее для каждого X принадлежащего интервалу
1:09
а существует F шри от x и существует штрих от x
1:19
причём неравное нулю
1:25
Тогда тогда най принадлежащее интервалу
1:32
AB такое что F штрих от x де
1:41
g’ от x равняется
1:47
FB — F А Де G от B — G от а
2:00
вот нуж приступим к доказательству доказательства в Но
2:07
прежде чем начать доказывать я вот что хочу сказать надо вначале убедиться что
2:13
формулировка теоремы корректна потому что конечно левая часть вот этого вот
2:20
равенства имеет смысл потому что сказано что штрих не равняется Ну но про правую
2:28
часть нигде ничего не ска вдруг в знаменателе здесь Но так
2:34
вот смотрите что получается Если G от А
2:40
равняется G от B то давайте посмотрим не обращая
2:46
внимание на функцию G на функцию F только на функцию G смотрите GX из C
2:54
существует от там неравно ну вот и G от А равняется G от B Но
3:03
тогда по теореме ролля по теореме ролля
3:09
существует Ну пусть будет Вот скажется я её с буквой С и доказывал C
3:15
принадлежащая такая что G штрих от C равняется
3:23
нулю вот а у нас условие что G штрих нигде в ноль не обращает
3:30
Значит значит и в правой части Здесь тоже всюду f от
3:37
B знаменатель не обращается в ноль и поэтому формулировка вполне корректная
3:45
Так значит теперь хочу сразу предупредить вот о чём
3:52
иногда начинают делать эту теорему доказывать Но ведь до этого в частности
3:58
Вот только что ну в конце самой прошлой лекции была доказана теорема Лагранжа и
4:05
если посмотреть на функцию F и G По отдельности то у нас что там получится
4:12
штрих есть точка промежуточная Что f от ра FB ми F де B — а
4:20
аналогично справедливо и для функции G Ну и вот некоторые делают вывод Ну вот
4:26
теперь разделим одно на другое и получим
4:32
если применять таким образом теорему гранжа то эти точки промежуточные не
4:37
обязаны быть одними и теми же для разных функций и поэтому там будет о а тут 2 Ну
4:46
это немножко не то доказательство идёт также по той же схеме что и в теореме
4:52
что и доказательство теоремы дава
4:59
вспомогательную функцию F бо от x это вот что это будет F мале от
5:08
x мину f от B — F А Де на G от B — G от
5:19
а Умно на GX —
5:25
G чит вот такую функцию рассмотрим мы уже убедились что вот это
5:31
вот отношение это имеет смысл знаменатель в ноль не обращается Так
5:37
значит что мы имеем мы имеем что f от x принадлежит
5:45
C Далее для каждого X принадлежащего интервалу
5:53
а существует F оном
5:58
понадобится тем самым убедимся в его существовании значит это F шт от x мину
6:07
f от B — F А Де G от B — G а Умно на g’
6:19
от x Ну вот действительно значит раз вот это Константа FX GX из C значит вот это
6:28
справедливо да ели вз точку не А и не то в каждой точке есть производная
6:34
производная от суммы разности произведение на число
6:39
здесь достаточно тоже вычисляются по этим формулам Так теперь Значит вот
6:46
получается FX Вот такая f от x такая опять же f от А равняется
6:55
Ну то есть равняется Ашу прощения F бо от А равняется F
7:02
малень от А так давайте найдём F бое от B получится
7:09
что это F маленькая в точке B вычесть FB
7:15
F А Де G от B — G А и ум
7:25
g — g
7:31
разности сокращаются F ми F тоже Взаимно
7:37
уничтожается остаётся F малень от а то есть я могу Дописать
7:44
f большо от А ну и теперь вот для функции f бо от А
7:52
уже Мы можем тепер применить теорему роля
7:58
тфу Следовательно по теореме роля у нас
8:05
найдётся принадлежащее интервалу AB такое что F штрих в
8:13
точке равняется нулю а штрих вот какая значит что же мы
8:20
имеем значит и получается у нас ну вот я даже здесь напишу чтобы вниз не ходить
8:27
Значит получается что F от равняется
8:35
Ну равняется нулю значит вот я и пишу F Рав FB ми
8:43
F де G от B ми G от Умно
8:50
наш в той же самой точке Ну и если разделим наш полум утверждение тере
9:00
тере доказана и очень даже хорошо что эта теорема доказана сейчас
9:06
потому что сейчас пойдём дальше и будем на эту теорему ссылаться Вот поэтому я
9:15
её не стираю а просто вот провожу черту Так теперь давайте рассмотрим
9:23
Следуй параграф пункт В общем как
9:29
ЗМ его так раскрытие неопределённости По правилу
9:35
лопиталя Вот вот наконец-то мы до этого дошли то некоторые студенты говорили в
9:41
начале сентября я и знаю правилата давайте я По правилу лопиталя буду
9:47
пределы последовательности искать нува
10:01
значит нач с неопределенной вида 0 но то есть вот
10:08
такие для начала неопределённость 0 де 0 Ну для этого тоже справедливо
10:16
некоторые утверждения рассмотрим это новый Как говорится параграф новый пункт нач
10:29
функци F и G таковы что для каждого X
10:40
принадлежащего интервалу а существует f от
10:47
x существует шри от x которое не равно
10:54
ну такле
11:02
F при X стремящемся к а п 0 равен
11:09
пределу G от при X стремящемся к А п0 равен
11:17
Ну так далее значит здесь можно написать существует Но раз я пишу равенство ловто
11:25
я неде потому
11:30
что там может быть и бесконечность А вот предел при X стремящемся к а + 0 А + 0
11:41
f’ от x де g’ от x равен K и это K и это
11:51
K может быть конечным числом плюс
11:56
бесконечность минус бесконечность значит вот три у него такие возможности
12:04
Тогда тогда предел при X стремящемся к а п 0 у
12:13
FX де GX равен той же самой величине
12:22
K вот есть вот смотрите фун фун
12:30
неопределенность вида 0 де 0 потому что вот вот и и G стремятся к нулю и вот нам
12:40
нужно раскрыть эту неопределённость дополнительно мы знаем
12:45
что у функции там есть у функции f есть производные вот с такими свойствами и
12:50
есть предел отношения производных может быть и
12:55
бесконечной может быть и бесконечной Вот Но я хочу сказать что здесь не может
13:03
быть в принципе равно бесконечности без знака просто хотя бы потому что есть у
13:10
нас теорема дарбу ведь F и F и значит
13:15
производные от них принимают все промежуточные значения и если бы здесь была это бесконечность без знака кото
13:29
была бы принимать и положительные и отрицательные значения но при этом тогда
13:35
раз она принимает и положительные и отрицательные значения Она должна проходить через ноль принимает все промежуточные значения производное Ну
13:43
вот поэтому здесь бесконечности И без знака и не
13:48
рассматривается Ну хорошо Доказательство доказательство такое достаточно простое
13:55
функция не определена в точке обе функции не определены в точке А
14:02
поэтому Давайте сами положим F а ра G а равно
14:11
Ну рассмотрим теперь произвольный X
14:17
принадлежащий интервалу AB то есть X вот там где эти функции
14:24
вс-таки даны уже в самом условии ирим
14:30
отрезок А значит в точке А мы функции f и G до
14:37
определили они никак не были определены если бы они были определены то мы бы об
14:43
этом забыли и определили бы их нулями Вот то есть вот так вот то есть
14:48
вот у нас в условии F и G даны только на
14:54
интервале справа от точки А теперь рассмотрим на
15:00
пер на отрезке поскольку функции мы до
15:06
определили нум мы можем применить к отрезку а теорему каши только что
15:15
доказан это можно сделать потому что вот как раз Посмотрите все условия выполняются вот Единственное что нове
15:23
что здесь вот прилежит а исключено Мы же до определили и до
15:31
определили предельным значением значит и эти функции стали принадлежать CX и GX
15:40
из CX всё нормально то есть то есть значит отсюда следует что
15:50
найдётся принадлежащее А ну то есть
15:56
принадлежащей это в средь ходит в AB вот такое
16:03
что такое что F штрих в точке X делить на G штрих в
16:12
точке X равняется FX — F
16:19
А Де GX —
16:25
G Но поскольку F и G мы до одели нум то
16:30
это получается FX де
16:35
GX Так где находится находится между А и X Вот это
16:42
я это у меня уже записано давайте я ещё раз напишу Вот
16:49
так А теперь давайте убедимся значит что вот этот вот предел совпадает с пределом
16:57
производных при стремящемся к п 0
17:06
FX де GX и этот предел равен пределу когда X
17:13
стремится к а п 0 F шри шри
17:19
от дешт от
17:29
и X и если X стремится к а оставаясь ВС время больше чем а то как и положено
17:37
промежуточной величине тоже стремится к а и остаётся всё время больше а значит
17:46
мы можем написать что это будет предел когда X стремится к а п 0 f от
17:56
Деш от Ну а это ни что иное как величина K
18:04
конечная или бесконечная Ну вот то есть тем самым теорема
18:12
доказана значит Итак вот что получило теорема
18:17
доказана для правостороннего предела
18:23
вот случа когда стремится к
18:32
двусторонним образом рассмотреть самостоятельно Ну то есть вот как вы
18:39
понимаете всё будет тоже самое только X будет стремиться значит ну если вы
18:45
докажете стремится к а ми 0 тогда из только что доказанной
19:00
ми естественно получается двустороннее стремление и к а
19:07
значит это вот таким образом значит но здесь X стремится к конечной
19:13
точке может стремиться ещё и К плюс бесконечности к минус бесконечности И
19:20
вот может стремиться и к бесконечности без
19:27
иже неопределенность Ну давайте Здесь тоже сформулируем и докажем теорему
19:35
теорема 2 Так пусть найдётся с больше ну такое
19:46
что что функции FX
19:52
GX G для каждого X
19:59
обладают свойством существует f от
20:06
x существует шри от x неравно
20:12
нулю далее предел
20:18
FX при X стремящемся К плюс бесконечности ран преде
20:28
стремящимся К плюс бесконечности равен нулю далее
20:36
предел при X стремящемся К плюс бесконечности f’ от x де g’ от
20:45
x равняется K и опять-таки это K конечное
20:52
число конечное число плюс бесконечность минус бесконечность
20:59
Ну тогда и предел при X стремящемся К
21:04
плюс бесконечности FX де
21:12
GX равняется той же самой величине K
21:18
Так ну что ж доказательства ну здесь как вы понимаете
21:24
мы не можем сказать Теперь давайте положим f от ПС бесконечности
21:29
ня поэтому придется делать немножечко по-другому
21:35
Так ну что тут можно сделать давайте это
21:41
я сотру пожалуй потому
21:46
что не охот мне на ту переходить на той мы лучше
21:53
будем доказывать ре
22:00
на бесконечно Так значит рассмотрим следующие две функции
22:10
рассмотрим функцию Отт Рав f от е
22:17
дет и Отт Рав
22:27
от функции f и G определены для всех X
22:33
больших чем некоторое положительное C то эти две функции определены при Т
22:41
принадлежащем 0 едини на с Вот то есть вот на таком вот конечном
22:49
уже интервале 0 едини на Так нам понадобится
22:56
производят пока дава можно Пока без производных
23:02
сказать К чему стремятся п при т стремящимся к нулю понятно что
23:11
предел Отт при т стремящимся к ноль
23:16
вправа и предел Отт при т стремящемся к Ну тоже
23:24
справа Рав Ну ну потому что это же FX когда X
23:34
стремится к плюс бесконечности вместо икса единицу на Т подставили получили
23:40
как раз то что надо так теперь нам понадобится производная производная шри
23:50
Отт будет это производная сложной функции
23:56
значит это будет штрих по X в точке
24:02
едини на Т умножить на производную от едини на Т то есть на ми1
24:10
натк так штрих от т я не пишу точки Можно точку
24:19
писать но над буквой пси трудно точку поставить Она Сюся в серединке
24:26
палочкой поэтому пусть так будет равняется g’ от
24:34
x при x равном 1 на T и тоже умножить на
24:39
-1 детк Ну стало быть стало быть э мы имеем
24:48
что предел при т стремящемся к 0 +
24:56
0 штрих Отт де p’
25:02
Отт равняется равняется это будет
25:08
предел пока что при т стремящемся к нулю справа Ну вот значит что же тут надо
25:15
написать вот f’ по X от 1 на
25:20
T умножить на -1 / T де g’ по X от
25:28
единиц натт А и ещё на -1 натк Да делить
25:35
Тото мы можем поэтому я вот надо дописать не равняется нулю у нас штрих
25:41
по X нигде в ноль не обращается так что всё правильно Так теперь сократим вот на
25:47
это -1 / натк И вот я даже вот так
25:53
просто сокращ потому что теперь я хочу сделать замену ээ Ну т вместо вместо
25:59
единиц на Т Я хочу написать X Ну и это
26:04
естественно получится предел при X стремящемся К плюс
26:10
бесконечности F штрих по X в точке X Деш
26:16
по X в точке X А этот предел по величине равен
26:21
K Ну и те тепер Т что же у на получается получается фу п мы можем применить
26:30
только что доказан ную теорему 1 вот стало быть стало
26:38
быть мы можем сказать что и предел при т стремящемся
26:46
к нулю значит по теореме О вот так при т
26:51
стремящемся к нулю справа Отт де Отт
26:58
ран той же самой величине Ну а тогда ну а тогда у нас
27:05
получается что и предел при X стремящемся К плюс
27:12
бесконечности FX де GX он равен пределу прит стремящемся к
27:21
нулю справа F
27:31
равняется пределу прит стремящемся к 0
27:37
п0 от де Отт а он равен Ну Дело в том
27:43
что как раз вот это надо бы чтобы где-то записать Ну давайте вот я здесь напишу Т
27:51
стремится п
27:58
когда X стремится к плюс бесконечности Ну потому что равняется ени на на X Ну
28:07
вот тем самым И тем самым теорема теорема
28:13
доказана вот опять же самостоятельно распространить эту
28:21
теорему на случай на случа
28:27
когда ми бесконечности Ну и как следствие когда X стремится к
28:34
бесконечности без знака Вот X может стремиться к бесконечности без
28:40
знака Вот F дешт не получается потому что у
28:48
нас теорема дарбу есть Ну ладно знат
28:58
и так есть возможность раскрывать неопределенности вида 0 де на но Ну
29:08
теперь теперь пойдём дальше следующий естественно шаг это неопределённости
29:16
вида бесконечность делить на бесконечность Ну дайте Ях здесь напишу вот так
29:28
поставим такой вот ну то есть это тот же случай что вот
29:34
с неопределённо сями вид но на но то есть когда и числитель и
29:42
знаменатель не имеют предела Но этим этом этому пределу можно придать
29:50
бесконечное какое-то значение Ну со знаком или без знака как правило конечно
29:57
поскольку там производные будут фигурировать то соответствующие бесконечности будут со
30:04
знаком Так ну вот Давайте установим теорема
30:11
3 теорема 3 опять-таки Пусть
30:17
функция FX
30:22
GX Пусть функция FX GX таковы что для
30:30
принадлежащего интервалу AB существует F шри от
30:37
x существует шри от x которое не равна
30:44
нулю опять же будем теорему каши применять
30:49
далее предел предел F примм
30:59
равен плюс бесконечности такой случай рассмотрим
31:05
предел GX при X стремящемся К плюс
31:11
бесконечности ой подождите не то при X стремящемся к а п 0
31:18
Это плюс бесконечность это вот здесь Здесь тоже а п0 а предел вки Рап
31:29
бесконечности вот здесь я Обратите внимание не пишу предел равен
31:35
пределу потому что пределы В строгом смысле не существуют но про каждый можно
31:40
сказать что предел равен плюс бесконечности то есть для всякого там
31:47
это самое м большего нуля найдётся Дельта и так далее ну в общем как
31:54
положено давать определение Что значит предел равен плю бесконечности так
32:00
далее предел при X стремящемся к а п 0
32:08
отношение производных f’ от X дешт от x равен
32:17
K вот K ну Давайте напишем конечное число плюс бесконечность минус
32:24
бесконечность
32:30
предел при X стремящемся к а п 0 при
32:36
стремящемся к а п 0 FX
32:42
де равен той же самой
32:48
величине Так ну вот это доказательство уже с более
32:55
лее дотест этой теоремы Так ну что ж приступим к
33:03
доказательству значит давайте посмотрим а Да Вот Что Вот у меня здесь предел FX
33:10
и предел GX равен плюс бесконечности я сразу хочу сказать что если вдруг FX
33:19
стремится к минус бесконечности то мы просто-напросто вместо F будем рассматривать функцию
33:30
это самое будет уже стремиться к плюс бесконечности Аналогично с функцией Почему и F и не могут
33:39
стремиться к бесконечности без знака при X стремящимся к а п 0 значит ведь вот
33:46
смотрите у f и есть производные тми э функции вки
33:58
принимает все свои промежуточные значения Это в первой
34:05
части нашего курса вот поэтому вот смотрите если
34:11
FX стремится к бесконечности без знака и этой бесконечности нельзя
34:19
придать нельзя придать знак то что это означает что она как угодно возрастает
34:25
по абсолютной при этом бывает и положительной и отрицательной Но если
34:32
она как угодно бывает принимает и как угодно положительное и как угодно отрицательное
34:38
значение то она и промежуточное значение ноль тоже будет принимать как положено
34:44
непрерывной функции А тогда предела равного бесконечности не будет Я
34:51
ведь могу уре П 0 как раз по нулям этой
34:58
функции вот это вот относится и к функции G и вот дальше мы
35:04
пойдём говорить про функции f штрих G штрих они
35:11
тоже уже так сказать принимают любое промежуточное значение но не потому что
35:17
непрерывные производная тоже принимает промежуточное значение даже разрывное есть теорема дарбу вот так так что то
35:25
что здесь записано плюс бесконечность это никоим образом не умаляет
35:31
общности рассуждений Ну что ж
35:37
Давайте рассматривать что здесь получается значит итак итак вот значит
35:45
предел у f и предел у G плюс бесконечность если в этой теореме предел
35:52
равнялся Ну и мы могли положить
35:57
его предельному значению то здесь мы этой возможности лишены и приходится
36:05
как-то по-другому обходиться значит Итак смотрите что
36:10
получается рассмотрим функцию G отш от
36:16
x не равняется нулю
36:22
Следовательно на всм интервале AB соно
36:28
ИТ постоянный зна Вот почему это так А вот почему если
36:36
бы она имела знаки и плюс и минус то она должна была бы принимать и промежуточные
36:42
значени как и положено Согласно теореме дар а она в ноль обращаться не может Вот
36:50
поэтому онахт Постой ть
36:58
от X1 ми от X2 равняется по теореме
37:06
Гран равняется штрих в какой-то промежуточной точке
37:11
умножить на X1 -2 Ну вот Приходится мне в этом
37:17
месте фактически доказывать теорему которую я е в сво время буду доказывать
37:23
что функциям функции производной одного и
37:28
того же знака то функция строго то функция монотонна Вот Следовательно вот
37:36
поскольку g’ от C так сказать сохраняет постоянный знак то это означает то это
37:43
означает что G от x монотонно Ну насчёт так сказать
37:51
строгости это как говорится Бог с ней но монотонно этого нам достаточно так а раз
37:58
но с другой стороны GX стремится к
38:05
бесконечности но GX стремится Ой лучше написать со словом
38:11
предел предел GX при X стремящемся к а п
38:16
0 равен плюс бесконечности Следовательно G
38:25
отш ме Ну для лю
38:30
принадлежащего а ну а плюс какое-то это с
38:36
волной Ну не может быть больше Ну если
38:41
будет боль Ну то функция будет возрастающий а она стремится к плюс бесконечности в точке А ну как она ещё
38:48
больше плюс бесконечности будет А на сколько на или в раза больше или както
38:55
ет поэтому она может только там убывать то есть она
39:01
э будет это иметь отрицательную производную так
39:09
чтобы не вводить в этом месте новых букв давайте считать давайте считать что это
39:18
справедливо для всех X из AB Ну если
39:24
вдруг это несправедливо Если вдруг это несправедливо Тогда тогда
39:31
мы просто сократим интервал А нас интересует то что происходит при
39:37
стремящемся к А ладно Так значит вот
39:42
Итак вот это вот обозначим вот если надо снимем точку значит Итак Вот что
39:50
получается
40:00
найдётся найдётся стало быть Т берём x0 берём
40:07
x0 берём x0 берём x0 сейчас значит надо
40:18
взять А вот ещё что надо Е взять Вот
40:24
откуда в что FX FX то есть опять же предел GX предел
40:34
GX при X стремящемся к а п 0 равен плюс
40:41
бесконечности вот отсюда следует отсюда следует
40:47
что существует Вот теперь уже это без знака
40:53
это больше ну это больше ну кое что
41:00
F то есть то есть G от x больше ну для
41:06
любого X принадлежащего а а плюс Это
41:13
здесь уже это не это с волной а Без без тильты вот почему так А это уже у нас ну
41:21
в каком-то смысле по теореме о сохранении знака правда я
41:27
здесь немножечко так сказать её использую немножечко в
41:35
расширенном в расширенной формулировке я её
41:43
формулировать числу тогда В некоторой окрестности она
41:48
будет положительна значит если предел какой-то положительный Значит она положительна если предел Отрицательный
41:54
Значит она отрицательна но здесь предел всё-таки не число а плюс бесконечность Ну плю Ну раз она плю стремится к плюс
42:02
бесконечности значит будет больше там единиц Ну и поэтому в общем можно применить И вот теперь рассмотрим
42:10
x0 равный X то есть а плюс это и теперь
42:20
рассмотрим вот я вот так чувствую что надо где-то сделать перерыв вот слаем в
42:26
удобном пере каком-нибудь Так значит что мы здесь запишем тогда
42:33
Для всякого x принадлежащего
42:39
принадлежащего x принадлежащего а
42:44
x0 для каждого и возьмём теперь X принадлежащее А x0 И вот тепер вот тепер
42:53
применим теорему
42:59
к отрезку x0 вот я не могу как в предыдущей
43:05
теореме применять её к AX А вот применим к отрезку
43:11
x0 применим теорему каши значит тогда по теореме
43:17
каши существует существует принадле
43:27
такая что FX — FX 0 де G от X — G от
43:42
x0 равняется f’ от x де g’ от
43:50
x значит вот применили теорему каши Ну вот Давайте вот здесь сделаем перерыв
43:59
всё это правильно сказано только вот немножечко
44:05
немножечко преждевременно Вот почему
44:10
значит
44:17
вот ну ладно пусть это вот это вот это равенство я потом придется мне его ещ
44:25
раз написать по теореме потому что вот здесь в отличие от
44:32
доказательства теоремы 1 у нас сразу получался там конечный
44:38
предел или бесконечный Неважно а вот здесь К
44:44
сожалению приходится эти два случая разделять Ну вот
44:50
давайте рассмотрим Пусть конечное число
44:59
Пусть K конечное число так раз K конечное число
45:07
то это означает что вот Что вот этот вот
45:12
предел вот этот вот предел существует Вот давайте я даже специально напишу
45:19
этот квантор существует предел при X стремящемся к а + 0
45:27
F шри от x де g’ от x который есть K и
45:36
вот этот предел распишем как положено расписывать предел
45:41
поши то есть то есть для всякого сиси
45:48
большего нуля найдётся найдётся Вот вот здесь
45:58
вот ведь что вот здесь надо эту ну скажем вот какую другую величину Ну
46:06
ладно пусть будет так найдётся Дельта первая раз я букву э уже
46:12
испортил найдётся Дельта первая больше нуля такое что для любого X
46:20
принадлежащего а п
46:25
де абсолютная величина f от x
46:34
Деш от x ми K меньше Ну вот мне вс-таки
46:40
си Здесь много слишком будет Пусть меньше чем си
46:45
пополам так А вот теперь А вот
46:51
теперь после этого после этого дава вот что
46:58
сделаем рассмотрим рассмотрим вот здесь я уже букву уже
47:05
написал рассмотрим следующее обозначим теперь вот это вот x0
47:14
равно А плю дель пер Пусть Оно так будет и
47:23
возм возьмём любое X любое X принадлежащее
47:31
А x0 И вот к ним применим теорему каши вот
47:36
это вот придётся записать наново потому что я вот здесь начал было доказывать
47:42
как будто уже к конечное число Нет это вот сейчас только надо И вот теперь
47:49
напишем теорему
48:00
x0 такое что F штрих от
48:06
дешт от равняется
48:13
FX — F x0 де G от X
48:25
-0 пользуемся вот этим вот соотношением вот тут напишем X меньше
48:34
чем меньше чем x0 поскольку вот это вот как раз x0 то
48:42
для всех X отсюда вот это выполняется Следовательно Для всякого си большего
48:50
нуля найдётся Дельта пер боль ну что для
48:59
каждого что для каждого X принадлежащего а а + Дельта
49:07
пер здесь я запишу FX — f от
49:13
x0 де GX — G от
49:19
x0 — K меньше чем си пополам поясняю
49:26
Почему потому что вот это вот это разностное отношение оно
49:32
равняется F де на G штрих В некоторой промежуточной точке это и годится Это
49:40
для любой точки отсюда стало быть это тоже будет меньше чем сиси пополам Вот
49:48
здесь-то как раз и используется что нельзя Вот я обращал ваше внимание в теореме каши два раза воспользоваться
49:56
терема гранжа там получатся разные точки X1 и2 А здесь одна и та же точка И она
50:02
как раз вот между X и x0 так что теперь
50:08
А теперь смотрите нам нужно доказать что и отношение функций стремится к именно
50:20
к к тому числу у конечное
50:26
Тае соотношение FX де
50:35
GX — K Так ну Давайте напишем это так это
50:41
будет f от x0 — K Умно на G от
50:50
x0 GX прибавить 1 ми G от x0 де
51:01
GX и умножить на FX — f от
51:09
x0 де G от X — G от
51:15
x0 ми K Ну вот как говорится следуя питали или
51:22
как там ещё кто впервые обратил внимание что вот такое соотношение может иметь место а Давайте проверим вот смотрите
51:30
вот я написал написал Вот правильно оно или нет ну я не буду говорить очевидно
51:37
что Давайте проверим Давайте проверим Так а здесь Я
51:45
буду дальше доказывать уже так немножко осталось А давайте проверять я буду в
51:51
стороне рассмотрим второе слагаемое в правой части
51:57
Вот только второе слагаемое в правой части вот произведение этих скобок Вы же понимаете первая скобка — это GX ми g0
52:06
де GX Ну и Давайте перемножать значит когда будем перемножать на первый так
52:12
сказать на уменьшаемое на первое слагаемое во второй скобке то там GX ми
52:18
g0 сократится смотрите что получится значит тогда получится Когда мы это ВС
52:25
проделали будет G
52:30
от умножается на FX ми
52:37
f0 F x0 так это я умножил вот это
52:43
выражение сюда а теперь я это же умножаю на K ми K и
52:51
плюс g0 GX значит Ну вот что получилось когда
52:59
я перемножил вот эту разность на эту Так
53:05
ведь глядите что здесь получилось получилось так Ага Нет
53:10
немножко не совсем а нет всё правильно теперь надо прибавить ещё вот это
53:16
выражение значит вот теперь к нему бы если прибавим FX 0 / GX вот оно пропадёт
53:27
так а K и п K G x0 / GX пропадёт с этим
53:34
Значит что останется а останется F де G в точке X — K Так что это правильно Ну
53:43
вот то есть доказательство идёт по такой вот видите схеме легко видеть
53:50
что ну мы проверили Так что действительно это легко видеть
53:57
вот я взял и проверил в пользу этого так сказать
54:02
способа Я хочу вот что вам сказать как вы в школе например доказывали чему
54:08
равняется разность кубов двух чисел Вам говорили Давайте проверим что
54:15
А — B у а к п AB п B к давайте-ка перемножить Кто быстрее перет А ну вот
54:22
кто быстрее что получилось —
54:27
фр так и здесь Давайте проверим проверили ВС значит это справедливо А
54:35
что теперь А теперь у нас предел Вот уже который раз
54:43
предел при X стремящемся к а п 0 G
54:50
от ра плю
54:55
бесконечности бесконечности Следовательно
55:00
Следовательно так давайте-ка здесь напишем Следовательно Для всякого си
55:06
большего нуля найдётся Вот теперь уже Дельта будет без индекса Но я сразу его
55:13
возьму меньше чем Дельта 1 принадлежащее ноль Дельта первая вот чтобы потом не
55:21
выбирать здесь можно было бы Дельта 2 взять а потом выбрать Дельта из них самое маленькое Ну вот я лу сде найдется
55:28
Дельта принадлежащая 0 Дельта 1 такое что для любого Нет я лучше так здесь
55:36
буду писать для любого X принадлежащего а а п
55:44
Дельта следует что модуль вот этого вот выражени F
55:55
[аплодисменты]
56:00
Мень чем по почему это можно сделать а потому что f0 x0 мы уже выбрали точку x0
56:09
у нас выбрано значит вот это мы какое-то число получается а GX идёт в
56:16
бесконечность мы можем её так близко взять к точке А что вот это выражение
56:23
будет меньше чем по что дальше А дальше ещё вот Что вот я
56:30
хочу сказать что вот это принадлежит интервалу
56:36
01 опять-таки Почему принадлежит а потому что X между А И
56:44
x0 то есть функция GX больше чем GX
56:51
0 вот стало быть стало быть Вот это вот эта скобочка она не очень большая Ну и
57:00
тогда что же получается Следовательно Для всякого си большего нуля найдётся
57:08
уже теперь Дельта больше нуля вот это вот которая из 0 Дельта 1 что для любого
57:16
X принадлежащего а а + Дельта
57:21
справедливо следующее соотношение Вот теперь я его перепишу FX /
57:28
GX — K а оно меньше либо
57:35
равно f от x0 — K G от
57:44
x0 де на GX плюс А это принадлежит 01 поэтому мы
57:53
можем сразу написать FX F
57:59
x0 G ми g0
58:06
ми так Потому что вот множитель который здесь он 0 даже можно строго меньше
58:12
поставить но ничего страшного здесь всё равно будет меньше первое будет меньше
58:17
попола Но и второе меньше попо только за сч выбора Дельта 1 а
58:24
это вот Но это ещё не значит что теорема доказана теорема пока что доказана
58:30
только для случая K конечное число
58:36
Так теперь
58:41
K равняется плюс бесконечности вот здесь не зря в общей
58:49
формулировке написано плюс и минус бесконечность потому что вот я сказал что здесь может быть и минус
58:55
бесконечность Но тогда мы вместо F или G переходим к ми F и к ми G Но вот
59:01
действительно при Вот таких вот условиях на на на эту теорему минус бесконечности
59:08
здесь и быть не может в самом деле откуда может взяться
59:15
что отношение производных стремится к минус
59:21
бесконечности ведь у нас что же получается
59:26
F то есть G штрих G штрих всё время
59:32
отрицательно штрих всё время отрицательно значит что же это может
59:37
быть что тогда штрих будет всё время положительно Но ведь и предел
59:46
FX предел FX он тоже ведь равен плюс бесконечности По условию
59:52
теоремы поэтому и FX будет
59:57
не может иметь положительную производную нельзя возрастать от плюс бесконечности
1:00:03
вот всё-таки кто-то ко мне тут в перерыв подошёл Почему у от x производно
1:00:08
отрицательно Ну вот теперь я хочу сказать что и у FX тоже не может быть
1:00:14
положительной производной то есть случае равно минус бесконечности здесь и быть
1:00:20
не может тогда сри поча
1:00:26
получается что предел предел при X стремящемся
1:00:34
к а п 0
1:00:40
FX равен плюс бесконечности Это я переписал а предел при X стремящемся
1:00:47
тоже к а п 0 F
1:01:00
не предел А просто f отш от оно тоже будет меньше нуля Почему
1:01:09
а потому что предел вот этот вот равен плюс бесконечности Но если штрих всё
1:01:16
время отрицательно то и штрих будет ВС
1:01:24
время теперь я напишу предел при X стремящемся к а +
1:01:30
0 f’ от x де g’ от x равен плюс
1:01:37
бесконечности но отсюда следует отсюда следует что
1:01:44
предел при X стремящемся к а + 0
1:01:51
G FX
1:01:58
Ну обратная величина бесконечно большой бесконечно Малая вот а штрих всё время
1:02:05
отрицательно штрих всё время отрицательно Значит она не может обращаться в ноль то есть вот всё что
1:02:12
надо тут выполнено А теперь давайте рассмотрим только что
1:02:19
доказанный случай конечности предела но
1:02:24
прин к функциям и
1:02:31
F применим его к функциям и тогда получается тогда получается
1:02:39
значит по только что доказанной конечному случаю но с переставленными F
1:02:45
и мы получаем что
1:02:51
существует преде Прим а + 0 у
1:02:58
GX де FX и он равен нулю и он равен вот этому
1:03:07
Вот пределу то есть он равен нулю Следовательно Следовательно
1:03:14
предел при X стремящемся к а + 0
1:03:21
FX GX ра п бесконечности здесь я уже не
1:03:27
пишу существует Значит предел F де G уже здесь плюс бесконечность опять-таки
1:03:33
переворачивать можно Потому что и F и G здесь
1:03:39
стремятся к бесконечности определённого знака значит В некоторой окрестности они
1:03:45
уж заведомо отличны от нуля и поэтому переворачивать значит можно искать пределы обратной величины вот Ну тем
1:03:53
самым уже теорема становится полностью доказа вот
1:04:00
Ну опять же опять же
1:04:05
самостоятельно самостоятельно рассмотреть такой вот
1:04:10
случай X стремится вот если X стремится к а — 0 и X двусторонним образом
1:04:19
стремится к а вот здесь как раз вот ко мне Жуков подол с вопросом вот здесь
1:04:25
поэтому дава объясню Это для всего это само для всего
1:04:30
потока Ну точнее для всех присутствующих что как же так тут X из
1:04:40
интервала А значит B бо а а X стремится к а ми 0 нет ребят надо переделать Вот и
1:04:46
теорему 1 и вот сейчас я говорю переделать и теорему 3 на случай когда X
1:04:52
стремится к а -0 есть
1:04:58
принадлежит меньше чем А вот тогда мы можем говорить о правом пределе о
1:05:04
пределе справа при X стремящемся к а п 0 зачем мне это нужно зачем я вот стараюсь
1:05:12
с этой буквой а не хочу сказать что давайте бы в этой теореме Пусть X так
1:05:18
сказать стремится к B ми 0 чего-то такое переделать а я потом хочу их объединить
1:05:24
и пусть будет НМ образом стреми к а вот зачем мне это надо Вот то есть вот такой
1:05:32
вот случай так сказать рассмотреть точно также Вот вы видели
1:05:38
как я доказал теорему 2 из теоремы 1 я ввёл две функции и вот
1:05:47
поэтому если здесь вот я теорему 2 выводил из теоремы 1 вот таким вот
1:05:54
образом Ну абсолютно всё то же самое сделать и доказать соответственно
1:06:02
теорему 4 теорема 4ре тоже значит самостоятельно
1:06:10
рассмотреть вот какую значит пусть найдётся C больше ну такое что f от
1:06:20
x G от x для любого X
1:06:26
значит FX GX для любого X большего C
1:06:32
большего C существует f’ от
1:06:38
x существует шт от x которое не равно нулю
1:06:47
далее предел предел
1:06:54
FX при X стремящемся К плюс бесконечности при x стремящемся равен
1:07:02
плюс бесконечности предел
1:07:07
GX при X стремящемся К плюс бесконечности тоже равен плюс
1:07:15
бесконечности а предел при X стремящемся тоже К плюс
1:07:22
бесконечности отношения производных f’ де g’ равен K где K конечное
1:07:33
число плюс бесконечность минус бесконечность Ну на самом деле вы
1:07:39
увидите что кое-где бесконечность будет совсем определённого
1:07:44
знака тогда предел при X стремящемся К плюс
1:07:50
бесконечности FX GX
1:07:56
тоже равен той же самой так сказать величине конечному числу или соответствующей
1:08:04
бесконечности Ну и точно также точно также перенести эту теорему
1:08:12
на случай когда X стремится к минус бесконечности Иво
1:08:26
бести без знака Вот так
1:08:32
значит Итак будем говорить Так что мы с Вами потому что ну я что я
1:08:39
только сколько здесь в этой в этом параграфе раскрытия неопределённости
1:08:45
только три теоремы доказал Ну и то в какой-то вот такой вот
1:08:50
формулировке остальные формулировки для ва Ну в общем то есть
1:08:56
мы с вами теперь можем
1:09:02
пользоваться и раскрывать неопределённости По правилу
1:09:09
лопиталя так но в начале прежде чем вот я хочу конечно вот здесь вот обязательно
1:09:15
придётся рассматривать примеры прежде чем рассматривать
1:09:22
примеры рассмотрим неопределённость других
1:09:28
видов Какие вообще так в принципе могут быть у нас
1:09:36
неопределённости не всегда Они вот я просто вот хочу сказать что остальные
1:09:43
неопределённости с помощью преобразований ээ сводятся к неопределённостей
1:09:55
и бесконечность делить на бесконечность Ну значит в самом деле вот если Какие
1:10:02
бывают ещё неопределённости 0 умножить на бесконечность ну здесь понятно что
1:10:10
либо мы Ну то есть одна функция стремится к нулю а другая к бесконечности Ну тогда мы либо ту
1:10:18
функцию стремящиеся к нулю заменяем на единицу делённую на эту функцию либо у
1:10:24
другой функции вот да вот кстати надо сказать
1:10:29
что иногда кое-кто думает что А зачем вообще
1:10:35
вот эту бесконечность на бесконечность тем более Вон как сложно
1:10:41
доказывало ведь в конце концов а давайте рассмотрим тогда единиц на FX и едини на
1:10:47
GX Ну вот я хочу сказать что вот будем примеры рассматривать и
1:10:53
там применяя теорему скажем 1 вместо теоремы 3 мы
1:11:00
можем получить что непонятно А к чему стремится отношение производных то есть
1:11:05
ради чего всё это затевается так что приходится приходится устанавливать и
1:11:11
теорему 1 и теорему 3 вот значит Вот поэтому я и сказал Вот но Умно на
1:11:17
бесконечность взависимости от того какие бывают условия сводится
1:11:27
если вместо этой бесконечности напишем разделить на обратную величину либо
1:11:33
вместо нуля напишем разделить на обратную величину Так что ещё бывает также
1:11:41
преобразованиями сводится Вот такая вот вещь бесконечность минус бесконечность
1:11:47
но здесь должен сказать не всегда
1:11:54
неден бести разных знаков то их разность
1:11:59
никакая не неопределенность Но если от плюс
1:12:05
бесконечности отнять минус бесконечность то конечно получится плюс бесконеч вот
1:12:13
неопределённость получается когда обе бесконечности одинакового знака тогда вот полу это с
1:12:25
конкретного примера преобразований Так что ещ значит
1:12:31
Какие бывают ещё значит неопределённости бывают вот
1:12:37
такие вот я сразу их перечислю потому что они одним путём
1:12:43
делаются затем но 0 П 0 в Степе п
1:12:57
СТ п вот здесь надо понимать 0 П 0 и вот
1:13:04
тут не как сумму двух чисел а как символ Ну вот у нас в теореме всё время
1:13:10
А п0 значит и вот здесь такая же веь вот такие вещи такие так сказать
1:13:17
неопределённости а
1:13:24
нет а показатель то может быть и отрицательный и Да также как и здесь это
1:13:30
я уже чего-то зря написал Вот основание должно стремиться к нулю оставаясь
1:13:37
больше нуля вот эти неопределённости предварительно
1:13:43
логарифми ет логарифм непрерывная функция то есть через основное логарифмическое тождество представляют
1:13:50
его в некотором виде Ну и тогда получается либо неопределённость вида 0
1:13:55
/ 0 либо бесконечно бесконечно либо Вот такая ну её раскрывают Ну вот давайте
1:14:01
рассмотрим некоторые примеры Ну первый пример так сказать на
1:14:07
радость всем — Это первый замечательный предел предел sin x Дели x при x
1:14:17
стремящемся Вот видите двусторонне то есть надо к иксу и с той стороны прийти и к этой он равен пределу при X
1:14:26
стремящемся к нуси X де 1 то есть предел ран но это не
1:14:32
есть доказательство первого замечательного предела я об этом уже говорил два раза ещё повторю третий что
1:14:39
от чего так вроде бы всё выполняется все условия теоремы Ну оди только и
1:14:47
стремится
1:14:56
фун являются имеют производные при X ра Ну Рав Ну даже производная от ИК Отлично
1:15:05
от нуля всё в порядке то есть как иллюстрация годится как доказательства
1:15:10
нет потому что вспомните как мы доказывали Чему равна производная от
1:15:16
синуса мы Для этого пользовались первым замечательным поэтому доказательство под
1:15:25
Как есть так давайте дальше рассмотрим
1:15:31
вот такое альфа больше ну найдём предел при
1:15:38
X стремящемся к бесконечности наверное здесь так да здесь к
1:15:45
бесконечности К плюс бесконечности натуральный логарифм x / x
1:15:51
в степени Альфа так Ну это неопределённость вида
1:15:57
бесконечность делить на бесконечность значит применяем правило лопиталя
1:16:04
получается 1 де X А здесь Альфа x в
1:16:10
степени Альфа — 1 Ну немножечко преобразуем получится у нас единица на
1:16:16
Альфа предел при X стремящемся К плюс бесконечности 1 де X в Степе
1:16:25
а значит и получается в пределе Но вот то есть то
1:16:34
есть логарифм X есть о малень от x
1:16:40
степени Альфа при X стремящемся К плюс бесконечности вот Обратите внимание
1:16:47
Только сейчас вы это доказали толь толь
1:16:55
е когда находили Ну когда контроль по перво
1:17:00
пределам последовательности Ну мы же знаем что логарифм растёт медленнее
1:17:08
чем Ну что значит мы знаем это надо уметь доказывать это можно доказать и
1:17:13
без правил вы питали Но это больно долго Вот вот но чаще обращались ги
1:17:25
то что я сейчас как раз и запишу Пусть Альфа бо
1:17:30
ну и а больше единиц найдём предел при X
1:17:37
стремящемся К плюс бесконечности x в степени Альфа де а в
1:17:43
степени x Вот это тоже неопределённость вида
1:17:50
бесконечность Дели бесконечность вот а это получается
1:17:56
предел при X стремящемся К плюс бесконечности в знаменателе А в степени
1:18:02
x Log а а здесь будет Альфа x в степени Альфа — 1 ну и здесь вот
1:18:12
смотрите правило лопиталя Иногда приходится применять несколько раз вот если Альфа между нулём и единицей
1:18:21
включая единицу вот но меньше либо равно едини то
1:18:28
знаменатель продолжает стремиться к бесконечности а числитель либо константой стал
1:18:34
либо вообще стремится к нулю и никакой неопределённости нет и в пределе будет
1:18:39
ноль а если неопределённость сохраняется то применяем правила питали
1:18:46
ещё раз Какая к этому тактика аккурат это
1:18:54
ели он существует ВС забудем на время об этом Давайте найдём этот предел А его
1:19:02
тоже будем искать По правилу лопиталя то есть будем искать второй раз и так далее
1:19:07
и в конечном счёте получится ноль то есть то есть x в степени
1:19:14
Альфа есть о малень от А в степени при стремящемся к п
1:19:23
бесконечности м вопросом Мне многие студенты надоели Ну как же так ну степенная же функция растёт медленнее
1:19:31
чем показательное стало быть вот даю на контрольный пример найти предел N там в
1:19:39
кубе де 3 в степени N Ну так он ясно равен нулю N вку растёт медленнее и вот
1:19:45
всё решение как раз вот сейчас мы к этому делу подходим что мы это умеем
1:19:52
доказывать вот так Так ну что тут ещё можно
1:19:59
рассмотреть а давайте рассмотрим вот такой пример тоже Альфа больше ну
1:20:08
найти найти предел найти предел x в степени Альфа
1:20:14
значит найти предел когда X стремится к нулю справа x в степени Альфа умножить на
1:20:23
натуральный логарифм X Вот как раз тот самый случай вот 0 умножить на
1:20:29
бесконечность это стремится к нулю а логарифм стремится к бесконечности Ну к минус бесконечности так вот смотрите что
1:20:37
я сделаю я напишу что это будет предел при X стремящемся к а 0 +
1:20:46
0 Гари X де x в степени ми аф
1:20:54
Вот то есть я это приведу к неопределённости вида бесконечность делить на бесконечность Попробуйте сами
1:21:03
Если вы возьмёте наоборот x в степени Альфа чтобы была неопределённость 0 на 0 дел на 1 делить
1:21:11
налом X А ничего хорошего у вас не выйдет Это я к тому что вот эту теорему
1:21:18
теорему третью надо доказывать вот а здесь уже всё будет в
1:21:27
порядке потому что смотрите будет предел при X стремящемся к 0 П 0 1 иксо А здесь
1:21:36
будет соответственно мину Альфа x в степени ми
1:21:42
Альфа — 1 Ну а это равняется предел при X стремящемся к 0 П 0 ага надо было
1:21:51
Альфа вынести за знак предел Ну ладно пусть будет мину Альф и здесь будет
1:21:58
по-прежнему уже x в степени Альфа А это уже никакой неопределённости не содержит
1:22:03
в пределе но нуж что что там О большое о маленькое записывать не
1:22:10
буду вот в частности ещё вот
1:22:16
что пятый пример Давайте найм предел при
1:22:22
стремящемся к ну x в степени
1:22:27
x Ну но в нулевой не определен А какой же здесь предел это предел вида ноль в
1:22:35
нулевой вот предел при X стремящемся к нулю е в
1:22:42
степени x логарифм X равняется
1:22:48
е поскольку экспонента непрерывная функция предел
1:22:54
при X стремящемся к нулю справа естественно X у налогам X Ну а этот
1:23:03
предел Мы только что раскрывали для произвольного Альфа большего нуля Значит
1:23:08
получается что это будет е в нулевой то есть
1:23:14
единица так вот не всегда хорошо вот думать что вот
1:23:22
предел отношения производных он неравен пределу отношения
1:23:29
функции правило питали говорит о том что при некоторых условиях скажем вот я так
1:23:36
поэтому общие слова говорю что при некоторых условиях предел отношения функций равен
1:23:44
пределу отношения производных но отсюда
1:23:50
не следует что ЕС прини
1:23:55
отношени проводных не существует то и предел отношения функции существовать не
1:24:01
будет Вот давайте рассмотрим такой предел это будет уже шестой
1:24:08
пример предел когда X стремится к плюс
1:24:13
бесконечности 2x плю сину x адеме 3
1:24:24
существует и находится он безо всякого правила выпита вот Каким образом значит
1:24:32
предел никаких производных для этого не надо разделим числитель и знаменатель на
1:24:39
это самое на Д на X получится 2 п sin x
1:24:45
де X А здесь 3 ми
1:24:51
X и предел ра 2/3 потому что одна иксо
1:24:57
стремится к нулю Что здесь что здесь а си X и
1:25:02
косинус X как функция ограниченная Значит тоже получается произведение бесконечно малой на ограниченную А вот
1:25:10
если кто-то увидит в этом но это действительно вс-таки неопределённость вида бесконечность на
1:25:17
бесконечность потому что и числитель знаменатель стремятся к бесконечности А вот предела
1:25:25
предел отношения производных то есть 2 п cos x де 3 п sin
1:25:35
x вот такой предел не
1:25:41
существует то есть вот к сожалению встречаются такие неправильные способы
1:25:47
применения Ага это неопределенность вида бесконечность на бесконечность значит
1:25:52
давайте иска нони он не существует вот до этого места ВС
1:25:58
правильно а дальше неверный вывод Ну значит и этот не существует Почему По
1:26:04
правилу лопиталя нету вот правила лопиталя что
1:26:09
если есть отношение производных То есть если предел отношений производных
1:26:15
существует хотя бы бесконечный Вот то тогда и предел
1:26:21
отношения функции существует там прини дополнительных условий
1:26:28
вот в заключении вот что ещ хочу сказать что бывает неправильно
1:26:34
применяют правила лопиталя правило лопиталя опять же которое раз повторяю
1:26:40
говорит о том что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу
1:26:47
отношения производных Но вот например ищет челове
1:26:54
стремящемся к Ну а нет к
1:26:59
бесконечности x x Ну у меня тут даже проще это По правилу питали можно
1:27:05
сделать это предел при X стремящемся К плюс бесконечности од иксо к единице То
1:27:12
есть это будет предел при X стремящемся К плюс бесконечности 1 на X равняется
1:27:19
Ну это правильно предел равен Ну но
1:27:25
очень часто приходится встречаться Вот с каким образом Каким образом Ага предел
1:27:32
равен вот этому значит мол Лога x / x
1:27:39
эквивалентен 1 на X
1:27:46
неправильно пределы равны но отношение функции и отношение
1:27:53
производных неравны и даже не эквивалентны потому что вот если вы
1:28:00
возьмёте и разделите логарифм x на x разделите на одну иксо то в часном
1:28:06
получится вот лорим X раз X разделим на одну иксо получится логарифм X который
1:28:15
стремится к плюс бесконечности у нас X стремится к плюс бесконечности а не
1:28:22
равен едини то есть эквивалентность не сохраняется о большие
1:28:29
там всякие о маленькие про это правило питали ничего
1:28:35
не говорит Ну вот на этом мы сегодня закончим