Тема лекции: Теорема о сведении n-кратного интеграла к повторному. Формула замены переменных в кратном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты
*https://www.youtube.com/watch?v=4j1RuSTC_kE
**https://300.ya.ru/summary
пересказ видео
Формулировка теоремы
- Функция f(x, y) интегрируема на измеримом множестве P.
- Для любого x существует интеграл от φ(x) до ψ(x) f(x, y) dy.
- Существует интеграл от a до b i(x) dx, где i(x) — интеграл от φ(x) до ψ(x) f(x, y) dy.
- Этот интеграл равен двойному интегралу по области P f(x, y) dx dy.
Доказательство теоремы
- Вводится прямоугольник, содержащий P.
- Функция f(x, y) продолжается до прямоугольника.
- Двойной интеграл по P равен двойному интегралу по прямоугольнику от продолженной функции.
- Внутренний интеграл разбивается на три части, две из которых равны нулю.
- Остаётся интеграл от φ(x) до ψ(x) f(x, y) dy, что и требовалось доказать.
Обобщение на n-кратный интеграл
- Функция f(x1, …, xn) интегрируема на измеримом множестве PN.
- Для любого набора (x1, …, xn-1) существует интеграл от φ(x1, …, xn-1) до ψ(x1, …, xn-1) f(x1, …, xn) dxn.
- Существует интеграл по PN-1 этой функции, который равен n-кратному интегралу по PN.
- Доказательство проводится методом математической индукции, начиная с теоремы для двойного интеграла.
Теорема о переходе от тройного интеграла к двойному
- Теорема формулируется для n = 3, но без доказательства.
- Задача: сформулировать теорему для n = 3 и вычислить объём цилиндроида.
- Цилиндроид определяется как тело в трёхмерном пространстве между поверхностью Z = f(xy) и плоскостью Z = 0.
- Объём цилиндроида равен двойному интегралу по области омега от функции f(xy).
Замена переменных в многомерных интегралах
- В многомерном случае интегрирование по частям не имеет аналога, но замена переменных возможна.
- Теорема о замене переменных формулируется для произвольного многомерного случая.
- Отображение X от T должно быть взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо.
- Интеграл по области P равен интегралу по области Q с учётом модуля якобиана.
Пример замены переменных для n = 2
- Рассмотрим случай n = 2 и полярные координаты.
- Отображение X от UV и Y от UV должно быть взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо.
- Якобиан для полярных координат — определитель второго порядка.
Полярные координаты
- X = R cos φ, Y = R sin φ
- R ≥ 0, -π < φ ≤ π или 0 ≤ φ < 2π
- Якобиан перехода от R и φ к x и y равен R
Обобщения полярных координат
- В двумерном случае P и Q — одна и та же часть плоскости, но с разными координатами
- В трёхмерном пространстве используются цилиндрические и сферические координаты
Цилиндрические координаты
- x = R cos φ, Y = R sin φ, Z = Z
- R ≥ 0, -π < φ ≤ π или 0 ≤ φ < 2π, Z ∈ (-∞, +∞)
- Якобиан равен R
Сферические координаты (вариант А)
- x = R cos φ cos ψ, Y = R sin φ cos ψ, Z = R sin ψ
- R ≥ 0, -π < φ ≤ π или 0 ≤ φ < 2π, -π/2 ≤ ψ ≤ π/2
- Якобиан равен R² cos ψ
Сферические координаты (вариант Б)
- x = R cos φ sin ψ, Y = R sin φ sin ψ, Z = R cos ψ
- R ≥ 0, -π < φ ≤ π или 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ ψ ≤ π
- Якобиан равен R² sin ψ
Введение в функциональные последовательности и ряды
- R больше либо равно нулю
- Пи меньше ф меньше либо равно пи или от нуля до 2 пи
- Пси между нулём и пи
- Якобиан равен R² sin
Переход к новым темам
- Занятия будут проходить по числовым и функциональным рядам
- Функциональные последовательности и ряды — новая тема
- Функции одной переменной для простоты и сокращения записи
Определение множества сходимости
- Множество X называется множеством сходимости, если для любого x0 из X существует fn от x0
- Предел при n стремящемся к бесконечности должен существовать
Предельная функция
- Предельная функция — это предел при n стремящемся к бесконечности fn от x
- Аналогично можно ввести сумму ряда S от X
Сохранение функциональных свойств
- Вопросы сходимости и характера сходимости аналогичны числовым рядам
- Новое — сохранение функциональных свойств при предельном переходе
- Примеры показывают, что непрерывность и дифференцируемость могут не сохраняться
Примеры предельных функций
- f(n) от x = 1 / nx + 1: предельная функция равна 1 при x = 0 и 0 при 0 < x ≤ 1.
- f(n) от x = x / 1 + n² x²: предельная функция тождественный ноль.
- f(n) от x = nx / 1 + n² x²: предельная функция тождественный ноль.
- f(n) от x = n² x / e в степени — n² x²: предельная функция тождественный ноль.
Непрерывность и предельные функции
- До вычисления предела функции были непрерывными.
- После вычисления предела непрерывность сохранилась не везде.
Равномерная сходимость
- Определение равномерной сходимости: для всякого ε > 0 найдётся N, что для любого n > N и для любого x из множества X |f(n)(x) — f(x)| < ε.
- Равномерная сходимость отличается от поточечной сходимости тем, что N не зависит от x.
- Обозначение равномерной сходимости: f(n)(x) равномерно сходится к f(x) на множестве X.
Определение равномерной сходимости
- Последовательность частичных сумм ряда удовлетворяет определённому условию.
- Записывается как сумма по n от единицы до бесконечности у отx с стрелочками.
- X может быть как отдельным элементом, так и множеством.
Сравнение с точечной сходимостью
- Для равномерной сходимости одно и то же N подходит для всех X сразу.
- Если fn отx равномерно сходится к f отx на множестве X, то fn отx стремится к f отx для каждого x из X.
Равномерная сходимость ряда
- Если ряд сумма по n от единицы до бесконечности у отx равномерно сходится к s отx на множестве X, то для каждого x из X сумма ряда равна s отx.
Выводы и планы на будущее
- Равномерная сходимость влечёт за собой поточечную сходимость.
- Следующая лекция будет посвящена проверке примеров на равномерную и неравномерную сходимость.
- Если последовательность не является равномерно сходящейся к поточечному пределу, искать другой равномерный предел не нужно.
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:07
когда была сформулировано для того, чтобы занятия проводить
0:13
теорема. Вот я её сейчас заново сформулирую и будем её доказывать.
0:19
Значит, это теорема шестая у нас была.
0:25
Там в скобках должно быть написано сведение двойного интеграла к повторному
0:30
в общем случае. Значит, пусть функция f
0:36
от xy интегрируема
0:41
на, ну, измеримом множестве P, но не произвольного вида, а
0:49
вот такого. А меньше либо равно x меньше либо равно
0:56
B. Так вот здесь я писал фили там y1 y2.
1:01
Я уж не помню, что я писал, чтобы как у вас было. Фипси. Хорошо.
1:08
Фи от x меньше либо равно y меньше либо равно p от.
1:14
Значит, вот функция интегрируемы вот на этом множестве. Так далее.
1:21
для любого x принадлежащего
1:26
а существует такой интеграл. Существует
1:31
интеграл от φ от до отx
1:37
F отx y d. Ну вот, значит, поясняю, что это
1:44
такое. Это тоже вот, так сказать, в теореме предыдущей, в пятой было написано интеграл в постоянных пределах.
1:53
Ну а здесь и пределы интегрирования меняются. То есть берём произвольное x,
2:00
фиксируем, получается интеграл от какого-то конкретного φ отx до какого-то
2:05
другого p от x. И функции первый аргумент фиксирован,
2:12
значит, функция одного переменного. И вот, э, вот одна функция, ээ,
2:17
интегрируемая, а, только я писал, существует, наверное, i отx. Вот это вот
2:23
существует i от вот. А величина его и от
2:30
Тогда тогда вот эта функция i отx
2:36
существует интеграл от а до b
2:41
и от x dx. Ну, который обозначается
2:47
и вот так. интеграл от а до b, интеграл
2:52
от фи от x до пси от xf от xy
2:59
dy dx и без скобок, то есть интеграл от a до b dx интеграл
3:09
от φ от до отx f отxy
3:15
d. Ну и содержательная часть состоит в том, что этот интеграл равняется
3:22
двойному интегралу по области p fxy
3:27
dx dy. То, что это я могу написать, следует из того, что
3:34
здесь написано функция интегрируема на этом p. Так. Ну, теперь давайте
3:40
приступим к доказательству. Доказательство. Давайте вот я нарисую
3:46
всё-таки эту область здесь. Теперь область немножечко другая.
3:58
Вот это вот y = φx. Вот это вот y = px.
4:08
И вот она область p. Вот, значит, то, что находится тут
4:14
внутри. Значит, вот такая область измеримая, но
4:21
некоторого специального вида, не какая-то произвольная измеримая, как у нас была, но вот из этих измеримых
4:28
специальный вид. Так, давайте рассмотрим. Введём
4:34
прямоугольник пи, который вот А
4:41
C D содержащий P. Ну, то есть вот так, как у
4:49
нас строится интеграл. Ну, то есть какой-то прямоугольник. Вот это вот
4:54
пусть будет C, а это, соответственно, D.
4:59
Так. И рассмотрим. функцию f от xy,
5:06
которая равняется f маленькая от xy, когда xy
5:13
принадлежит p, если x y
5:20
не принадлежит p. Значит, вот такую функцию рассмотрим.
5:26
Так, тогда давайте рассмотрим, а что же это такое? Вот этот вот интеграл, вот
5:32
этот двойной интеграл по области P F от X Y dx dy по
5:42
определению двойного интеграла от ээ
5:47
функции по некоторой области непрямоугольной, у нас это было вмерном случае, он
5:54
определяется через двойной интеграл по области
6:00
уже по прямоугольнику f от xy от продолженной функции
6:08
dx dy. Так, для продолженной функции она уже определена в прямоугольнике
6:14
справедливо предыдущая теорема пятая, соответственно. И поэтому поэтому мы
6:20
можем написать, что это будет интеграл от а до b. Вот в таком вот виде я напишу
6:27
интеграл от C до D. Fоль от XY
6:34
dy, а здесь dx. А теперь, значит, вот у нас
6:41
фиксированное какое-то X.
6:46
И в этом X, который меняется от, э,
6:51
значит, X фиксированное между А и B. И для этого X y меняется от C до D. Так
7:00
вот этот внутренний интеграл запишем как сумма трёх интегралов. Значит, наружный
7:05
интеграл от а до b, а внутри будет интеграл от c до
7:15
φ от фи от фи от φ от
7:21
f от xy dy плюс
7:29
плюс интеграл от φ от φ от x до p от x
7:37
f маленькая от xy dy и плюс интеграл от
7:45
p от x до d
7:51
f ой подождите-ка я правильно написал здесь f маленькая но вывод надо было
7:57
сделать ещё чуть попозже поэтому давайте здесь пока что я пользуюсь аддитивностью
8:04
обычного определнного интеграла. Поэтому f от xy d скобку закроем dx.
8:14
Так, а теперь давайте посмотрим, как какая же функция f от xy. f> от xy вот
8:22
здесь от c доφ — это тождественный ноль, поэтому интеграл равен нулю. Вот это вот
8:30
тоже тождественный ноль. А здесь функция f
8:37
маленькая f от xy = f маленькому от xy.
8:43
Ну и получается, что будет интеграл интеграл от а до b,
8:51
а здесь интеграл от φ от до отx.
8:57
f маленькая от xy dy dx. Ну что и требовалось доказать. Вот
9:05
начало, вот конец. Стало быть, теорема доказана и всё в порядке. Вот. Ну вот
9:12
эта теорема, так сказать, она, так сказать, основная в том смысле, что вот
9:17
интеграл второго порядка размерности два сводится
9:24
к определённому интегралу, к повторному два раза надо взять такой вот интеграл.
9:30
Вот поэтому вот эту теорему, ну, две теоремы я доказал.
9:35
И, кстати, видно, в частности, что если φ отx тождественно равно c, а px
9:42
тождественно равно d, то получается формулировка теоремы предыдущей. Но доказывать таким образом предыдущую
9:49
теорему, конечно, нельзя, потому что, ээ, вы же видите, мы ею воспользовались.
9:56
Вот. Ну, раз так это сделано, то в общем случае, в общем случае для произвольного
10:04
n-кратного интеграла я соответствующую теорему приведу без
10:10
доказательств. При этом, поскольку поскольку, как я вот уже обращал ваше внимание, что вот здесь, если фи взять
10:18
равными константе, то получится более простой случай. Разумеется, если доказывать, то вначале нужно доказывать
10:25
по параллелепипеду, а потом вот таким образом приводить к другому виду. Но так
10:31
как я собираюсь привести теорему без доказательства, то я ограничусь ээ вот
10:36
как раз общей такой формулировкой. Это, соответственно, теорема семь.
10:43
сведение сведение nкратного интеграла,
10:50
сведение nкратного интеграла к повторному без доказательства. Значит, она будет у нас без доказательства. Ну,
10:58
сейчас я её сформулирую и, возможно, кое-что по этому поводу скажу. Итак, пусть функция f отx
11:07
или f, вот здесь есть смысл выделить последнее переменное x1 и так далее. Xn
11:15
- 1 xn интегрируемо
11:21
на измеримом измеримом.
11:27
Так вот, значит, я здесь буду писать не P, а PN. Потом в конце будет написано, что это PN
11:35
входит в пространство EN. Вот что PNное.
11:40
А это вот что будет. Так, значит,
11:48
э будет состоять из X таких, что вот тут я подробно напишу X1 и так далее. xn — 1
11:57
xn таких, что
12:03
вот точка n минус одномерного пространства x1 и так далее, xn — 1
12:15
принадлежит некоторому p n — 1.
12:21
N — 1, который входит в N минус одномерное
12:28
пространство. Так, это на самом деле фактически проекция P вот этого вот исходного P,
12:37
вот, потому что я его пишу вот этого вот PНО, на гиперплоскость содер из первых N
12:43
-1 координат. Так, это значит вот первая n — 1 координата. Вот они как элемент n
12:52
минус одномерного пространства принадлежат некоторому множеству PN — 1,
12:57
а Xтма
13:03
функциями X1 и так далее. xn — 1φ от
13:08
этих переменных меньше либо равно xn меньше либо равно p x1 и так далее x n —
13:21
Так вот, значит, это вот желаю
13:26
подчеркнуть, откуда берётся это. Это из n измерений, из ээ еного. Так, значит,
13:37
это вот то, что я для двумерного случая написал вот здесь вот досюда, вот до
13:45
этого вот места. Теперь далее. Для любого
13:51
для любого вот, ну, здесь давайте я по убористи напишу x1 и так далее. xn —
14:01
1 принадлежащих pn — 1.
14:07
Вот существует интеграл. Существует интеграл
14:15
существует, а его надо обозначить и от x1 и так далее. xn — 1.
14:25
Это вот какой интеграл от фи от x1 и так
14:30
далее xn -1 до p x1 и так далее xn — 1 f от x1
14:44
и так далее xn — 1 xn
14:49
dxn. То есть вот смотрите, поясняю это ещё
14:55
формулировка, естественно, не закончилась. Для всякой точки из вот n
15:00
минус одномерного множества существует вот такой вот интеграл,
15:07
обычный, определённый. Мы фиксируем эту точку. После этого функция f, которая
15:15
функция n переменных, становится функцией только последней переменной. пределы
15:22
будут в каких-то ээ значит это φ и пси в
15:27
этой фиксированной точки. Значит, это какие-то числа. И здесь стоит функция
15:33
одной переменной. Значит, вот эта функция интегрируема. Тогда
15:39
тогда существует существует
15:47
интеграл по p n минус
15:52
одномерному пространству этой функции от x1 и так далее xn — 1
16:01
dx1 у x dxn — О, и этот интеграл, значит,
16:09
обозначается. Ну, я ограничусь вот это уж я аналог
16:15
этого я переписывать не буду. Я ограничусь только тем, что написано без скобок.
16:22
Так, это будет вот что. интеграл от
16:27
x ой, значит, это значит интеграл от
16:35
значит тут как от а до b, значит вот этот интеграл от по pn — 1 dx1
16:45
и так далее dxn — 1 и ещё от фи от x1 и
16:52
так далее до xn — 1 до p x1 и так далее xn — 1. А здесь f от x1 и
17:04
так далее xn — 1 xn dxn.
17:10
Это просто он так обозначается. Можно написать вот этот вот интеграл в
17:15
скобочках. Тогда вот дифференциалы от первой до мину первой единицы будут
17:21
написаны в конце. И вот этот интеграл равен равен вот раз функция
17:29
интегрируема, то он равен тут уж давайте я напишу, а давайте уж подробно, раз
17:35
место здесь есть интеграл по pнному f от x1 и так далее xn — 1xn
17:48
умножить на все эти дифференциалы dx1 на dx n — 1 на dxn.
17:57
Существование последнего интеграла декларируется в самом начале, что функция интегрируема на pнному. И вот
18:05
поэтому pнnная она так себя и ведёт. Значит, вот такая теорема. Э, ну, если
18:12
приступать к доказательству, то на самом-то деле, э, надо сделать следующее. Её доказывают методом
18:19
математической индукции. И основание индукции — это теоремшесть,
18:26
переход от один к два. А дальше, так сказать, переходим, делаем эту
18:34
запись и переход от n к n + 1 уже
18:39
осуществляется. И ничего там принципиально нового нет, но писанины много. И поэтому я и привожу
18:48
эту теорему без доказательства. Вот я сейчас сформулирую для того, для
18:56
вас э задачу, которую надо, конечно, не сейчас сделать, но она будет входить в
19:04
это самое, она понадобится для приложений. Ну и, естественно, она будет
19:10
входить сюда. Значит, задание такое вот, э, я здесь фактически
19:18
вот сформулировал теорему семь, а теоремашесть — это её формулировка для n
19:24
= 2. Значит, так. Сформулировать,
19:29
доказывать не надо, сформулировать эту теорему для n равного тём.
19:36
Вот для n рат. То есть получится переход от тройного интеграла к двойному, а
19:42
двойной интеграл уж, естественно будет, так сказать, вот согласно теоремише делаться, вот сформулировать. Но только,
19:49
понятное дело, в переменных не X1, X2, X3, а в переменных
19:57
X YZ Z. Ну, так вот, как я и здесь формулировал. То есть, если бы этой
20:03
теоремы не было, а была бы вот эта вот только эта теорема, то надо было сформулировать для n = 2. Вот её
20:09
формулировка. Вот, значит, сформулировать для n = 3 и сделать
20:14
следующее. Введём в трёхмерном пространстве вот такое
20:21
такую фигуру. Ну, в трёхмерном пространстве фигуру можно назвать тело
20:27
или как-то иначе. Вот это вот что V его обзовём.
20:36
Это X Y Z такие, что
20:44
XY принадлежит Омега.
20:50
Омега из плоскости омега лежит на Е2, а
20:56
0 меньше либо равен Z меньше либо равен
21:02
f от xy. Функция двух переменных. Значит, вот. И вот xy из Омега, а Z
21:11
между нум и F, то есть F от XXY предполагается больше нуля. Такое тело
21:16
называется цилиндроидом.
21:22
Вот. И, значит, это на самом деле вот что это можно нарисовать. Ну, опять же,
21:28
традиционно рисуется это в первом актанте, хотя это никакого, так сказать,
21:35
ой, неудобно нарисовал. Давайте вот так нарисуем. Ээ, хотя, конечно, никакой
21:41
привязки именно к первому актанту нет. Значит, здесь вот что,
21:50
значит, вот это поверхность Z = F отXY,
21:57
а вот здесь Z равняется 0. И вот то, что между ними и есть тело V. Вот оно и
22:05
называется цилиндроидом. Так вот, и воспользовавшись тем, что у
22:10
нас уже было, пусть правда и без доказательства, я говорил, что мерой
22:15
можно установить, что мерой любого множества является интеграл соответствующего количества измерений от
22:21
функции тождественно равной единицы. Ну так вот, и вывести, что объём
22:28
цилиндроида в трёхмерном пространстве, мера называется объёмом, равен двойному
22:36
интегралу по области омега f от xy dx
22:42
dy, что является, кроме всего прочего, геометрическим смыслом двойного, одним
22:48
из геометрических смыслов двойного интеграла и будет использоваться на упражнениях в приложениях будем считать
22:54
там объёмы тел некоторых, так сказать, физических величий. Ну вот так. Значит,
23:00
вот таким образом это вот задачу я для вас сформулировал. Вот это вот надо уметь
23:08
уметь делать. Значит, а, да, давайте напишем, что вот это вот омега. Это я не написал. Значит, вот
23:16
опирается на омега. Теперь дальше. Значит, когда изучались обыкновенные
23:21
определённые интегралы, то способы вычисления определённых интегралов были
23:27
формула замены переменных и интегрирования по частям. Интегрирование по частям в многомерном случае, так
23:32
сказать, э не имеет соответствующего аналога, а вот замена переменных имеет.
23:40
Но, ээ, ввиду опять же гробозкости, э-э, доказательств таких вот теорем, я
23:47
не буду это устанавливать даже для n ра и приведу соответствующие
23:53
ээ теоремы без ээ доказательства, значит, но их, в
24:00
общем-то, надо э надо знать. Это будет, значит, формулировка теоремы
24:07
такая. Это будет уже теорема.
24:13
многомерный, так сказать, произвольный многомерный случай. Ну, сейчас вот вы увидите уже формулировка будет
24:21
громозкой, а доказательства, соответственно, тоже. И не хочу на это
24:26
тратить время. Пусть пусть имеется Пусть отображение
24:36
X от X отт э взаимно
24:44
ээ однозначноя и взаимно
24:50
непрерывно дифференцируемо. Значит, пусть отображение
24:57
дифференцируемо, где где Т
25:04
многомерная вещь Т1 и так далее. Т
25:09
принадлежит Q, которая из Енного штрих.
25:19
А x отт это xпе
25:26
отт и так далее x отт ат вот эти вот тут
25:32
какие многомерные координаты принадлежит p,
25:38
которое входит уже в
25:43
да скобочках давайте пометим P
25:48
это замк измеримые
25:55
замкнутые замкнутые области. Значит, я напоминаю,
26:02
область — это ограниченное связанное множество. Замкнутая область — это забыкание области. Это было у нас в
26:09
прошлом семестре. Значит, итак, пусть x отт взаимно однозначно и взаимно
26:17
непрерывно дифференцируемо переводит
26:22
переводит
26:27
Q в P. Ну, я лишний раз обозначением подчеркну, что это взаимная
26:33
однозначность. Переводит Q в Pкабианом.
26:40
Так вот пониже надо с Якобианом. Якобиан от Т1 и так далее. Т.
26:49
Значит, напоминаю, что такое Якобиан. Это определитель вот какого рода он
26:55
обозначается. DX1 и так далее. Xn
27:00
по D Т1 и так далее ТН. Но это не есть
27:09
напоминание, а напоминанием будет следующее. сами производные dx1
27:16
по dt1 dx1
27:21
по dn dxn
27:28
по d1 dxn
27:33
по dn что вот этот вот я кабиан
27:39
неравен неравен нулю неравен нулю
27:47
в Q. Так и функция f отx, то есть f от
27:55
x1 и так далее xn
28:02
непрерывно в p. Так как P не открытая область, а
28:08
замкнутая область, то давайте в скобках напишем по этому множиству.
28:14
Вот тогда тогда
28:19
тогда интеграл интеграл по p fx
28:27
dx или в развёрнутом виде напишем
28:32
p f от x1
28:37
и так далее xn d x1
28:45
dxn равен так, ну давайте попробуем попробую
28:52
поуборестей написать. Равен содержательная часть интеграл по Q,
28:59
интеграл по Q f от x1
29:05
от Давайте отт. Вот я напишу от, чтобы поуборестей было X от
29:15
так то. Ну, то есть на самом деле здесь X1 от Т1 и так далее Т и так далее.
29:22
Здесь будет стоять модуль якобиана от Т1 и так далее Т
29:31
и DТ1 D
29:37
Т. Значит, вот это содержательная часть.
29:42
Значит, как связаны между собой области P и Q? Сейчас мы это всё рассмотрим на
29:48
ээ случае N = 2 в некоторых координатах. и будет более понятно. Но вот в общем
29:54
случае это надо понимать так, что на самом деле Q и P — это в каком-то смысле
30:00
одна и та же область, одна и та же область ээного пространства, одно и то
30:06
же множество, замкнутой области, но только мы на на это на эти множества
30:12
смотрим с точки зрения системы координат X и системы координат Т. И вот поэтому
30:20
получается вот такая вот теорема. Хочу сразу заметить, что вот не ищите такого
30:26
вот аналога, когда когда был в обыкновенном
30:32
определённом интеграле, то значит у нас как заменялось интеграл от f(x) dx, а x
30:39
есть x от t. Значит, вместо dx мы пишем xштри отт x dt. То есть вот
30:49
не надо каждую dx1 и так далее dxn выписать и сюда записать. Это будет
30:56
неправильно. Нужно вот вот этому произведению этих дифференциалов
31:01
соответствует модуль их биана умножительно на произведение этих дифференциалов. Вот, на самом деле, связь более
31:08
глубокая, но для этого нужно сделать то, что мы не, так сказать, не изучали,
31:15
изучать не будем. Это так называемое внешнее произведение дифференциальных форм. Ну вот если кто-то тут хоть
31:22
полслова понял, это уже хорошо, но это не нужно. Вот поэтому я и говорю, тогда
31:28
будет вот если смотреть на это как на внешнее произведение дифференциальных
31:33
форм, тогда будет как раз, что каждую надо перемножить, но перемножать по-другому. Ну ладно, так сказать, кто
31:41
не запомнил, и не надо. Теперь давайте рассмотрим
31:47
рассмотрим ээ случай n равняется двум.
31:52
Так вот, я хочу это самое вот теперь я наоборот иду от большего к меньшему. Я
31:59
сейчас сформулирую эту теорему в случае n = 2.
32:05
Ну, поэтому я не хочу новую писать теорему 8штрих.
32:11
Что там такое? А это то же самое пространство, но в
32:18
других координатах. Это я уже вот сказал. Сейчас давайте вот, может быть, будет понятно, когда я
32:26
сейчас рассмотрю, что делается в случае n рассмотрим какие-то конкретные, я, например, хочу
32:33
рассмотреть полярные координаты.
32:43
Где это? Это омега.
32:49
В вот это вот V цилиндроид. В — это не величина объёма, это тело само по себе
32:56
фигура. Не объём его, а тело. Мю перед ним стоит. Ну так ты на первой лекции был?
33:04
Не был, наверное. Там как раз было измерение, измеримость множество и мера
33:09
множества. А мера в трёхмерном пространстве — это объёмная плоскости, это площадь.
33:16
Так, ну давайте рассмотрим, давайте сформулируем эту теорему
33:21
уже. Тут будет следующее, так сказать, будет не X1 и
33:27
так далее Xn, а будет XY. Будет не Т1Т2, а будет U и в. Значит, итак,
33:36
пусть вот я буду писать вот просто слово в слово X от УВ.
33:43
Y от УВ y отв вот взаимно однозначно
33:52
и взаимно и взаимно непрерывно
33:59
дифференцируемо. уж вот это вот А нет, придётся писать,
34:06
придётся писать, где взаимно непрерывно дифференцируемо.
34:11
Вот прежде чем переводит, давайте напишем, где Ой, так это кто-то звонит,
34:20
но надо посмотреть, уместно ли слушать эти звонки. Нет, это это, ребят,
34:26
всё-таки я выслушаю. Это нужно.
34:32
Так вот, X от V, Y от V взаимно однозначно, взаимно непрерывно дифференцируемо, где
34:40
U принадлежит Q из
34:48
E2’трих АX
34:54
от U y от У V
35:01
принадлежит P, которая
35:07
в Е2 это одна и та же плоскость, но на неё нанесены разные системы координат.
35:17
Так, ну, значит, вот уж это в скобках, что это измеримые замкнутые области, я уж не
35:25
буду писать. переводит переводит Q в P взаимно однозначно с
35:36
Якобианом Екобианом от UV,
35:41
который есть Dxy
35:46
по DUV. И здесь просто-напросто определитель
35:53
второго порядка. dx по du dx по dv.
35:58
dy по du dy по dv
36:04
неравен нулю не равен нулю в q
36:10
в q и функция f от x y непрерывна
36:18
в p по p так
36:25
интеграл вот этот вот я уже Сразу напишу интеграл по области P f от
36:34
dx dy равен интеграл по Q
36:42
от f. Вот тут уже можно подробно написать X от UV, Y от UV,
36:51
модуль якебиана от UV du dv. Значит, вот такая получается
37:00
область. Опять-таки, возможно, там кому-то это останется непонятным, как
37:05
связано между собой Е2 и Е2штрих. Вот сейчас рассмотрим ээ
37:12
полярные координаты. Очень часто ведь используются полярные координаты.
37:18
Давайте посмотрим, а что это такое полярные координаты. Точнее, вспомним. X
37:23
= R cos, Y = R.
37:31
Ээ, то есть не U и V, а R и фи.
37:36
Тот то R и фи вместо U и V в общем случае. При этом у нас R больше либо
37:43
равно нулю, а фи — пи меньше фи меньше
37:50
либо равняется пи. Или же 0 меньше либо равен фи меньше, чем 2 пи. Ну, можно и
37:58
по-другому, так сказать, написать. Главное, чтобы промежуток был длины 2 пи. Так, давайте посмотрим, что же это
38:05
такое за Якобиан. Тогда Якобиан
38:11
перехода, так сказать, от R фит
38:18
равняться, значит, определитель dx по DR. Вот давайте я его подробно
38:25
напишу. dx по dφ, dy по dr, dy по d.
38:34
Ну вот, давайте его вычислим, что у нас получится. А получится у нас следующее.
38:40
Вот x и y функции двух переменных dx по dr. Значит, это cosс фи. DX по dфи — r
38:50
си. Так, давайте минус поближе сюда напишем.
38:55
Теперь dy по dr — это просто синус фи, а
39:01
здесь d по dфи r cos фи. Ну и получается
39:08
r косинус квадра фи + r
39:13
си квадра ф, то есть равняется просто r. Ну и отсюда
39:20
мы видим, значит, нам нужно, чтобы всё-таки оно отличалось от нуля. То, строго говоря, вот я сформулировал эту
39:27
теорему вот в такой формулировке, в какой она обычно во всех учебниках доказывается. И я бы её доказывал. Я вот
39:34
для двумерного случая э если бы у меня было на это время. А вот
39:43
смотрите, R здесь равняется нулю в одной точке. Ну, строго
39:49
говоря, эту теорему, теорему штрих, да и теорему можно ещё обобщать, но я
39:56
умышленно не пошёл на вот эти вот обобщения, что вот в некоторых случаях вот, в частности здесь мы можем не
40:03
обращать внимание, что R всё-таки иногда вдруг обращается в ноль. Э, ну, просто
40:08
потому, что можно её обобщить и на тот случай, что в некоторых точках или на некоторых линиях ээ меньшей размерности,
40:15
чем n в общем случае тут меньшей размерности, чем 2. Ээ значит, можно эту
40:23
теорему обобщить. Э ну просто если вы эмо такая теорема доказывается и пойдёте
40:30
в учебники, то вы увидите вот такого рода теорему. Вот. Ну, в общем, вот
40:36
значит, якабиан равен R. Ну, уж попутно хочу сказать, что а якабиан обратного
40:42
преобразования всё-таки, если грамотно писать, надо написать не единицу на R, а
40:48
единицу на √² из x² + y². Обратите внимание, какойбиан. Он в тех
40:55
координатах, как к кому переходим. Поэтому если от поля от декартовых к
41:02
полярным, то он равен R. А если от полярных кртовым, то он равен не единице
41:08
на R, а единице на корень к из + y².
41:13
Ну вот, значит, вот такая вот получается теорема. Ээ, значит, э, что опять же здесь, ээ,
41:23
кое-что сформулирую, чтобы для самостоятельной работы это, так сказать,
41:29
нам понадобится как на занятиях, так и, ээ, э, так сказать, ну, в общем,
41:37
это вполне возможно встретиться и на экзамене, а именно вот что
41:44
сформулировать вот эту вот Вот теорему доказывать, конечно, тоже не надо. Вот эту вот
41:50
теорему, вот теорему восемь посмотреть, какая она в трёхмерном
41:56
пространстве. Но только опять же не надо
42:01
x1, x2, x3 и т123. Пусть там переход будет осуществляться
42:08
от x y z. И переход будет осуществляться к
42:14
координатам U w.
42:19
Так. А, и ещё вот что. Рассмотрим такие,
42:27
э, обобщения. Вот в двумерном случае я рассмотрел
42:32
полярные координаты, да? И вот что же это такое? P Q в полярных координатах.
42:38
что P, что Q — это одна и та же
42:44
часть плоскости. Вот плоскость Е2 одна и та же, но только мы на неё накладываем
42:51
декартовый координат и накладываем полярные, и она имеет, так сказать,
42:57
границы записываются по-другому. Ээ, в общем, ну, вы же понимаете, что в
43:02
декартовых координатах мы должны написать x² + y² меньше либо равно едини, а в полярных r меньше либо равно
43:09
единиц. Так что вот это, но это та же самая область. Так, полярные координаты,
43:17
ээ, при переходе уже от ээ двумерного пространства к
43:24
трёхмерному, э, бывают цилиндрические и сферические. есть твой координат. Вот.
43:32
Значит, я вот что сделаю. Давайте сегодня я сейчас вот это вот всё сформулирую до конца. Это займёт и
43:40
перерыв, а потом сделаем перерыв. Это из несколько иных, кроме всего прочего,
43:46
соображения. Значит, вот перерыв пятиминутный будет, но немножечко
43:53
попозже. Значит, мы сейчас сделаем. Что ещё?
43:59
Нужно сделать вот здесь я рассмотрел полярные координаты для n раного 2.
44:10
Какие бывают обобщения полярных координат. И они действительно бывают
44:15
нужны. Ээ, ну, понадобятся вам и цилиндрические, и сферические. Очень,
44:20
так сказать, здорово. Ээ, и в этом семестре в основном сферические,
44:25
цилиндрические не особенно, а ещё в уравнениях математической физики они понадобятся, поэтому с ними придётся
44:32
иметь дело. Значит, что такое цилиндрические координаты?
44:39
Ну, я так думаю, что цилиндрические координаты, да, как и
44:46
сферические, о которых я хочу сейчас упомянуть, у вас упоминались и ээ
44:53
где-нибудь на физике уже. Значит, там каждая точка каждая точка
45:00
она вот чем характеризуется. Вот эта вот точка, э, с координатами X Y, Z.
45:09
Так вот, давайте её спроектируем на плоскость.
45:17
Так, соединим с началом координат. угол с осью X.
45:25
Угол с осью X между проекцией и осью X, это будет угол фи. Расстояние от
45:33
проекции до начала координат
45:38
R, а высота будет та же самая. Z с волной равняется
45:45
Z. То есть формулы здесь, вообще говоря, вот какие.
45:53
x = R cos.
45:58
Y = R си фи, а Z равняется, ну, я только
46:06
потому пишу волну, чтобы были другие как бы координаты, то есть не U V W, а R фи
46:13
Z с волной. Ну, чтобы другие буквы были. Вообще, как правило, это не что иное, как спроектировали, а потом уже на
46:20
плоскости перешли к полярным координатам. Так вот, значит, здесь, конечно, R
46:26
больше либо равно нулю. Фи так же, как вот в полярных координатах
46:34
ми пи меньше фи меньше либо равняется пили
46:40
от нуля до 2 пи. и Z с волной от минус бесконечности до
46:47
плюс бесконечности. Так, значит, вот так они вводятся эти
46:53
координаты. И вот самостоятельно вычислить, что якобиан в этом случае
47:01
равен так же, какбиан к полярным координатам, он равен R. Для этого нужно
47:07
составить определитель третьего порядка и вычислить его.
47:13
Ну, он будет, в общем-то, точно такой же, только добавится третий ещё столбец 001. И в этих точках будет два нуля, но
47:21
это вот вы всё-таки получите. Так, теперь это сферические
47:28
цилиндрические координаты. Есть ещё сферические координаты.
47:35
А вот сферические координаты, они в двух видах рассматриваются. И вот не
47:41
надо их путать. Вот есть сферические координаты,
47:47
которые, ну, которые вот я чаще всего употребляю, потому что потому что они,
47:54
эти сферические координаты, употребляются в задачнике Демидовича.
48:01
Вот сферические координаты, они характеризуются вот чем. Значит, это давайте пункт А, значит, они вот какие.
48:11
Опять-таки вот точка с координатами XY Z.
48:16
Некрасиво будет. Вот давайте здесь напишем Z.
48:23
Значит, опять-таки, что мы сделаем? Спроектируем.
48:29
Проектируем. Соединим и проекцию соединим с началом и саму точку Z. Ой,
48:36
не Z, а XYZ. X YZ соединим сначалом.
48:42
Так, значит, что будет? Это проекция. Вот это X, это Y, это Z, вот этот угол
48:54
фи, вот расстояние от самой точки
49:00
до начала координат R и угол между
49:09
вектором, идущим в точку XY, Z, и его проекцией. вот этот вот угол пси.
49:16
То есть смотрите, что какие здесь формулы. X равняется R косинус фи
49:25
cosсинус p y = r си
49:31
тоже косинус p и z = r си p.
49:39
При этом R больше либо равно нулю. Профи
49:45
так же, как вот здесь — пи меньше фи меньше, чем пи. Ээ
49:54
или или от нуля до 2 пи
50:00
пи пополам меньше либо равняется p, меньше либо равняется пи пополам.
50:09
Вот. Но эти координаты употребляются не только, так сказать, в задачнике
50:15
Демидовича. Вот, в частности, в особенности, если взять мину пи и пи, вот это вот здесь,
50:23
то это вот что возьмите обычный глобус.
50:28
Если R зафиксировать, ну, считать R постоянно радиус шара, то через фи и пси
50:36
обозначается широта, то есть долгота и широта. Уж
50:41
если в таком порядке говорить, фи будет означать долго.
50:46
Отрицательный знак. Отрицательный знак говорит о том, что это, так сказать,
50:52
ну, например, отрицательный знак западная долгота, положительная восточная. Пси широта отрицательная, э,
51:00
это южная широта, положительная северная, если R постоянно. Вот такие вот координаты на, так сказать,
51:07
сферические координаты. Поэтому вот употребляется екобиан
51:12
равен R² косинус P. Тоже вот вывести его
51:19
самостоятельно. То есть тут уже будет не такой простой определитель третьего
51:24
порядка, посложнее, но тоже вот, значит, вот как положено. А, а я это уже стёр.
51:31
Ну, в общем, надо найти dx по R, по фи, по пси, dy и dz по R, по фи. Вычислить
51:40
этот определитель. И вот он окажется таким. Так, в случае B.
51:48
Ээ, случай б он как раз, я думаю, такой, который вам сообщён на физике. На физики
51:55
чаще употребляют именно его. Это вот что за координаты. Значит, X, Y, Z.
52:05
Опять-таки вот точка XY Z. Проделаем то же самое.
52:12
Спроектируем на плоскость. соединим с началом координат. R расстояние от
52:20
начала координат до этой точки. Фи по-прежнему угол между проекцией и осью
52:29
О, а P вот этот вот угол
52:35
вот этот вот угол не между вектором, идущим в точку и проекцией
52:43
его, а между этим вектором и осью Оz. Они немножечко другие. Значит, здесь
52:51
получается R cosсинус финус псие
53:08
cosси p. То есть ээ фит у пси вместо синуса косинус, а вместо косинуса синус.
53:15
При этом R больше либо равно нулю. Про фи
53:21
пи меньше ф меньше либо равняется пи или от нуля до 2 пи.
53:30
А пси между нулём и пи.
53:36
Вот. Ну эти не имеют координат на глобусе, но в общем вот физики часто именно их и
53:44
употребляют. Вычислите здесьбиан. Екобиан здесь равен R²
53:51
си. Вот так. Значит, вот это я как раз хотел
53:57
вам рассказать, чтобы тем самым вот мы это всё что-то закончили с этим делом. А
54:03
теперь сделаем перерыв. А после перерыва начните с новой странички, потому что
54:09
то, что осталось, я хочу прочесть по рядам. Я рассказал,
54:16
э, по кое-что о числовых рядах прошлом
54:21
семестре. Ну вот занятия будут проходить по числовым рядам в начале, но у нас
54:29
всё-таки не только числовые ряды, но и функциональные. То есть мы начинаем ээ
54:35
такую новую тему: функциональные последовательности
54:41
и ряды. Функциональные последовательности и ряды. Значит, вот
54:47
пока я стираю, я кое-что скажу. А именно, что вот когда мы в первом
54:54
семестре изучали последовательности и тогда, когда я начал рассматривать
55:02
ряды, числовые последост, числовые ряды, то я
55:08
говорил, что вот когда мы каждому натуральному числу ставим в соответствие число, то то, что получается,
55:15
естественно назвать числовой последовательностью.
55:21
Если мы также делаем, но ещё пишем знак суммы, то получается, что у нас
55:26
рассматривается числовой ряд. Ну, а если вместо чисел рассматривать объекты
55:32
другой природы, там векторы или функции или ещё что-то, то уже будут,
55:39
соответственно, последовательности и ряды иной природы. Вот мы сейчас
55:45
переходим к тому, что у нас мы будем рассматривать функциональные
55:51
последовательности и ряды, то есть последовательности и ряды, элементами
55:57
которых являются функции. Для простоты опять же, естественно, мы и для
56:04
сокращения записи мы будем рассматривать исключительно функции одной переменной.
56:14
Ну, большинство результатов будет годиться и для функций
56:21
любого числа переменных, вот, даже бесконечного числа, но там
56:27
могут быть свои особенности. Ну, в общем, будем рассматривать сейчас функции одной переменной. То есть вот
56:35
будем рассматривать fn от x.
56:43
Но я для определённости пишу n от единицы до бесконечности
56:49
и ряд сумма по n от единицы до бесконечности
56:55
от x. Ну, для вот самого первого определения
57:01
мне кое-где не хочется переписывать, поэтому пусть это будет последовательность. Это один, а это два.
57:10
fn отx этоный член последовательности уна член илиное
57:18
слагаемое, потому что тут сумма ряда. Вот так. Значит, это уже
57:25
последовательность и ряды. Ну, так же, как и в случае, когда это были просто
57:32
числа, иногда удобнее бывает n начинать не с единицы, а с какого-то другого
57:39
числа, большего или меньшего единицы. Ну, иногда и с нуля начинают. Так что
57:44
это то, что меньшего тоже бывает. Так вот, дадим
57:50
определение. Множество X
57:57
называется множество сходимости
58:04
сходимости последовательности
58:10
один в скобках ряда два.
58:17
Если если для любого
58:23
n большего либо равного единицы
58:28
для любого x0 принадлежащего x
58:35
существует fn от x0
58:41
в скобках существует. от x0.
58:48
Ээ, определение не кончилось, но я его хочу пояснить. Значит, в любой точки
58:54
множества x все члены последовательности или все слагаемые ряда определены. Но
59:01
опять же, если последовательность или ряд начинается не с единицы, а с какого-то другого, то тут тоже надо,
59:08
соответственно, писать n больше либо равно n нуну. Так, значит, то есть они там все должны быть определены. Все
59:17
должны быть определены. Так и и
59:22
существует предел при n стремящемся к бесконечности
59:30
числовой последовательности fn от x0.
59:35
Ряд в скобках суммы по n от единицы до бесконечности.
59:43
от x0 сходится. Значит, вот вот что это означает.
59:50
Значит, тогда в любой точке в любой точке они определены и соответствующие
59:56
вот если подставить, получится числовая последовательность, ну или числовой ряд. Это всё мы уже изучали. И вот если
1:00:04
последовательность сходится, ряд сходится, тогда это область называется
1:00:09
областью сходимости. соответствующей числовой последовательности или
1:00:14
числового ряда. Ээ уж это писать не буду, но лишь хочу сказать, что для ряда
1:00:21
вот этого вот для ряда два можно ээ аналогично ввести понятие множество
1:00:31
ээ условной исходимости, множество абсолютно иссходимости. Всё зависит от
1:00:36
того, как вот этот вот ряд является, если вот он сходится, то как он сходится
1:00:43
абсолютно или условно, это понятие было. Вот.
1:00:49
Ну что тут ещё можно обозначить? Значит, итак, пусть x множество сходимости.
1:00:57
Тогда вот у последовательности или у ряда, кстати, рассматривать, что последовательность, что ряд, это в
1:01:03
каком-то смысле тоже ээ очень общий взгляд будет одинаковый на них, потому
1:01:10
что понятие сходимости ряда — это сходимость последовательности частичных
1:01:18
сумм этого ряда. Ну, то есть мы фактически изучаем одно и то же. Так,
1:01:27
можно вот что рассмотреть. Вот если это функция, так сказать, на
1:01:34
множестве сходимости, то получается предел при n стремящемся к бесконечности
1:01:42
fn отx. Вот это называется предельная
1:01:47
функция. f(x) предельная функция.
1:01:54
Предельная функция числовой последовательности. Ну давайте в скобочках всё-таки пока
1:02:01
только самое начало. X принадлежит X, но тут уже я не пишу X0
1:02:08
нечего. Берём x из множества сходимости и рассматриваем предел. Естественно,
1:02:15
если предел есть, если X износит сходимость, но если он, значит, есть он, значит,
1:02:23
какое-то число, берём другое X, получается, вообще-то другое число. Ну, в общем, получается вот такая
1:02:30
предельная функция. Но аналогично можно и для ряда ввести
1:02:37
S отX. Это будет сумма О от единицы до бесконечности.
1:02:46
У от X. Ну, опять-таки X из множества X. Уж второй раз я это писать не буду. Вот,
1:02:53
значит, сумма ряда. Вот это я вот сумма ряда.
1:03:01
Вот тут надо сказать следующее. Если интересоваться только вопросами о том,
1:03:07
что вот: «А где же этот ряд сходится или последовательность, если ряд, то где он
1:03:13
сходится абсолютно, где он сходится условно». То такие вопросы ээ я уже вам рассказал,
1:03:23
когда рассматривал числовые ряды, потому что тут ничего, говорит, другого нету. Конечно, то, что я рассказывал
1:03:31
относительно числовых рядов или числовых последовательностей в первом семестре,
1:03:36
то это, конечно, ээ очень и очень э мало. Есть большие монографии по
1:03:43
последовательностям числовым, по рядам числовым. Это всё очень много можно, но
1:03:48
я хочу лишь здесь сказать, что если рассматривать только сходимость,
1:03:54
характер сходимости, то ничего, так сказать, тут нового по сравнению с
1:04:00
числовыми последовательностями и рядами не будет. Вот новое привносит следующее, а именно,
1:04:09
а давайте посмотрим, а ээ как при этом
1:04:15
при предельном переходе сохраняются некоторые функциональные свойства. Так
1:04:22
что ты хотел спросить? Что написано? Предельная функция. Ну что вот как
1:04:29
сохраняются ли эти самые функциональные свойства? То есть, например, э, до
1:04:36
предела, скажем, были функции непрерывные. Сохранится ли непрерывность при предельном перехода?
1:04:44
Ээ, дифференцируемость, интегрируемость, ну, там ещё какие-то элементы, которые
1:04:51
мы изучали даже для функции одной переменной. Ээ, но вот, ээ, сохраняются
1:04:58
ли они, если n устремить в бесконечность. Но для этого, прежде чем что-то такое
1:05:04
сделать, давайте рассмотрим, давайте рассмотрим некоторые примеры.
1:05:11
Эти примеры вот я вот сейчас хочу как раз записать немножечко у них
1:05:18
рассмотреть предельные функции. Это будет пять примеров. Да, кстати, ээ всё это есть,
1:05:27
естественно, в той вот книге по рядам, о которой я говорил, что вот у меня была
1:05:34
книжка тринадцатого года издания. Вот. И там, значит, вот уже про числовые ряды
1:05:40
вот я тоже оттуда все эти доказательства, так сказать, там изложил. И профункциональные
1:05:46
последовательности и ряды там тоже, соответственно, много чего написано. И вот эти вот пять примеров, которые нам
1:05:53
понадобятся для той или иной иллюстрации некоторых утверждений, вот их, так
1:05:59
сказать, надо рассматривать. Значит, так. Первое. Вот пусть, а, да, во всех
1:06:06
пяти примерах множество x, которое будем рассматривать — это отрезок 01.
1:06:14
Ну и рассмотрим на этом отрезке какие
1:06:19
последовательности. Ну, ряды специально я здесь рассматривать не буду в качестве примеров. Всегда
1:06:27
можно придумать ряд, для которого данная последовательность является
1:06:32
последовательностью частичных сумм. Об этом я в рядах говорил численных. Пусть
1:06:38
fn отx в степени n. Так вот, здесь я хочу сказать, что вот сейчас я напишу,
1:06:45
что f отx равняется фигурная скобка равняется 0, если 0
1:06:53
меньше либо равен x меньше едини 1, если x равендинице.
1:07:01
Ну, это давайте поясним. Пояснить это несложно. Значит, если вот что, значит,
1:07:10
мы сейчас убедимся, что и вот это вот множество x является множеством
1:07:17
сходимости и предельной функцией является вот то, что написано. Действительно, возьмём x от нуля до
1:07:24
единицы, но исключая единицу. Ну тогда мы знаем, что вот, ну, q в степени n
1:07:33
стремится к нулю. Ну вот вместо Q напишем X, значит X в степени N тогда стремится к нулю. Значит вот первая
1:07:40
строчка тоже сейчас проведе. А если сюда подставить x = 1, в степени n? Не
1:07:48
какая-нибудь 1 + 1n в степени n, а именно 1 в степени n. В чётком виде один
1:07:54
в любой степени равен единице. И в пределе будет x, так сказать, при x
1:08:00
равном единице. Вот что получается. Ну, то есть вот видите, вот уже вот первый
1:08:06
пример показывает, что были функции здесь непрерывные, дифференцируемы,
1:08:11
ээ, а непрерывность, ну, значит, и дифференцируемость при предельном
1:08:16
переходе не сохранилась. Вот. Так что есть смысл это всё изучать.
1:08:23
Второй пример, давайте рассмотрим. f(n) отx равняется
1:08:30
1 / nx + 1.
1:08:37
Так, ну давайте предельная функция. А здесь предельная функция вот какая.
1:08:43
1, если x = нулю и 0, если 0 меньше x
1:08:52
меньше либо равен единице. Опять-таки пояснить это несложно. Возьмём x = 0.
1:09:00
Получится, что fnная от нуля всё время равна единице. Какое бы n маленькое,
1:09:07
какой бы номер члена ни был, получится вот что. При, то есть вот здесь вот
1:09:15
fn от нуля равна единице. Теперь, а если возьмём x положительная,
1:09:22
даже не обязательно до единицы, а ещё дальше тут, но мы-то будем всё-таки рассматривать вот только до единицы, что
1:09:30
получится тогда знаменатель неограниченно возрастает, потому что стоит n умножи на положительное число,
1:09:36
неограниченно возрастает, ну, плюс один ещё. Ну, и отсюда мы делаем вывод, что в
1:09:42
пределе это будет ноль. единиц делённые на бесконечно большую есть бесконечно
1:09:47
малую. Вот тоже видите до предела, до вычисления предела была непрерывность, а
1:09:55
тут не сохрани. Третье. Так, давайте я смотрю, в каком порядке тони похожие примеры. Значит,
1:10:04
третье будет ага x / 1 + n² x²
1:10:12
sn отx = x / 1 + n² x².
1:10:21
Ну вот здесь я хочу сказать, что f(x)
1:10:26
тождественный ноль во всех точках. Ну каким образом? А вот установить, что fn
1:10:33
от xждественный ноль, надо по-разному, в зависимости от того, x = нулю или не
1:10:40
равен нулю. При x = 0 получается fnные от нуля равняются нулю. Ну, в
1:10:47
числителе-то ноль стоит, а в знаменателе, ну, уже, так сказать, что-то стоит, но
1:10:55
неважно, что именно. Вот, значит, получается f(x) здесь действительно тождественный ноль. Тут,
1:11:01
как видите, сохранилась непрерыли. Офи четвёртое.
1:11:06
F отx равняется nx
1:11:13
/ 1 + n² x².
1:11:18
Так вот, здесь здесь f(x)
1:11:24
тоже тождественный ноль. Но здесь немножечко посложнее это установить, но тоже надо по-разному. При x = 0 при x
1:11:34
равным нулю опять же fn от равняется нулю. Ну и поэтому э f от0 предельная
1:11:43
функция она, конечно, тоже равняется нулю. А если x
1:11:49
от нуля до единицы положительная, вот тогда вроде бы и числитель,
1:11:56
знаменатель идут в бесконечность. Не будем дифференцировать пока. Многие студенты очень любят по
1:12:02
натуральному параметру дифференцировать. Как-то я это не очень одобряю. Давайте напишем это так. f отx. Разделим
1:12:11
числитель и знаменатель на n. Тогда получится x делить
1:12:18
на 1n + nx. Ну и теперь видно, безо
1:12:23
всякого дифференцирования по натуральному параметру, мы видим, что если x положительное число, то в
1:12:31
числителе стоит эта константа, а в знаменателе, видите, nx, да, ещё кое-что
1:12:37
прибавляется. То есть знаменатель является бесконечно большой величиной. Значит, предельная функция вот такая.
1:12:46
Так, пятый пример будет вот такой. f отx
1:12:52
равняется n к [аплодисменты]
1:12:58
n² x на e в степени — n² x².
1:13:05
Вот. Давайте-ка я проверю, только тот ли я, да, вроде бы тот. N² x, да?
1:13:12
Вот, значит, здесь что? Ну, здесь тоже предельная функция
1:13:20
f отx тождественный ноль. Давайте в этом убедимся.
1:13:26
Опять убеждаться придётся по-разному, в зависимости от того, x = 0 или остальные
1:13:32
числа. Ну, при x равном 0, так же как во всех трёх, ну вот в третьем, в четвёртом
1:13:40
и вот здесь вот э при fн от нуля равняется нулю. Хорошо. Теперь если x >
1:13:50
0, что мы сделаем? Мы напишем так: fn отx равняется, ну, вместо экспоненты с
1:13:59
отрицательным показателем я напишу так сказать экспоненту с положительным
1:14:04
показателем, но в знаменателе. И вот ещё что сделаю. 1дини на x,
1:14:12
а здесь е в степени — n² x². Значит,
1:14:20
ну, имею право сделать, если x не равен нулю. Вот такое преобразование. Ой,
1:14:26
только минус-то. Вот я зря адол в знаменателе уже минус не нужен. Так. И
1:14:32
вот теперь x у нас от нуля до единицы, исключая ноль. Значит, nx, если
1:14:37
обозначить за у, то получится это что там у тебя?
1:14:44
n² x² а подожди сейчас ак а правильно вот
1:14:52
здесь вот вот здесь всё годится вот это
1:14:57
это правильно вот это замечание верное но вот теперь смотрите 1дини на x — это некоторая положительная величина но она
1:15:05
постоянная но ведь вот такой предел при у стремящемся к плюс бесконечности
1:15:12
от U / е в степени U.
1:15:17
Вот этот предел мы можем найти, скажем, по правилупиталя. Это делается в уме. В
1:15:23
числителе производная равна единица, а знаменатель дифференцирования не замечает. Это экспонент. И получается
1:15:30
уже никакой неопределённости нет. Предель будет ноль. Значит, если x
1:15:36
стремится, э, если x никуда не стремится, если n стремится к бесконечности, то u = n² x² стремится к
1:15:45
плюс бесконечности, и поэтому предел вот этой дроби равен нулю. Ну, а это константа. Вот, стало быть, вот мы видим
1:15:52
такую вещь. То есть вот видите пять примеров. И в этих пяти примерах, в этих
1:15:59
пяти примерах, ээ, мы видим, что до вычисления,
1:16:06
э, предела те функции были непрерывными,
1:16:11
а после вычисления предела они, эти функции уже, э, где-то
1:16:19
сохранилась непрерывность, а где-то нет. И вот теперь у нас получается есть
1:16:26
вопросы относительно того, а что такое надо, так сказать, сделать, чтобы вот
1:16:32
как-то выявить те свойства вот этого вот предельного перехода, при
1:16:40
котором при котором всё-таки сохраняются непрерывность, дифференцируемость и всё
1:16:47
такое прочее. Вот для этого, для этого давайте
1:16:53
перейдём уже. Это вот были некоторые вводные замечания. А вот теперь начнём
1:16:59
такой параграф, назовём его так: равномерная сходимость.
1:17:07
Равномерная сходимость. Но прежде чем давать определение
1:17:14
равномерной сходимости, ээ, а давайте рассмотрим, а что это
1:17:19
такое просто сходимость в какой-то точке. Как вы понимаете, что я уже
1:17:26
говорил об этом, сходимость ряда — это ничто иное, как сходимость
1:17:33
последовательности его частичных сумм. Поэтому, если я даю определение,
1:17:40
относящееся к функциональной последовательности, то оно фактически становится ещё и
1:17:46
определением для ряда, если вместо этой функциональной последовательности
1:17:53
рассмотреть функциональную последовательность частичных сумм этого
1:17:58
функционального ряда. Вот. Поэтому давайте дадим определение. Ведь что
1:18:05
такое вот это вот f(x)? Есть предел fн отx.
1:18:11
Значит, это вот что. Значит, f отx.
1:18:16
F от есть предел предел fn отx при n, стремящемся к
1:18:26
бесконечности. Если если как у нас там для всякого X
1:18:34
принадлежащего X большое для любого си большего нуля найдётся
1:18:44
N большое найдётся N большое такое, что для любого n большего, чем n большое
1:18:54
f отx — f(x)
1:19:00
меньше, чем. Значит, вот что я здесь написал. То есть
1:19:07
f(n) от есть предел f, то есть f(x) есть
1:19:12
предел f(nx). Если в любой точке x, берём x, фиксируем, и дальше пишется
1:19:20
определение, что значит предел последовательности. Ну, ещё раз замечание, что если fn есть
1:19:28
частичная сумма ряда, то это годится для ряда. Так, а вот теперь давайте посмотрим, что
1:19:35
же здесь делается. Для всякого больше нуля найдётся n. N от чего зависит? N
1:19:43
зависит от того, что написано раньше. А раньше, а раньше написано, конечное
1:19:51
дело, си и ещё X, но это естественно,
1:19:57
потому что в каждой точке последовательность имеет предел. И если
1:20:04
я возьму одно и то же, то в одной точке, поэтому,
1:20:10
так сказать, вот найдётся одно N, другой точки другое.
1:20:16
Вот. А вот теперь дадим определение.
1:20:23
Так, определение. Давайте уж отсюда начнём. Определение.
1:20:30
Последовательность fn отx называется равномерно сходящий
1:20:42
на множестве x к функции f отx.
1:20:47
Если если для всякого силь нуля найдётся n,
1:20:57
что для любого n большего, чем n и для любого x из множества x
1:21:07
fn от x — f(x)
1:21:13
меньше, чем. Вот это вот новое понятие равномерная
1:21:20
сходимость последовательности. Если вместо fнной подставить SN, то это
1:21:26
получится равномерная исходимость соответствующего функционального ряда. Как видите, чем-то отличается. А чем
1:21:32
отличается? С точки зрения полиграфии занимается
1:21:37
столько же место. Вот это вот для любого X, принадлежащего X, перенесено
1:21:44
вот сюда. Но смотрите, что выходит. А выходит
1:21:50
следующее. А выходит следующее, что если мы возьмём си, то это си то есть,
1:21:59
то есть n для, конечно, оно зависит от, но оно уже теперь от x не зависит. X
1:22:08
записан здесь, вот тут. То есть для всякого сина найдётся n. И
1:22:14
это n, это n годится для всех x сразу.
1:22:20
Вот что значит Вот что значит равномерная сходимость функциональной
1:22:26
последовательности. То есть поточечная сходимость, вот так
1:22:32
можно было назвать. Поточечно сходимость. В каждой точке есть сходимость, а тут уже равномерная
1:22:39
сходимость. Обозначение какое обозначение следующее.
1:22:46
fн от x равномерно сходится на множестве
1:22:52
x к f отx. Вот так.
1:22:58
Так, значит, иногда пишут, вот если, например, мы знаем, что
1:23:03
последовательность равномерно сходится, но каких-то соображений нам не нужна
1:23:10
предельная функция или, например, мы её просто не знаем, как вычислить, то нужно
1:23:17
и так написать. f(m) отx равномерно сходится, а это x можно как сверху
1:23:25
написать, так и вот так. Вот, значит, это означает равномерно
1:23:31
сходится. Две стрелочки, две стрелочки, да, ставится.
1:23:36
Ну, аналогично для ряда. Аналогично для ряда. А, да, вот здесь-то
1:23:44
то, что у нас было в первом семестре, можно написать fn отx. Одна стрелочка
1:23:52
стремится к fx. Ну, просто x взяли, зафиксировали. к чему-то там встретится
1:23:57
для ряда. Ну, тоже если ряд просто сходится, то это я уже сегодня писал.
1:24:05
Сумма по n от единицы до бесконечности у отx
1:24:12
ээ равняется s отx. Ну, так принято.
1:24:17
Xства x принадлежит x или для всякого x из
1:24:24
множества x. В общем, это так. А если она стремится равномерно, то есть
1:24:30
последовательность частичных сумм этого ряда удовлетворяет вот этому вот
1:24:35
определению, то записывают это так. Сумма по n от единицы до бесконечности
1:24:43
у отx. Вот так же.
1:24:48
То есть вроде бы и равенство, но равенство со стрелочками.
1:24:54
Вот. А здесь, значит, либо X, либо X принадлежит X. Ну и опять-таки из тех же
1:25:00
соображений мы можем написать, если сумма PN от единицы до бесконечности
1:25:09
а сходится равномерно
1:25:15
на множестве X или для каж, нет, для каждого Xжащего X здесь не пишу. вот на
1:25:21
x или просто x наверху. Вот так вот это всё обозначается.
1:25:29
И вот вывод здесь такой вот если сравнивать определение равномерной сходимости
1:25:37
и сходимости в каждой точке по точечной сходимости, то, как я уже говорил,
1:25:43
смотрите, ведь что получается. Если мы возьмём определение равномерной
1:25:50
сходимости, то там для любого X, для всякого X из множества сходимости, для
1:25:58
всякого X, для всех X сразу для одного и того же, так сказать, для си найдётся
1:26:05
одно и то же N для всех X сразу. Поэтому, поэтому отсюда сразу вытекает,
1:26:14
что если fn отx равномерно сходится f отx на
1:26:22
множестве x, то отсюда следует, что для каждого x, принадлежащего x
1:26:32
fn отx стремится к fx.
1:26:38
Ну, потому что если я возьму для си возьму N из определения
1:26:46
равномерной сходимости, то оно будет годиться для всех X сразу. Вот здесь
1:26:52
ведь это и написано. То есть вот что получается. Ну, аналогично, давайте напишу, что вот если
1:27:01
ряд сумма по n от единицы до бесконечности у
1:27:06
отx равномерно сходится на множестве x к какой-то сумме отx, то
1:27:14
отсюда следует, что для каждого x, принадлежащего x большое,
1:27:22
сумма рядов по n от едини до бескореше всего n от x
1:27:29
равняется s отx. А отсюда мы можем сделать далеко идущие выводы. Они нам
1:27:34
иногда понадобятся, а именно вот какие. Вот, скажем, ээ мы установим, что
1:27:42
последовательность или там ряд сходит с поточечных какой-то функций. Вот с этого
1:27:49
мы начнём следующую следующую лекцию. Следующую лекцию я начну с того, что
1:27:54
надо будет проверить эти пять примеров на то, как они там сходятся равномерно
1:28:00
или неравномерно. Вот если мы убедимся, что
1:28:05
последовательность fн от к своему поточечному пределу не является
1:28:14
равномерно сходящих, то искать какой-то другой равномерный предел не надо,
1:28:23
потому что смотрите сами. Предположим, что fn отx
1:28:29
fn отx стремится равномерно какой-то функции g отx отличной от поточечного
1:28:37
предела, но тогда она к этой g отx сходится поточечно.
1:28:44
Вот и всё. Ну ладно, на этом сегодня закончим.