В данном видео SHIZ расскажет про интересные аспекты математики и физики, связанные с колебаниями и резонансом. Вы узнаете о резонансе, собственной частоте, а также о понятиях собственного вектора и собственного числа. Мы рассмотрим, как эти идеи связаны с линейной алгеброй, функциональным анализом и применением линейных операторов.
На примере из механики разберем задачу с пружиной. Поговорим о втором законе Ньютона, уравнениях движения и их решении.
Прямая ссылка на видео https://www.youtube.com/watch?v=jRyMKJDhQ6g
Пересказ видео от нейросети
Вступление
- Автор находится в возбуждённом состоянии после кофе и решает записать ролик о резонансе.
- Он объясняет, что физика для него всегда была сложной из-за её математической основы.
- В школьных учебниках физика часто представлена как набор постулатов, что вызывает вопросы.
Резонанс и его понимание
- Резонанс возникает, когда внешняя сила действует на систему с частотой, близкой к её собственной частоте.
- Автор отмечает, что в учебниках не объясняется, что такое собственная частота и откуда она берётся.
- Он хочет рассказать о математическом смысле собственной частоты.
Задача о котике на пружинке
- Автор рассматривает задачу о колебаниях котика на пружинке в космосе, без учёта силы тяжести.
- На котика действует внешняя вынуждающая сила и сила упругости пружины.
- Записывается второй закон Ньютона для центра масс котика.
Математическое описание
- Уравнение движения котика преобразуется в дифференциальное уравнение второго порядка.
- Дифференциальное уравнение связывает функцию X (положение котика) и её производные.
- Уравнение является линейным, так как все члены в первой степени.
Преобразование уравнения
- Уравнение делится на массу котика для упрощения.
- Жёсткость пружины обозначается как Омега квадрат для удобства.
Частота и неоднородные уравнения
- В физике буква Омега обозначает частоту.
- Неоднородное уравнение содержит не нулевую функцию.
- Решение неоднородного уравнения — сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
Собственная частота и колебания
- Собственная частота — частота колебаний системы без внешних сил.
- Система, деформированная и освобождённая, будет колебаться с собственной частотой.
Резонанс и его последствия
- Резонанс возникает при совпадении частоты воздействия с собственной частотой системы.
- При резонансе амплитуда колебаний возрастает пропорционально времени.
- В реальности конструкции имеют предел прочности, что ограничивает амплитуду колебаний.
Более сложные системы
- В сложных системах аналитические расчёты заменяются численными методами.
- Собственная частота любой конструкции может быть рассчитана.
Переход к матрицам и векторам
- В сложных конструкциях используются матрицы и векторы для описания задач.
- Матрица жёсткости и вектор воздействия на систему важны для анализа.
- Переход от скалярных уравнений к матричным соотношениям позволяет учитывать многомерные задачи.
Собственные частоты и резонанс
- В многомерных задачах может быть несколько собственных частот.
- Чем больше размерность задачи, тем больше вариантов резонанса.
- Пример: рота солдат на мосту, где воздействие в разных точках создаёт многомерную задачу.
Операторы в математике
- Оператор сопоставляет элементу одного множества элемент другого множества.
- Линейный оператор сохраняет линейные комбинации.
- Собственные векторы и значения характеризуют структуру оператора.
Линейные дифференциальные операторы
- Линейный дифференциальный оператор включает производные и функции.
- Важный раздел теории дифференциальных уравнений — теория линейных дифференциальных уравнений.
- Однородные и неоднородные уравнения различаются по наличию функции F справа.
Собственные функции дифференциальных операторов
- В пространстве функций собственные векторы называются собственными функциями.
- Для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами собственные функции имеют определённый вид.
- Формула Эйлера помогает определить вид собственных функций.
Собственные функции и их виды
- Собственные функции могут быть либо вещественными, либо в виде синуса или косинуса.
- Вещественные функции получаются благодаря формуле Эра.
- Синус и косинус могут быть с амплитудой и могут быть как синусом, так и косинусом.
Дифференциальные операторы в механике
- Механические системы можно сопоставить линейному дифференциальному оператору второго порядка.
- В механике участвуют производные только до второго порядка.
- Собственные функции таких операторов — экспоненты, синусы и косинусы.
Влияние затухания
- В случае затухания в системе могут быть экспоненты, умноженные на синус или косинус.
- Затухание возникает из-за сил трения.
Типы движений систем
- Системы без сил трения могут совершать неограниченные движения.
- Системы с силами трения совершают колебания, и их собственные функции — синусы и косинусы.
Резонанс и его причины
- Резонанс возникает при воздействии на систему функцией, являющейся собственной функцией.
- Решение при резонансе — синус или косинус, умноженные на t.
Заключение
- Резонанс важно понимать для осознания его происхождения.
- Видео было интересным и занимательным, с использованием дифференциальных уравнений и картинок.
В этом видео
Вступление
0:01
Здравствуйте Уважаемые зрители я попил кофе вследствие этого я нахожусь в
0:08
возбуждённом психоэмоциональном состоянии а поэтому можно записать ролик
0:14
на тему резонанс как вы это поняли из превью названия и того что вы сейчас
0:20
видите на экране значит какая тут вообще история
0:26
Почему я хочу поговорить про резонанс вообще Я когда учился в школе я физику
0:34
понимал плохо до сих пор я её не то что сильно хорошо понимаю на самом деле Почему Потому что ну лично мой
0:42
взгляд физика — это такой в некотором роде раздел математики Ну в общем физику без математики невозможно понять Вот мне
0:49
просто что в школьной физике не нравится то что по большей части очень многие
0:55
вещи которые скажем так как-то словами что ли постулируется в школьных учебниках физики они ну по
1:03
сути какой-то математической подоплёка э подоплёка есть то есть если вы потом
1:11
поступите Учиться там на какой-нибудь Физический факультет вам там всю эту математику расскажут будет понятно
1:16
откуда все эти явления берутся С математической точки зрения Однако если вы не поступите на
1:25
Физический факультет Ну или хотя бы какой-нибудь Там механика математический то
1:30
будто бы во многом физика останется для вас таким каким набором постулатов Ну то
1:36
есть вот ну скажем так вам какие-то законы природы расскажут Из каких более
1:42
глубинных соображений законы природы выводятся это останется неизвестным что ли Вот одной из таких тем для меня был
1:51
резонанс то есть ну вот мы сейчас прям ть
1:58
Вио когда мы там с какой-то вот определённой частотой действуем там на механическую систему она начинает
2:05
колебаться там с каким-то очень большими амплитудами и это вот называется
2:11
резонанс Ну и тут вот некоторые вещи они меня что ли смущают То есть я вот взял
2:17
учебник за девятый класс изергина Я конечно по-другому учился но я думаю не
2:23
суть Я думаю всё равно тема плюс-минус в разных учебниках там как-то более-менее одинаково
2:31
рассказывается Ну это значит в принципе рассказывается про колебания тут затухающие колебания потом говорится про
2:38
то что мы можем на механическую систему воздействовать какой-то внешней силой
2:44
такие колебания мы будем называть вынужденными и дальше тут вот значит
2:51
происходит объяснение резонанса Вот я прям хочу это вот зачитать Давайте нано отсюда нам
3:00
иногда периодически изменяющая внешняя сила действует на колебательную систему обладающую собственной частотой
3:05
колебаний И вот уже возникает вот это вот словосочетание собственная частота
3:10
колебаний вот собственная частота слово собственная оно несёт Ну в себе очень глубокий математический смысл да то есть
3:18
если вы там допустим первый курс окончили какой-нибудь там хма фа вы там
3:25
знаете то что всякие собственные значения собственные векторы матри линейных операторов существует о чём мы
3:31
сегодня поговорим И вот это слово собственное оно тут ну как бы несёт
3:37
Вполне себе конкретный математический смысл но при этом тут ни слова об этом почему т вообще используется слово
3:42
собственно Что значит собственная частота то есть вот тут говорится внешнее силы действит на колебательную систему обладающую собственной частотой
3:49
колебаний вот что такое вот эта собственная частота колебаний с че мы вообще взяли что механической системы вообще есть какая-то собственная часта
3:55
колебание Откуда она берётся как она вычисляется то есть вот как-то ну скажем
4:00
так Вопросов много ответов мало Ну и допустим я когда в школе был говорю я
4:06
вот вообще что-то не вкурит быть что мы там с какой-то одной
4:12
частотой действуем на систему и система себя так спокойненько ведёт а мы там какую-то другую частоту сделали и вот
4:17
происходит какой-то такой вот Волшебный резонанс В общем для меня это странно Ну
4:24
и тут дальше говорится чем ближе вот частота воздействия вот КАТО внешней
4:30
силы к собственной частоте тем больше оказывается амплитуда вынужденных колебаний особенно больше оказывается
4:35
амплитуда вынужденных колебаний если частота внешней силы сравняется с собственной частотой системы и это и
4:40
есть резонанс ну по факту Да тут как бы вроде бы и сказано что такое резонанс Но
4:46
вот тут самое такое вот такой такой камень преткновения На мой взгляд это
4:52
вот это собственно част колебаний и вот мне как раз про это хотелось бы ну что ли рассказать Я думаю всё-таки не все
4:58
люди в курсе что такое соц частота колебаний Откуда она берётся Ну тем более математически Откуда она берётся
5:04
Вот про это мы собственно и поговорим Ну что ж предисловие на этом закончено
5:11
Давайте переходить к чёрному экрану
Котик на пружинке
5:17
Итак давайте рассмотрим такую задачку вот пусть у нас есть там какой-то грубо
5:24
говоря потолок к потолку прикреплена пружинка пружинки прикреплен абсолютно
5:31
твёрдый котик давайте мы рассмотрим задачу о
5:36
колебаниях центра масс абсолютно твёрдого котика значит о чём мы сейчас с вами договоримся во-первых давайте
5:42
договоримся что жёсткость пружины равна
5:48
а дальше давайте договоримся Какие силы у нас нашего Коти
5:56
Давайте мо задать силу тяжести то есть мы её могли
6:01
бы рассмотреть но давайте пока что сил тяжести Ну не знаю
6:06
пренебрег дето вот в космосе это происходит Ну что-то вот такое в общем
6:12
силы тяжести нету то есть мы могли её рассмотреть она бы нас в уравнениях но
6:18
просто скажем так чтобы она нам не мешалась так ну и поскольку мы раем
6:24
какую-то Там задачу о колебаниях Мы хотим дойти до какого-то резонанса да то давайте вот скажем то что у нас
6:30
действует на котика некоторая внешняя вынуждающая Сила F Так и что ещё мы
6:38
понимаем мы понимаем то что у нас
6:47
М что у нас будет у нас будет ээ то что при растяжении там или сжатии
6:56
пружин относительно её недеформированном состоянии но начнёт силу кру пости стт да то есть ещё будет Вот сила Ну ладно
7:04
давайте по-хорошему что ли силу
7:10
нарисую где-то здесь действует си
7:16
Угости Так ну и Давайте введём некоторую ось X Да она нам пригодится При составлении
7:24
уравнения так Ну давайте сейчас запишем Второй закон Ньютона для материальной точки кото является центром масс
7:31
абсолютно твёрдого котика Так значит масса на ускорение вот этой точки
7:40
Да мы считаем что пусть где-то тут эта точка центр масс вот ускорение будет буквой W обозначать обычно там конечно
7:47
принято буквой а но мне гораздо больше нравится буква W такая вот у меня
7:54
привычка Так ну и равно сумме действующих Сил то есть плюс
8:00
сила Вот это внешне воздействующая плюс сила упругости сейчас считаем что вот
8:05
эти две силы у нас воздействуют на нашу систему МЖ пренебрегаем силой тяжести
8:14
так хорошо дальше давайте мы вот это наше векторное уравнение спроецировать
8:21
иксо воя компонента ускорение дальше считаем то что
8:30
у нас наша сила вот эта F она зависит от времени то есть считаем
8:36
то что она не постоянная она некоторая переменная то есть некоторая функция конкретный вид
8:43
этой функции мы рассмотрим потом сейчас просто некоторая функция Вот ну и сила
8:51
упругости по моду
9:00
изна у на система находилась в состоянии когда пружина была не деформирована и потом у нас вот начала действовать
9:06
некоторая вынуждающая Сила F ну и соответственно X — это просто
9:13
отклонение от положение когда пружина была не
9:19
деформирована всё хорошо Ну в итоге
9:29
сила Угости что направи ну тут как бы против соотвественно минус Всё у нас получилось вот так вот и давайте что ещё
9:36
скажем вот что такое у нас иксо компонента ускорения Ну поскольку у нас тут движение оно
9:42
одномерной не по плоскости не простран просто вдоль прямой у нас происходит движение то им сре это просто вторая
9:49
производная X по времени То есть если мы считаем что X это X Отт То есть это некоторая
9:56
функция которая в каждый момент времени задаёт положение Ну центра
10:02
масс а котика да Вот соответственно мы эту функцию
10:10
можем как минимум дважды продифференцировать Ну и вторая производная — это и есть ускорение первая производная скорость вторая
10:16
производная ускорения всё отлично значит у нас что получается у нас получается то что масса на ускорение дальше я вот то
10:23
что с иксом Перенесу влево плю KX равно F Отт
10:30
вот так вот у нас получилось и Давайте задумаемся о том у нас получилось давайте сейчас мы
10:39
уже в принципе так сказать с физической постанов задач в общем-то закончили По
10:44
большей части сейчас мы имеем дело уже вот с таким дифференциальным уравнением значит что это за дифференциальное
10:50
уравнение это дифференциальное уравнение
10:59
водных большего порядка на всякий случай для тех кто не
11:04
знает что такое дифференциально уравнение дифференциальное уравнение это ну общем некоторое соотношение которое связывает некоторую функцию в нашем
11:11
случае X и какие-то её производное некоторым соотношением вот оно всё
11:17
связано вот и это у нас линейное дифференциальное уравнение Ну линейно
11:23
Значит у нас никаких там функций от икса не берётся его производ то есть кабуд
11:29
зна там синуса X нету там кор из X там X к То есть у нас всё в первой степени и
11:35
по сути у нас X — это просто ну такая в левай часть у нас просто Линейная комбинация Да икса и его производна
11:44
Линейная комбинация то есть мы просто складываем X и его производный там с
11:50
какими-то коэффициентами постоянными да более того коэффициенты постоя То есть у нас масса не меняется жёсткость пружин
11:56
тоже во времени никак не меняется вот ну и прямо превращать этот ролик в
12:02
гайд по решению дифференциальных уравнений я не буду давайте я тут только
12:07
что скажу что отмечу Давайте вот мы тут всё разделим на м да и тогда у нас
12:18
получится Вот так вот и Давайте скажем то что вот
12:23
K это будет Омега к Ну понятное дело у нас жёсткость положительном с
12:29
положительном Мы это можем просто как какую-то Омега квадрат обозначить Потому что почему бы и нет вот ну и если вы
12:35
знаете то что в физике буква Омега обозначается частота то тут уже действительно какая-то частота
12:42
получается А дальше что мы скажем это уравнение оно является Так называемым неоднородным что
12:47
значит неоднородны значит то что вот здесь у нас какая-то не нулевая функция то есть если вот здесь был бы ноль мы бы
12:53
назвали это однородным уравнением поскольку у нас какая-то не нулевая функция это неоднородное уравнение Ну и
12:58
в теории дифференциальных уравнений есть такое утверждение то что если мы хотим найти Решение вот такого линейного
13:06
неоднородного дифференциального уравнения то это будет сумма его общего
13:14
решения соответствующего однородного уровня То есть когда вот тут ноль я это так оо обознач
13:21
плюс частное решение неоднородного
13:27
уравнения так Ну и вот с этим у нас всё просто ну скажем так Я просто пропо
13:34
суурувустун
13:59
это X обще однородно это по сути Решение вот такого уравнения обще
14:08
однородно точками плюс на X обще однородное вот правой
14:15
части но то есть вот этот А на синус плю B на косинус — это решение вот такого
14:22
дифференциального уравнения Ну и что мы вище говоря этон уне
14:33
не меняется Ну и я думаю плюс-минус вкурсе то что ЕС у нас синус омет коси омет то
14:42
синусом и косинусом у нас задаются колебания и коэффициент прит — это
14:47
чистота то есть Омега это у нас чистота то есть в итоге для вот такой механической
14:59
как раз таки является коре по то
15:07
есть скажем так если у нас на систему не
15:13
действуют никакие внешние силы то она будет колебаться Вот с такой частотой Ну
15:20
допустим вот у нас жи была деформированном состоянии Да дальше мы е там как-нибудь в ну так скажем еди
15:27
момент после это перестали опять воздействовать никакие внешние силы не действуют но при
15:33
этом она система пришла в движение и как раз вот собственной частотой движения это системы то есть без здесь каких-либо
15:39
внешних Сина будет Вот колебаться именно вот с этой частотой
15:46
Омега есть по для такой физической системы уже поняли что такое собственная частота вообще скажем так уже
15:59
как раз-таки та частота с которой система будет колебаться без воздействия внешних
16:06
сил хорошо ладно допустим мы поняли то что
16:13
одна часть решения У нас вот такая дальше что делать вот с этой решением
16:20
а неоднородной системы
16:26
значит Для этого нам надо уже вид
16:32
функции задать Ну поскольку мы тут говорим опять
16:37
про какой-то резонанс Ну давайте вот мы хотим чтобы это
16:43
был Давайте Пусть чтобы у нас там коэффициент был едини это будет на Ну
16:49
чтобы здесь сократилось на какой-нибудь
17:00
воздействовать на нашу систему из пружинки и
17:05
котика вот с какой-то частотой п Ну и Давайте посмотрим что будет значит в таком случае у нас
17:15
как выглядит наше дифференциальное уравнение оно будет выглядеть вот
17:20
так опять-таки рассказывать про то как находить решение
17:26
не буду я просто скажу Какие решения у нас будут в зависимости
17:32
от Но прежде чем будем получать эти решения Я предлагаю посмотреть на
Смотрим на картинки
17:40
картиночки Так давайте посмотрим Я тут простенький программный код
17:46
написал смотрите вот я тут взял собственную чисто Ну пусть равна единице допустим да вот вз сахни
17:58
тут у меня значит выводится функция которая будет решением дифференциального
18:06
уравнения вот такого где Омега это 1 это но Ну и мы видим то что Ну тут получи в
18:12
данном случае просто косинус Дайте даже чтобы было поинтересней вот я взял начальное
18:19
условие 1 то есть скажем так допустим на расстоянии о в начальный момент времени у нас там был центр
18:27
ма ми состояние пружин Да ну и пусть начальная скорость равна едини Ну допустим вот ну и мы видим У нас вот
18:34
получается такой рисунок Мы видим что у нас тут график гармонических колебаний То есть у нас колебания никак там не
18:40
затухают амплитуд не увеличится то есть вот в чистом виде гармонические колебания сейчас давайте Например у
18:47
нас наши вынужденные колебания будут с частотой в 10 раз меньше
18:54
чем собственная частота Ну у нас получается вот такая картинка Ну и в
18:59
качестве решения у нас ну просто какая-то сумма косинуса синуса Да вот ну
19:05
я тут наверно Даже побольше отсу у нас в общем вот какой-то такой график происходит Ну то есть тут поскольку это
19:11
сумма синусов косинусов тоже тут есть некоторая периодичность понятное дело Вот Но
19:17
скажем так чего-то сверхъестественно тут не происходит пока Никаким резонансом вроде близко не пахт так давайте наме
19:24
сделаю чтобы бы в ра Мень будет так Ну тут у нас какая-то вот
19:32
такая картинка получается Ну в целом тоже тут пока периодичность наблюдается
19:40
полная Давайте Например у нас сейчас 9 будет частота от собственно Ну то есть
19:48
де деся это на мой взгляд уже достаточно близко и вот смотрите вот тут у нас уже
19:53
появляется вот такая картинка вот если у нас амплитуда
19:59
собствен Когда у нас было но на амплитуда была Ну вот чуть меньше
20:06
полутора тут на самом деле Ред вроде получается Ну да максимальная туда
20:13
ре2 вот вот если мы дем 9 да то у нас уже максимальная амплитуда она там почти
20:18
вот до почти де да то есть несколько разни
20:29
Дава давайте сейчас например сдела там 95 колебания выросли до 20 единиц Да у
20:39
нас такая картинка получается Вот такая вот ну то есть всё ещё это некоторые
20:46
периодически тут есть но вот колебани уже там более чем в 10 раз выросло сечас
20:52
99 от собственной сто будет то есть поч что
20:57
уже собствен частота О вот у нас тут вообще
21:03
Видите вот амплитуда доходит уже вот до сотни Да ну и давайте я тут тысячу
21:11
секунд рисую вот у нас да это всё ещё всё ещё всё ещё у
21:20
нас ну скажем так какие-то периодические колебания да то есть сумма синусов и косинусов в любом случае там какой-то
21:26
период есть да при частоты рационально Вот Но как мы видим
21:31
поскольку у нас там амплитуда была изначально там Ну полтора Ну там √2 ну сколько там 1,4 приближённо тут уже у
21:39
нас ну в несколько десятков раз выросла частота да и у нас будет Вот такая
21:44
картинка и вот если у нас уже ровно будет собственно частота у нас получается вот
21:50
такая картинка Вот и здесь уже никакого там затухания какого-то не будет то есть
21:56
если у нас когда вот было 99 у нас было картинка что вот она сначала
22:02
амплитуда возрастает но потом всё-таки начала убывать Вот то когда у нас ровно
22:08
собственно частота Вот она непрерывно возрастает Почему Потому что вот если мы сейчас взглянем
22:14
на решение взглянем на решение у нас тут не
22:19
просто синус и косинус у нас появляется множитель т у косинуса То есть как раз с течением времени вот у нас амплитуда она
22:27
пропорциональна т возрастает и вот он собственно резонанс получается то есть
22:35
если мы Чем дольше мы действуем с частотой которая
22:42
равна собственной частоте механической системы тем больше у нас будет амплитуда потому что амплитуда но она получается
22:48
вот начинает зависеть от т ну и возрастает
22:54
пропорционально такие дела Ну давайте вот я м это на картинках показал да
23:00
и давайте сейчас к форму вернёмся ещ раз это
Итоги задачи с пружинкой
23:05
обу Так ну и смотрите значит вот ещё раз наше дифференциальное уравнение вот оно
23:12
у нас тут есть два различных случая То есть у нас будет два различных решения Вот первый случай когда у нас частота с
23:20
которой мы воздей не равна собственно частоте вот на механи сие рамо на будет
23:26
рение такое слагаемые которые представляют собой см так гармоническое колебание и плюс
23:33
слагаемое которое возникает в результате вот этих воздействие
23:57
нуждающейся вот э амплитуда но тем не менее эта амплитуда она фиксирована и
24:03
конечна в случае не равному Омега то есть вот это ну всё ещё сумма синусов косинусов с
24:10
какими-то постоянными коэффициентами Ну то есть да чем ближе мы к Омеге тем у нас больше будет по итогу Вот это
24:19
самая наша амплитуда колебаний Вот и в принципе ну скажем так в реальности ВС
24:27
рано мы понимаем Ну скажем так слишком большими амплитуды быть не могут То есть у нас ВС равно
24:35
есть какой-то предел прочности у тех механических систем конструкций да то есть на самом деле нам Ну в реальности
24:43
даже можно не доходить до частоты которая прямо равна собственной То есть можно даже как-то достаточно близко
24:49
подойти там уже достаточно большой чтобы какую кон
24:59
сонно СТО У нас как ки вот это слагаемое превращается вот в такое сла у нас
25:05
появляется множитель вот как я сказал нас получается что амплитуда на с
25:12
течение времени будет только возрастать и возрастать ну и скажем так возрастать не ограничено то есть с течением времени
25:20
скажем так никакая конструкция
25:27
Нест То есть у нас появляется вот эта зависимость амплитуды колебаний от
25:32
времени Ну даже не зависимость это такая прямая пропорциональность даже можно
25:38
сказать вот значит что мы с вами обсудили то мы с вами обсудили один
25:43
какой-то вот частный случай да одну какую-то механическую систему одну
25:49
какую-то конструкцию и мы что увидели то что вот это понятие собственно частоты оно вообще
25:56
берётся Ну вот из дифференциального уравнения Да вот это явление резонанса
26:01
оно берётся из решения дифференциальных уравнений Вот то есть это всё Вполне
26:09
себе высчитывается вот в случае каких-то
26:15
более сложных систем
26:20
да Давайте я вот значит что напишу вот е у нас какие-то более сложные системы то
Что происходит в более сложных задачах?
26:27
есть вот там у нас была номерная задача вот в реальности же скажем так Ну
26:32
аналитически да то есть там прям конструкци не рассчитывает это всё делается там численно в каких-то там специальных инженерных программах Ну и
26:40
скажем так вот в реальности мы когда рассматриваем какие-то уже вот конструкции Вот и любой конструкции на самом деле вот можно
26:47
посчитать вот эту самую собственную
26:53
частоту вот там уже скалярных величин переходим к
27:00
векторам и матрицам то есть вот в случае когда у нас уже будет какая-то там ну вот
27:05
объёмная конструкция просто мер задачи у нас там уже будет э Матрица мас тут у
27:12
нас уже будет Вектор X дальше плюс Матрица жёсткости дальше снова Вектор X Ну и там
27:21
ну сколько Матрица на Вектор — это Вектор Ну и там также какой-то вот у нас Вектор воздействия на систему будет
27:29
Вот такие дела то есть мы уже там какого-то скалярного уравнения переходим к Ну такому матричном
27:37
соотношению Вот Но это в случае уже каких-то более сложных конструкций Да ну и скажем так случае когда у нас
27:45
конструкция она уже какая-то объёмная там на самом деле собственных частот например уже может быть несколько то
27:52
есть скажем так это вот Наша одномерной задача у нас получилось то что у нас одна собственная частота вот опять-таки
27:58
реальности собственных частот их может быть несколько потому что у нас уже ну скажем так задача становится Вот
28:03
многомерной и чем больше размерность задачи тем больше различных собственных частот
28:10
то есть больше вариантов как можно воздействовать на систему так чтобы она вошла в состояни резонанса Вот это я скажем так объяснил
28:19
как можно вот от такого простого случая с пружинкой перейти допустим там к тому
28:26
чтобы вот вообразить вот с Сами как там же Ну а как допустим так вот пример
28:33
классической типа там рота солдат шагает по мосту мост разрушается Ну и скажем так род солдат там не знаю сколько
28:39
десятков человек вот они машут и они там в десятках разных точек вот воздействуют
28:44
на моз Да и соответственно Ну вот как раз таки это много-много много мерная задач Ну и как вот это одномерного
28:49
случай перети к многомерном Вот я сказал то что там мы уже переходим к каким-то матрицам Ну и там какая-то возникает Матрица жёсткости описывающая всю
28:56
систему Матрица точнее Матрица сама с Матрица жёсткости которая описывают всю систему вот ну и вектором F мы там
29:04
как-то ну или там Матрица будет Ну ладно в общем случае это конечно матриц всё ну там не суть Ну короче вы поняли от чисел
29:11
к матрицам переходим и так мы уже можем любые конструкции рассчитывать Вот и о чём бы мне ещё
29:19
хотелось поговорить Сейчас Мы ещё поговорим на ещё более абстрактном
29:25
уровне об этом всём Ну более абстрактном зрени что ещё более математи
Происходят азы функционального анализа и теории диффуров
29:31
Зро знаете вот Чем хороша запись роликов то что вот можно записать пол ролика
29:36
потом сутки поспать и продолжить записывать ролик Ну так вот я продолжаю
29:42
запись ролика спустя сутки мы тут на чём остановились мы остановились на этом для вас Прошло несколько секунд для меня
29:48
несколько часов может быть даже десятков часов Но в чём суть теперь я вам хочу
29:54
рассказать вот о чём Точнее не рассказать Может вы это уже знаете Ну или рассказать ладно значит хочется
30:00
поговорить об операторах операторах вообще операторы ну скажем так в целом
30:06
их любят буква я обозначать чаще всего но и в целом оператор — Это такой вот некоторый способ
30:13
сопоставить элементу одного множества элемент другого множества Ну в целом
30:19
интереснее всего когда оператор действует скажем так нула не интереснее ВС Ну как частный случай можем
30:25
рассмотреть когда оператор действует из одного множества в это же самое
30:31
множество Хотя в общем виде тут так сказать область отправление и область прибытия это так сказать разные
30:38
множества Ну и вообще как можно интерпретировать вообще такое понятие как оператор но оператор Он производит
30:43
некоторое действие То есть например там какая-нибудь функция FX ра X ква она у вас забирает
30:52
число X возвращает число X к то есть в целом можно как бы это вать как оператор
31:00
Ну конечно терминологически в разных разделах математики оно немножко разные вещи обозначает но всё равно в целом
31:07
оператор в некоторых контекстах можно понимать как сином слово функция сином
31:12
слово отображение вот так Ну и о чём зачем я вообще это
31:20
хотел сказать Вот вообще смотрите вообще вот в там
31:26
линейной алгебре функциональном анализе есть такое понятие как собственный Вектор о ЧМ это понятие
31:34
вообще оно о том что мы действуем оператором на некоторый элемент
31:39
множества определения этого оператора и получаем тот же самый элемент просто
31:46
донон на некоторое число лямбда Ну и для тех
31:52
элементов для которых выполняется
31:58
они называ собственными векторами а число лямбда в таком случае называется собственным значением соответствующим
32:04
собственному вектору X вот ну и собственно в общем-то любой Линейный
32:12
оператор у него есть какие-то свои а нелинейный линейный Ну да линейный Вот
32:18
мы с вами сейчас поговорим о линейных операторах Ну давайте вообще скажем что такое Линейный оператор Линейный оператор — это оператор для которого
32:29
выполняется вот такое соотношение Вот то есть вообще свойство
32:35
линейности оно о чём то что мы отдаём линейному оператору линейную комбинацию и взамен получаем линейную комбинацию
32:42
действий операторов Вот и соответственно у линейных операторов у них всегда есть какие-то
32:49
собственные векторы ну и соответствующие им собственные значения Ну и вообще что означает слово собственные Ну скажем так
32:56
собственные векторы они некоторым характеризуют Ну сам оператор да то есть
33:02
это то что ну скажем так то что я сейчас говорю оно не то чтобы какой-то строгий математический смысл несёт но скорее
33:08
некоторый такой я не знаю философский что ли контекст себе
33:13
несёт Ну в общем собственные векторы они ну скажем так некоторым образом характеризуют какую-то внутреннюю
33:20
структуру вот оператора и можно сказать что оператор достаточно так сильно
33:28
и однозначно определяется своим набором собственных векторов собственных значений вообще набор собственных
33:34
значений называется спектром оператора вот ну и скажем так это некоторая такая вот суть ядро оператора это вот его
33:42
собственное значение собственные векторы такие вот дела Ну
33:48
и вообще ча возникают функционально анализ
33:54
называемые операторные уравнения уравнение вот такого вида где x y — это ну не просто числа на всякий
34:02
случай это там какие-то элементы векторного пространства и А — это ну некоторый оператор Вот и хочется сказать
34:08
что ну X — это тогда
34:14
некоторый Как сказать это действие обратного оператора на Y Вот Но тут
34:21
возникает вопрос о том Всегда ли существует обратный оператор Вот Но это всё-таки вопрос изучающий в
34:28
функциональном анализе вообще мне хочется о чём сказать мне хочется
34:34
сказать о линейных дифференциальных операторах вот ну слово
34:40
операторы мы с вами разобрали слово линейный мы с вами разобрали но слово дифференциальный я думаю оно тут
34:45
достаточно Понятно Потому что раз дифференциально Значит какое-то есть дифференцирование то есть какая-то там производная вот ну и вообще общий вид
34:52
линейного дифференциального оператора он выглядит
34:58
следующим образом Ну прямо в общем виде Так это будет
35:03
anx f производна от x плюс так далее п
35:09
какая-то функция 1 X так на
35:16
F плю а0 X FX вот здесь вот эти коэффициенты
35:24
а01 Ну это просто какие-то произвольные функции Ну мы считаем что они там хотя
35:30
бы хоть сколько-то гладкие наверное было бы неплохо чтобы они были хоть сколько-то гладкие ну и соответственно
35:36
это у нас дифференциальный оператор Ну энного порядка чи что нная производная
35:42
вот ну и вообще говоря в теории дифференциальных уравнений Ну очень важный раздел На мой
35:48
взгляд это теория линейных дифференциальных уравнений Ну первого порядка Ну и вообще выше порядков Вот
35:55
соответственно в целом мы можем любое линейное дифференциальное
36:03
уравнение записать вот в таком виде то есть вот у нас Неизвестная функция y
36:08
есть и справа у нас какая-то функция F Ну если функция F — это просто ноль то
36:14
это у нас однородное уравнение если у нас справа не ноль то это неоднородное уравнение Ну и в целом-то
36:23
что в целом-то что Вот давайте вем вот этому уравнению которое мы получили
36:30
для нашей механической системы вот мы получили такое уравнение мы сейчас можем
36:35
на него посмотреть Ну с точки зрения Ну вот этой какой-то введения в теорию операторов какого-то функционального
36:41
анализа да то есть в целом мы тут что можно сказать то что у нас оператор LX —
36:47
это ну вот такой оператор и в целом мы тогда вот это уравнение можем переписать
36:53
но в таком операторной виде LX = F да
37:00
вот ну и собственно зачем я это всё рассказываю вот я значит говорил да что
37:05
оператора есть какие-то там собственные значения собственные векторы Ну и вот у
37:11
операторов которые действуют на пространстве функции Оли не дифференциальные операторы они берут функцию возвращают функцию то есть на
37:17
пространстве функции действуют у них ну уже принято называть не собственными векторами а собственными функциями
37:29
И вообще скажем так в случае если у нас
37:36
дифференциальный оператор имеет коэффициент на вот эти Аны которые
37:43
постоянны Да а у нас именно такой случай у нас масса постоян коэ жёсткости
37:48
пружины постоян Да вот таком с
37:59
функции вот такого дифференциального оператора у которого собственные коэффициенты вот эти собственные функции
38:05
как бы их обозвать Ну давайте давайте давайте давайте что
38:10
будет как тебя назвать-то я не знаю
38:16
Т Ну пусть так будет Вот они имеют вид Ну там какой-нибудь коэфициент
38:22
не нулевой вобще функции не должны быть
38:28
тождественно нулевые Вот вот ну тут какое-то лямбда
38:33
Т вот где лямбда если что в целом может принадлежать множеству комплексных чис
38:40
то есть обязательно вещественное Число Вот то есть вот такие операторы они изучены известно что их
38:49
собственные функции обязательно имет вот такой
38:56
вид ещё поконкретней то мы знаем что у нас есть формула Эйлера да давайте вот
39:05
вспомню формулу Эле не лямда напишу а ниму единицу Вот Значит у нас есть вот такая
39:12
формула Эйлера Да ну
39:18
и в итоге у нас Э что получается у нас получается что в целом У нас вот эти
39:26
собственные функции они всё-таки будут иметь Вот либо вот такой вид где у нас
39:34
лямбда является теперь уже вещественным вот это важно Ну за счёт того что можем
39:41
формулу Эра применить либо у нас собственная функция тогда
39:47
будет Вот я наверное так запишу коэффициент а
39:53
синус лямбда т п B Вот так
39:59
вот Вот почему так Ну опять Ну а какая-то амплитуда могли бы сказать что
40:06
у нас там будет либо синус либо косинус но ну или Ладно Хорошо Давайте Так вот у
40:14
нас тут будет либо синус наверно да на всё-таки правильно вот так либо синус либо
40:23
косинус вот Ну и с какой-то механической то
40:28
юто физическую си этой физической системе мы в общем-то можем сопоставить некоторый линейный
40:35
дифференциальный оператор Ну и даже не какой-то совсем некоторый а на самом деле второго порядка Почему Потому что
40:42
ну мы знаем что в механике у нас в общем-то участвуют производные
40:48
только вплоть до второго порядка то есть
40:56
закон механики у нас лини дифференциальные операторы даже только лишь второго порядка
41:02
возникают на самом-то деле Вот такие дела
41:07
А ну и соответственно у нас собственными функциями этого операторы являются Вот
41:14
либо экспоненты либо синусы косинусы в общем-то
41:19
Ну на самом деле Тут ещё может быть вариант то что у нас там экспонента до множе на синус косинус Но это в случае
41:25
когда у нас там есть Като затухание рование в
41:32
системе какие-то силы трения такое Но это ещё один случай не сечас не говорю
41:38
Хотя как бы упомяну всё-таки вот ну и получается что вот глобально у нас может
41:47
быть два варианта да ко нас есть вот либо Экспо
41:57
То есть в принципе если мы какую-то систему пружинками которые возвращают
42:03
систему исходное положение каки другие системы в принципе система может совершать неограниченные
42:09
движение в том плане что там не будет каких-то колебаний ещё чего-то вот А если у нас в системе там есть
42:16
какие-то силы возвращающие систему там какому-то исходному положению То есть как раз кода
42:21
возникая возникает оние
42:28
вот эти синус косинус они являются собственными функция дифференциального
42:33
оператора которого мы Составляем механической системе
42:41
вот Ну и что ну и получается что когда мы воздействуя на
42:48
систему функцией которая являтся собственной
42:56
функцией синус и косинус с нужными лямбда вот как раз-таки и вот тогда и
43:02
возникает резонанс Вот такие
43:08
дела Именно тогда у нас как бы и получается то что решением будет не
43:13
чисто синус косинус А вот синус косинус умноже там на Нан первой степень Ну на Т
Финал
43:20
просто вот это то что я хотел рассказать вот с точки зрения там какого-то там ли нала функа
43:28
вот ну вроде достаточно сильно углубился в эту всю тематику На мой взгляд чтобы
43:35
по-настоящему поть Что такое вот резонанс Откуда он берётся Вот это всё его как-то нужно
43:40
немножечко осознавать что ли Вот какие-то такие дела в общем с Спасибо
43:46
что смотрели данный ролик
43:56
ролик интересно увлекательно тут дифференциальное уравнени позанимались там какие-то картиночки посмотрели рр
44:01
хуё-моё Ладно наверное на этом всё спасибо вам