Вы должно быть знаете, что некоторые множества чисел могут быть бесконечно большими, но задумывались ли Вы, что некоторые бесконечности могут быть больше других? А может, существуют такие бесконечные множества, которые могут быть подмножеством множества другого бесконечного числа элементов? Математики с разных углов мира задавались этим вопросом по крайней мере одно столетие, а недавние работы в этой области поменяли взгляд людей на эту проблему.
Расшифровка видео
0:00
в конце всеми известного марвелос
0:03
блокбастера Мстители финал
0:14
[музыка]
0:30
Роберту Дауни младшему актёру
0:35
исполнившее подобные моменты с детьми в
0:38
его личной
0:39
жизни такая игра может стать весёлым и
0:43
поучительным познанием больших чисел я
0:46
люблю тебя на 10 А я люблю тебя на 100
0:50
тогда я люблю тебя на 101 так могло бы
0:53
продолжаться Долго но все мы знаем К
0:55
чему такая игра ведёт я люблю тебя на
0:58
бесконечность тогда я люблю тебя на
1:01
бесконечность плюс
1:03
ОДИ Что же это значит бесконечность плюс
1:07
О это новая бесконечность и она больше
1:11
предыдущей ровно на один но если
1:14
бесконечность подразумевает в себе
1:16
бесконечное количество элементов то
1:18
разве есть что-то что может быть больше
1:22
бесконечности с самого детства мы
1:24
сталкиваемся с понятием бесконечности
1:28
Она нас завораживает своей
1:30
неопределенностью и
1:32
непостижимость мы узнаём о бесконечности
1:35
задолго до того как начнём изучать
1:37
математику и с самых ранних лет концепт
1:41
бесконечности притягивает нас своей
1:45
[музыка]
1:54
загадочностью Вы должно быть знаете что
1:57
некоторые множество чисел могут быть
2:00
большими но Задумывались ли вы что
2:03
некоторые бесконечности могут быть
2:05
больше других А может существуют такие
2:08
бесконечные множества которые могут быть
2:11
под множеством множества другого
2:13
бесконечного числа
2:15
элементов математики с разных углов мира
2:18
задавались этим вопросом по крайней мере
2:21
одно столетие а недавние работы в этой
2:23
области поменяли взгляд людей на эту
2:28
проблему чтобы начать разбираться с
2:31
вопросом о размере бесконечных множеств
2:34
сперва начнём с множеств размер которых
2:37
можно посчитать для начала множество –
2:41
это набор объектов или элементов А
2:44
конечное множество это набор конечного
2:47
числа
2:48
элементов неважно будь то множество из
2:51
десяти или из миллиарда элементов мы ВС
2:54
равно можем его посчитать хоть вручную
2:57
Это займёт много времени в любом случае
3:00
чтобы узнать размер конечного множества
3:03
необходимо всего лишь пересчитать
3:05
элементы этого множества так как это
3:07
конечное множество Мы точно знаем что
3:10
когда-нибудь посчитаем все элементы Это
3:12
и будет
3:15
размером Однако такой метод подсчёта не
3:19
подходит когда мы говорим о бесконечных
3:21
множествах к примеру рассмотрим
3:24
множество N состоящее из всех
3:27
натуральных чисел натуральные числа
3:30
это числа которые мы используем при
3:32
подсчёте 0 1 2 3 и так
3:35
далее Как вы думаете каков размер такого
3:41
множества каждое последующее натуральное
3:44
число в данном множестве можно получить
3:47
взяв предыдущее число и прибавив к нему
3:50
один поскольку не существует самого
3:53
большого натурального числа на котором
3:56
мы могли бы остановить
3:58
подч неизвестен и можно было бы сказать
4:02
что его размер равен
4:04
бесконечности это утверждение является
4:07
верным до тех пор пока мы не начинаем
4:09
рассматривать другие бесконечные
4:13
множества давайте рассмотрим множество
4:16
действительных чисел действительные
4:19
числа – это такие числа которые могут
4:22
быть записаны в конечном десятичном
4:24
представлении как
4:28
578 –
4:31
45,1 или в виде бесконечной десятичной
4:34
дроби Как
4:37
√2 мы можем записать любое натуральное
4:40
число в десятичном представлении где все
4:43
числа после точки являются
4:47
нулями например возьмём число 111 из
4:51
набора натуральных чисел и запишем его
4:53
как
4:56
1110 а является ли число 111
5:01
СТ
5:02
является поэтому мы можем сказать что
5:05
все натуральные числа входят в состав
5:08
действительных чисел но является ли
5:11
число
5:12
5,78 из множества действительных чисел
5:16
натуральным числом не является а это
5:19
значит что бесконечное множество
5:22
действительных чисел содержит все
5:24
натуральные числа и по крайне мере Оно
5:27
такое же
5:28
большое
5:30
чи И даже
5:32
больше в этом и кроется Парадокс
5:35
бесконечностей Мы вроде бы говорим что
5:38
размер множества натуральных чисел и
5:40
размер множества действительных чисел
5:43
бесконечны Однако понимаем что это
5:46
разные
5:48
бесконечности давайте рассмотрим пример
5:51
возьмём любые Два натуральных числа
5:54
допустим 2 и 5 Мы точно знаем э
5:59
натуральными числами находится конечное
6:01
число элементов А именно два элемента 3
6:06
иче тем не менее если мы возьмём те же
6:09
числа в ряду действительных чисел мы не
6:12
сможем сказать сколько элементов
6:14
Находится между ними действительные
6:17
числа такие как д целы и1 3 3л и
6:23
89
6:26
3893 4,9 в периоде все они помещаются
6:31
между двойкой и пятёркой
6:33
Однако само их количество
6:39
бесконечно Нужно отметить что неважно
6:41
насколько близкие друг другу
6:43
действительные числа мы будем
6:45
рассматривать между ними всегда будет
6:47
бесконечное количество
6:49
чисел само по себе это не означает что
6:53
множество натуральных чисел И множество
6:56
действительных чисел имеют разные
6:58
размеры Но это говорит о том что эти два
7:02
бесконечных множества разные и этот факт
7:05
заставляет нас разбираться
7:09
дальше Георг Кантер немецкий математик
7:13
ученик вейерштрасса уроженец
7:16
санкт-петербурга занимался этим вопросом
7:18
в конце X века ему удалось показать и
7:22
доказать что эти два множества
7:25
действительно имеют разные
7:28
размеры
7:30
Нам необходимо знать Как сравнивать два
7:33
бесконечных множества и как обычно ответ
7:36
кроется в
7:42
функциях мы можем по-разному описывать
7:45
функцию fx = x П 1 графики правила
7:52
наподобие возьми входное значение и
7:55
Умножь его на 2 Но все эти описания
7:58
сводятся
8:00
функция – это способ сопоставления
8:02
одному множеству элементов
8:05
другое Давайте в качестве одного
8:07
множества возьмём множество натуральных
8:10
чисел N А в качестве второго множество
8:13
чисел S которые будет состоять из всех
8:17
чётных натуральных
8:19
чисел Как вы думаете какая функция
8:22
отображает множество N в множество
8:26
S можете поставить видео на паузу сечас
8:31
подумать это функция которая удваивает
8:34
входное значение то есть FX ра 2x
8:38
например f от 0 ра 0 f от Е ра 2 f от
8:43
дво равно
8:46
4 мы можем визуально представить себе
8:49
это в виде двух столбцов из каждого
8:52
элемента первого множества то есть
8:54
натуральных чисел идт стрелка в один
8:57
элемент множества чи эта функция
9:01
назначает каждому элементу множества N
9:04
ровно один элемент множества S но здесь
9:07
кроется два важных
9:09
замечания во-первых эта функция
9:12
назначает всем элементам из S что-то из
9:16
N в рамках терминологии функций мы бы
9:20
сказали что Каждый элемент из множества
9:22
S является отображением какого-то
9:26
элемента из множества
9:28
N
9:31
например для элемента
9:33
2048 из множества S мы можем найти такой
9:36
элемент в множестве n так чтобы FX
9:40
равнялось
9:42
2048 как в данном случае Найти X можете
9:46
поставить видео на паузу чтобы
9:52
подумать вместо FX подставим саму
9:55
функцию 2x =
9:58
2048 тогда X =
10:01
1024 является ли число
10:03
1024 элементом из множества N Да так как
10:08
оно
10:09
натуральное говорят что FX отображает N
10:13
в S самое главное понять что функция FX
10:18
превращает входные элементы из N В
10:20
выходные элементы из S и ничего из S не
10:24
упускается в этом
10:26
процессе второе важное
10:29
о том как функция назначает выходные
10:32
значения входным состоит в том что
10:35
никакие два элемента из N не
10:37
отображаются в один и тот же элемент из
10:40
S если Два натуральных числа различны то
10:43
и их удвоенные значения тоже различны 2
10:47
и 4 разные элементы множества N и их
10:52
отображение в S 4 и 8 соответственно
10:55
также
10:57
различны говорят
10:59
что FX – это 1 к о или
11:04
инъективное здесь то что нени один
11:07
элемент из S не используется два
11:11
раза подытожим функция FX назначает
11:15
каждому элементу из N какой-то элемент
11:18
из S И никакие два элемента из N не
11:22
отображаются в один и тот же элемент из
11:25
S такие функции
11:27
называют
11:30
когда каждому элементу из одного
11:32
множества соответствует ровно один
11:34
элемент из второго
11:36
множества этот факт и применяется при
11:39
доказательстве что два бесконечных
11:42
множества имеют одинаковый
11:46
размер неожиданно правда ведь любое
11:49
чётное натуральное число являющееся
11:52
элементом из множества S само по себе
11:55
натурально А значит все элементы из S
11:58
содержа N но не любое натуральное число
12:01
из N является чётным поэтому N в S не
12:06
содержится не должно ли быть так что N
12:09
всё же больше
12:11
S если бы мы говорили о конечных
12:14
множествах то да это было бы верно но в
12:17
теории бесконечных множеств даже когда
12:20
одно множество полностью содержится в
12:22
другом они всё равно могут быть
12:25
равномерными это тоже самое Как
12:27
сравнивать бесконечность и бесконечность
12:31
плюс о где прибавление единицы особой
12:35
роли не играет это и есть одна из самых
12:39
интересных характеристик бесконечных
12:42
множеств но самым впечатляющим является
12:45
то что всё же бесконечные множества
12:48
могут быть разных размеров как такое
12:51
может
12:53
быть ранее в видео мы рассматривали
12:56
множество натуральных и действительных
12:59
Георг Кантер доказал что эти два
13:02
множества ВС же имеют разные размеры
13:04
хоть они и бесконечные а удалось ему это
13:08
доказать при помощи его блистательного
13:10
диагонального
13:14
метода мы уже говорили о том что между
13:17
двумя конкретными действительными
13:19
числами существует бесчисленное
13:21
количество других действительных
13:24
чисел сечас же
13:27
сфку
13:30
и каждое такое число мы можем
13:33
рассмотреть в десятичной форме но то А1
13:37
А2 А3 и так далее условимся что а с
13:41
индексами – это просто цифры числа после
13:44
точки исключи лишь число где все цифры
13:48
после точки являются
13:50
нулями диагональный аргумент георга
13:53
кантера начинается с постановки
13:56
вопроса
13:57
было
14:00
между такими действительными и
14:02
натуральными числами иными словами Что
14:06
было бы если бы каждому действительному
14:08
числу больше нуля но меньше единицы
14:12
соответствовало ровно одно натуральное
14:15
число если бы такая функция существовала
14:18
Мы бы могли представить себе это
14:20
примерно
14:22
такте в диам методе
14:27
яв
14:29
большее нуля но меньшее единицы такое
14:33
которое не существует в нашем списке Для
14:36
этого необходимо зафиксировать цифры
14:38
после точки по диагонали и создать новое
14:41
число Где на каждой позиции поставить
14:44
цифру отличную от той что мы
14:48
зафиксировали а именно первой цифрой
14:51
после точки взять что-то отличное от А1
14:54
второй цифрой взять что-то отличное
14:57
от чтото отличное от C3 и так
15:01
далее это новое число образуется из
15:05
диагонали цифр нашего списка чисел
15:08
Существует ли оно в нашем списке оно не
15:11
может быть первым числом потому что как
15:14
минимум отличается в первой позиции
15:16
после точки оно также не может быть и
15:19
вторым числом потому что оно отличается
15:22
второй позицией после точки А если
15:24
обобщить то оно не может быть и ным
15:27
числом в списке так как отличается в
15:30
энной
15:32
позиции значит такое новое число не
15:35
существует в нашем списке Но ведь все
15:38
числа между нулём и единицей должны были
15:41
присутствовать в нашем
15:43
списке это противоречие и возникает
15:46
потому что мы предположили что
15:48
существует биек функция между
15:51
натуральными числами и действительными
15:53
числами больше ну и меньше
15:57
едини
15:59
что эти два бесконечных множества имеют
16:02
разные
16:03
размеры технический размер бесконечного
16:06
множества называют кардинальным числом
16:10
или мощностью множества мы говорим что
16:13
мощность множества действительных чисел
16:16
больше чем мощность множества
16:18
натуральных чисел мощность или
16:21
кардинальная число множества натуральных
16:24
чисел есть АФ Ну в математике аф
16:28
является наименьшей мощностью
16:30
бесконечного
16:31
множества следующее кардинальное число –
16:34
это АФ 1 и самый простой вопрос который
16:39
мы можем задать сейчас и который
16:41
задавали математики себе на протяжении
16:43
более Столетия это является ли
16:48
А1 мощностью множества действительных
16:52
чисел Кантер считал что ответ на этот
16:56
вопрос
16:57
отрицательный это предположение он
17:00
высказал в так называемой гипотезе
17:02
континуума правда доказать он это так и
17:05
не смог в начале XX века этот вопрос
17:09
считался столь значимым что выдающийся
17:12
математик Дэвид Гилберт внёс его в свой
17:15
знаменитый список 23 главных нерешённых
17:18
проблем в математике и поставил его даже
17:21
на первое место в
17:23
списке в 1940 году известный логик ль
17:29
доказал что в соответствии с
17:31
общепринятыми правилами теории множеств
17:33
невозможно доказать что существует
17:35
бесконечность между натуральными и
17:38
действительными числами это могло бы
17:40
показаться большим шагом к
17:42
доказательству того что Континуум
17:45
гипотеза верна Однако позже математик
17:48
пол Коэн показал что невозможно доказать
17:51
что такая Бесконечность не существует
17:54
оказалось что эта гипотеза не может быть
17:56
доказана вовсе
17:59
вместе эти результаты установили
18:02
независимость гипотезы
18:04
континуума Это означает что общепринятые
18:08
правила множеств просто недостаточно
18:11
полны чтобы показать Существует ли
18:14
бесконечность между множествами
18:16
действительных и натуральных чисел но
18:19
вместо того чтобы отбить охоту у
18:22
математиков познавать бесконечность
18:24
гипотеза дала толк новым
18:27
направлениям сейчас учёные ищут новые
18:30
фундаментальные правила для бесконечных
18:32
множеств которые смогли бы объяснить то
18:36
что уже известно и помочь заполнить
18:40
пробелы фраза моя любовь не зависит от
18:43
аксиом может казаться не такой забавной
18:46
как фраза я люблю тебя на бесконечность
18:48
плюс оди но возможно она помогла бы
18:51
следующему поколению маленьких
18:53
математиков спать
18:55
[музыка]
18:57
крепче
18:59
[музыка]
19:16
K