Принцип наименьшего (или «стационарного») действия — вероятно, самое близкое к «теории всего», что существует в современной науке. Он применим как к частицам, так и волнам, не противоречит ни теории относительности, ни квантовой механике. В чём его суть и как его открыли расскажет Дерек с канала Veritasium.
*Прямая ссылка на видео https://www.youtube.com/watch?v=C2tL1A3B3cY
Пересказ видео
00:00:07 Введение в принцип физики
- Принцип, лежащий в основе всей физики, применим к классической механике, электромагнитным взаимодействиям, квантовой теории и общей теории относительности.
- Этот принцип может объяснять поведение жизни.
00:00:59 Проблема скорейшего спуска
- Вопрос о самой быстрой траектории для массы, скатывающейся из точки А в точку Б.
- Галилей считал, что дуга окружности — самая эффективная траектория.
00:01:51 Вызов Бернулли
- Иоганн Бернулли предложил математикам найти решение проблемы скорейшего спуска.
- Ньютон нашёл решение, но опубликовал его без подписи.
00:03:43 Принцип преломления света
- Герон Александрийский заметил, что свет преломляется при переходе из одной среды в другую.
- Закон Снеллиуса: синус угла падения равен синусу угла преломления.
00:05:17 Принцип Ферма
- Пьер Ферма показал, что свет выбирает самый быстрый путь при преломлении.
- Постоянная в законе Снеллиуса равна отношению скоростей света в двух средах.
00:07:34 Применение принципа Ферма к проблеме спуска
- Бернулли применил принцип Ферма к проблеме скорейшего спуска, представив массу как луч света.
- Скорость света зависит от высоты над начальной точкой.
00:08:54 Уравнение циклоиды
- Соотношение скоростей света на границах сред равно константе.
- Уравнение циклоиды — это уравнение пути, который проходит точка на окружности кающегося колеса.
00:10:57 Принцип наименьшего действия
- Пьер Луи де Мопертюи предложил принцип наименьшего действия: природа минимизирует произведение массы на скорость на расстояние.
- Пример с мячом иллюстрирует принцип: мяч выбирает траекторию с наименьшим действием.
00:12:14 Реакция на принцип Мопертюи
- Принцип Мопертюи был раскритикован и высмеян.
- Вольтер обвинил его в плагиате и плохих расчётах.
- Некоторые учёные проигнорировали идею Мопертюи.
00:13:39 Критика и защита принципа Мопертюи
- Принцип Мопертюи вызвал смешанную реакцию: от осмеяния до полного игнорирования.
- Принцип казался необоснованным и математически непроработанным.
- Леонард Эйлер стал защитником принципа.
00:14:17 Развитие идей Эйлера
- Эйлер заменил сумму на интеграл для расчёта действий при постоянном изменении скорости и направления.
- Он начал рассчитывать пути тел вокруг центральной массы, например, планет вокруг звёзд.
00:15:02 Метод Эйлера и его открытия
- Эйлер изобрёл новый метод для решения сложных задач.
- Он понял, что принцип наименьшего действия соблюдается при сохранении общей энергии.
- Эйлер представил более строгие расчёты и нашёл два дополнительных условия для принципа.
00:16:06 Вклад Лагранжа
- Жозеф Луи Лагранж в 1754 году поделился своими находками с Эйлером.
- Лагранж продемонстрировал общее доказательство принципа наименьшего действия.
00:17:30 Общий подход Эйлера и Лагранжа
- Поиск пути с наименьшим действием аналогичен поиску минимума дифференцируемой функции.
- При небольших изменениях пути действие меняется слабо.
00:19:22 Современная запись принципа
- Принцип записывается как интеграл по времени для разности кинетической и потенциальной энергии.
- Уильям Роуэн Гамильтон в 1834 году записал принцип в современном виде.
00:22:24 Принцип Гамильтона
- Принцип Гамильтона объясняет, как объекты перемещаются из одной точки в другую.
- Отличия от принципа Мопертюи: сохранение времени для всех траекторий, но энергия может быть разной.
00:23:26 Пример с мячиком
- Пример с киданием мячика вертикально вверх иллюстрирует принцип наименьшего действия.
- Реальная траектория мяча определяется путём с наименьшим действием.
00:25:24 Эквивалентность принципу Ньютона
- Принцип наименьшего действия эквивалентен второму закону Ньютона.
- Принцип охватывает не только механику, но и другие физические явления.
00:26:22 Универсальность принципа
- Принцип наименьшего действия описывает отражение и преломление света, ход маятника часов, движение планет и звёзд.
- Эйлер выразил радость по поводу признания принципа наименьшего действия.
00:27:16 Принципы механики
- Два способа решения задач в механике: силы и векторы или энергии и скаляры.
- Принцип наименьшего действия кажется сложным, но Эйлер и Лагранж упростили его.
00:27:37 Уравнение Эйлера-Лагранжа
- Лагранжиан заменяет сложные вычисления.
- Для решения задачи нужно записать кинетическую и потенциальную энергию и подставить их в уравнение Эйлера-Лагранжа.
00:28:29 Преимущества подхода Лагранжа
- Принцип наименьшего действия удобен даже для тех, кто не очень разбирается в физике.
- Работает в нескольких измерениях, нужно решать уравнение для каждой координаты.
- Подходит для работы в странных системах координат, например, в полярных.
00:29:18 Пример с двойным маятником
- Вычисления через силы для двойного маятника сложны.
- Запись через кинетическую и потенциальную энергию упрощает задачу.
00:29:41 Уточнение принципа наименьшего действия
- Принцип наименьшего действия не всегда означает наименьшее действие.
- Более точное название — принцип стационарного действия.
- Действие — более глубокое понятие, не ограниченное классической механикой.
00:30:32 Действие в квантовой теории
- Действие стало ключом к решению ультрафиолетовой катастрофы в атомной физике.
- Открытие, начавшее движение к квантовой теории, связано с действием, а не с энергией или силой.
*Ссылка на таймкоды в нейросети https://300.ya.ru/v_jLDTN19a
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:08
Это видео посвящено простому правилу, которое лежит в основе всей физики. Оно
0:14
оказывается верно для классической механики, электромагнитных взаимодействий, квантовой теории, общей
0:20
теории относительности и даже фундаментальных частиц, составляющих материю.
0:27
Всё это подчиняется единому принципу. Есть ощущение, что мы зашли на
0:33
какую-то жутковатую территорию? Да, именно так и есть. На жуткую территорию. Я согласен. Этим правилам, возможно,
0:40
объясняется то, как ведёт себя сама жизнь. Мне кажется, что я застрял в старой классической системе мышления, в
0:46
которой целесообразной и реальной видится локальная картинка и восприятие Вселенной через математический анализ.
0:54
И я опасаюсь, что это целиком и полностью неверно. Начинается всё с простого
1:02
вопроса. Если некая масса скатывается из точки А в точку Б, по какой траектории
1:08
она сделает это быстрее всего? Это так называемая проблема скорейшего спуска. Здравый смысл
1:15
подсказывает, что надо искать кратчайший путь. Это прямая по прямой от А до Б.
1:20
Но если прогнуть её ближе к точке А, то масса сразу наберёт скорость. И,
1:26
несмотря на то, что путь длиннее, окажется в точке Б немного
1:31
раньше. И вот в чём вопрос. Какая траектория за счёт баланса длины пути и
1:36
ускорения максимально сократит время? Галилей считал, что это дуга
1:43
окружности, и показал, что такая траектория эффективнее любой кусочно-линейной. Но самое ли
1:49
эффективная? [музыка] Около 60 лет спустя, в июне
1:54
1696, Яган Бернулли предложил лучшим математикам всего мира найти
1:59
ответ. В основном ему просто хотелось выпендриться. Решил всем показать, кто тут главный.
2:05
На поиск ответа Бернули дал им 6 месяцев, но ни одного варианта ему не
2:11
прислали. Тогда его друг Готфрид Лейбниц посоветовал продлить срок и дождаться
2:16
ответа от зарубежных математиков. Я думаю, расчёт был на Ньютона, которого
2:21
тогда все считали лучшим из лучших, и Бернули наверняка хотел с ним потягаться. Но Ньютон в те времена уже
2:28
не особенно занимался математикой и физикой. Он получил пост хранителя
2:33
монетного двора. Это довольно высокая, важная должность.
2:38
29 января 1697, вернувшись домой после длинного рабочего дня, Ньютон увидел письмо от
2:45
Бернули с тем самым вопросом и с возмущением ответил: «Мне не по душе, когда меня по поводу математических
2:51
вопросов тревожат и подначивают иностранцы». Но проблема оказалась такой
2:56
занимательной, что Ньютон просидел над ней до 4 утра и к этому времени нашёл решение.
3:05
У самого Бернулина это ушло 2 недели. Своё решение Ньютон опубликовал
3:11
в журнале Philosophical Transactions. Записи Ньютон отправил, но без подписи.
3:17
Говорят, что Иаган Бернули, увидев публикацию, сказал: «Узнаю льва по
3:22
когтям». То есть как бы ладно, Ньютон, можешь и не подписываться. Кто ещё мог
3:29
бы предложить такое решение?
3:35
Хотя в целом Бернули был не так успешен, как Ньютон, в этом случае его решение
3:40
всё-таки оказалось лучше. Я понимаю, почему Агану Бернули
3:45
захотелось бросить вызов другим математикам. Со своей стороны он предложил очень интересное, я бы сказал,
3:51
по-настоящему изящное решение. Вдохновлялся Бернули вопросом, который
3:56
занимал ещё древнегреческих философов. Как от одного места до другого перемещается свет?
4:04
Об этом в веке до нашей эры задумался герон Александрийский. Он понял, что в
4:10
однородной среде, например, в воздухе, свет всегда идёт по кратчайшему пути. Как следствие, если свет встречается,
4:17
скажем, с поверхностью озера, то угол падения всегда будет равен углу отражения. Любой другой путь от точки А
4:24
в точку Б оказался бы длиннее. Но когда свет переходит из одной среды в другую, например, из воздуха в воду, он
4:31
причудливо изгибается, преломляется и перестаёт распространяться по кратчайшему пути. Вспомните, как бывает,
4:38
если уронить что-нибудь на дно бассейна. Опускаете руку, а она, как и упавший предмет, оказывается не совсем там, где
4:45
вы их видите, потому что свет преломляется у поверхности. Так в чём же состоит
4:51
основополагающий принцип? После герона Александрийского нам
4:57
понадобилось ещё примерно 1600 лет, чтобы разобраться, что синус угла падения, делённый на синус угла
5:03
преломления, равен постоянной N, которая зависит от свойств двух сред. Это так
5:09
называемый закон Снелиуса. Но почему так, никто не знал, вплоть до
5:16
Теперь самое время ввести в нашу историю ещё одного великого математика.
5:21
Пьера Фирма. Работал он судьёй, а вечерами, пообщавшись с женой и детьми,
5:27
наконец брался за своё главное хобби решения математических задач. По большей
5:32
части он занимался чистой математикой, но однажды увлёкся вопросом о том, почему же свет подчиняется этому
5:39
принципу преломления. Он подумал, что, возможно, герон Александрийский мыслил в
5:45
правильном направлении, но минимизируется не расстояние, а время.
5:50
Проверить, правда ли это, было нелегко. Для этого пришлось бы просчитать все
5:56
возможные пути, которыми мог бы пойти свет, смещая точку, в которой он пересекает границу
6:04
сред, что свет действительно выбирает самый быстрый путь. Он не знал, как за
6:09
это взяться, и боялся, что даже если сможет, расчёты окажутся слишком сложными. Ну и бросил эту затею. Мне
6:16
кажется, Пьеру Фирма все эти физические задачи были не так уж интересны. Но проходит время, через 5 лет он к этому
6:23
возвращается, берётся решать и, наконец, решает. И показывает, что как раз в
6:28
соответствии с законом Снелиуса свет выбирает самый быстрый путь при переходе из одной среды, в которой он
6:34
распространяется с одной скоростью в другую, где скорость другая. А постоянная N равна частному отделению
6:41
скорости света в первой среде на скорость света во второй. благодаря чему мы можем записать принцип Снелиуса в
6:48
таком виде. И вот что он говорил. Я зачитаю вам цитату, потому что она мне очень нравится. Он назвал это самым
6:55
выдающимся, самым неожиданным и самым радостным вычислением в своей жизни. Видите, заниматься физикой
7:04
приятно. Опираясь на принцип наименьшего времени, можно было объяснить всё, что знали про свет во времена Ферма.
7:12
Насколько мне известно, ему впервые удалось показать, что природа склонна к оптимизации, что она выбирает самый
7:18
выгодный, самый эффективный вариант. В этом случае свет ищет самый быстрый
7:25
путь. Бернули знал о принципе, который вывел Ферма, и решил применить его к
7:30
проблеме наискорейшего спуска. Он перевёл задачу из полимеханики, где тело скатывается вниз,
7:38
в область оптики. Вместо массы, которая ускоряется под
7:45
действием гравитации, он представил себе луч света, который распространяется всё быстрее, переходя из более плотных сред
7:51
в менее плотные. Траектория света преломляется на каждой границе по закону
7:56
снелиуса. И если слои достаточно тонкие, мы получаем непрерывную кривую.
8:02
Следующий вопрос. Как должна меняться скорость света от одного слоя к другому, чтобы служить точной моделью
8:08
скатывающегося объекта? можно рассуждать следующим образом. Если частица катятся из точки А в точку Б, она будет
8:14
накапливать кинетическую энергию и всё больше и больше разгоняться по мере движения. Эту кинетическую энергию она
8:21
будет накапливать, теряя потенциальную. Если записать уравнение сохранения энергии для этого случая, то мы увидим,
8:28
что скорость частицы в любой момент времени зависит от того, насколько она опустилась относительно точки А. Назовём
8:34
эту высоту Y. Так вот, квадрат скорости пропорционален Y, а значит, скорость
8:40
зависит от квадратного корня из Y. Получается, что скорость света должна
8:45
быть непостоянной и будет зависеть от того, насколько ниже начальной точки
8:51
находится луч. Давайте рассмотрим, что происходит
8:56
на границе средя через y и запишем закон снелиуса.
9:03
Получится синус первого угла1 / √y1 = sin2 /
9:11
√y2. Для следующего слоя углом падения будет тта2, значит си2 / √y2 = синута3 /
9:22
√y3. И то же самое верно для четвёртого слоя, для пятого и так далее.
9:31
Другими словами, это соотношение равно некой константи, будем называть её К. И,
9:37
как считается, Бернули сразу же понял, что перед ним уравнение
9:42
циклоиды, то есть пути, который проходит точка на окружности котящегося колеса.
9:48
Для этого есть и другое название барахистахрона от греческого кратчайшее время.
9:54
Удивительным образом оказалось, что самый быстрый способ добраться из точки А в точку Б по арки
10:00
циклоиды. Не круга, а кривой под названием циклоида. У брахистохроны есть
10:05
ещё одно интересное свойство. Откуда бы масса не начала движения, до точки Б оно будет доходить за одинаковый отрезок
10:12
времени. Отсюда другое название: таутохронная кривая. От греческого
10:17
одинаковое время. Разгадав эту загадку, Бернули писал:
10:23
«Таким образом, я нашёл решение сразу двух важных проблем. Одна из оптики,
10:29
другая из механики. И достиг большего, чем требовал от других. Я показал, что
10:34
две проблемы из совершенно разных областей математики имеют одну
10:39
суть. Но Бернулий не подозревал, что набрёл на нечто гораздо более важное.
10:46
Примерно 40 годами позже его ученик Пьер Луид Маперюи занимался темой света и частиц и заметил, что при некоторых
10:53
условиях их поведения очень похожи. Он задумался, что если принцип
10:59
кратчайшего времени фирма — это не самое базовое правило, то есть почему природе вообще нужно искать наименьшее время?
11:06
Может, оптимизируется всё-таки что-то более фундаментальное, и этот принцип управляет не только светом, но и
11:13
частицами. В 1740х он предложил числовой показатель, который назвал действием.
11:20
Произведение массы на скорость на расстояние. Рассуждал он примерно так:
11:25
чем дальше перемещается предмет, тем больше действия. И оно тем больше, чем
11:31
быстрее предмет перемещается. Если брать частицы, то чем больше масса, тем опять
11:37
же больше действие. Если путь состоит из нескольких этапов, то общее действие —
11:43
это просто сумма действий для каждого этапа. Вот вам простой пример, который
11:48
иллюстрирует, как работает этот принцип. Трением и потерями пренебрегаем. Представьте, что мяч массой
11:53
полкилограмма прокатился 6 м со скоростью 3 м/с. Это будет девять единиц
11:59
действия. Если затем мяч отскочит от стены и
12:04
прокатится с той же скоростью и такое же расстояние, то единиц действия на весь путь будет 9 + 9, то есть
12:13
Мартюи заявлял, что из всех возможных траекторий движения с отскоком от стены мяч выберет ту, которая требует
12:22
наименьшего действия. В 174 он писал: «Это действие истинные
12:30
затраты природы, которые она умеет сводить к возможному
12:35
минимуму». Какова же была реакция на свежую идею Мартюи? Его раскритиковали и высмеяли.
12:43
Его давний друг, физик по имени Самуэль Кёнинг, написал: «Этот принцип не только
12:48
неверен, но ещё и украден улебница». Вальтер, ещё один близкий друг, обвинил
12:55
его в плагиате, в плохих расчётах, глупости, да и вообще во всём, что только смог придумать. И даже написал
13:02
памфлет на 32 страницы только ради того, чтобы поиздеваться. Хотя, возможно, дело
13:07
в слухах о том, что Маперчуи завёл интрижку с дамой Вальтера. Однако не все
13:12
обрушились на Маперчуюи с критикой. Некоторые просто проигнорировали. Маперюи, я за свою жизнь много занимался
13:19
физикой и математикой. И мне кажется, вы первый, кто произнёс это имя. О нём очень мало
13:25
говорят. Для него всё это было очень неприятно. Его жизнь тогда уже катилась
13:31
к закату, и он думал, что сохранится в памяти потомков именно благодаря принципу наименьшего действия, что это
13:37
будет его наследие. Но его кто осмеял, кто разнёс в пух и прах, а кто и вовсе
13:43
оставил без внимания? К сожалению, такая реакция в некоторой мере была оправдана.
13:49
Дело в том, что Маперюий взял этот принцип будто из ниоткуда. Не было никакой очевидной
13:54
причины, по которой природу заботила бы произведение массы на время, на расстояние. И чтобы это произведение
14:02
надо было стремиться уменьшить. Да и математически не сказать, чтобы принцип был отлично
14:08
проработан. Но у принципа нашёлся один отчаянный защитник, и им оказался Леонард
14:16
Эллер. Первым делом он заменил сумму на интеграл. Таким образом, можно было
14:22
рассчитывать действия при постоянном изменении скорости и направления. Затем взялся за расчёт пути
14:28
тела вокруг центральной массы, например, планеты вокруг Звезды. Нужно было найти путь между
14:35
двумя точками с наименьшим действием из всех возможных.
14:42
Похожей проблемой занимался фирма, но теперь сдвигать надо было не одну точку,
14:47
а каждую на протяжении всего пути, а это бесконечно много. Задачка, прямо скажем,
14:55
утомительная. В математике тогда ещё не появилось инструментов для решения таких
15:01
проблем. К счастью, Эллер сам изобрёл новый метод. Неуклюжий, медленный.
15:09
Зато рабочий. В процессе он понял, что принцип наименьшего действия соблюдается
15:14
только, если общая энергия сохраняется, и она одинакова для всех
15:20
траекторий. Мартюи в своё время не понял, что эти два условия обязательны.
15:25
Итак, Эллеру удалось представить более строгие расчёты, найти два дополнительных условия и показать
15:31
конкретный пример работы принципа. Эйлер был поразительно ярким
15:36
выдающимся математиком. Но, похоже, ещё и просто хорошим человеком. Насколько
15:42
нам известно, он отличался великодушием. Когда читаешь Эйлера, понимаешь, что он
15:47
писал. Он помогает, он сопереживает. Он был, да, таким же, как
15:52
вы. Он старался объяснить. Но и Эйлеру было далеко до
15:58
общего доказательства. Миру пришлось дождаться ещё одного легендарного математика Джозеф Луила Гранжа.
16:07
К 19 годам скромный юноша, которому во многом приходилось постигать науки самому, уже брался за самые актуальные
16:14
вопросы математики. В их числе новый метод Эллера. В 1754 Лаграш поделился своими находками с
16:22
самим Эллером, и тот сказал, что юный математик вознёс теорию на высочайшую вершину совершенства, чему он несказанно
16:29
рад. Но помимо статуса математиков мирового уровня, у этих двоих было ещё
16:34
кое-что общее. Они оба отчаянно защищали принцип наименьшего действия. И примерно через 5 лет, спустя год после смерти
16:41
Мартюи, Лагранш продемонстрировал общее
16:47
доказательство. А есть ли какое-то интуитивное понимание действия? Мне
16:52
кажется, мы все в каком-то смысле представляем себе, что такое сила или что такое энергия. Так вот, есть ли
16:59
нечто подобное для действия? Я не знаю. Чтобы узнать, мне, наверное, надо будет посмотреть ваше видео. Надеюсь,
17:05
предложите какой-нибудь вариант, потому что мне нечего ответить. Я расскажу, в чём состояло доказательство Лагранжа, но
17:12
не так, как это делал он. Рассмотрим всё в три этапа. Сначала разберёмся с общим
17:17
подходом, который предложили Эллер и Лагранш. Затем запишем принцип в
17:22
современном виде и, наконец, обратимся к наглядному примеру, чтобы понять, почему
17:28
принцип работает. Итак, начнём с общего подхода.
17:33
Если существует бесконечное множество путей, как найти среди них тот, который потребует наименьшего действия? Эллер и
17:39
Лагранш поняли, что это похоже на поиск минимума дифференцируемой функции. Эту точку можно найти, приравняв производную
17:46
к нулю, и в ней график функции горизонтален. Из-за этого она обладает интересным свойством. Если сделать
17:53
достаточно маленький шаг в сторону, значение функции по сути не изменится. И
17:58
похожим образом, когда у нас есть путь наименьшего действия, при достаточно небольших изменениях этого пути, как
18:05
будто мы к основной функции добавили новую, назовём её это. Так вот,
18:10
изменением действия от добавления новой функции можно пренебречь, потому что
18:16
рядом с минимумом действие меняется невероятно слабо. Мы чуть меняем эту
18:22
траекторию, а действие по сути не меняется. Но это же путь наименьшего
18:27
действия. И любой другой путь требует больше действия. Да, но тут всё как с
18:32
функцией в точке минимума. Там при достаточно малом смещении функция по
18:38
сути не меняется. Также и действие не меняется при смещении от оптимального пути. На дне чаши при достаточно
18:45
маленьком смещении, назовём его это, вы так и останетесь на дне чаши. В любой
18:50
другой точке вы окажетесь выше, шагнув в одну сторону и ниже шагнув в другую. А в
18:56
минимуме нет, там смещение это значимой роли не играет, но рядом с минимумом все функции
19:04
похожи на параболу и могут меняться пропорционально эти в квадрате или в какой-то другой степени. В общем,
19:11
небольшое отклонение есть, но оно не пропорционально эти. Поэтому мы говорим,
19:16
что между оптимальным путём и путём поблизости разницы в действии нет.
19:23
То есть мы можем записать, что действие пути, которое мы проверяем, минус действие пути наименьшего действия,
19:28
равно нулю для первого порядка. Это короткий вариант записи принципа наименьшего действия и общий
19:35
подход, который нужен, чтобы решать все подобные задачи. А теперь запишем принцип в его
19:41
современном виде. Начнём с действия по мапер. Это
19:46
сумма произведений массы на скорость на расстояние. Элер изменил формулу и вёл в неё
19:52
интеграл, получая массу на скорость, интегрированную по расстоянию. Скорость равна ds / dt. Поэтому дальше мы можем
20:00
записать, что ds = v на dt. Если подставить эту формулу, получаем интеграл от массы на скорость в квадрате
20:07
по времени. Но постойте-ка, это ведь кинетическая энергия, помноженная на 2.
20:12
А как отмечал Элер, общая энергия должна сохраняться. Общая энергия — это сумма кинетической потенциальной. А значит,
20:19
можем записать, что T большая равна E — V. Вставляем то же самое для второй T и
20:25
видим, что изменение t + е — v, интегрированное по времени, равно
20:30
нулю. Этот интеграл можно разбить на два. А раз энергия постоянна, если взять
20:36
интеграл по времени, мы получим вот это. Можем упростить ещё больше. Как из любой
20:42
обычной производной, записываем изменение Е на T в виде E на изменение T +Т T на изменение Е. Но, как вы помните,
20:50
на разных путях энергия должна быть одинакова, а значит, изменение между ними будет равно нулю. И вот этот член
20:58
выражения исчезает. Если приписать в таком виде, то мы увидим, что изменение этого интеграла равно минус энергии на
21:05
разницу во времени. Это выражение очень похоже на другой
21:11
принцип минимизации, только справа должен быть ноль. Мы можем его здесь
21:17
получить, если возьмём только те пути, на прохождение которых затрачивается одинаковое время. Если это сделать, то
21:23
разницы по времени больше не будет, и этот член исчезает. Что же мы видим?
21:28
Принцип мапер трансформировался в выражение, в котором изменение кинетической энергии минус изменение
21:34
потенциальной, интегрированное по времени, равно нулю. Т — V- кинетическая
21:40
энергия минус потенциальная. А затем интегрируем по всему пути из точки А в точку Б. Вот всё
21:47
это интегрируем по времени. Очень странно, но оказывается, что правильно интегрировать именно так. Странновато,
21:54
да? Мы начали с произведения массы на скорость интегрированных по расстоянию, а теперь пришли к интегралу по времени
22:01
для разности кинетической и потенциальной энергии. И тем не менее принцип наименьшего действия можно
22:06
записать в обоих этих вариантах. Однако отсюда же следует, что вот этим интегралом Т ми по времени записывается
22:14
действие. Впервые это выражение в таком виде записал Уильям Роун Гамильтон в
22:19
1834 году, благодаря чему принцип наименьшего действия и назван сейчас в его честь. Принцип наименьшего действия,
22:26
который мы записываем как интеграл из L по dТ, где L — это лагранджан, а Т — мину V кинетическая энергия минус
22:33
потенциальная, называют принципом Гамильтона. Получается, Гамильтон в
22:38
каком-то смысле доработал то, что начал Лагранш. Принцип Гамильтона — это современная запись принципа наименьшего
22:45
действия. Именно его вы найдёте в большинстве учебников по физике. Отчасти потому, что принцип Гамильтона
22:51
объясняет, как объекты перемещаются из одной точки в другую, а не только показывает, как выглядит их
22:56
путь. Есть ещё два отличия. Действие у Гамильтона представлено как интеграл по
23:02
времени, а не по расстоянию. Как следствие, в его формуле нам нужны и точки, и время начала, и
23:09
конца движения. И, наконец, согласно принципу Маперчуи, энергия на разных траекториях должна
23:16
быть одинаковой, но время может отличаться. А по принципу Гамильтона энергия может быть разной, но для всех
23:23
траекторий должно сохраняться одно и то же время. Итак, мы разобрались с общим подходом и современной записью. Теперь
23:30
на простом примере увидим, почему принцип наименьшего действия соблюдается. Допустим, я кидаю мячик
23:36
вертикально вверх. Он проходит путь из некой стартовой точки до некой конечной
23:41
точки за некоторый отрезок времени. Обозначим высоту мячика в каждый момент времени как Y отт. Тогда эти две точки
23:48
мы можем отметить вот таким образом. Есть бесконечное количество траекторий, по которым точки можно
23:55
соединить. Некоторые расположатся повыше, некоторые пониже. Какие-то будут интересно выгибаться, какие-то не будут.
24:02
Главное, чтобы у них совпадали начальные и конечные точки, а также время в пути.
24:08
Чтобы найти реальную траекторию меча, поступим так же, как и раньше. Возьмём путь Y отт с наименьшим действием и
24:16
предположим, что добавили к нему совсем небольшие отклонения. На каждом отрезке
24:21
времени путь у нас чуть-чуть изменился. И данное изменение мы назовём это от.
24:28
Если сложить y и эту, мы получим новую траекторию. Назовём её кут. Траектория
24:35
практически не изменилась, поэтому разница в действии между путями будет равна нулю. Теперь нам нужно решить
24:43
уравнение. Вычисляем действие для каждого пути. Для этого нам надо знать кинетическую и потенциальную энергию
24:50
каждого пути. И мы записываем их как функцию игрека. И эты подставляем и видим, что разница между действиями
24:56
равна вот этому. Стойте. Первый интеграл — это просто действие для реальной траектории. Значит, эти два интеграла
25:03
сокращаются, и у нас остаётся вот такое выражение: m dy / dt на d / dt минус это
25:11
на производную потенциальной энергии, интегрированное по времени, равно нулю.
25:16
Далее можем то же самое интегрировать по частям. Тогда вот этот член легко заменяется на этот.
25:25
подставляем и получаем некую функцию, которая при умножении на эту и интегрировании по времени должна быть
25:30
равна нулю. А поскольку это может принимать чуть не любое значение, это
25:35
будет верно только, если нулю равна вот эта часть. И вот мы выяснили, что
25:41
принцип наименьшего действия соответствует вот этому занятному дифференциальному
25:46
выражению. Может показаться, что тут всё очень сложно, но это не так. Минус производная потенциальной энергии — это
25:53
сила, а вторая производная от высоты — это
25:59
ускорение. И если записать в таком виде, мы поймём, что принципу наименьшего действия соответствует тот путь, который
26:06
отвечает формуле f = m на а. Иными словами, принцип наименьшего
26:14
действия эквивалентен второму закону Ньютона, но охватывает не только
26:19
механику. Оказалось, что принцип наименьшего времени фирма всего лишь частный случай
26:27
принципа наименьшего действия. Одним этим принципом вдруг стало возможно описать всё: отражение и
26:34
преломление света, ход маятника часов, движение планет вокруг солнца и
26:41
звёзд вокруг центра галактики. То, в чём раньше видели совершенно отдельные области знания, наконец
26:48
сошлось в одном простом правиле. Вариация действия равна
26:55
нулю. Эллер, едва узнав о доказательстве Лагранджа, написал ему: «Как обрадовался
27:01
бы господин Маперюи, будь он ещё жив, если бы увидел, что его принцип наименьшего действия получил высшую
27:07
степень признания, которую только мог.
27:16
С доказательством Лагранжа у нас теперь есть два способа решить любую задачу в механике. Можно применить либо силы и
27:23
векторы, либо энергии и скаляры. Такое ощущение, что принцип наименьшего действия — это что-то, ну, слишком уж
27:30
сложное. Зачем это нужно? Есть же второй закон Ньютона. А он намного проще. Вы
27:37
правы. Либо берём всё это, либо начинаем с F = MA. Ответ один.
27:43
Зачем же тогда вспоминать принцип наименьшего действия? Ну, Эйлер и Лагранш на самом деле придумали, как
27:49
сделать всё намного-намного проще. Если это действие, то Т — V — это
27:57
лагранжиан. Давайте заменим им всё, что мы до этого проделывали, и тогда увидим,
28:02
что принцип наименьшего действия работает всегда, когда выполняется это дифференциальное уравнение. Получается,
28:08
что сделать остаётся совсем немного. Чтобы решить любую проблему механики,
28:13
надо просто записать кинетическую потенциальную энергию, подставить их в это уравнение и всё готово. Это
28:20
невероятно важно и полезно. Помню, я подумал, а ведь через силу искать правильный ответ очень сложно. Возможно,
28:27
и люди, которые хорошо разбираются в механике, это умеют. Но с подходом Лагран же есть вот этот принцип
28:32
наименьшего действия, который даёт верные уравнение движения удобно, даже если с физикой у вас не очень. Вот что я
28:40
для себя из этого вынес. Я математик, но благодаря Лагранжу и Эйлеру могу что-то и в физике. И это работает не только в
28:46
одном измерении. Если их больше, надо просто решить уравнение Эйлера Лагранжа
28:51
для каждой координаты. Ещё один плюс. Его можно применять в странных системах координат. Например, если надо
28:58
разобраться с вращающимся объектом, системой полярных координат пользоваться удобнее, чем
29:05
декартовый. И тут принцип даст правильное уравнение движения в полярной системе, что с векторами делать
29:11
непросто. Например, если приходится работать с двойным маятником, проводить вычисление через силы будет очень
29:17
сложно, потому что один маятник качается и при этом служит местом крепления второго маятника, который висит ниже. И
29:23
этот второй маятник раскачивается, находясь в движущейся системе координат. Расписывать правильное f = m на а для
29:30
двойного маятника — это омерзительное занятие. Но если запись будет через кинетическую и потенциальную энергию,
29:36
всё проще. Кстати, так мы и делали эту анимацию. О принципе наименьшего
29:42
действия стоит сделать одно небольшое замечание. Его название немного путает.
29:48
Хотя мы довольно часто называем его принципом наименьшего действия, стоит, наверное, немного уточнить. Это не
29:54
обязательно именно наименьшее действие. Как в матанализе, приравнивая производную к нулю, можно найти не
30:01
только минимум функции. Поэтому многие, чтобы быть точнее, называют это принципом стационарного действия.
30:08
Законам движения необходима неподвижная точка, что равносильно этому условию. Установить для некоторой производной
30:14
значение ноль, а затем получить из этого уравнение Эйлера Лагранжа.
30:20
Так что довольно часто это наименьшее действие, но не всегда. Однако действие
30:28
понятие более глубокое, и оно не ограничивается классической механикой. На заре XX века выяснилось, что действие
30:35
ключ к решению одной из важнейших проблем атомной физики того времени, ультрафиолетовой
30:41
катастрофы. Есть что-то страшное в том, что в открытии, с которого началось движение к квантовой теории, нашлось
30:47
место действию. ни энергии, ни силе, а
30:52
действию. Есть о чём подумать, да, но об этом и обом другом
30:59
мы поговорим в отдельном видео, так что подпишитесь, чтобы его не пропустить.
31:06
Переведено и озвучено студией Верт Дайдер.