Трансцендентные числа! Числа, которые не найти среди корней уравнений, хотя они повсюду. Простые в определении и одновременно сложные в понимании. Числа, перевернувшие представление о мире и породившие одну из сложнейших областей математики. Что это за числа? Почему они вызывают восторг и разочарование одновременно? Чем они так интересны математикам? И какие тайны скрывают π, е, π+е и многие другие числа?
Пересказ текста “Трансцендентные числа”
I. Трансцендентность
В математике числа делятся на два класса: алгебраические и трансцендентные. Алгебраические числа – это корни многочленов с рациональными коэффициентами. Например, 2, 1/3, √2 – алгебраические числа.
Трансцендентные числа – это числа, которые не являются корнями any polynomial equation with rational coefficients.
Первым трансцендентным числом, было доказано число π (пи) в 1882 году немецким математиком Фердинандом фон Линдеманом.
II. Особенности
Трансцендентные числа имеют ряд интересных свойств:
Их сложно найти. Не существует общего алгоритма для их определения.
Они "везде". Практически все числа, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, трансцендентные.
Они не образуют поле. Нельзя сложить, вычесть, умножить или разделить два трансцендентных числа и получить трансцендентное число.
Они связаны с глубокими математическими проблемами. Например, гипотеза Римана, одна из семи проблем тысячелетия, утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют вещественную часть, равную 1/2.III. Задача столетия
Седьмая проблема Гильберта, одна из самых известных математических задач, спрашивала, является ли число 2 в степени √2 трансцендентным.
В 1932 году советский математик Александр Гельфонд и независимо от него немецкий математик Теодор Шнайдер доказали, что число 2 в степени √2 трансцендентно.
IV. Неизвестность
В теории трансцендентных чисел еще много открытых вопросов.
Являются ли трансцендентными числа π + e, πe, π^π, e^π?
Является ли трансцендентным число ζ(1/4), где ζ(x) - дзета-функция Римана?Заключение
Трансцендентные числа – это увлекательная и глубокая область математики, которая связана с многими важными проблемами.
В тексте также:
Описаны другие важные трансцендентные числа, такие как число e (е) и константа Гельфонда-Шнайдера.
Рассказано о методах доказательства трансцендентности чисел.
Объясняются понятия алгебраической независимости и линейной независимости.
Приведены примеры применения трансцендентных чисел в математике, физике и других науках.Важно отметить:
Текст дает общее представление о трансцендентных числах.
Для более глубокого изучения этой темы необходимо более advanced mathematical knowledge.Расшифровка видео
Интрига
0:00
Всем привет это Виталий Сейчас я вас Удивлю Мы очень плохо понимаем числа Да
0:05
каждый день мы сталкиваемся с числами неважно близки или далеки вы от математики даже сегодня вспомните какое
0:11
число вы уже видели цены пароли время расстояние Да что угодно но всё это лишь
0:16
маленькая капля в бездонном океане чисел скорее всего всё что вы видите это натуральные числа может быть даже целые
0:22
числа можно поделить одно целое на другое главное не на ноль получится рациональные числа от слово рацио
0:29
соотношение если записать рациональное число в виде десятичной дроби она когда-нибудь закончится или будет периодически
0:35
повторяться такие числа мы тоже часто встречаем 2/3 че 1/8 а есть ещё числа
0:41
которые нельзя представить в виде соотношения двух целых иррациональные числа их десятичная запись никогда не
0:47
заканчивается и Не повторяется первое число для которого была доказана иррациональность
0:53
Ред Хот генд что пифагоре Утоли открыва этого
0:58
доказательства представление о мире и числах но оказалось √2 и
1:04
иррациональность – Это детское начало по сравнению с тем что на самом деле скрывают себе числа почти через 2.000
1:10
лет после Пифагора математики нашли куда более загадочную особенность появились числа породивший одну из сложнейших
1:16
областей чистой математики числа застав величайших математиков почувствовать себя беспомощными перед простыми
1:24
вопросами числа неработающие по правилам привычной алгебры числа которые сложно найти хотя повсюду всё это
1:31
трансцендентные числа Но что это за числа Почему они вызывают Восторг и
1:37
разочарование одновременно чем они так интересны сильнейшим математикам со всего мира являются ли трансцендентные
1:44
числа Пи е пи плю е е в степени пи или пи в степени е и многие другие и зачем
1:49
вообще нужны трансцендентные числа Помните я обещал что корень из д – это
1:54
Ящик Пандоры который приоткрывает дверь в бездну теории чисел сегодня сделаем
1:59
целый прыжок в эту бездну чтобы почувствовать настоящую красоту и боль чистой математики Не забывайте
2:05
подписываться и оставлять комментарии как всегда приготовьтесь расслабьтесь и Давайте вместе наслаждаться красотой
2:12
сложнейшей математики просто и на пальцах трансцендентные числа
I. Трансцендентность
2:19
поехали ещё с древнего мира математика развивалась из жизненных задач как спроектировать дом Как поделить товар
2:26
Как найти пропорцию или нарисовать квадрат равный по площади кругу поначалу основным языком математики была
2:32
геометрия визуально решать задачи наглядно и понятно но постепенно стало развиваться алгебра очень удобный
2:39
инструмент для решения задач с неизвестными можно обозначить неизвестное число буквой и делать с
2:45
буквами такие же действия как и с числами что сильно упрощает жизнь и помогает найти это самое неизвестное
2:52
думаете Это что-то знакомое Наверняка вы помните со школы линейные уравнения квадратные кубические и так далее где
2:58
слева многочлен некоторой степени с рациональными коэффициентами а справа ноль вся задача математиков сводилась к
3:05
нахождению корня многочлена то есть числа которые при подстановке обнулить всё выражение числа которые являются
3:12
корнем какого-либо многочлена достаточно понятные и хорошие смотрите сами сумма разность произведения и частное двух
3:19
корней само является корнем какого-либо многочлена такие числа называют
3:24
алгебраическими то есть числа которые являются корнем какого-либо многочлена с рациональ коэффициентами пока звучит
3:31
Логично но пора уже начинать интересный контент вопрос Все ли числа
3:37
алгебраические оказывается практически все числа не являются алгебраическими все числа поделились на
3:43
два класса алгебраические и все остальные которые и получили название
3:48
трансцендентные числа трансцендентное число – это число которое не является алгебраическим то есть не является
3:55
корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами просто нет такого многочлена с рациональными
4:01
коэффициентами для которого при подстановке трансцендентного числа получается ноль выражение всегда будет
4:07
неотрицательно Но что же особенного в трансцендентных числах мы пока что ещё разминаемся не теряйтесь скоро начнётся
4:13
настоящая математика у трансцендентных чисел много
II. Особенность
4:20
интересных особенностей во-первых их сложно найти мы уже поняли что трансцендентные числа не являются корнем
4:26
никакого многочлена с рациональными коэффициентами но Спросите вы Приведи пример такого числа число 10 корень
4:32
линейного уравнения 1/3 тоже √2 Решение вот такого простого квадратного уравнения x к – 2 = 0 А какие тогда
4:40
числа трансцендентные со времён лейбниц и Эйлера которые впервые заговорили о трансцендентность в математике прошло
4:47
почти 100 лет прежде чем удалось построить Первое трансцендентное число в
4:52
1844 году французский математик Джозеф левиль построил вот такое число
4:57
бесконечная дробь с единицами стоя места равных Фактори чисел 1 2 3 и так далее
5:03
факториал числа n – это произведение чисел от единицы до этого числа n при
5:09
этом факториал очень быстро растёт факториал Т – это 6 факториал 10 – это уже 3 с по милна факториал 6 больше
5:16
количество атомов во Вселенной поэтому единицы в числе лю Виля очень сильно разбросаны друг от друга и оказывается
5:23
такое число невозможно поймать с помою уравнений оно не является корнем какого-либо многочлена рациональными
5:30
коэффициентами вот такое хитрое первое в истории трансцендентное число но как вообще до такого числа можно было
5:36
додуматься на самом деле лю Виль нашёл очень интересное свойство которое приводят к трансцендентно он описал
5:42
целый класс чисел лю Вили вы числа которые умеют хорошо притворяться рациональными числами но не являются
5:48
алгебраическими То есть их можно Сколь угодно точно приблизить обычными дробями
5:54
а для алгебраических чисел такого приближения построить нельзя страшные и
6:00
неизвестные трансцендентные числа оказываются Намного ближе к рациональным чем понятные алгебраические
6:06
иррациональные числа можете себе такое представить Если точнее Лео Виль доказал что если алгебраическое число не
6:12
является рациональным то разница между этим числом и любым его рациональным приближением не может быть слишком мала
6:19
по сравнению со знаменателем этого приближения возведённый в степень равную степени алгебраического числа Это
6:25
означает что алгебраические числа не могут быть слишком бли приближены рациональными числами Что
6:32
делает их отличными от трансцендентных чисел для которых таких ограничений нет в результате появился один из способов
6:39
проверки на трансцендентность построение приближения или доказательство невозможности такого построения но это
6:44
только начало удивительных свойств в 1874 году Гер Кантер доказал что
6:50
трансцендентных чисел намного больше чем алгебраических Да и тех и других бесконечное количество но алгебраические
6:57
числа можно сосчитать натуральными числами их количество счётное А трансцендентные нельзя говоря
7:04
математически их множество нечётно Континуум Что это значит если посмотреть на вещественную прямую со всеми числами
7:11
и взять любое число на угад с вероятностью 100% вы вытащили трансцендентное число то есть
7:18
практически все числа в мире трансцендентные все числа которые мы встречаем каждый день натуральные целые
7:25
рациональные иррациональные алгебраические – Это всего лишь капля в бесконечном океане чисел можете себе
7:32
такое представить как вообще такое может быть все числа трансцендентные а мы с трудом нашли одно искусственное число
7:38
лиувилля где остальные оказывается самые известные математические константы тоже
7:44
трансцендентные разве это не удивительно в 1873 году французский математик Шарль
7:49
эрми доказал трансцендентность числа е второй популярности константы в математике а почти через 10 лет немецкий
7:57
математик Фердинанд фон линдеман доказал трансцендентность числа Пи как следствие
8:02
Доказано им теоремы о показательной функции показательная функция в любой алгебраической точки принимает
8:07
трансцендентное значение звучит сложно но смотрите внимательно Сейчас вы смотрите на решение задачи которой не
8:14
получалось решить 2.000 лет а теперь можно решить в две строчки Это задача о
8:19
квадратуре Круга Как с помощью циркуля линейки построить квадрат с площадью равной площади за одного Круга
8:25
построение циркулем и линейки равносильно алгебраическим преобразованием а так как площадь круга например с
8:31
единичным радиусом равна Пи задача о квадратуре Круга – Это вопрос трансцендентно числа пи а теперь
8:38
смотрите вспомним знаменитое тождество Эра е в степени пи П 1 ра Ну где и – это
8:44
комплексная единица который в квадрате даёт ми1 можно не обращать внимания на и это просто алгебраическое число в общем
8:51
выражение можно переписать в виде е в Степе ра ми1 если предположить что
8:57
алгебраическая то P тоже алгебраическое число а е в алгебраической степени по теореми
9:03
линдемана трансцендентно Но тогда из формулы расследует что ми1
9:09
трансцендентно что неверно получаем противоречия поэтому пи не является
9:14
алгебраическим то есть пи трансцендентно Вот так мы с вами только что ответили на вопрос на который
9:20
человек не мог ответить почти 2.000 лет трансцендентно задача о квадратуре Круга
9:26
неразрешима нельзя построить квадрат равный площади кругу используют только циркуль линейку Пишите в комментариях
9:32
что думаете по этому поводу но Подождите скажете вы пи и е трансцендентные это очень хорошо и красиво Но ведь мы же
9:39
сказали что почти все числа трансцендентные где остальные и снова ещё одна интересная особенность
9:45
трансцендентных чисел они не образуют поле иными словами не сохраняют операцию
9:51
сложения вычитания умножени деления помните если сложить два алгебраических числа получается алгебраическое Если
9:58
сложить два трансцендентных мы ничего не можем сказать про результат более того мы до сих пор не знаем P + е это
10:06
трансцендентное число или алгебраическое Благодаря этой особенности числа и получили своё название ещё в далёком
10:13
1748 году Великий Леонард Эллер впервые описал трансцендентные функции функции
10:19
разделяются на алгебраические и трансцендентные первые – это те которые образуются только при помощи
10:24
алгебраических действий а вторые те в которые входят и трансцендентные действия
10:29
То есть например Линейная функция или степенная функция алгебраический А вот логарифм или тем более синус уже
10:36
трансцендентный так и трансцендентные числа выходят за рамки алгебраических операций в результате оказалось что
10:43
появившаяся теория трансцендентных чисел одна из наиболее сложных в математике
10:48
доказать трансцендентность очень непросто даже если у вас есть какое-то число вы не сможете проверить
10:53
трансцендентность вло для этого нужно перебрать бесконечное количество многочленов всех степеней бесконечным
10:59
количеством вариантов рациональных коэффициентов здесь нужна чистая математика со всей мощью математических
11:05
методов изысканными конструкциями и удивительными подходами при этом трансцендентные числа как будто
11:10
специально издеваются над математиками трансцендентные числа везде при этом их очень сложно найти самые известные
11:17
константы PE трансцендентные Но мы ничего не знаем даже про сумму или разность хорошо известные рациональные
11:22
числа Сколь угодно близко приближаются к трансцендентных числам но мы всё равно не можем их увидеть Представьте вы
11:29
стоите на Песчаном пляже Вы знаете что под ногами песок бесконечное количество песн но стоит вам поднять всего одну щин
11:37
и вы становитесь слепым вы не можете доказать что это щин хотя и понимаете
11:42
что это она просто ужасный кошмар для математиков чувствовать но не в состоянии доказать не зря великий
11:48
математик Давид гильберт включил проблему трансцендентно в Список дтх проблем Столетия на втором международном
11:54
конгрессе математиков в 1900 году Ключевой вопрос достаточно простой является ли трансцендентный число Альфа
12:01
в степени бета где Альфа алгебраическое а бета алгебраическое и рациональное Кроме того гильберт задавался вопросом
12:07
про два частных случая является ли трансцендентный число 2 в степени ре2 и число е в степени пи гильберт кстати
12:15
читал эту задачу Одной из самых сложных задач теории чисел выступая перед студентами через 15 лет после
12:20
знаменитого конгресса гильберт поделился что ожидает застать доказательство гипотезы римана ещ при жизни Великая
12:27
теорема фирма оказалась ему нет так что только молодые слушатели из аудитории возможно будут свидетелями
12:32
доказательства А вот проблема определения трансцендентно в том числе числа 2 в степени √2 представлялось
12:39
настолько сложной что даже дети самых молодых слушателей навряд ли увидят доказательства но как часто Мы плохо
12:45
оцениваем сложность гипотеза римана о нулях ДТА функции не доказана до сих пор Великая теорема фирма продержалась до
12:51
девяносто четвёртого года а вот самую сложную задачу по мнению гильберта задачу о трансцендентно числа 2 в
12:57
степени √2 доказали всего Через несколько лет ещё при жизни гильберта но как же решили седьмую проблему
III. Задача столетия
13:07
гильберта сейчас начинается настоящая математика не отключайте только посмотрите как в теории чисел меняется
13:13
сложность оказалось бы небольших действий два – натуральное число про которое всё понятно Вроде бы √2 – первое
13:22
доказанное в мире иррациональное число не представимо в виде дроби А 2 в степени √2 что это трансцендентное или
13:29
нет В 1929 году Советский математик Александр гельфонд
13:36
где а неравное нулю едини алгебраическое число А B мнимая квадратичная рациональность то есть число является
13:43
комплексным корнем некоторых квадратного уравнение с вещественными коэффициентами Теперь давайте возьмём а ра -1 AB – I
13:51
комплексная единица по теореме гельфонд А в степени B трансцендентно Но из
13:57
тождества Эйлера получаем что -1 равен e в степени ипи А если возвести всё это в
14:04
степень – I получаем e в степени – пи к но I ВК – Это ми единица А значит всё
14:11
выражение – это e в степени пи то есть e в степени пи – трансцендентное число
14:17
первый шаг к решению проблемы гильберта на основе идеи Гиль фонда через год другой Советский математик Радион кузмин
14:23
понял что условия для B можно заменить с мнимое на вещественную квадратичную рациональность то есть когда B
14:28
вещественный корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами как следствие получаем если взять а Рав
14:34
2 алгебраическое число А2 иррациональное число корень квадратного уравнения то 2 в степени √2
14:43
трансцендентное число ещё один шаг на пути к решению седьмой проблемы А через 4 года гельфонд создал новый метод
14:49
доказательств трансцендентно в результате гельфонд и независимо от него немецкий математик Теодор Шнайдер
14:56
полностью решили седьмую проблему гильберта то что что доказали гельфонд и Шнайдер Как это Неудивительно теперь
15:01
называется теоремой гельфонд Шнайдера если есть два алгебраических числа А и B причём а не ноль и не единиц и B
15:08
иррациональная Тогда любое значение а в степени B трансцендентное число из этой
15:14
теоремы сразу следует трансцендентность числа 2 в степени √2 которое называет постоянный гель фонда Шнайдера и числа е
15:20
в степени пи постоянной гельфонд Давайте проведём конкурс номер один впереди будет ещё один вот эти четыре числа е в
15:28
степени пи и 2 в степени √2 трансцендентно то есть не являются корнем никакого многочлена С
15:34
рациональными коэффициентами трансцендентность какого числа вам кажется наиболее удивительным Пишите в
15:40
комментариях букву АБВГ и что лучше если напишете почему вот так Седьмая Проблема гильберта была решена математики Молодцы
15:48
огромный Прогресс в теории трансцендентно теории чисел Всё хорошо да Но есть небольшой момент теорема Гиль
15:55
фонда Шнайдера говорит только про числа определённого вида а в степени б где А алгебраическая А Б алгебраическая
16:02
рациональна Но это же явно не все числа что со всеми остальными Неужели
16:07
математики ничего больше не смогли придумать конечно смогли Но неизвестности осталось ещё очень
IV. Неизвестность
16:14
много трансцендентная теория чисел – это одна из тех областей чистой фундаментальной математики где до сих
16:20
пор очень много гипотез и открытых вопросов более того в отличие от бесконечных очередных статей по машинному обучению с новыми способами
16:27
обучения нейронных даже на первый взгляд небольшой результат трансцендентно теории чисел будет большим открытием чтобы защитить
16:34
диссертацию нужно всего лишь улучшить оценку меры трансцендентность у какого-нибудь класса Чите А если хотите
16:41
стать знаменитым на весь мир и все времена вместо tiktok можете доказать трансцендентность какого-нибудь нового
16:47
числа список открытых вопросов достаточно большой смотрите Сами мы знаем что е и пи трансцендентно но не
16:54
знаем являются ли трансцендентные сумма пи п E произведение е на пи или дробь пи
16:59
де E мы знаем что e в степени пи трансцендентно но не знаем трансцендентно ли пи в степени е более
17:05
того даже не знаем является ли оно иррациональным мы не знаем о трансцендентность пи в степени пи e в
17:11
степени E пи в степени √2 константы эро ма скиро одной из наиболее часто встречающихся в математике констант
17:18
после пи е неизвестно трансцендентное ли значение константы апири равный сумме
17:23
обратных величин кубов натуральных чисел вся эта бесконечная сумма – это Z функция от трёх неизвестна
17:29
трансцендентность Z функции для других нечётных целых чисел зта функция Кстати – это вот такая важнейшая функция не
17:35
только в теории чисел но и Теория вероятности статистики физики а за задачу про нули этой функции до сих пор
17:40
предлагают миллион долларов У нас конечно не миллион но Давайте обсудим ещё один вопрос в комментариях Какая
17:46
нерешённый задача О трансцендентно кажется вам наиболее удивительной доказательство трансцендентность числа
17:52
Пи п E е в степени E пи в степени E или Константа опери всё это решённые
17:58
открытые вопросы из теории чисел пишите ваш вариант в комментариях Что удивительно в трансцендентно теории
18:04
чисел со времён теоремы гельфонд Шнайдера было не так много по-настоящему больших результатов и прорывов я же
18:11
обещал что будет математическая Бездна мы уже Приближаемся после решения седьмой проблемы гильберта гельфонд
18:17
продолжил исследовать обобщение понятия трансцендентность алгебраическую независимость зависимость и
18:23
независимость – это важные понятия в математике которые позволяют понять Как устроены пространство множество поля и
18:30
другие крупные объекты совокупности объектов а не просто смотреть на свойства отдельных элементов есть
18:36
понятие линейной Независимости То есть по-простому когда Никакой из элементов нельзя выразить через линейную
18:41
комбинацию других элементов А есть алгебраическая независимость невозможность быть корнями никакого
18:47
многочлена с рациональными коэффициентами Если точнее множество поля алгебраически Независимо над под полем если элементы этого множества не
18:53
являются корнями никакого тождественно не равно нулю многочлена с коэффициентами из под поля простой пример Возьмите два числа √ Пи и 2пи + 1
19:01
каждое По отдельности из них трансцендентно каждое из множеств из одного элемента множество и числа √ Пи И
19:08
множество числа 2пи + 1 алгебраически независим над полем рациональных чисел то есть трансцендентность и
19:14
алгебраическая независимость для множества из одного элемента эквивалентно Но если объединить эти два
19:21
числа в одно множество оно не будет алгебраически независимым можно придумать вот такой многочлен от двух
19:27
переменных 2x – y + 1 если вместо X взять √ пи а вместо Y 2пи + 1 получим 0
19:35
то есть элементы являются корнями многочлена связь линейной и алгебраической Независимости исследовали
19:41
ещё в XIX веке как обобщение теорема линдемана появилась теорема линдемана вейр
19:48
штранд для любых различных алгебраических чисел аа1 и так далее Альфа N числа e в степени аа1 и так
19:55
далее афа N линейно независимы над полем алгебраических чисел при n равном д если
20:01
взять Альфа 1 рам нулю а Альфа 2 просто равным Альфа получаем теорему линдемана то есть Утверждение что е в степени
20:08
Альфа трансцендентно для алгебраических степеней но вершиной исследования алгебраической Независимости стала
20:13
теорема Бейкера из шестидесятых годов доказанное английским математиком аланом бейкером если заданы ненулевые
20:19
алгебраические числа Альфа 1 и так далее Альфа N про который известно что логарифмы от этих чисел линейно
20:25
независимые над полем рациональных чисел то Альфа 1 и так далее Альфа N линейно
20:33
независимы над полем алгебраических чисел Казалось бы что-то такого Линейная независимость каких-то логарифмов но
20:39
посмотрите на всю мощь при n равном едини утверждение эквивалентно трансцендентность логарифма Альфа или е
20:45
в степени Альфа получаем сразу результат эрмита трансцендентно числа е и теорему линдемана если взять N ра получаем
20:53
теорему фонда Шнайдера доказываю седью проблему гиберта забыли теорема Гиль фонда
20:59
Шнайдера говорит что если Альфа алгебраическая а бета иррационально алгебраическая то Альфа в степени бета
21:05
трансцендентно ещё как следствие любая Линейная комбинация логарифмов или произведения степенных выражений
21:11
трансцендентно конечно для алгебраических Альфа и Бета Например сразу можно увидеть трансцендентность
21:16
вот такого интеграла со времён Бейкера можно отметить ещё один выдающийся результат в трансцендентно теории чисел
21:22
относительно недавней девяносто шестого года профессор мехмата МГУ Юрий Нестеренко доказал что три числа Пи е в
21:29
степени пи и гамма функция от 1/4 алгебраически Независимый гамма функция
21:34
Это на первый взгляд вот такой сложный интеграл Но на самом деле это обобщение факториала за пределы целых чисел только
21:40
Посмотрите насколько это элегантный результат во-первых алгебраическая независимость пи e в степени пи и гамма
21:46
от 1/4 означает что каждое число по отдельности трансцендентно это ещё одно
21:52
доказательство трансцендентно числа Пи во-вторых Нестеренко показал что числа Пи и е в степени пи алгебраически
22:00
независимы наконец почувствуйте всю боль теории чисел доказательства работа для
22:06
гамма функции это 1/4 но например для 1 П работать уже не будет настолько
22:12
Уникальны подходы для конкретных чисел но математики не останавливаются на Доказано за последние 100 лет было
22:19
выдвинуто немало важных гипотез утверждений требующих доказательств математики двигаются по пути обобщения
22:28
если проблему нельзя решить решите более общую задачу для которой первоначальная
22:33
Задача будет лишь частным случаем Как говорится не получается решить простую задачу Решай сразу сложно одна из
22:40
наиболее известных гипотез гипотеза Шану Эля предложенная в тых годах американским математиком Стивеном Шану
22:46
Элем Пусть заданы N комплексных чисел Z1 zn линейно независимых над полем
22:51
рациональных чисел тогда среди набора 2n чисел Z1 zn e в степени Z1 E Степе zn
22:58
есть хотя бы N алгебраически независимых чисел иными словами расширение поля рациональных чисел образованное этими 2n
23:06
числами имеет степень трансцендентно не менее N если эта гипотеза верна из неё
23:11
вытекает теорема Бейкера а следовательно и теорема гель фонда Шнайдера или можно будет доказать трансцендентность для
23:17
новых чисел например пи + E пи X E пи в степени E пи в степени пи e в степени e
23:25
e в степени e в степени E и многие другие гипотеза позволит понять трансцендентность чисел в виде любых
23:30
степенных функций логарифмов но это не самый общий Результат есть ещё более
23:35
общая гипотеза которая связывает числа с другой абстрактной областью математики алгебраической геометрии в шестидесятых
23:43
годах один из величайших гениев абстрактной математики Александр тендик сформулировал гипотезу о периодах
23:48
мотивов период – это число которое можно выразить в виде конечного интеграла от рациональной функции с рациональными
23:54
коэффициентами по рационально определённой области Вив кдо пространстве например √2 – Это период
24:01
так как его можно представить в виде интеграла от единицы по всем X из области заданной квадратичным
24:06
многочленом с рациональными коэффициентами Кроме того любое алгебраическое число – это период
24:12
логарифм ДХ – это тоже период как и все логарифмы алгебраических чисел число Пи
24:18
тоже период его можно представить в виде интеграла по области ограниченной окружностью с единичным радиусом площадь
24:25
круга как раз будет равна этому интегралу то есть а что такое мотив мотив – это понятие из
24:31
другой области математики алгебраической геометрии где ключевыми объектами являются алгебраические многообразия
24:38
множество решений некоторого уравнения например прямые или кривые поверхности
24:43
такие как Тор или сфера для изучения алгебраических многообразий важным инструментом являются так называемые
24:50
кого мологи которые позволяют читать информацию об объекте например от Тора
24:55
мы переходим к количеству дырок в то или количеству направлений обходов
25:01
гомологии дера но тендик предложил некоторую сущность определяющие сами
25:07
многообразия так называемые мотивы мотив по-простому – это ДНК алгебраических
25:12
многообразий то есть что-то общее что стоит за разными реализация многообразия в виде ко гомологии Представьте что
25:19
многообразие – это город который мы хотим исследовать используя разные инструменты аналоги гомологии мы можем
25:25
проанализировать карту сде Курси по городу или посетить лучшие рестораны
25:30
способы изучения города разные но у города есть какой-то единый ДНК идея
25:36
мотив который будет определять сам город неважно какой способ исследования мы выберем так вот гипотеза Грата индика
25:43
говорит что любое алгебраическое соотношение между периодами может быть выведено из соотношений определённых
25:49
исключительно алгебраическими свойствами данных многообразий Если точнее степень трансцендентно поля образованного
25:55
периодами некоторого Мотива числовым полем равняется размерности мотив най группы лоа простыми словами гипотеза ГТЕ
26:03
индика связывает числа с объектами алгебраической геометрии и можно
26:09
переносить методы из одной области в другую что помогает лучше понять структуру чисел но и это ещё не самая
26:16
общая гипотеза французский математик иф Андре в девяностых годах обобщил гипотезу Грата индика заменив равенство
26:23
на неравенство и обобщил условия для пооовар интересно если гипотеза Андре
26:29
верна будут верны и гипотезы гратен Дика и гипотез Шану Эля А теорема Бейкера теорема гельфонд Шнайдера и Седьмая
26:35
проблема гильберта будут всего лишь небольшими следствиями большой теории периоды и мотивы одни из ключевых
26:41
направлений потенциальных прорывов теории трансцендентных чисел например уже в этом тысячелетии благодаря работе
26:47
Максима концевича и Дона цацагт за концевича цг о природе периода Если два
26:53
периода не могут быть развлечени средствами алгебры то они равны Так что если хотите доказать трансцендентность
26:59
числа можете доказать сначала что это период вдруг он окажется известным трансцендентный числом или совсем
27:06
недавнего результаты Фрэнсиса Брауна о мотивах многозначных периодах и многомерной Z функции Пишите в
27:12
комментариях Если хотите Услышать о периодах и мотивах больше мы подошли уже совсем к математической границе которую
27:18
сейчас понимают десятки А может и единицы математиков во всём мире видите
27:23
Куда может завести простой вопрос трансцендентное ли число или нет вообще есть простой базовый принцип так
27:30
называемая Мета гипотеза гора шиму любое число заданное каким-либо пределом для
27:35
которого не очевидно Как доказать [музыка]
27:45
[музыка]
27:51
алгебраическую теорему фирма но Наверняка у многих уже давно назрел
27:56
вопрос столько сложности и усилий человека для доказательства всех этих теорем и гипотез А зачем вообще нужны
28:04
трансцендентные числа конечно вопрос логичный с одной
V. Причина
28:11
стороны кто-то может подумать что всё это вообще бесполезно математики придумали себе какие-то абстрактные
28:17
конструкции нерешаемые задачи и пытаются что-то доказать Но на самом деле трансцендентная теория чисел важна не
28:24
только для интеллектуальных развлечений во-первых знаешь что может пригодиться в будущем многие вещи из чисто
28:31
математической теории чисел становились ключевыми для самых разных практичных приложений Посмотрите на соседние
28:37
направления в теории чисел такие как эллиптические кривые на которых держится криптография или набирающая всё больше и
28:44
больше популярность пиос теория чисел например в квантовой механике или в
28:49
теории струн результаты трансцендентный теории чисел уже оказались полезными в других областях например Бейкер применил
28:56
свои результаты к теории диофантовых уравнений за что получил филсов вскую премию по математике в семидесятом году
29:02
а это на секундочку самая престижная Премия для математиков моложе 40 лет во-вторых числа – это часть природы а
29:10
математики как и другие учёные – это исследователи мы не можем жить рядом с неопределённость и не пытаться понять то
29:16
На чём держится весь мир числа в этом плане трансцендентные числа вдвойне интересно Я бы даже сказал пугающе
29:24
интересно числа которые везде но про которые мы вс знаем очень мало как будто
29:29
они действительно выходят за пределы и превосходят наше человеческое понимание полностью оправдывая своё название
29:36
трансцендентные числа нужны новые методы и подходы чтобы полностью разгадать их
29:41
природу наконец зачем эти практические приложения Когда можно просто насладиться сложностью и красотой самой
29:48
теории и изящностью её результатов или просто посмотреть по Каким законам живут
29:54
удивительные трансцендентные числа их можно изучать бесконечно а пока что
29:59
давайте уже подведём небольшой
Заключение
30:04
итог видите как далеко можно зайти всего-навсего
30:27
рациональных но доказать трансцендентность какого-либо числа оказывается очень сложно если числа
30:33
хорошо приближаются рациональными числами они трансцендентные трансцендентные числа не сохраняют алгебраические операции сумма вычитания
30:40
умножения деления двух трансцендентных чисел не обязательно трансцендентное число при этом самые известные константы
30:47
из анализа притягивают трансцендентность трансцендентность числа Пи e e в степени
30:53
пи 2 в Степе √2 пи + e в степени пи синусы и косинусы в радианах и много
30:59
других не забывайте писать ответ на первый вопрос какое трансцендентное число кажется вам наиболее интересно
31:05
во-вторых трансцендентная теория чисел – это сложная область фундаментальной чистой математики с большим количеством
31:11
открытых вопросов не зря гильберт считал задачу о трансцендентно числа 2 в степень √2 Одной из самых сложных и Хотя
31:20
седьмую проблему гильберта решили достаточно быстро до сих пор осталось много вопросов и гипотез причём
31:27
математики идут по пути обобщения формулируя всё более и более общие утверждения и связывая разные области
31:34
абстрактной математики гипотезы Шану Эля тенди Андре концевича
31:41
цацагт но доказательство точно станет огромным событием Пишите в комментариях
31:46
ответ на второй вопрос открытый вопрос трансцендентность какого числа кажется вам наиболее удивительным наконец
31:54
в-третьих трансцендентные числа открывают новый Горизонт мышления только
31:59
Задумайтесь вы берёте два числа 2 и ре2 возводить одно в степень другого и перед
32:07
вами уже объект как будто из другого мира А чтобы понять как устроен этот Новый мир нужны новые идеи методы и
32:14
конструкции связывающие числа с другими не менее А может быть даже и более абстрактными математическими теориями
32:21
впереди нас ещ Ждут большие открытия рано или поздно мы поймём и эту область математики ито знает к каким
32:27
последствиям приложениям это приведёт всё-таки числа – это те кирпичики без которых Сложно представить наш мир а
32:34
пока что мы с вами можем только восхищаться изящностью результатов и
32:39
бесконечно продолжать доказывать трансцендентность числа Пи п е думайте и
32:45
наслаждайтесь трансцендентно теорией чисел
32:53
пока