https://t.me/gigachat_bot
промт – перескажи кратко
Видео посвящено обсуждению свойств нуля при возведении в степень. Основное внимание уделяется утверждению, что любое число в нулевой степени равно единице. Это объясняется правилами работы со степенями и доказывается через анализ поведения функции $x^x$ при стремлении $x$ к нулю. Также рассматривается пример из комбинаторики, который подтверждает данное утверждение. Однако отмечается, что в общем случае значение $0^0$ считается неопределенным, и его трактовка может различаться в зависимости от контекста.
Расшифровка видео
0:00
Всем привет, с вами Побединский и это необычный выпуск, а математический.
0:04
Мы знаем, что 0 – число особенное: на него нельзя делить, при умножении на 0 всегда получается 0, в общем
0:11
специфического много, но пожалуй самое необычное его свойство проявляется при возведении в степень.
0:17
Вот смотрите:
0:18
известно что абсолютно любое число в степени 0 равняется единице.
0:22
Доказать это просто: при умножении степеней с одинаковым основанием
0:26
показатели складываются
0:28
а при делении вычитаются. Если взять например 8 в квадрате и поделить на 8 в квадрате
0:33
то получится 8 в степени 2 минус 2 то бишь 0
0:38
но с другой стороны мы просто число делим само на себя и всегда должна получаться единица
0:44
такую же логику можно применить к абсолютно любому числу,
0:48
вот только, разве будет она работать с нулем? Серьезно, ноль в любой степени должно равняться нулю,
0:54
ведь сколько его не перемножай самого на себя, ничего другого мы не получим, вот только все меняется если возвести его в нулевую степень
1:02
ответ получается единица. Но как так, как перемножая нули можно получить один? в чем подвох?
1:10
Оказывается, все объяснимо. Итак, в некоторых местах будет сложновато, в середине вообще заставлю вас задачку решить, но оно того стоит!
1:18
Поехали!
1:20
Для начала, рассчитаем значение не ноль в степени ноль, раз там такая неразбериха,
1:25
а чисел максимально близких к нулю.
1:28
Возьмем выражение икс в степени икс и будем записывать его значение для все меньшего и меньшего икса, постепенно приближаясь к нулю.
1:36
Начнем с единицы и при этом будем чертить график.
1:38
Поначалу значения и правда уменьшаются, ничего удивительного, но в определенный момент,
1:43
смотрите: ОПА! Оно начинает расти!
1:47
И обратите внимание, чем меньше икс, тем икс в степени икс ближе к единице. Поэтому, логично предположить, для непрерывности,
1:55
что и в самой точке ноль выражение строго равно единице. Чем вам не доказательство?
2:01
Я, кстати записал более точное нахождение этого предела, но выложил его отдельно.
2:05
Если вы не боитесь логарифмов правил Лопиталя и прочих матановских заморочек, то обязательно посмотрите.
2:11
Вывод тот же, но полученный аналитически, а не графически.
2:15
Но что происходит именно в самом нуле?
2:17
Об этом чуть позже, а пока рассмотрим еще одно элегантное доказательство.
2:22
Математика это не только циферки и числовые оси
2:26
Есть комбинаторика, теория функций и множество других разделов, в которых нужно значение ноль в степени ноль.
2:32
И чему оно равняется в одном из них, мы узнаем в новой рубрике Youtube Задачки!
2:40
Итак, есть три блоггера смежной тематики. Например, Я, Артур Шарифов и Топа. И есть две обалденных темы для выпуска,
2:48
например, искусственный интеллект и космос. Каждый блоггер должен записать один ролик на одну тему,
2:54
повторяться, естественно, можно. И,
2:56
внимание, вопрос: сколькими вариантами это возможно сделать? Ну, то есть, например, все записали ролик на одну тему,
3:02
или двое на одну, третий на другую, ну и так далее. Вот сейчас, кстати, можете поставить на паузу и попробовать посчитать
3:09
подписаться на канал и написать в комментариях сколько у вас
3:12
вышло. Ответ я озвучу позже. К чему эта задача? В теории множеств есть теорема, согласно которой
3:19
множество с количеством элементов M можно отобразить на множество с количеством элементов N вот таким количеством способов:
3:26
N в степени M. Здесь как раз-таки множество блогеров (три элемента)
3:31
отображается на множество тем (два элемента), и в итоге получается два в третьей степени вариантов, то есть, восемь штук.
3:39
Если что, вот они все перед вами. Сразу говорю все восемь мы вряд ли когда-то осилим, но парочку может быть.
3:46
Но причём тут ноль?
3:47
Дело в том, что есть и пустые множества и есть только один вариант
3:51
отображения одного пустого множества на другое. А это значит что ноль в степени ноль и есть единица! Вот оно доказательство.
3:59
Не такое серьёзное, больше символическое, но всё же, логично что ноль блогеров могут снять ноль роликов только одним способом.
4:07
Однако не всё так гладко в королевстве математики.
4:10
Можно привести кучу примеров в которых ноль в степени ноль вообще ни разу не один!
4:15
Например, мы показали что икс в степени икс стремится к единице. Да. Но в общем случае, если взять два выражения, которые по отдельности
4:23
стремятся к нулю, и одно возвести в степень другого, в пределе не обязательно будет один!
4:29
Например, вот такое выражение: по отдельности основания и показатель степени стремятся к нулю, да. Но в целом это выражение тождественно равно 0,2.
4:40
Ну, и в зависимости от числа в основании, значение выражения будет всегда разным. Так что вывод можно сделать такой:
4:47
если мы находимся в рамках алгебры, простых арифметических
4:50
вычислений, комбинаторики и теории множеств, находим суммы рядов,
4:54
то можем без проблем считать ноль в степени ноль равным единице.
4:58
Просто здесь происходит некая подмена: мы заменяем точное значение ноль в степени ноль
5:03
пределом, о котором говорили раньше. Но из-за непрерывности, никаких ошибок вычислениях не возникает.
5:09
Но в общем случае, особенно в рамках математического анализа, при вычислении пределов,
5:13
говорят что значение ноль в степени ноль не определено, его просто не существует, вот и все. И вообще, это только одна из многих
5:21
неопределенностей которые возникают в матане. Они могут разрешаться, но в каждом конкретном случае это будет происходить по-разному.
5:29
Поэтому, неопределенное значение это вполне нормальная практика. Чему равняется ноль в степени ноль, в каком-то смысле зависит от контекста:
5:37
во многих случаях можно считать это равным единице, но нужно помнить что не во всех. И в разных языках программирования, разных калькуляторах
5:45
тоже по-разному: где-то один, где-то не определено. Математики до сих пор спорят по этому поводу, но в любом случае это не имеет
5:53
никакого практического применения.
5:55
Данное выражение не встречается ни в одном реальном вычислении, поэтому абсолютно неважно, чему там равняется ноль в степени ноль.
6:02
Но в любом случае, это интересно.
6:05
На этом всё, ставьте лайки, подписывайтесь на канал и нажимайте на колокольчик, чтобы не пропустить новые выпуски и спасибо за просмотр!
6:14
музыка