Эдвард Френкель — математик из Калифорнийского университета в Беркли, работающий на стыке математики и квантовой физики
*https://www.youtube.com/watch?v=29-P9Pc5IsQ
**https://300.ya.ru/v_qa2lJAnU
таймкоды
00:00:02 Субъективное восприятие и наука
- Учёный сомневается в доверии к объективным аргументам и начинает ценить субъективное понимание мира.
- Квантовая механика и теорема Гёделя показывают важность наблюдателя в научных теориях.
- Теория относительности подчёркивает относительность времени для наблюдателя.
00:01:12 Ограничения науки XIX века
- Наука XIX века ошибочно считала, что можно анализировать мир, будучи от него отрешённым.
- Эксперименты первой половины XX века доказали абсурдность этого подхода.
- Важно учитывать субъективное восприятие, а не полагаться только на объективные явления.
00:02:09 Жизнь как вычисление
- Утверждение, что вся жизнь — это вычисление, ограничивает восприятие неподдельного в человеке.
- Блез Паскаль говорил о причинах сердца, о которых разум ничего не знает.
- Необходимо учитывать биологическое и разумное в человеке.
00:04:28 Предвзятость подтверждения
- Вера в вычислительную природу всего может привести к предвзятости подтверждения.
- Пример литературного движения ULiPO иллюстрирует самоограничения в творчестве.
- Важно не ограничивать своё восприятие мира.
00:06:39 Зависимость от знаний
- Автор признаёт свою зависимость от знаний и сложность принятия тайн.
- Парадоксы ценятся больше, чем простые истины.
- Неоднозначность вещей делает их более интересными.
00:10:16 Эксперимент с двумя щелями
- Эксперимент показывает, что электроны могут вести себя как волны или частицы в зависимости от условий эксперимента.
- Результат эксперимента зависит от его постановки.
- Психика человека отстаёт от научных открытий.
00:12:20 Самоограничение и свобода воли
- Самоограничение проявляется в применении наивных идей XIX века к современной науке.
- Квантовая механика развенчала идею детерминизма.
- Проблема образования мешает пониманию научных открытий.
00:14:56 Инструменты для обсуждения свободы воли
- Нет инструментов для строгого обсуждения свободы воли и сознания в математике.
- Многие знают о существовании чего-то таинственного, но не могут это выразить.
- Необходимо учить математике, которая позволяет говорить о субъективном взгляде на реальность.
00:15:55 Воображение и знание
- Эйнштейн считал, что воображение важнее знания, так как знание ограничено, а воображение охватывает весь мир.
- Воображение порождает эволюцию и научные открытия.
00:16:55 Математические открытия
- Математические исследования часто требуют «прыжков» и интуитивных решений, а не линейного накопления данных.
- Примеры фундаментальных открытий в математике: комплексные числа и квадратный корень из минус единицы.
00:17:49 Квадратный корень из минус единицы
- Традиционные знания противоречат существованию квадратного корня из отрицательного числа, но комплексные числа имеют смысл и важны для квантовой механики.
00:18:48 Джероламо Кардано и комплексные числа
- Джероламо Кардано столкнулся с корнем из минус семнадцати при решении кубических уравнений и принял его как данность, несмотря на сомнения.
00:21:26 Геометрическое представление комплексных чисел
- Комплексные числа можно представить как точки на плоскости с координатами x и y.
- Умножение комплексных чисел подчиняется тем же правилам, что и умножение действительных чисел.
00:23:39 Многомерные пространства
- В трёхмерном пространстве нельзя определить умножение, удовлетворяющее привычным свойствам.
- В четырёхмерном пространстве существуют кватернионы, а в восьмимерном — актонионы.
00:25:28 Загадки математики
- Математика продолжает открывать новые загадки, раздвигая границы знаний.
- Процесс открытия в математике — это бесконечный и безграничный поиск.
Расшифровка видео
0:03
Как учёный, я также приучен больше
0:06
доверять объективным аргументам, вещам,
0:09
которые можно воспроизвести, которые я
0:11
могу продемонстрировать и показать. Но с
0:14
возрастом,
0:16
ну, началось с возрастом. Я, конечно,
0:19
надеюсь, что я начинаю сомневаться,
0:22
почему я не
0:25
доверяю своему субъективному пониманию
0:28
мира, своей перспективе от первого лица.
0:31
Ведь даже современная наука уже к этому
0:35
пришла. Квантовая
0:37
механика недвусмысленно показала, что
0:40
наблюдатель всегда участвует в
0:43
наблюдении.
0:45
Аналогично теорема Гёделя о неполноте,
0:47
на мой
0:48
взгляд,
0:51
показывает, насколько важен наблюдатель
0:55
математической теории. Ведь именно он
0:58
выбирает аксиому.
1:00
Можем обсудить это подробнее, так же как
1:03
и в теории относительности, где для
1:05
наблюдателя время относительно. Это
1:07
гениально. Во всех этих случаях
1:09
описывается значение слова наблюдателя.
1:12
В общем, мы наука XIX века, с
1:16
современной точки зрения, и я не хочу
1:18
никого обидеть, заблуждалась, полагая,
1:21
что можно анализировать мир, будучи от
1:23
него отрешённым. Теперь мы знаем после
1:26
знаковых достижений первой половины XX
1:29
века, что это абсурд. Это попросту
1:32
неправда, и это было многократно
1:34
доказано экспериментально. Так
1:37
что, возможно, это намёк, что мне стоит
1:41
серьёзно относиться к своему восприятию
1:43
от первого лица, а не полагаться лишь на
1:47
какие-то объективные явления, которые
1:49
можно доказать традиционным
1:53
объективным способом, поставив
1:55
эксперимент, который можно повторить.
1:58
Вот я влюбляюсь, но самая большая любовь
2:01
моей жизни может ещё не пришла. И и да,
2:04
я влюбляюсь, но это уникальное событие,
2:07
его невозможно повторить. Так что в этом
2:10
смысле ты видишь, как всё это тесно
2:13
связано. Я думаю, что если мы с самого
2:16
начала заявляем, что вся жизнь — это
2:21
вычисления в виде нейросетей или чего-то
2:24
такого, неважно, какими бы сложными они
2:27
бы ни были, то мы с самого начала
2:30
отрезаем себе путь к мысли, что да, во
2:33
мне есть что-то неподдельное, что есть
2:37
часть меня, которую не уловить,
2:39
биологическая и разумная. И знаете, что
2:41
сказал другой великий учёный, блес
2:44
Паскаль? Он сказал: «У сердца есть свои
2:48
причины, о которых разум ничего не
2:51
знает». А ещё он сказал: «Последний шаг
2:54
разума — это осознание, что за пределами
2:57
разума есть бесконечно много
2:59
вещей». Как интересно. Это был не
3:01
богослов и не священник и не какой-то
3:05
духовный
3:06
гуру, а учёный до мозга костей, который,
3:10
я думаю, вроде разработал один из первых
3:13
калькуляторов. Интересно, что этот
3:16
человек
3:18
смог поделиться с нами этой мудростью.
3:21
Конечно, можно сказать, что это не
3:24
так, но зачем
3:27
нам с самого
3:29
начала исключать возможность того, что в
3:32
его словах есть смысл? В этом мой
3:35
вопрос. Я не занимаю ничью
3:39
сторону. Я просто пытаюсь немного
3:41
встряхнуть эту дискуссию, потому что
3:43
большинство математиков, которых я знаю,
3:45
и особенно специалисты по информатике,
3:47
они как бы на это купились.
3:51
Мы просто, знаете, это напоминает мне
3:53
знаменитую цитату лорда Кельвина с конца
3:56
X
3:57
века. Спорят, говорил ли он это, но, как
4:01
говорится, о хорошей
4:03
истории, правда, не помеха. Да, он
4:06
сказал, что с физикой, в общем-то,
4:09
покончено. Всё, что осталось — это более
4:11
точное измерения. И многие мои коллеги,
4:15
похожи, рады заявить: «Всё кончено, мы
4:18
уже всё поняли, всё уловили. Может быть,
4:21
нужны лишь небольшие доработки в наших
4:23
больших языковых моделях». Итак, мой
4:27
вопрос. Я сыграю роль адвоката дьявола,
4:30
ведь не вижу, чтобы другая сторона была
4:33
представлена в достаточной мере. И я
4:35
говорю: «Хорошо, может быть, если вы в
4:38
это верите, то это становится вашей
4:40
реальностью? Ты как бы сам себя
4:42
загоняешь в
4:43
рамки, где всё это вычисление, и тогда
4:47
ты начинаешь видеть всё в этом свете.
4:50
Это такая себе предвзятость
4:52
подтверждения. Хорошая аналогия — это
4:54
то, что рассказал мне мой друг Филипп
4:57
Кошин, что во Франции существует такое
4:59
литературное движение у Липо.
5:03
O
5:06
i это группа писателей и математиков,
5:10
которые создают литературные
5:13
произведения, в которых они накладывают
5:15
определённые
5:17
ограничения. Хороший
5:19
пример роман под названием Эвойдт или
5:22
исчезновение писателя по имени Джорж
5:24
Перек.
5:26
В нём 300 страниц на французском
5:29
языке, где ни разу не используется буква
5:34
И. А это самая широко используемая буква
5:37
французского языка. Другими словами, он
5:41
установил для себя эти параметры. Я
5:43
напишу книгу, где не буду использовать
5:46
эту букву, что, знаете ли, отличный
5:48
эксперимент, похлопаю ему.
5:51
Но одно дело сделать это, чтобы, так
5:55
сказать, блеснуть мастерством, показать
5:58
свою склонность и способность как
6:00
писателя. Но другое дело, если бы в
6:04
конце книги он сказал бы: «Буквы и на
6:06
самом деле не
6:08
существует». И попытался бы убедить нас,
6:11
что во французском языке нет этой буквы
6:14
просто потому, что он смог зайти так
6:16
далеко, не используя её. Понимаете?
6:18
самоограничение. Вот как мне это
6:21
видится. И мне
6:23
интересно, зачем нам это делать? Мы
6:26
вправду чувствуем потребность сказать,
6:29
что мир такой, что мир можно объяснить
6:32
так или вот так. И знаете, для меня это
6:34
личный вопрос, потому что я сам зависим
6:37
от
6:38
знаний. Типа, привет, меня зовут Эдвард.
6:42
Я зависим от знания. Я знай, и я
6:44
серьёзно, я не шучу. До недавнего
6:47
времени, может пару лет назад, мне было
6:51
очень некомфортно, если я не мог дать
6:55
ответ, объяснить что-то, мол, должно
6:57
быть какое-то объяснение, я пытался его
6:59
найти просто для такого, как я, нёрда,
7:06
левополушарника. Знаете, это довольно
7:10
типично, как для учёного, для
7:13
математика. Невероятно сложно.
7:18
просто допустить, что это может быть
7:21
тайной, и не испытывать
7:24
желания получить ответ. Это невероятно
7:27
сложно, но, возможно, это освобождение,
7:30
это выздоровление от
7:32
зависимости, от знаний. Позвольте
7:36
рассказать, что вы от этого получаете.
7:38
Например, я понимаю ценность парадоксов.
7:41
Я больше ценю парадоксы. И знаете,
7:46
другой философ, датский философ Сьорин
7:49
Керкигор сказал: «Мыслитель без
7:53
парадокса, как любовник, без
7:57
страсти. Жалкая посредственность». О,
8:00
это хорошая фраза, не так ли? Так вот,
8:03
знаете, Нильсбор
8:06
говорил том же духе, тоже великий
8:09
датчанин, что-то есть в этих датчанах.
8:13
Думаю, всё началось с Гамлета.
8:16
Он сказал: «Противоположность простой
8:19
истины это ложь, но противоположность
8:22
великой истины другая великая истина».
8:26
Другими
8:27
словами, в мире всё не чёрно-белое.
8:32
Я бы даже рискнул сказать, что самые
8:34
интересные вещи в
8:36
жизни, именно такие, те, которые
8:40
неоднозначны. Электрон — это частица или
8:43
волна, зависит, как поставить
8:45
эксперимент. Он проявит себя как то или
8:48
другое, в зависимости от условий
8:51
эксперимента. Эта бутылка, если
8:53
спроецировать её на стол, вы увидите
8:57
подобие квадрата. спроецируете на стену,
9:00
увидите другую фигуру. Наивный вопрос:
9:03
это то или это? Мы понимаем, что бутылка
9:07
ни то, ни другое, но обе проекции что-то
9:10
говорят, они отражают её разные стороны.
9:13
Парадокс именно таков. Он парадоксален
9:16
лишь, если мы ограничены
9:21
определённым видением, когда мы
9:23
цепляемся за одну точку зрения.
9:27
Это
9:28
предвестник возможности
9:31
увидеть вещи такими, какие они есть,
9:36
более сложными, чем мы думали раньше.
9:38
Понимаете, это такая сложная идея для
9:43
науки. Даже не знаю, как можно
9:46
по-разному это описать, но, возможно,
9:50
субъективный
9:52
опыт наблюдателя является
9:55
фундаментальным. Но мы это знаем. Наши
9:58
лучшие физические теории однозначно
10:00
говорят нам об этом. В квантовой
10:02
механике, мне кажется, Гайзенберг лучше
10:05
всего это сформулировал, когда сказал:
10:07
«То, что мы наблюдаем, не есть
10:09
реальность. Это лишь реальность,
10:12
доступная нашему способу
10:15
наблюдения». Когда я говорю, например,
10:18
об электронах, есть очень специфический
10:20
способ, котором это анализируется, так
10:22
называемый эксперимент с двумя щелями.
10:25
Итак, для тех, кто не знает, у вас есть
10:29
есть экран и есть излучатель, из
10:31
которого выстреливаются электроны, а
10:34
между ними ставится ещё один экран с
10:36
двумя вертикальными параллельными
10:38
щелями. Если бы мы стреляли теннисными
10:41
мячиками, они бы проходили в одну или
10:44
другую щель, ударялись бы об экран за
10:47
соответствующей щелью. Допустим, они
10:49
окрашены каким-то цветом. За каждой
10:52
щелью были бы своего рода отметины или
10:55
пятна краски за той или иной. Но когда
10:57
мы стреляем электронами, этого не
11:00
происходит. Мы видим интерференцию,
11:03
словно мы послали волну. И каждый
11:06
электрон, похоже, каждый электрон
11:08
проходит через обе щели одновременно, а
11:10
затем имеет наглость интерферировать сам
11:13
собой. Где-то волны накладываются и
11:16
усиливают друг друга, а где-то,
11:17
наоборот, гасят друг друга.
11:20
И казалось бы, вот оно, электрон — это
11:22
волна. Но не тут-то было. Потому что
11:25
если поставить детектор за одно из щелей
11:27
и сказать: «А я тебя поймаю, я узнаю,
11:31
через какую щель ты прошёл, картина
11:34
изменится, и электроны будут выглядеть
11:36
как частицы. Это очень конкретная
11:39
реализация идеи, когда результат
11:42
эксперимента зависит от его постановки.
11:45
И проблема в том, что наша психика, как
11:49
мне кажется, слегка отстаёт, потому что,
11:52
возможно, наши учёные не очень-то
11:55
справляются. Я беру на себя
11:56
ответственность за это. Мол, почему я не
11:59
объяснил это как следует? Понимаете, я
12:01
пытался с помощью кучи лекций и вот
12:04
снова говорю об этом.
12:06
Наша психика как бы отстаёт, хотя наша
12:08
наука так сильно продвинулась от
12:11
уверенности, детерминизма и всего такого
12:14
из XIX века. Но наша психика почему-то
12:18
всё ещё привязана к этим идеям, идеям
12:21
каузальности и наивного детерминизма,
12:23
что мир — это куча бильярдных шаров,
12:25
сталкивающихся друг с другом, движем их
12:28
какими-то слепыми силами. Всё совсем не
12:31
так. И мы знаем это уже более, ну, по
12:34
крайней мере, 100 лет. Понимаете? И ты
12:37
называешь это самоограничением. Это
12:39
самоограничение, когда мы
12:42
притворяемся, что, например, эти наивные
12:46
идеи в
12:47
физике XIX века до сих пор актуальны, а
12:51
потом начинаем применять их к нашей
12:53
жизни и к тому же делать из этого
12:54
выводы. Например, говоря: «Свободы воли
12:57
нет». Почему? А потому что мир — это
13:00
просто куча бильярдных шаров. Так где же
13:03
свобода воли? Но пардон, разве вы не в
13:05
курсе, что это было давно развенчено
13:08
квантовой механикой нашей лучшей научной
13:10
теории? Это не какая-то ерунда или
13:14
какая-то, ну, знаете ли, какой-то бред
13:18
сумасшедшего. Это экспериментально
13:20
подтверждённая научная теория, и мы
13:22
должны обратить на это внимание. Но,
13:24
конечно, это не просто самоограничение.
13:27
К сожалению, есть ещё и большая проблема
13:29
образования.
13:31
Многие люди не знают об этом ни по своей
13:34
вине. Их просто этому так и не научили.
13:37
Просто потому, что наша система
13:38
образования сломана, особенно в
13:40
математике. Так откуда мы получаем
13:43
информацию? Вы получаете её от наших
13:47
учёных, которые пишут научно популярные
13:49
книги и так далее. Что,
13:52
конечно, здорово, что они это делают, но
13:55
многие учёные
13:57
почему-то, когда дело доходит до
14:00
объяснения законов физики, они прекрасно
14:05
справляются, рассказывая, например, про
14:07
эксперимент с двумя щелями и так далее,
14:10
но потом, делая интервью научному
14:12
журналу о свободе воли и так далее, они
14:15
откатываются к физике XIX века, словно
14:18
этих открытий никогда и не было. Так что
14:20
для меня
14:23
это самая важная проблема в
14:27
нашем
14:29
научпопе. Это идея о том, что где-то там
14:32
есть этот мир, не имеющий ко мне
14:34
никакого
14:36
отношения. Можно,
14:38
конечно, упиваться сложностями
14:41
взаимодействия
14:43
частиц, но при этом полностью
14:46
игнорировать, как это связано со мной
14:48
самим. с моим отношением к физической
14:52
реальности, к моей собственной жизни,
14:54
потому что это, наверное, страшно. К
14:57
тому же, а какие у нас есть
15:00
инструменты, позволяющие говорить о
15:04
наблюдателе и субъективном взгляде на
15:07
реальность? Какие инструменты позволяют
15:10
нам говорить, строго говорить о свободе
15:13
воли и сознания? Что это за инструменты
15:15
математики? Не думаю, что у нас они
15:17
есть. Просто нас этому не учили. На
15:20
самом деле инструменты есть. Например, я
15:25
думаю, ну, здесь мы
15:28
должны, я должен сказать, что убеждён,
15:31
что все
15:33
знают. В глубине души все знают, что
15:37
есть это есть
15:39
что-то неизбежное, есть
15:42
что-то таинственное. И знаете, как-то
15:47
сразу
15:49
хочется кого-то процитировать, будто моё
15:52
мнение ничего не стоит. Есть давно
15:56
почивший эксперт, который это сказал.
15:58
Даже Эйнштейн говорил это, что вот
16:01
посмотрите на меня, я вроде умный,
16:04
интеллигентный человек, но боюсь это
16:07
сказать и взять на себя ответственность.
16:09
Мне нужно подтверждение, мне нужен
16:11
авторитет, который со мной согласится. И
16:14
его не так сложно найти, ведь Альберт
16:16
Эйнштейн сказал: «Самое важное в жизни,
16:19
это тайна». Да, он так и сказал. Есть
16:22
цитаты, которые ему приписывают, но
16:25
которые он не говорил, но это он сказал,
16:27
я это
16:29
проверял. Но важнее то, что вы сами об
16:33
этом думаете. Думаю, все это знают.
16:39
Но другими словами, Эйнштейн сказал, что
16:43
воображение важнее знания, понимаете? И
16:46
он объяснил, что знание всегда
16:49
ограничено, тогда как воображение
16:51
охватывает весь мир, порождая
16:54
эволюцию. Строго говоря, это реальный
16:56
фактор в научных исследованиях. Он
16:59
сказал: «Во мне достаточно отхудожника,
17:01
чтобы следовать интуиции и воображению».
17:03
Это опять же Альберт Эйнштейн. Честно
17:05
говоря, я чувствую то же самое.
17:07
Размышляя о своих математических
17:09
исследованиях, то они
17:11
нелинейные. Не бывает так, что дайте мне
17:14
больше данных, больше данных и бум,
17:16
стакан полон, и я совершаю открытие.
17:19
Нет, это всегда ощущается как прыжок,
17:22
как скачок.
17:24
И я, на самом деле, изучал разные
17:28
примеры фундаментальных открытий в
17:30
истории математики, таких как открытие
17:32
комплексных чисел и корень квадрат из
17:35
минус1дини. Интересно, сможет ли
17:38
какая-нибудь языковая модель додуматься,
17:40
что квадрат корень из
17:45
мину1дини это нечто существенное или
17:48
значимое? Потому что если вся полученная
17:51
вами информация, все знания, накопленные
17:54
до этого момента, говорят вам, что у вас
17:57
не может быть квадратного корня из
17:59
отрицательного числа. Почему? Потому что
18:02
если бы у вас был такой корень, то
18:04
возведя его в квадрат, вы получите
18:06
отрицательное число. Но мы знаем, что
18:09
квадрат любого действительного числа,
18:11
будь то положительное или отрицательное,
18:14
всегда будет положительным. Так что шах
18:16
и мат, всё кончено. квадратного корня из
18:19
минус1 нет. И всё же мы знаем, что эти
18:21
числа имеют смысл. Они называются
18:23
комплексными числами. И фактически
18:26
квантовая механика основана на
18:28
комплексных числах. Они крайне важны и
18:29
незаменимы для квантовой
18:31
механики. Может ли одно открытие? Для
18:35
меня это звучит как отказ от старого в
18:39
процессе открытия. Это скачок, уход в
18:42
сторону. Это как ребёнок, который
18:44
экспериментирует, который говорит: «Я не
18:46
боюсь быть дураком». Все вокруг взрослые
18:49
твердят, что корня из отрицательного
18:51
числа не существует. Но знаешь что? Я
18:54
это приму. Я поиграю с этим и посмотрю,
18:58
что получится. Именно так они и были
19:00
открыты. Был
19:02
итальянский
19:04
математик астроном, астролог. Он,
19:07
видимо, зарабатывал, составляя всякие
19:11
астрологические предсказания для элиты
19:14
своего времени. Как и положено. X век.
19:16
Положено. Был азартным. Отлично.
19:19
Интересный парень. Уверен, с ним
19:21
интересно было бы поболтать. Джералама
19:24
Кардана. Он также изобрёл то, что
19:26
называется карданный вал, который
19:29
является важнейшей частью
19:32
автомобиля. Кардан, как говорят в
19:35
России. Так вот, он написал книгу под
19:39
названием Марс Магна, переводится как
19:41
великое искусство алгебры. И он описывал
19:44
там решение кубических и биквадратных
19:47
уравнений. Знакомая тема для нас,
19:50
ведь мы все в школе решали квадратные
19:53
уравнения. Уравнение второй степени. У
19:56
вас есть ax² + bx + c = 0. И есть
20:00
формула, которая решает их через
20:02
радикалы, то есть квадратные корни. И
20:04
кардан пытался найти формулу для
20:06
кубических и биквадратных уравнений,
20:09
которые начинаются с x³ или в четвёртой
20:11
степени. в отличие от x квадра. И вот,
20:15
решая эти уравнения, он
20:17
столкнулся с корнем из отрицательного
20:20
числа, а именно с корнем из
20:22
-17. И он написал, что ему пришлось
20:25
претерпеть душевные
20:28
муки, чтобы разобраться с этим. Но я
20:30
приму это как данность и посмотрю, что
20:33
из этого выйдет. И фактически в конце
20:35
вычислений эти странные числа
20:38
сократились, взаимно сократились. В
20:41
формуле появился квадрат √ -17 и его
20:44
отрицательное значение, так что они
20:46
удачно дали правильный ответ, где этих
20:48
чисел не было. Так что он такой: «Фу,
20:51
пронесло». Но что это значит? Душевные
20:54
муки. Видите ли, с точки
20:57
зрения думающего
21:00
человека, это что-то немыслимое. Такое
21:03
чувство, что большая языковая модель,
21:05
компьютер, на котором она запущена, в
21:07
попытке это провернуть, просто
21:08
взорвётся.
21:10
Но всё же человек-математик смог найти в
21:13
себе мужество и вдохновение, сказать:
21:16
«Знаете что? А что не так? Почему мы так
21:18
уверены, что этого не существует? Это
21:21
лишь наши прошлые знания, основанные на
21:24
том, что мы знали раньше, а знания
21:26
ограничены. Что если мы сделаем
21:27
следующий шаг? Сегодня для нас,
21:30
математиков, комплексные числа, как мы
21:32
их называем, совсем не загадочны. Идея
21:36
проста. мы располагаем действительные
21:39
числа, то есть все целые числа, такие
21:41
как 0, 1 и так далее, все дроби 1/2 или
21:45
3/2 или
21:47
4/3, но и такие числа, как √рень вад или
21:51
пи, отмечаем их как точки на числовой
21:53
прямой. Мы рисуем, это одна из вечных
21:57
концепций, которые есть даже в нашей
22:00
скудной школьной программе по
22:02
математике. Но теперь представьте, что
22:04
вместо одной прямой одной оси есть и
22:07
вторая ось. И теперь у ваших чисел есть
22:11
две координаты: X и Y. И вы связываете с
22:15
этой точкой координаты X и Y. Число X —
22:19
это действительное число + y x √ -1. Это
22:23
графическое геометрическое представление
22:25
комплексных чисел, где нет ничего
22:27
таинственного. У математиков ушло ещё
22:30
два или три столетия, чтобы это понять.
22:32
Но поначалу это казалось совершенно
22:35
безумной идеей. Понимаете?
22:38
Получается, комплексное число — это
22:40
просто такое расширение действительных
22:42
числа и действительно и мнимая часть.
22:44
Это просто расширение взгляда на
22:46
математический мир. То, что их можно
22:49
складывать, складывая вещественные и
22:53
мнимые части по отдельности, это
22:55
понятно. Но есть также формула для
22:57
произведения, для умножения, которая
22:59
использует тот факт, что √
23:02
-1² равен -1. И удивительно то, что
23:06
произведение это умножение подчиняется
23:08
тем же правилам, тем же свойствам, что и
23:11
обычное умножение действительных чисел.
23:14
Например, для каждого нулевого числа
23:17
можно найти обратное. Например, у числа
23:19
пять есть обратная 1/5. Но и у 1 п,
23:23
например, тоже есть обратное. И это
23:26
всегда было в математической вселенной.
23:29
Но мы, люди, об этом не знали. И вот
23:31
появляется парень, который придаётся
23:34
умственной пытке и совершает прыжок со
23:36
скалы математического комфорта,
23:39
устоявшегося знания. Устоявшегося
23:41
знания. Да, и очевидно, что на каждый
23:45
такой плодотворный прыжок приходилось,
23:48
наверное, тысячи, которые ни к чему не
23:50
вели. Я не говорю, что каждый скачок —
23:53
это ведь стрельба по мишеням, да? Можно
23:56
попробовать сделать то же самое с
23:58
трёхмерным пространством. У нас есть
23:59
координаты X, Y и Z. И можно сказать:
24:03
«О, если есть одномерное пространство,
24:06
то для него есть числовая система — это
24:08
действительные числа».
24:10
Если оно двумерное, что геометрически
24:12
выглядит как этот стол, простирающийся
24:14
во всех направлениях, то это комплексные
24:17
числа, и мы можем определить сложение и
24:19
умножение, и они будут обладать теми же
24:22
свойствами, что и действительные числа.
24:24
А как насчёт трёхмерного пространства?
24:26
Можно ли также определить некую операцию
24:28
сложения и умножения на нём, чтобы эти
24:31
операции
24:33
удовлетворяли привычным нам свойствам? И
24:36
ответ: нет. можно определить сложение,
24:39
но не умножение, для которого было бы
24:41
обратное, например. Так что в плоскости
24:43
есть что-то особенное. В двумерности,
24:46
кстати, следующий вопрос. А как насчёт
24:49
четырёхмерного пространства? В
24:51
четырёхмерном пространстве тоже можно.
24:53
Вы получаете то, что называется
24:55
акватерионом, открытый ирландским
24:57
математиком Гамильтоном в XIX веке. И в
25:02
восьмимерном пространстве есть то, что
25:04
называется актанионами. Здесь то же
25:06
самое. Как интересно, что эти структуры
25:10
существуют в измерениях 1 2 4 и 8. Это
25:14
всё степени
25:15
двойки. 2² 4 а³ 8 — это одна из
25:20
величайших загадок
25:23
математики. Так что есть намёк на
25:26
то, чего не хватает в нашей школьной
25:30
программе. Это очень захватывающе.
25:34
Загадка. Загадка, да. восхищение перед
25:36
тайной. Другими словами, да, мы
25:39
разгадали эту загадку, поняв, что корень
25:41
из -1 реален и имеет смысл. Мы построили
25:46
теорию, чтобы описать эти
25:50
числа. Нашли ли мы теорию всего? Нет, но
25:53
мы открыли для себя другие загадки,
25:56
потому что мы приоткрыли завесу, так
25:59
сказать, раздвинули границы и подсветили
26:02
новые вещи, которых ранее не могли
26:05
видеть. Вот как я вижу процесс открытия
26:07
в математике. Это бесконечный
26:09
безграничный поиск.