Докладчик: Кузнецов Максим Борисович, Физический институт имени П. Н. Лебедева Российской академии наук, Междисциплинарный научный центр «Математическое моделирование в биомедицине» Российского Университета Дружбы Народов, младший научный сотрудник
Аннотация. Одним из самых значительных научных открытий последних десятилетий является открытие детерминированного хаоса в динамических системах. Суть этого открытия состоит в том, что полностью детерминированная динамическая система при отсутствии любых случайных воздействий на неё может вести себя непредсказуемым образом. Но у этой непредсказуемости при более внимательном рассмотрении удается найти ряд закономерностей в поведении системы, что отличает данное явление от классических случайных процессов. Подобные режимы наблюдаются в очень многих динамических системах, которые рассматриваются в математике, физике, химии, биологии, медицине, экономике и других областях.
Расшифровка видео
0:02
time и слушателя я включила да да хорошо спасибо
0:08
уважаемые слушатели я с удовольствием приветствую вас на нашем семинаре мы его
0:14
забыли возобновляем работу семинара после летних каникул и 1 докладчику нас
0:21
максим кузнецов которого мы конечно все хорошо знаем и максим нам расскажет про чрезвычайно
0:29
интересный вопрос а именно детерминированный хаос пожалуйста максим
0:35
до большое спасибо всем добрый день или вечер кто прочитает я сегодня решила взбить тенденцию и не
0:45
рассказывать как обычно о своих и данных работах рассказать наоборот выступить в
0:51
роли популяризатора науки и сказать пробует который я непосредственно не работаю по крайней мере пока но которое
0:58
мне в какой-то степени близко потому что я занимались ли они или динамикой и которая мне кажется очень интересно это
1:04
детерминированный хаос прежде всего стоит сказать что в истории науки долгое
1:10
время большинство ученых придерживались позиции детерминизм а согласно которому всего в мире предопределено
1:16
имеется только одно точно заданная возможное будущее под этого концепцию хорошо подходит механика ньютона и
1:23
собственно и ее популярности точность при описании процесса происходящих на бытовом уровне в широк и степени эта
1:29
идея подпитывали видным приверженцем абсолютно детерминизма был пьер-симон
1:34
la plage французский математик он постулировал что если бы какое-то
1:40
разумное существо смогла узнать положение и скорость техники змея то оно могло бы совершенно точно предсказать
1:46
все события вселенной и более того знать все события вселенной которые уже
1:52
произошли то есть говорим математическим языком этому существу надо было бы решить задачу коши для которые существует
1:58
только одно решение впоследствии такое существо получило название
2:04
демона вопрос сетчатка 5 софия стала не умер а по двум причинам одна из них это
2:10
развитие квантовой механики как именно устроен квантовый мир человек им уже знать попросту всего своей природы
2:18
ограниченности но очень похоже что в этом мире объективно присутствует случайности неопределенность по крайней
2:24
мере согласно наиболее широко принятый копенгагенской называемой интерпретации
2:29
этого легче не нравилось альберт эйнштейн который и при всем этом внёс огромный вклад в понтовый механику и
2:36
получил нобелевскую премию именно за квантовую теорию фотоэффекта но наличии неопределенности он принять
2:43
не мог что отражено в его известном выражение который наверняка все слышали бог не играет в кости на что другой
2:50
учёный известный них сбор ему парировал альберт
2:55
не указывайте богу что делать но даже если мы пренебрежем объективными
3:01
случайностями квантовой механики или предположим что на самом деле она также кондитер минирован а а есть такие теории
3:07
то просим можем ли мы в таком случае создаете такого демоново plaza который
3:14
знаю состояние всех частей сейчас будет знать все прошлое и все будущие все это
3:19
кажется мне хороший день для научно-фантастического романа я даже попытался найти вспомнить или найти
3:26
какие-нибудь примеры но к своему удивлению видим это довольно можно тема до фантастов и я нашел только один
3:33
пример который это появился буквально в этом году это художественный сериал который называется по английски df
3:40
по-русски он называется по-разному наиболее принято вроде разрабы то есть
3:45
это сленговое название для отдела разработок в крупной компании и там
3:51
ребята в этом отделе создали именно такое устройство аналог демоново паса и наткнулись на проблему в том числе
3:58
отсутствие какой бы-то ни было свободы воли тем не менее создатели этого
4:03
сериала сознательно проигнорировали а persimmon лапласа и не мог узнать о причине по
4:11
которой этот самый демон в принципе не может делать прогнозы с точностью которая имеет практический интерес
4:17
дело в том что деформированные динамические системы сами по себе не так уж просты и это свойство сильно мешала
4:24
уже самому ньютону всем хорошо известно что его закон и пдд валяется учить аналитическое решение для
4:30
системы из двух небесных объектов движущихся под действием силы гравитации таком
4:38
случае они движутся по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс и детские марс одного тела сильно больше
4:45
чем масса другого как например солнце по сравнению с землей провод ну земля вращается вокруг солнца по эллиптической
4:52
орбите в одном из фокусов в одном из фокусов которого находится солнце один
4:57
из законов кеплера задачи же 3 тем аналогично и в общем
5:02
случае не имеет решение в виде конечных аналитических выражений имеются лишь
5:09
некоторые отдельные точное решение для специальных случаев начальных скоростей координат и масс
5:16
объектах я нашел подборку состоящую из прошу прощения нашу подборку состоящую
5:24
из устойчивых периодических орбит вот некоторые из них довольно
5:29
замысловатый это аналитически решили просить это
5:37
численное решение вот некоторые простые обито ну вот они просто они устойчивы просто численно постольку поскольку они
5:43
вот него ходят через огромное количество периодов сядь и хобби
5:48
analytics он уже наверняка не не то наверняка существует там а потому
5:53
что можно представить это и расположить три планеты одинаковы и москвы на одинаковом расстоянии от центральной
6:00
точке как бы под углом 120 градусов 7 всем было mercedes стопа вот они очевидно пойдут так tempra
6:06
и на том задачи закончится или если они там начнут стало не так разбегу но какие-то посты решение очевидно есть
6:12
некоторые из этих простых решений показанных психических труда наверняка описываются аналитическое выражение но в
6:20
общем случае аналитических выражений не существует и я покажу один пример
6:26
хорошей прошел сеть есть два объекта масло которых очень и очень велика их смещением можно
6:34
пренебречь и есть некоторые вариации в очень очень очень маленькие варианты
6:40
положение 3 объекта который обладает ну маленькой сравнительно массы
6:48
изначально мы просто не можем различить эти разные третье объекты
6:53
но со временем их траектории расходятся расходятся продолжают расходиться или в
7:00
какой то момент мы собственно уже глядя вот на такую картинку наверняка и не
7:06
смогли бы понять что они начались буквально и очень очень очень больших
7:13
точек в общем да это интересный пример я
7:22
на самом деле не знал что при фактически здесь значит у вас две точки фиксирована
7:29
движется только одна . да да это не мой расчет это я принимаю это просто я не
7:36
знал что даже в таком простом случае настолько получается сложное движение до до этой верхней проблема года 4 и 5 3
7:45
тел да нет задача tt3 попортил это понятно но обычно когда говорят про задачи трех тел то все три движутся а
7:53
здесь вас здесь так красиво и вкусе когда пренебрегают движение внутрь я
8:02
имею что даже в таком простом случае получается сложное движение вот именно это я не знал до на википедии каждого на
8:10
основной странице посвященной этой проблеме есть по запутанная траектории всех вот трех планет которые просто
8:16
выглядит как какой-то клубок значит в чем что какие дополнительные служить это
8:24
налагает это налагает эти сложности что такие задачи становятся нерешаемые не
8:29
только аналитически но и чисто потому что дело в том что систан и вычисления всегда связаны с определенной конечной
8:35
прочностью а эта точность может очень сильно влиять на результат по прошествии вот достаточно времени челка
8:41
изменяйте начальную условия хоть миллионов знаки после запятой уходят миллиардном они все равно разойдутся
8:47
разве что придется подождать немного подольше чтобы было видно что они явно разошлись то есть существуют
8:53
ошибки прогноза и таких задачах неопределенности нарастают течением
8:58
времени на это впервые в явном виде обратил внимание французский математик и механик анри
9:04
ponka и он первый отметил что простого решения задачи трех тел вообще не существует
9:10
его известная цитата 1908 года формулирует это вот таким образом ничтожная причина искажающего в своей
9:17
малости вызывает значительные действия которые мы не в состоянии предугадать таким образом в некоторых
9:25
диссеминированный системах предсказания становится физически невозможным разумеется это применимо и к нашей
9:31
солнечной системе и ее в поведении подается она прогнозированию с хорошей точностью на горизонте только около
9:38
порядка пяти миллионов след для внутренних планет численные расчеты дают сильную апатичность их положении на
9:45
орбите особо проблемой является меркурий и вот я нашел одно из исследований
9:51
11-летней давности в том к сожалению тех красивых иллюстраций но что он там происходило во первых
9:57
видны из названия а во вторых этот объясню в нем проводилась моделирование на интервале времени порядка миллиардов
10:03
лет и рассчитывалась 2501 орбита
10:09
кстати видно мою мышку или нет чтобы задокументировать кусок видно или нет да очень хорошо
10:16
значит вот столько орбиз вот только рассчитывать вариантов начальным положением меркурия
10:22
который варьировался с шагом внимание 0,4 миллиметра при этом погрешность его
10:30
же измерений в реальности его астрономов составляет порядка метод и среди этих вариантов обнаружено было двадцать
10:37
решений то есть почти процент где орбита меркурия в итоге пересекает орбиты меркурия и марса пересекают орбиты до
10:46
венеры и марса и земли и марса есть такие варианты что mercury падает на солнце сталкиваются с другими
10:52
внутренними планетами либо дестабилизирует их орбиты так что они сами сталкиваются друг с другом и на
10:59
кстати на то что такие как украшение на то что такие катастрофические варианты
11:05
развития планетарных систем не исключены намекает то что в некоторых планетарных
11:10
системах газовые гиганты такие наши юпитер и сатурн они находятся на внутренних орбитах
11:16
близких 1 2 я хотя по логике образовываться они всегда должны также как и наши юпитер и
11:23
сатурн на внешних орбитах вот разумеется никак невозможно доказать но есть предположение что такая
11:30
хаотическая динамика остальных планет является мы виной максим практический
11:37
вопрос важных исследований цвет когда возможно ближайший останками но как
11:44
показывают любые растет в течение пяти миллионов лет нам беспокоиться не о чем что до 5 миллионов они в хорошей
11:53
точностью сходятся все но в целом да для будущих поколений эти вещи пострашнее коронавирус то и
11:59
стошнить любой войны наши стоишь хорошо спасибо вы нас 1 как краска себя
12:06
да это пример работы полагающийся на компьютерном моделировании и
12:11
неудивительно что исследование подобных систем получила в носитель импульс именно благодаря развитию компьютерных
12:18
технологий во второй половине прошлого века выдающимся ученым в этом отношении является эдвард нортон лорен в
12:25
баронствах науки много это наверно world на котором пока не free большинство из
12:31
вас ничего не слышала но он известен как автор выражения эффект бабочки с которым
12:36
наверняка им все знакомые и добыл расчищать теме научной фантастики наверняка он и его ввел в оборот
12:46
основывать на проведение на рассказе брэдбери который на тот момент выслал 10
12:52
лет назад тархов называется и грянул гром где насколько мне не изменяет память какая такая пара ты отправляла
12:59
путешественников прошлое один из них накуролесил раздавил бабочку и сильно изменил мир очень далекого будущего в
13:08
военной жизни обычно говорят что-то вроде того что взмах крыльев бабочки где нибудь
13:14
допустим там сша может в итоге вызвать лавину эффектов которые приведут к даже
13:21
мотор надо совсем на другом месте земного шара
13:28
как он собственно как он стало известным adwords торрент он работал он был
13:36
математиком и работал в пятидесятых шестидесятых годах прошлого века метеорологам занимался численным
13:43
прогнозирование погоды тогда это было довольно новое направление и про него было мало что и
13:49
верхний он занимался именно ритер чем как это сейчас называют исследование нарушений у него была основная модель
13:57
состоит из 12 обыкновенных дифференциальных уравнений я не буду брать какие там были
14:03
переменные я не знаю но какие-то связанные очевидно погоды там температура
14:09
влажность уровень осадков давление что-нибудь такое а коллеги у кого-то очень сильно я даже
14:17
сам себя . я больше это сказывается на семинаре не могли бы
14:23
проверить все свои микрофоны пожалуйста а в общем в один прекрасный исторический
14:31
день ложек он решил заново прогнать собственно свою модель по имеющимся у
14:38
него начальным данным и обнаружил что когда он эти данные в компьютер то получил вот такие расходящиеся
14:44
кривые соответствующие ну какой-то из переменных и всем было дело а дело было
14:50
в том что компьютер хранил данные с точностью до 6 знаков после запятой
14:55
on распечатка выводил и с точностью до третьего знака и когда уран стрел эти данные обратно мы получили вам он
15:01
получил такой же sex который вот мы уже видели в эти стены симуляциях он решил
15:08
что наверно это связано с большой сложности его модели напомни там было двенадцать уравнений и он стал
15:15
постепенно редуцировать и и дату меньшего и меньшего количества уравнение и в итоге пришел к трем
15:23
уравнениям но казалось что хаотическая динамика в системе присутствует и тогда и вот собственно вот его модель здесь
15:31
написано не суть важно как она сама выглядит важно что фазовая траектория точки если нужно объяснить что это такое
15:38
вы мне скажете я надеюсь что всем понятно фазовая траектория точки в
15:43
трёхмерном трубы трехмерном пространстве ацтой компоненты значительное пространство а вот ну ведется вот каким то таким
15:51
образом и правда любопытно эта фигура а также напоминает илья бабочки что также наводят на различные
16:00
химические размышления до такая система
16:05
обладает также тратить в и динамикой и и что важно отметить что такая система качественно очень отличается от скажем
16:13
солнечной системы в том смысле что ну любую планетарную систему вот хороший точности можно считать консервативным то
16:20
есть не обменивающиеся энергии с окружающими и и и системами и а эта
16:28
система диссипативной а что означает что оно само по себе со временем теряет
16:33
энергию то есть я научным языком происходит здесь просто энергии энергия переходит в тепло
16:39
но а если не пассивная система открытия она также может и приобретать энергию
16:46
извне и такие системы обладают очень интересным поведением достаточно сказать
16:51
что примерами диссипативных систем являются все живые объекты в том числе и мы с вами и мы функционируем совершенно
16:59
не так как предполагают законы классической термодинамики но и спаси
17:05
тема для отдельного семинара что важно отметить и сейчас это что диссипативные системы при
17:10
времени и стремящемся к бесконечности мяч стремятся точке траектории
17:16
деспотичной системы стремятся к некоторым множеством называемым аттрактором вот эта вещь то есть то к
17:24
чему стремится эта траектория сама такая нарисовать не могу помыть иным причинам 0 такой трактор называется
17:32
аттрактором лоренца через лоренса и это самый здесь например так называемых
17:37
странно а трапперов и слова странный буквально означает то что в системе
17:43
реализуется хаотическое поведение максим если можно я с вами большой
17:52
уточнение по поводу странных аттракторов все-таки у этого термина есть более точный смысл это не просто какая то
17:59
хаотическая динамика а это означает следующее что есть аттрактор то есть
18:06
есть некое множество которому траектории притягивают и извне в этом смысле это
18:11
трактор но внутри этого множества тире траектории расходятся и вы посещаете
18:17
следующий фаза хорошо тогда я снимаю свое замечание продолжительность да
18:24
немножко больше более конкретной математики но все-таки я постараюсь не
18:29
углубляться не какие глубокие и термины операцию на пальцах здесь такие
18:40
характеристики для количественного описания поведения систем которые называются показателями липунова честь
18:47
русского ученого и я бы на пальцах эти
18:52
показатели характеризуют скорость экспоненциального удаления друг от друга
18:58
траекторий которые изначально находятся бесконечно близка ну либо удаление либо сближать либо их
19:07
нейтрального включения издания не раскроется и не убегают важная вешь
19:14
который надо понять если этот показатель если показатели липунова для определенного направления имеет знак
19:21
минус то две траектории смещенный друг от друга в этом направлении но
19:27
бесконечно близко друг друга смещенные они сходятся если он имеет знак плюс они
19:34
расходятся если 0 встретите манер остаются на одном и том же расстоянии
19:42
чтобы система приходила на трактор видную соответственно имела физическим лицом как открытая диссипативной а
19:49
система сумма показатель алифанова должна быть обретать при этом количество показатели липунова равно проблемности
19:56
системы то есть муж сколько перемен нас есть в системе
20:02
обыкновенных дифференциальных уравнений образующих систему в для одного уравнения есть только один покрылся
20:10
липунова и он чтобы система пришла рад расово может иметь только знак минус и
20:16
этот трактор может быть только точкой и в двухмерной системе и сейчас я для
20:25
наглядности покажу это может существовать как . так а предельный цикл
20:31
вот пример фазового портрета системы в которой есть абстракция . есть аттрактор предельный цикл ну
20:38
довольно хитрый форму план на случай значит съезд и мы возьмем изначальную объясняю на пальцах без какого-либо без
20:49
какой-либо то при длительном математическую точность если мы возьмем и за начальную точку вот
20:54
этой красной 3 вскоре и возьмись во вторую точку сдвинутую в любом
21:00
направлении то обе траектории исходящих из этих точек в итоге придут ну будут
21:06
стремиться к от актру являющемуся точкой расстояние между этими точками будет
21:11
уменьшаться значит что оба показателя липунова отрицательно если же мы возьмем
21:17
вот эту синюю точку и сначала сдвинемся в направлении ну условно
21:23
перпендикулярном вот этой траектории то мы получим что эти точки тоже сходятся и
21:29
в итоге бригада траектории спущена из этих точек со временем сходятся и вот движутся по
21:35
этому циклу и становятся все ближе ближе ближе ближе к дубу этом направлении соответствует отрицательный показатель
21:41
на канал а если мы возьмем . уже сдвинутую в направлении этой территории
21:48
условно куда играй и есть такое направление при котором вот эти две
21:54
точки они будут находиться двигаться по циклу находиться друг от друга на в таком-то расстоянии и в среднем они
22:01
будут слышать проявите скольжения и расстояния между ними будет оставаться каким-то таким же конечно показатели q
22:06
nova для этого направления равен нулю сейчас скажите тут что я плохо вижу
22:12
картинку тут внутри есть что неустойчивый предельный цикл 4 нет нет
22:25
вот сюда к фокусу часть точек к синему цвету значит тут вот наверное вот-этот где-то
22:31
посредине траектория здесь где-то здесь
22:37
тракторов есть множество притяжение которые разделены вот ну данном случае не устроили
22:43
неустойчивым предельным циклом dominator
22:49
а на но если однако . уже находится в какому-то бассейне протяжении то и бесконечно близка к ней . будет тоже
22:56
стремится к такому жертва ну это все математические тонкости это сейчас не
23:02
так важна я главное хочу передать основную суть для предельного цикла
23:07
суть такая что дыхательного цикла до замены сетей показатели панова отрицательный и 0 но в трехмерной
23:15
трехкомпонентной системе соответственно предельного цикла соответствует показателя либо нового их сигнатура так сказать минус минус 0
23:22
но в трехкомпонентных системах появляются еще два типа аттракторов это
23:28
странный аттрактор и тор тор реализуется когда у системы есть так
23:35
называемое квази периодическое поведение объясню на пальце то что это значит допустим у нас есть система которые
23:43
соответствуют 3 компонента системы которая соответствует два периода движение вот один период соответствует вот такого
23:49
движения фазовом пространстве а другой вот такому если эти периоды кратность
23:55
друг другу как в данном случае то у нас со временем да . вернется в саму себя и
24:03
продолжит движение все-таки по предельному циклу более имеющим более
24:08
хитов по геометрии но все-таки предельно muted если же у нас периоды этих но по два
24:15
периода некратный друг другу о со временем у меня к сожалению да
24:21
численность точность имеющиеся в программе не позволяет от наглядно показать но надеюсь смысл понятия что со
24:28
временем траектория заметет собственно весь торт то есть ведь хлор будет
24:34
являться аттрактором да только там не кратность а там рациональное соотношение
24:44
социальная саша 5 2 тоже сходятся потому что через десять ну очень просто потому
24:52
что они со временем придет в ту же самую
24:57
точку значит такое движение сквозь и
25:05
периодическое имеет свойство органичности я не буду строго объяснять что это такое но отмечу
25:10
главное свойство организм систем еще раз это что фазовая кривая органическая система
25:16
равномерно и плотно дополняет в данном случае чего тракта но при этом такое
25:22
движение не является хаотическим потому что если вы сначала зададим некоторую точку с точностью в условный миллиметр
25:29
но мы сможем сказать вот только где она находится через с такой же точностью вы
25:35
словно миллиметр через вообще любое время при хаотическом движении
25:41
да есть один положительный показатель липунова то есть такое направление я рад
25:48
при бесконечно малом смещение по которому траектории будут расходиться
25:54
экспоненциально быстро оставаясь при этом в ограниченной области фазового
25:59
пространства вот например у это проиллюстрированы здесь с этим же самым
26:04
та же самая система должен со страхом вот здесь у меня задано начальное условие которые немножко отличаются
26:12
ну можно конечно дать еще меньше отличающимся все равно через какое-то время к значений какой-то переменной
26:19
вот начнет в этих двух прогонах отличаться и потом собственно эти pro 2
26:27
прогона будет очень сложно сказать взять и только на эту часть что они начались из каких-то очень очень близких
26:34
начальных условий да при этом система остается в
26:40
ограниченной области по запросу то есть не уходит на бесконечность этот от рака
26:46
занимает то но объем у него нет ну вобщем
26:52
занимает в итоге
26:59
танк что дальше от для 3-х планетных систем старший
27:04
показатель липунова совпадает с величиной который называется именем еще двух известных русских ученых
27:10
колмогорова и синая дайн лично обратная энтропии помогать на
27:17
является количественной характеристикой того временного промежутка для которого прогнозирование в принципе возможность
27:24
свою хороший точности а после описать после прошествия временном промежутке описания система может быть
27:30
только вероятности я сейчас да не соврать но мне кажется что для например прогнозов погоды
27:37
ну соответствующая величина равна примерно двум или трем неделям то есть
27:43
что это означает это означает что он ну применимо прогнозы погоды что зная
27:48
состояние погоды сейчас нужно делать хорошие предсказания только на грубо
27:53
говоря 2 не более чем на две три недели а если вы хотите сделать прогноз по два месяца то
27:58
выезд больше большей вероятностью получите одну получите более корректный
28:03
прогноз больше вероятности если просто усреднить и показания там за много лет в точно ту же самую
28:11
календарную дату ну и тогда небольшая велика
28:19
кстати да я картиной выдающийся русский математик он обладатель аналога
28:25
нобелевской премии для математиков у которой нет на близких время для математиков но есть время абеля он
28:31
получил четырнадцатом году за изучение системы которые широком кругу называются миллиарда синая что это такое опять же
28:39
на пальцах эти системных который есть множество как бы абсолютно упругих ну
28:46
грубо говоря шариков которые взаимодействуют со стенками этом бильярда по простому законов угол падения равен углу
28:52
отношения к summer в другом не взаимодействий по бильярда фу которых
28:57
стенки выпуклы внутрь geometric стенок приводит к избеганию
29:04
траектории при очень экспоненциальным разбегание траектории при очень малых отклонениях углов падения и собственно так и
29:11
системах реализуются хаотическое поведение да такие системы кстати консервативных то есть энергия в их
29:17
никуда не уходят и не станут они приходят вот я пока покажу один раз покажу пример как бы функционирование
29:24
такого бильярда здесь будет показан график количества этих шаль точек в красной красном
29:33
прямоугольнике в котором изначально они все и находятся все их 500 штук они изначально находятся вот в этой области
29:38
день вы спокойно сколько в этой области точек будет далее 1 распределение
29:46
гектаров скорости по направлению вот начало она имеет вот такой немного не отличается что происходит со временем
29:55
со временем происходит то что при по прошествии значительного промежутка
30:01
времени гистограмма скоростей постепенно выравнивается и количество точек внутри
30:08
этого прямоугольника стремится к некоторые постоянной величине но
30:13
разумеется поскольку здесь дискретное количеством шаров то она
30:18
вокруг этой она вокруг это вечный пустует если бы их было бесконечное число то в
30:24
плотности частиц стабилизировалась бы со временем и было бы одинаково не только в
30:30
этом прямоугольнике но и в любой области такого же такой же площади это стоит
30:38
называется перемешиванием и оно свойственно именно хаотическом у движению то есть цель квази
30:45
периодическое и хаотическое движение обладают ирга личностью со временем . заметает всю доступную область
30:53
но хаотическое движение также обладает и вот таким перемешиванием
31:00
я движусь достаточно быстро и есть одна тема еще которое хотел бы успеть
31:06
рассказать ну я ее прекрасно пересказать и это собственно тема разогревающая
31:13
переход хаотического но движению в системе существует несколько общих
31:20
сценариях того как в динамической системе в которой при определенном наборе параметров нет хаотической
31:27
динамики она может появиться при изменении параметров и я расскажу про один
31:33
самые пожары известные и самые доступные для объяснения
31:39
но для этого нужно немного будет отвлечься и просматривать сначала не динамическую систему составлены из общей
31:46
дифференциальных уравнений а дискретное отображение составленная из одного уравнения которое
31:54
задает ряд чисел потом разумеется скажу вам как они друг с другом связаны и
32:00
интересные выводы получаются ну получились всю в ученых которые это
32:06
все изучали значит рассмотрим классическая так называемое
32:11
логистическое отображение наверняка многие из вас слышали про логистическое уравнение это его
32:17
дискретный она вот данное отображение очень популярного стала во второй
32:24
половине прошлого века у биологов так как это очень простая модель которая как
32:30
бы имитирует демографическое поведение какой-либо популяции и его изменения со временем то
32:39
есть грубо говоря если мы по разложим скобки в правой части этого мы получим два члена
32:46
первый из которых а может соответствовать может
32:52
соответствовать рождению новых особей популяции их
32:59
количество будет увеличиваться экспоненциально ну в год от году или какой другой временной промежуток мы выберем но да она увеличивалась бы
33:08
экспоненциально если бы не 2 серы который отвечает за гибель этих самых особей или скорость этой самой гибели в
33:16
данном случае она тем выше чем больше особей этой популяции присутствуют ну
33:22
скажем такой реализуются если между вами есть конкуренция и они живут на ограниченном пространстве
33:29
либо если у них ведет борьба за ограниченные ресурсы либо наверное можно придумать что то еще
33:36
но нас не интересует нас интересуется но как математическое выражение который
33:42
выглядит вот таким образом значит динамику
33:48
любого одномерного отображения можно наглядно представить графически что сделано здесь если построить на
33:56
плоскости по всем отложенные интера значение n + 1 если построить на
34:02
плоскости вот это саму функцию да здесь на построенном для не помню какого какое-то значения но на находится
34:08
в пределах от нуля до единицы и также построить прямую xl + 1 равен x энтому то можно показать
34:18
последовательные операции вот этого блажи отображения представить помощью так
34:24
называемой диаграммы в мире или или лесенке в мире как это делается начинаю с
34:31
какой-нибудь точке x 0 значит смотрим чему равно x 1 и дальше
34:37
превращаем x 1 x 0 путем как бы вот такого перескок она эту биссектрис ту
34:45
теперь вот это уже становится x первым а чему равно x 1 мы узнаём
34:50
вот проводя вертикальную линию получаем 2 и так далее так далее так далее и в
34:55
данном случае мы обнаруживаем что он такой ряд сходится к устойчивым точки
35:01
равной нулю и будет сходиться собственно при любом начальном значение от нуля до
35:07
единицы когда мы повышаем значение в этом
35:15
управляющего параметрами и когда становится выше единицы 100.0 теряет
35:20
устойчивость зато появляется другая устойчивая . равная единице минус один намек на то
35:26
есть не оставь держит до так и здесь пара
35:35
минут и запереть дверь я буду через 10 секунд так до прошу прощения
35:52
самоизоляция накладывает определенные ограничения и так возникают когда + 0
36:00
это больше единицы возникает новая устойчивая . ну точнее оно было раньше но мы
36:05
осматриваем это отображение в области от нуля до единицы и вот тогда это то что
36:11
приходится эту область с увеличением параметра на это значение . дочке растет
36:18
растет растет растет пока не начинается очень интересные вещи они начинаются
36:24
когда не становится чуть чуть больше тройки тогда это неподвижная точка становится
36:30
неустойчивой но появляется устойчивый двукратной цикл которые образуются две так называемые
36:38
двукратные неподвижные точки вот это выражение с двукратной неподвижной точке
36:43
означает что эти точки будут неподвижные для отображения такого вида которая
36:50
получится если мы здесь собственно и m +
36:55
1 заменим на их n плюс 2 оригинального отображения то есть возьмем и их и вот
37:03
этот xl + 1 поставим еще раз сюда же вот обе эти точки являются неподвижными они
37:10
находятся вот здесь и здесь являются неподвижными для отображения вот этого и
37:16
квадрат подружку есть мы продолжим
37:21
угличе 8 ум то получится новые интересные вещи когда мы дойдем до значения равного
37:27
это плюс корень из 6 это где-то 345 ну чуть меньше
37:34
тогда происходит так называемое удвоение периода то есть возникает
37:39
не 2 красной а четырехкратный цикла содержащий четыре точки в данном случае вот эти довольно близки но это разные
37:45
части продолжим двигаться дальше и уже через гораздо меньший промежуток
37:52
газа через меньше отрезок на ну как бы на гораздо через меньше
37:58
изменения значения не появится еще одна вдвойне периода появится восьмикратный
38:04
цикл и дальше такие удвоения будет происходить все быстрее и быстрее и быстрее и на самом
38:10
деле уже при значении мяу равным примерно 357
38:18
период этого цикла станет бесконечным и при дальнейшем увеличении параметра
38:23
миус движения будет а периодическим пример такого движения показан здесь когда мы будем далее
38:29
увеличивать этот параметр та область вот этого периодически продвижения будет увеличиваться и когда
38:36
не устанет равна четверки она станет совпадать с отрезком от нуля до единицы
38:42
но и это еще не все если мы построим вот такую карту
38:47
ну карта сито-рю карту потому что по английской литературе она называется
38:53
лоджистик map как бы логистическая карта но по-русски приходится писать
38:58
долго дислокационной диаграмма логистического отображения все это значит здесь опрошенным сначала
39:04
устойчивая . потом все точки разные кратности потом все
39:11
области вот этого хаотического движения сметающий разной области которые получились при изменении управляющего
39:17
параметра но который р-оне ну ну а в обмене точно такой же при смене правишь управиться то
39:24
есть вот здесь при тройки происходят первые два я не пью до при где-то 3 45 следующие при дальше
39:32
дальше наступает как от презентации и бесконечный период и дальше хаос котором
39:40
обнаруживается что существует вот такие окна вот так они видят выглядят при так
39:46
выглядит эта часть преувеличений в которых как доказано существует цикла
39:53
вообще любых периодов то и здесь например выделяются циклы циклы
40:00
кратности 3 которые дальше становится шестью и так далее и двенадцатью и так
40:06
далее тогда with a great из 3 на 2 в любой степени есть здесь здесь есть ну 6
40:11
это уже неинтересно тоже была вот здесь есть окно с пятикратным циклом здесь два
40:18
три четыре пять шесть семь и так далее но разумеется чем больше число среднем
40:24
тем сложнее его разбились и тем большую большую большую точность нужно иметь
40:31
численных расчетов для того чтобы его найти
40:37
я для наглядности изобразил здесь несколько примеров самых простых
40:42
ну нетривиальных циклов то есть радости 3 5 6 7 вот они а вот соответствующие
40:49
отображение как бы полученные трехкратным
40:54
пятикратным семикратным и шестикратным своим мнением соответствующего логистического отображения и графики соответствующие с
41:01
этим отображением касаются палитры биссектрисы соответственно 3 5 7
41:06
и 6 . то есть внутри этой области хаотического деления существуют области вполне себе
41:14
трагического движения и что горы что
41:19
интересно изучением вот этой системы занимался митчелл fidelbaum американский
41:26
математик который умер буквально в прошлом году и он обнаружил ну он изучил
41:34
до поведение поведение беру к сонной диаграммы и выиграл две константы
41:41
названные его именем 1 константа характеризует как бы
41:52
вот от какой скоростью
41:58
когда бы как именно продвижение этом управляющим параметру
42:03
насколько чаще происходит все вот эти вот здесь указать вот такой презент
42:09
м т м минус 1 и так далее это
42:15
значение параметров и которая происходит соответствующие удвою и не а периода без
42:22
указ удвоение периода и вот расстояние между расстояние до следующей бифуркации
42:29
все умещается мельчать совершенства и предел отношения вот этих двух соседних расстояние равен примерно 467 100 вторую
42:39
константу он получил введя вот такие расстояния между линий горизонтальной
42:45
линией координата равна 2 2 или ближайшем к ней элементом а цикла периода 2 в степени 1
42:55
2 в степени 2 4 2 в степени 3 8 и так далее
43:01
оказалось что это бифуркация диаграммы является фракталом то есть если мы
43:10
делаем преобразование которое вот переведет ее и ее часть в и уже часть
43:19
переведя вот этот отрезок d1 до d2 и перевернув ее то
43:25
части соответствующей части это без рубцов диаграммы совпадут сами с собой и так далее и так далее
43:31
тогда да является фактором и вот это вот вторая константа хидимба ума является
43:37
пределом отношения вот этих последующих отрезков но она отрицательная потому что
43:44
меняется направление меняется позиция
43:50
вот этих ближайших точек относительно вот эти вот прямой 1 2
43:59
чему же это все интересно оказалось а потому что это казалось применимо не только к этому конкретному логистическом
44:07
у отображению и даже не только к отображением вообще чтобы это передать
44:12
мне нужно ввести еще одно понятие отображения фантаре
44:18
что она а означает это как раз такое атакой такой метод и существует который
44:25
позволяет динамическую систему 6 к дискретному
44:32
отображению как это делается это работает для систем тремя и более степенями свободы в ну сделать от
44:39
разумеется чистки на основном выбирается в системе а некоторые двумерные секущие
44:46
или рассматриваются последовательные пересечения фазовой траектории этой секущей только с определенного
44:53
направления вот он 11 пересекла этого провели 2 1 3
45:01
вот получается некоторое отображение это прорываются отображением анкаре и по
45:06
нижней пряди на него можно сразу сделать вывод может математически неточный но
45:12
когда на качественном уровне сделать вывод о движении такой система периодическая накладе периодическое или
45:19
хаотическое а значит
45:25
да и существует такое самом состоянии принимать что существует некоторая
45:31
неявный функция связывающие последовательные а положение вот этих
45:36
точек между собой существует некоторая дискретное отображение связанные с
45:42
исходной динамической системой и теперь 2 конечной мысли которые собственных я
45:51
хотел бы сказать что во-первых до последовательность удвоения периода такая наблюдается не только в
45:57
логистическом отображение но и вообще в любых дискретных отображения обладающих
46:03
низкими условиями дифференцируем отображения с единственным максимумом аппроксимированной квадратичной функцией
46:10
а я напоминаю просто отображение которые мы рассматривали из самого представляла себя квадратичную
46:15
функцию нелогичный мелодичный максимум и вот нужно только вот еще некоторые
46:20
ограничения которые все-таки час выполняется на парте ну для реальных систем от модели
46:27
реальных систем это раз и константы fidelbaum а для таких
46:33
отображений будут точно такими же как и для логистических отображение системы быть вести себя точно так же будет
46:39
кавказ бифуркации удвоения ведущий к циклу бесконечного периода затем будет
46:44
наблюдаться окна любого периода и так далее что натягом будет выглядеть на
46:50
качество уровня тоже а что касается динамических систем то а
46:56
поскольку для появления такого перехода карта достаточно чтобы система
47:02
рассматриваемая была близка к такому отображению своем
47:08
сечение пуанкаре то последовательной такие последовательности такие оказываются
47:13
присущи самым разнообразным нелинейных системах как модельным так и реальным ну
47:20
разумеется только что в реальности зачастую сложно наблюдать эти эффекты
47:26
дальше нескольких удвоение но это зависит уже от самой системы и
47:31
как бы качество проведенной экспериментальной работы чтобы не быть голословным я покажу вот
47:37
уже одну динамическую систему ну не суть важно какими уравнениями она задается есть главное в ней один параметр при
47:45
определенном значении которого реализуется тактическое поведение когда
47:51
мы увеличиваем этот параметр происходит первая инструкция удвоение периода и вот здесь уже система обладает
47:56
а да девица вот по такому циклу удвоенного
48:06
периода ну условно называем у цикл удвоенного периода если мы повышаем этот
48:11
параметр дальше происходит все следующие бифуркации здесь уже вычет верене и
48:17
периода усмирения что-то пропустил сейчас секунду здесь до в усмирение
48:23
периода и со временем появляется хаотическое движение
48:32
ну если мы повышаем этот параметр дальше но мы можем найти любые
48:37
вот например я нашел окно периода 3
48:43
периоды 6 и где-то там тогда мы пойдем
48:48
еще дальше у нас будет уже ну если еще до и ищи ещё дальше посчитать то это за
48:54
то какова будет полностью заполнен так же как был заполнен отрезок от нуля до единицы
49:01
собственно да это все что я хотел сегодня рассказать спасибо большое за
49:06
ваше внимание и у нас наверное там все время для по четыре дня до спасибо
49:13
максим за очень интересный доклад давайте поблагодарим крачек а вот и
49:20
действительно тут много всяких интересных вопросов вы не упомянули в частности по то что называется
49:26
последовательности жарковского вы слышали то ой я да я такое слышал но
49:33
я вот не разбирался детально это что-то связанное они воспарят порядок трио период 3 рождают aus
49:39
да то есть вот когда идет смотрите вот то что показывали логистическом
49:45
отображение последовательность бифуркации удвоения периода и первый
49:52
переход к хаосу а после этого начинаются периодически опять колебания
50:03
здесь но неважно значит идет сначала 248
50:09
и так далее то есть 2 в степени n переход к усам за хаусом начинается
50:15
опять упорядоченное движение но не 2 в степени n а некий множитель на 2 в
50:22
степень n ну допустим 7 на 2 в степени n
50:27
опять перехода к осаде находится 7 до опять переход к хаосу
50:34
потом снова начинается упорядоченное движение и множитель другой допустим
50:41
прядь на 2 в степени n а по последние в этой цепочке будет 3 на
50:47
2 в степени n вот это вот называется последовательность жарковского вот эти
50:52
вот разные-разные множителя до разные периоды вот и действительно вот в таком логистическом отображение действительно
51:01
вот это последняя там эта тройка вот это по поэтому говорят что тройка это признак хаоса да но в принципе там
51:11
каждый раз переходит переходит происходит переход хаосу вот но есть но потом возвращаются к
51:18
периодическим колебанием с разными вот этими вот перри периодами удвоения так далее так далее вот это вот связано с
51:25
последовательность жарковского тоже можно его помянуть жарковский
51:30
это ранее советский потом украинский математик мне кажется он даже еще жив
51:37
хотя это конечно старые очень работает я вот даже кстати не знал что в гейбом
51:44
только в прошлом году умер он тоже знаете как оспаривается когда точно не знаешь услышал какой-то такой / от
51:55
просто как раз тот момент когда вот это вот какой темой дата я конечно не знал
52:01
да вот это значит вот последователь жарковского это один интересный момент
52:06
можно было немного тоже я не знаю вы предполагали нет немножко про
52:12
гиперболический хаос рассказать но упомянуть по крайней мере гиперболический хаос в общем это
52:21
это такой структурно устойчивый хаос и майся это не это не всегда так как 5
52:27
структура хауса она сохраняется или не сохраняется при малом изменении при
52:33
малом изменении параметров если сохраняется это называется гиперболический хаос вот и это некая
52:40
важная тоже характеристика потому что она позволяя все-таки сказать как
52:46
система будет себя вести при малых изменениях параметров
52:52
последнее замечание которая хотел сделать том что как совершенно справедливо заметили вот интересы этих
52:58
результатов они как они с не сами по себе но также потому что это все
53:04
встречается во многих других задачах не только для простого дискретного логистического отображения очень много
53:11
есть работ по хаосу в моделях описываемых уравнений в частных
53:18
производных но вот мы допустим несколькими такими
53:23
задачами занимаюсь очень известно это хорошо допустим задачах горения распространяется города вами не
53:30
распространяется под пламени вот там наблюдаются тоже бифуркаций удобрения периода переход house of
53:37
последовательности жарковского число сидит балаба то есть а вот это вот что можно
53:42
вся эта кухня там присутствует что очень интересно что может в зависимости от
53:49
задачи детали могут немного меняться то есть когда мы говорим про последовательности жарковского то они не
53:56
всегда в точности такие как у логистического отображения они могут
54:02
меняться это очень интересно конечно вот что от задачи к задаче там есть могут
54:10
быть какие-то отличия вот последние годы вот из того что мы занимались в задаче
54:18
теплового взрыва как ни странно но тепловой взрыв это отдельная история
54:23
может быть я я об этом напрочь забыл но может быть я когда-нибудь расскажу вам
54:28
про тепловой взрыв это очень интересно тоже вот и мы занимались тоже до
54:34
недавнего времени счетом задача теплового взрыва вот и там тоже наблюдаются всякие вот
54:40
такие вещи бифуркации двое не периода переход к ас а потом вот эти окна
54:48
периодически в хаотическом поведение все и так далее так далее там много всяких
54:53
других эффектов тоже наблюдается так что действительно это очень интересно все
55:00
и очень хорошо что вы нам про это рассказали вот было бы хорошо нам время от времени
55:07
возвращаться вот к этим вопросам связанным бизнес с сложной динамика в
55:12
разных задачах хорошо пожалуйста если у нас у слушателей есть еще вопросы комментарии лета пожалуйста задавайте
55:28
нас в течение какого-то времени присутствовала среди докладчиков галина геннадьевна лазера я я я хотел
55:36
спросить про но в частности вот вы рассказывали про
55:41
задачи трех тел а посколько за занимается моделированием движение галактик вот я я хотел спросить как это
55:48
все происходит для галактик вот мы тем временем она исчезла хорошо ладно пожалуйста товарищи если
55:55
если есть вопросы комментарии пожалуйста задавайте а бы немножко еще обождем если
56:02
вопросов больше нет и комментариев то давайте поблагодарим максима тогда еще раз за интерес к доклад на этом мы с
56:13
вами прощаемся анастасия что у нас в программе в дальнейшей какие у нас
56:19
намечаются доклады какие то есть на ближайшие недели октября валерия сказала
56:25
уже что хорошо себя чувствует так что мы оставляем metaplot 1 октября это продолжение того что мы слушали до этого
56:32
кардиограмма на 8 октября предполагает что будет уступать руфина третьякова
56:39
анна аспирантка кирова геннадий алексеевич я у нее тема она занималась течением brimful
56:46
лимфатическом узле я предполагаю что то про это и будет рассказывать
56:52
хорошо спасибо ну по октябрь а второй доклад да понятно хорошо хорошо тогда спасибо
56:59
еще раз докладчику всем присутствующим и встречаемся через неделю до свидания
57:12
это описано