Разбираем математический анализ, линейную алгебру, аналитическую геометрию, дифференциальные уравнения, интегралы и многое другое.
*https://www.youtube.com/shorts/LMgNEsnGfo0
**https://300.ya.ru/v_fsgLZTQ2
таймкоды
00:00:00 Введение в пределы
- Разница между пределом последовательности и пределом функции.
- В последовательностях аргумент стремится к бесконечности, в функциях — к любому действительному числу.
00:00:21 Пример с гиперболой
- Предел функции y = 1/x при x, стремящемся к +∞, равен 0.
- Предел при x, стремящемся к 2, равен 1/2.
00:00:54 Случай x, стремящегося к нулю
- График гиперболы при положительных x улетает вверх, при отрицательных — вниз, поэтому предела нет.
- Односторонние пределы: при x, стремящемся к нулю справа, предел равен +∞, слева — -∞.
00:01:30 Непрерывность функции
- Если левосторонние и правосторонние пределы совпадают, они равны пределу функции в данной точке.
- Если значение функции совпадает с односторонними пределами, функция называется непрерывной в этой точке.
00:01:30 Заключение
- Призыв подписаться и до завтра.
- Анонс следующего видео о классификации точек разрыва функций.
Transcript
0:00
В чём разница между пределом
0:01
последовательности и пределом функции? Я
0:03
Максима это шестнадцатый день рубрики 50
0:05
дней вышмата. Мы помним, что при
0:07
вычислении пределов последовательности
0:09
мы устремляли их аргумент, то есть по
0:11
бесконечности, постепенно его
0:13
увеличивая. В функциях же всё намного
0:15
более интересно, потому что их аргумент
0:17
может теперь стремиться к любому
0:18
действительному числу, а не только к
0:20
бесконечности. Давайте рассмотрим на
0:22
примере гиперболы знакомой вам со школы,
0:24
то есть y = 1/ x, и попробуем найти её
0:28
предел при иксе, стремящемся к плюс
0:29
бесконечности. Получается лимит x
0:31
стремится к плюс бесконечности 1/ x.
0:34
Очевидно, он равен нулю, так как
0:35
знаменатель стремится к бесконечности.
0:37
Допустим, предел при иксе, стремящемся к
0:39
двойке от нашей гиперболы, то есть 1/ x.
0:42
Как видно, мы можем подставить двоечку
0:44
внутрь предела и получим 1/2. Значит,
0:47
наша гипербола 1/ x стремится к 1/2 при
0:51
иксе, стремящемся к двойке. Но и на этом
0:53
мы не закончим. Давайте рассмотрим более
0:55
интересный случай, а именно случай при
0:57
иксе, стремящемся к нулю. Если
0:59
посмотреть на график гипербола, видно,
1:01
что при положительных иксах наша
1:03
гипербола улетает вверх, а при
1:05
отрицательных вниз. И, соответственно,
1:07
предела у нас нету. Но и здесь
1:09
математики нашли лазейку и изобрели
1:11
односторонние пределы. Давайте
1:13
рассмотрим предел приксе стремящемся к
1:16
нулю справа, то есть чуть больше, чем
1:18
нолик, и получим, что наша гипербола
1:21
стремится к плюс бесконечности, как
1:23
видно из рисунка. А теперь давайте
1:24
рассмотрим левосторонний предел, то есть
1:27
лимит при иксе, стремящемся к нулю с
1:29
минусом или слева, получится минус
1:31
бесконечность, как видно из графика. А
1:33
если левосторонние и правосторонние
1:35
пределы совпадают, то они равны пределу
1:37
функции в данной точке. А если при этом
1:40
и значение функции такое же, как эти
1:42
односторонние пределы, то функция
1:44
называется непрерывной в данной точке. С
1:46
пределами и непрерывностью функции мы
1:48
разобрались, а в следующем видео
1:50
расскажу вам про классификацию точек
1:51
разрыва функций. Поэтому подписывайтесь
1:54
и до завтра. M.