Краткое содержание видео:
- Числа на числовой прямой: Натуральные числа (1, 2, 3, …)
Отрицательные числа
Целые числа (0, ±1, ±2, …)
Дроби - Дроби: Что такое дробь?
Сравнение дробей
Сокращение дробей
Геометрическая интерпретация дробей - Произведение чисел: Площадь прямоугольника как произведение его сторон
Доказательство теоремы Пифагора с помощью площадей - Иррациональные числа: Число √2 как пример иррационального числа
Невозможность представить √2 в виде дроби - Следующие уроки: Соизмеримость отрезков
Дополнительные сведения:
Видео является частью цикла "100 уроков математики" для школьников.
Автор видео: Алексей Савватеев.
Видео можно найти на YouTube: https://www.youtube.com/playlist?list=PLqBfxn8OBMGrsA_YynaQWqHKhL7kEvL4XМнение:
Видео представляет собой чёткое и доступное объяснение основных понятий начальной математики.
Автор использует наглядные примеры и геометрические интерпретации для облегчения понимания.
Видео будет полезно для школьников, изучающих математику.Расшифровка видео
0:04
здравствуйте мы начинаем наш цикл 100
0:07
уроков математики
0:09
первый урок называется числа символы и
0:12
фигуры
0:14
что школьник должен вынести из начальных
0:17
классов понимание прямой прямой на
0:23
который выбран масштаб поставлена
0:26
начальная точка отсчета 0 и нанесены
0:30
натуральные числа 1 2 3 и так далее
0:33
через промежуток равной масштабу кроме
0:38
того есть отрицательные числа это когда
0:42
мы по этой прямой идем в противоположном
0:45
направлении то есть у нас получается
0:47
прямая которая через равные промежутки
0:52
отмечено точками все эти точки в
0:55
совокупности образуют
0:58
то что математики называют множеством
1:01
всех целых чисел
1:02
целые числа это положительные
1:05
натуральные числа отрицательные числа
1:07
целые и 0
1:10
следующий шаг это / и понимание дробей
1:14
что такое дроби школе учат так скажем
1:19
хотим узнать чему равно 2 3 где эта
1:22
дробь живет нужно узнать где это / живет
1:24
на прямой на прямой вообще живут все
1:27
вещественные числа так называемые значит
1:29
как узнать где находится число две трети
1:33
давайте выберем покрупнее масштаб то
1:35
есть расширим посмотрим в микроскоп на
1:40
эту прямую
1:41
у нас получится вот другой масштаб две
1:45
трети явно меньше единицы то есть где то
1:47
будет жить вот на этом отрезке как
1:49
получить точное место вначале разделить
1:51
этот отрезок на 3 равные части вот это
1:56
будет одна треть
1:56
ну и соответственно два таких отрезка
1:58
будут как раз давать нам две трети
2:04
теперь вопрос почему друга можно
2:08
сокращать
2:10
например почему 4 шестых это та же самая
2:13
дробь что и две трети ответ состоит в
2:18
том что это число будет находиться в той
2:21
же точке прямой
2:22
давайте в этом убедимся что такое 46 я
2:25
должен отрезок разделить на 6 равных
2:28
частей но то есть каждый из этих мелких
2:31
еще на две после чего я беру маленькие
2:35
откладывают четыре раза ну понятно что я
2:38
попаду в ту же самую точку но еще
2:41
нагляднее
2:42
это будет следовать из геометрического
2:46
изображения
2:47
/ и что такое дробь с точки зрения
2:51
геометрии с точки зрения фигур дробь это
2:55
наклон наклон прямой
2:59
давайте нарисуем вот такие вот две оси и
3:04
вот сюда будет откладываться знаменатель
3:10
а сюда числитель это единица по оси
3:18
знаменателей это единица по оси
3:21
числителей как мне теперь увидеть чему
3:25
равно две трети я просто по оси и
3:28
знаменателей
3:30
откладываю число 3 по оси числителей 2 и
3:36
провожу вот такой вот прямую наклон этой
3:40
прямой считаются как раз соответствующим
3:44
дроби две трети
3:46
школьной математики саши класса
3:48
говорится что тангенс угла наклона равен
3:52
2 3 и тогда совершенно понятно что две
3:59
трети равно 46 их потому что просто
4:01
будет тот же самый наклон . 2 3 . 4
4:06
шестых лежат просто на одном и том же
4:08
лучше но соответственно наклон
4:10
что этого луча будет одинаковой случай 2
4:14
3 4 6 и вот этот метод наклонов нам
4:18
помогает еще и сравнивать дроби например
4:22
нам дана еще 1/3
4:24
четверти как визуально быстро понять
4:30
больше это / n 2 3 тени меньше
4:33
ответ ну найти соответствующую точку на
4:36
плоскости отложив знаменатель 4 и
4:39
числитель 3 и провести соответствую
4:43
прямую мы видим что ее наклон чуть чуть
4:46
больше чем у прямой
4:48
у которой наклон две трети то есть
4:51
прямой на которой лежит вот эта точка с
4:53
координатами 32 в школе учат сравнивать
4:57
дроби немножко иначе нужно привести их к
5:01
общему знаменателю что означает привести
5:05
дроби к общему знаменателю
5:06
это означает пользуясь правилом
5:09
сокращения
5:11
увеличить числитель и знаменатель одной
5:13
дроби в какое-то количество раз и другой
5:16
дроби в какое-то другое количество раз
5:18
так чтобы в знаменателях
5:20
оказалось одно и то же число ну и вот 9
5:23
больше 8 значит 912 больше 8 12 так учат
5:27
школе это совершенно правильно но я
5:30
предлагаю вот таким методом сравнивать
5:32
потому что не тот этот наглядный
5:35
таким способом мы сразу видим какая
5:38
дробь больше просто нарисовав углы
5:40
наклона ну в конце концов математика это
5:44
и геометрия и арифметика одновременно
5:46
или как в будущем вы узнаете геометрии
5:50
алгебра и любое утверждение желательно
5:53
проверить и на геометрическим языке и на
5:55
алгебраическом тогда вы просто более
5:58
глубоко его поймете есть еще один
6:01
содержательный способ понять что 2 3 и 4
6:04
шестых это одно и то же число
6:06
смотрите две трети
6:09
это что такое это два яблока поровну
6:11
разделены между тремя школьниками
6:14
прекрасно
6:15
возьмем еще одну группу из трех
6:17
школьников и разделим между ними тоже
6:19
поровну два таких же яблоко ясно что им
6:22
достанется столько же
6:23
сколько и вот этим первым нашим 3
6:26
школьникам
6:26
а теперь возьмем и объединим всех
6:31
школьников в одну комнату и яблоки тоже
6:34
сложим и после этого только разделим как
6:37
раз получится 4 частых до 4 яблока будут
6:40
разделены поровну между шестью
6:42
школьниками
6:42
но ясно что при первом и втором способе
6:45
получается одно и то же количество
6:47
поэтому 2 3 равно 4 шестых теперь
6:50
давайте займемся визуализацией
6:53
произведение чисел
6:54
что такое произведение двух чисел это
6:58
площадь прямоугольника со сторонами
7:04
соответственно первое второе число но
7:07
если это целые числа то это очень просто
7:08
понять ну скажем что такое
7:11
3 умножить на 4 а вот здесь три здесь 43
7:17
значит 1 2 3 до 3 одинаковых отрезка 4
7:20
это четыре одинаковых отрезка чему равна
7:24
площадь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4
7:32
тоже равна 12 я утверждаю что это верно
7:37
и для любых дробей тоже
7:41
как это можно понять
7:43
возьмем например уже знакомые нам дроби
7:47
две трети и три четверти и
7:51
убедимся в том что площадь этого
7:53
прямоугольника равна произведению чисел
7:57
две трети и три четверти то есть равна 6
8:02
12 их или
8:03
1 2 если сократить и так как мы будем
8:07
это делать давайте воспользуемся таким
8:10
свойством площади как аддитивности так
8:15
математики умные-то называют на самом
8:17
деле это просто означает что если я
8:18
разрежу каким-то образом прямоугольник
8:20
на несколько частей которые будут
8:22
пересекаться только по границам то сумма
8:25
площадей частей равна площади нашего
8:27
прямоугольника как же буду резать я я
8:31
буду резать стороны на отрез очки
8:34
которые укладывают
8:37
целое количество раз и в числе две трети
8:40
и в числе три четверти что же это за
8:43
отрезок который целое число раз
8:45
уложится как в двух третях так и в трех
8:48
четвертях а давайте вспомним как мы
8:50
сравниваем эти две дроби они были равны
8:53
соответственно 8 12 и 9 12
8:56
из этого ясно что как раз отрезок 1 12
9:00
укладывается восемь раз в отрезке 2 3 и
9:04
9 раз в отрезке три четверти
9:08
теперь мы делим прямоугольник на восемью
9:13
девять
9:14
то есть на семьдесят два одинаковых
9:19
квадратика соответственно площадь этого
9:23
прямоугольника равна 70 двум площадям
9:26
вот этого маленького квадрата а как
9:28
узнать его площадь давайте для этого
9:31
рассмотрим огромный квадрат размера один
9:34
на один в нашем масштабе он очень
9:37
большой разделим каждую из его сторон на
9:41
12 одинаковых отрезков по 1 12
9:45
сколько будет наших маленьких
9:47
квадратиков умещаться в квадрате размер
9:49
11 ну понятно что 12 нужно 12 то есть 12
9:54
квадрате 144 что означает что площадь
9:59
маленького квадратика равна 1 144 доля
10:02
площади единичного квадрата но площадь
10:06
единичного квадрата по определению равна
10:09
единице и так площадь прямоугольника
10:15
размером 2 3 три четверти
10:18
равна 70 двум площадям квадратика
10:23
площадь которого равна 1 144 то есть 72
10:28
144 то есть 1 2 это и есть произведение
10:33
двух чисел две трети
10:34
и три четверти когда мы с вами будем
10:39
находиться где-то в середине программы
10:41
100 уроков мы будем говорить о числах
10:45
иррациональных то есть не дробях
10:47
и вообще любых
10:50
числах любых длинах отрезков которые
10:53
только могут быть и окажется что площадь
10:57
любого вообще прямоугольника в точности
11:00
совпадает с произведением сторон это
11:04
можно установить по непрерывности
11:06
но пока нужно просто в это поверить и
11:09
тогда мы можем доказать некоторые
11:12
замечательные теоремы начальной
11:15
математики например теорема пифагора что
11:18
утверждает теорема пифагора
11:20
что для любого прямоугольного
11:24
треугольника со сторонами a b и c где а
11:29
и b катеты отце гипотенуза
11:32
выполняется замечательное равенство а
11:35
квадрат плюс б квадрат равно t квадрат
11:38
давайте ее докажем чисто геометрическим
11:42
рассмотрим два одинаковых квадрата
11:48
размера a + b на a плюс b
11:50
теперь сделаем следующее первый квадрат
11:54
разрежем на 5 фигур а именно отрежем от
12:01
него последовательно четыре наших
12:03
прямоугольных треугольника с катетами a
12:06
и b и на последнюю фигуру про которую я
12:10
буду доказывать что она является
12:11
квадратом
12:12
а второй способ будет состоять то что я
12:16
просто проведу вертикальную и
12:17
горизонтальную линии разбивая стороны
12:21
верхнюю и правую в отношении hb
12:24
ну и кроме того два прямоугольника еще
12:27
разрежу каждый пополам диагональю так
12:31
что каждый прямоугольник будет состоять
12:35
из двух исходных прямоугольных
12:38
треугольников утверждается что вот эта
12:43
вот фигура является квадратом как это
12:45
доказать давайте вспомним что сумма
12:48
углов любого треугольника нарисованного
12:50
на плоскости равна 180 градусам и этот
12:54
угол прямой значит сумма двух оставшихся
12:56
углов равна 90 градусов в другой стороны
13:00
по первому признаку равенства
13:01
треугольников
13:03
эти четыре треугольника равны друг другу
13:04
и соответственно вот этот угол совпадает
13:07
с вот этим а значит сумма вот этих двух
13:11
углов тоже равна 90 градусов из чего мы
13:14
заключаем что вот этот угол прямой то же
13:18
самое про этот этот и этот угол а то что
13:20
все четыре стороны одинаковые это
13:22
очевидные
13:24
тоже и сравнение треугольников раз
13:26
треугольники равны друг другу значит все
13:28
эти стороны равны c
13:29
то есть гипотенузе нашего треугольника
13:32
что из этого следует что площадь вот
13:36
этой вот части равна c квадрат теперь
13:41
обратимся к картинке здесь у нас здесь
13:44
два квадрата и еще четыре одинаковых в
13:49
точности таких же прямоугольных
13:52
треугольника площадь этого квадрата
13:55
равна a квадрат
13:56
квадрату его стороны а площадь этого
13:59
квадрата равна b квадрат теперь смотрите
14:03
были два одинаковых квадрата мы из них
14:07
вырезали разными способами 4 одинаковых
14:13
исходных прямоугольных треугольника
14:15
значит оставшиеся площади равны между
14:18
собой но здесь c квадрат а здесь а
14:21
квадрат плюс б квадрат теорема пифагора
14:23
полностью доказана на основании теорема
14:27
пифагора легко вывести одну очень
14:31
полезную
14:32
формулу а именно вывести длину диагонали
14:38
квадрата у которого каждой из сторон
14:42
равна единице чему это равно давайте
14:48
применим теорему пифагора и напишем что
14:51
диагональ в квадрате равна к титу номер
14:56
один квадрат плюс кать номер два к город
14:59
то есть 2
15:01
по определению число которое
15:03
положительные и в квадрате d2 называть с
15:06
корнем из 2
15:07
вот мы вывели формулу что диагональ
15:10
квадрата равна корню из 2 умножить на
15:15
его сторону мы в дальнейшем убедимся в
15:20
том что это число не является ни какой
15:24
дробью
15:24
то есть оно не дробное нельзя найти
15:27
такое количество школьников и такое
15:29
количество яблок
15:29
чтобы разделив поровну соответствующее
15:33
количество яблок на соответствие
15:34
количества школьников
15:35
получилось что каждому школьнику
15:37
достанется ровно корень из двух яблок
15:39
это математически невозможно но
15:43
доказательства этого потребует некоторой
15:45
подготовки подготовка это заключается в
15:47
том чтобы ввести понятие соизмеримости
15:50
двух отрезков
15:51
чем мы и займемся во время второго урока