Теория групп 1 – Определение группы

Теория групп изобретена Эваристом Галуа и служит основой того, что сейчас называется абстрактная алгебра или современная алгебра. Оказывается, что и сама Природа воспользовалась теорией групп, поэтому сейчас она широко применяется в современной физике.

https://t.me/gigachat_bot

Промт – Сделай обзор на текст на 500 символов. Задай контрольные вопросы. Структурирой текст для поста в Вконтакте

Важность теории групп в современной науке

В тексте подчеркивается значимость теории групп в различных научных областях, особенно в физике. Каждому типу фундаментального взаимодействия соответствует своя группа: электромагнитному взаимодействию соответствует группа U(1), слабому взаимодействию — группа SU(2), а сильному взаимодействию — группа SU(3). Теория групп помогает понять свойства фундаментальных частиц и их взаимодействий благодаря использованию абстрактных математических моделей.

Французский математик Эварист Галуа разработал теорию групп в XIX веке. Начав с попытки решить проблему разрешимости уравнений в радикалах, он обнаружил связь между этой задачей и симметриями корней уравнений, что привело к созданию теории групп.

Контрольные вопросы:

  1. Какую роль играет теория групп в современной науке?
  2. Какие группы соответствуют различным типам фундаментального взаимодействия в физике?
  3. Как Эварист Галуа пришел к разработке теории групп?
  4. Что включает в себя формальное определение группы?
  5. Какие свойства должны присутствовать у объекта, чтобы он считался группой?

Расшифровка видео

Поиск по видео
0:00
[музыка]
0:11
сложно переоценить значение теории групп
0:14
для современных естественных наук
0:16
приведем лишь один пример из физики
0:18
оказывается каждому типу
0:20
фундаментального взаимодействия
0:22
соответствует своя группа
0:24
электромагнитным взаимодействием
0:25
соответствует групп с названием ю1
0:29
слабым взаимодействием ответственным за
0:32
ядерные распада
0:33
группа с.ю. 2
0:38
сильным взаимодействием удерживающим
0:40
квартир протонов и нейтронов
0:42
соответствует с you try
0:46
удивительно на свойства фундаментальных
0:48
частиц и их взаимодействия оказывается
0:50
можно вывести из свойств этих
0:52
абстрактных математических group
0:58
исторически теорию группы
1:00
голов 19 веке как написано в википедии
1:04
за свои короткие 20 лет жизни
1:06
из которых лишь последние четыре года он
1:08
увлекался математикой голова успел
1:11
сделать открытие
1:12
ставящие его на один уровень с
1:14
величайшими математиками в истории до
1:17
сложно себе представить как бы выглядел
1:19
современный математик если бы голу они
1:21
убили на дуэли в 20-летнем возрасте все
1:24
что сейчас называется абстрактная
1:26
алгебра выросла xii его идеи
1:29
и так голова пришел к теории групп из
1:32
довольно приземлённый проблемы
1:33
разрешимости в радикалах уравнений тепла
1:36
а x квадрат плюс bx плюс c равно нулю
1:38
только для произвольных степеней то есть
1:42
можно ли представить решение в виде
1:44
формулы из коэффициент в этого уравнения
1:46
тип школьной формулу дискриминанта для
1:48
квадратного уравнения
1:50
в общем не будем вдаваться в
1:52
математические детали важно то что
1:54
проблема оказалась связан с симметриями
1:56
корней этого уравнения двое нашел
1:59
математические место писания симметрии
2:01
известны сейчас как теория групп
2:08
определение группы про
2:10
понять на 7 3 простейших геометрических
2:11
объектов возьмем например прямоугольник
2:15
если его повернуть на 180 градусов то
2:18
получим точно такой же прямоугольник
2:20
то есть прямоугольник симметрично
2:23
относительно операции поворота на 180
2:25
градусов
2:26
также если прямоугольник повернуть на 0
2:29
град то он тоже останется тем же
2:32
говоря языком теории групп мы имеем
2:35
операцию в нашем случае поворот и два
2:37
элемента группа
2:38
поворот на ноль градусов и поворот на
2:41
180 градусов назовем эти элементы р0 ear
2:44
180
2:51
элементы группа можно комбинировать
2:53
например выражение ir 180 умножить на r
2:56
0 означает что прямоугольник
2:58
поворачивается на ноль градусов а потом
3:00
на 180 градусов
3:02
можно все возможные произведения
3:05
записать в таблицу умножения называемую
3:07
также таблицы келли
3:12
вернуть на 0
3:13
градусов а потом и
3:14
1 на 0 будет 0 градус повернуть на 0 а
3:18
потом на 180 равно повороту на 180
3:22
вернуть на 180 а потом на 0 будет также
3:25
180 и наконец если 2 1 повернуться на
3:28
108 загораться то получим поворот на 360
3:31
градусов или что то же самое что поворот
3:34
на ноль градусов
3:37
о таком
3:38
том примере можно продемонстрировать
3:39
абстрактное определение группы как
3:41
математического объекта
3:43
группой называется объект
3:45
удовлетворяющий следующим свойством
3:48
первое определено операция группа нашем
3:51
случае операция является поворот
3:54
второе наличие единичного элемента то
3:57
есть элемент который ничего не делает
3:59
будем обозначать его буквой и нашем
4:02
случае это поворот на ноль градусов
4:07
3 замкнутость то есть все
4:10
произведения элемент в группы не должны
4:13
давать в результате элемент изначально
4:15
не входящий в группу
4:17
dim из нашей таблицы умножения это
4:19
условие также выполняется любая
4:21
комбинация поворотов на ноль градусов и
4:23
180 градусов приводит к фигуре
4:25
повернутый либо на ноль и либо на 180
4:28
градусов и никак иначе
4:32
четвертое наличии
4:34
снова элемента он по аналогии с
4:36
матрицами обозначается степенью -1
4:39
обратным элементом называется элемент
4:41
отменяющий операцию данного элемента
4:43
группы или если алгебраически то
4:46
умножение элементы на обратный дает
4:48
единичный элемент для каждого элемента
4:50
группы должен существовать обратный
4:52
элемент который также входит в эту
4:54
группу то есть является элементом
4:57
обратным к единичному элементу является
4:59
он же сам обратным к повороту на 180
5:02
градусов также является поворот на 180
5:04
градусов
5:05
поскольку сон получится 360 град и
5:08
прямоугольник вернётся в исходное не
5:10
повёрнута и состояния пятое свойство
5:14
ассоциативности без разницы как
5:16
расставить скобки в произведения
5:29
все если для объекту удовлетворяют
5:32
свойства то он является группой группа
5:35
обычно имеют названия рассмотренной
5:38
группы называется c2
5:42
еще один пример возьмем равносторонний
5:45
треугольник
5:46
операции групп также будет поворот
5:49
теперь у нас имеется три элемента группы
5:52
поворот на ноль градусов на 120 город и
5:55
на 240 градусов
5:57
составим таблицу умножения для группы
6:03
два по
6:05
дают поворот на 240 градусов а 2
6:08
поворота на 240 эквивалентно повороту на
6:11
120 градусов
6:13
то есть условие замкнутости соблюдается
6:15
все возможные перемножения дают те же
6:18
самые три элементы группы можно так
6:23
что для каждого элемента существует
6:24
обратный и он также находится в группе
6:28
для элемента р120 обратно будет р240
6:31
поскольку сумму даст 360 градусов что то
6:34
же самое что и на и
6:37
для элемента р240 обратно будет р120
6:42
данная группа называется за 3
6:49
[музыка]

Поделиться: