Мнимые числа, несмотря на своё название, вполне реальны. По крайней мере, в той же степени, что и отрицательные числа, иррациональные или ноль. Хоть их не найти на привычной нам числовой оси, мнимые числа позволяют справляться с задачами, над которыми сотни лет бились умнейшие математики, а их состоятельность проверена на практике учёными и инженерами.
Расшифровка видео
0:00
вот сайт с шаурмой likes [музыка]
0:09
допустим у нас есть функция f от x равно x квадрат плюс один построим график
0:15
функции типичная пора было теперь давайте найдем точки в которых функция равна нулю то
0:21
есть ищем корни на графике в этих точках пора было должна пересекать ось x как
0:27
видите таких точек нет значит если верить этому графику уравнение x квадрат
0:32
плюс 1 равно нулю не имеет решений но есть нюанс двести с лишним лет назад
0:39
ученый по фамилии гаусс доказал что любой многочлен порядка n имеет ровно n
0:45
корней у нас многочлен второго порядка или второй степени значит корня должно
0:51
быть 2 да кстати то что доказал гаусс сегодня называют основной теоремой алгебры
0:58
если ваш график противоречат не много не мало основной теореме алгебры это достаточное основание чтобы
1:05
призадуматься и так гоу сказал что у нас обязана быть пара таких значений x при
1:11
которых функция f от x будет равна нулю но где и как нам их искать если коротко
1:17
нам нужно больше чисел может показаться что все возможные числа существуют на
1:23
одномерной бесконечной прямой числовой оси здесь все наши друзья 0 единиц и
1:28
отрицательные числа / и даже иррациональным числом место нашлось но кое чего здесь не хватает и искать их
1:35
надо не где-то правее или левее они живут в другом измерении это понимание позволило справиться с
1:42
задачей которая до тех пор считалось нерешаемой и найти число квадрат которого равен минус единица где его
1:50
искать становится понятно если добавить новое измерение графику теперь у каждого числа есть два
1:57
измерения и пусть это не полное решение x квадрат плюс 1 равно нулю из того что получилось
2:03
видно что график таки пересекает ось x это значит решение есть просто мы их не там искали но почему так много людей
2:10
даже не догадываются об этом измерении часть вины я возлагаю на довольно странное название звучит так словно
2:17
кто-то нафантазировал несуществующую вещь сам гаусс был не в восторге термин мнимые числа код он завис и мистических
2:24
домыслов по вине не самой удачной нотации используем и другие термины этого можно было бы избежать например
2:29
если бы единица минус единицей корень из минус единицы были числами прямыми и обратными и перпендикулярными
2:35
соответственно мы же говорим положительные отрицательные и мнимые а иные говорят невозможны и так существует
2:42
целое измерение так называемых мнимых чисел гаусс предлагал называть их перпендикулярными но название не
2:49
прижилось так исторически сложилось но зачем нам понадобилось искать
2:55
какие-то числа из другого измерения для начала давайте обсудим как вообще
3:01
появлялись новые числа в начале пути людям было достаточно натуральных чисел
3:07
1 2 3 и так далее это простые инструменты для решения простых задач в
3:13
то время числовая ось выглядело бы как последовательность точек с развитием цивилизации люди сталкивались с более
3:19
сложными вопросами когда начинать посевы как делить землю как следить за налогами и торговать
3:27
натуральные числа уже не справлялись с подобными вычислениями к счастью египтяне изобрели кое-что новое / и идея
3:35
что между числами могут быть другие числа стала настоящим технологическим прорывом и
3:40
несколько тысяч лет ничего лучше не появлялась пока к числам не добавили ноль и отрицательные правда прижились
3:46
они далеко не сразу большинство не понимала как их вообще интерпретировать где в природе встретишь ноль или минус
3:53
единицу а люди всегда стремились избегать непонятного отношение к математике у разных культур отличалась
3:59
некоторые до последнего не принимали новые числа не видя их связи с реальным миром меж тем античное давно закончилась но
4:06
скепсис никуда не делся буквально несколько веков назад математики сознательно шли на любые ухищрения
4:12
лишь бы убрать из уравнения отрицательные числа но все же прогресс постепенно брал верх с помощью
4:17
отрицательных чисел так удобно например считать долги да и в целом они так и напрашиваются во многие математические
4:23
задачи огромное количество вычислений без них не провести
4:29
например простейшее алгебраическое уравнение x плюс 3 равно 2 не имела бы корней
4:35
подобные уравнения считались бы нерешаемыми очень похоже на уравнение из начала
4:41
ролика думать что этих задач нет решения вполне закономерно ведь если пытаться
4:46
объяснить их на примере получится у меня было два яблока три из них я отдал сколько у меня осталось не удивительно
4:54
что услышав подобное люди начинали ждать подвоха ведь вопрос получается бредовый
5:01
величайшие умы 18 века включая леонарда эйлера не до конца понимали суть отрицательных чисел он даже как-то раз
5:08
написал что они больше бесконечности как видите его отрицательных и мнимых чисел есть кое-что общее они ставят перед нами
5:15
очень интересные вопросы например почему мы требуем от школьников и студентов непринуждённо высчитывать то что сбивало
5:21
с толку величайших математиков на протяжении тысяч лет или зачем мы признаем существование этих чисел если в
5:28
природе нет таких материальных объектов которые можно было бы этими числами посчитать как эти числа помогут решить
5:33
уравнение с которого мы начинали в следующем видео я отвечу на часть этих вопросов и расскажу как открывали мнимые
5:40
числа [музыка] в прошлый раз мы начали обсуждать как
5:46
можно было бы решить уравнение x квадрат плюс 1 равно нулю используя мнимые числа а еще как мнимые и отрицательные числа
5:53
прошли путь от маргинальной теории до научного мейнстрима произошло это не сразу но тут ничего удивительного
6:00
математики долго избегали этих непонятных чисел все начало меняться около пяти веков назад итак итальянец
6:08
сципиона дель ферро размышлял над задачей чем-то похожий на уравнение из прошлого видео
6:14
сперва давайте взглянем на эту формулу обычно именно с ее помощью учат решать
6:19
квадратные уравнения это те в которых максимальная степень переменной это квадрат просто подставляете в значение a
6:25
b c и получаете ответ дель ферро искал аналогичную формулу для более сложных уравнений кубических задача не из лёгких
6:33
поэтому он начал с более простого частного случая где x в квадрате нет а.д. отрицательное число ну то есть как
6:41
отрицательное помните что в 16 веке с этим понятием было непросто он записал
6:46
уравнение x в кубе плюс c на x равно d при условии что c и d больше нуля первым
6:52
делом надо перенести все константы то есть обычные числа на одну сторону а по другую оставить все x с линейными
6:59
уравнениями это просто складываем вычитаем умножаем и делим главное делать одно и то же с обеими частями квадратные
7:06
уравнения чуть труднее в них появляются квадратные корни но в целом ничего сложного дель ферро замахнулся на
7:12
кубические уравнения и в итоге вывел формулу правда пока только для частного случая
7:17
но она работала достаточно было подставить нужные значения чуть чуть
7:24
посчитать и все готово так исторически сложилось что в 16 веке математики
7:29
зарабатывали на жизнь дуэлями кто первый найдет корень уравнения тот и победил
7:34
а у дель ферро в кармане лежала новое секретное оружие дальнейшие события достойной экранизации
7:41
но у нас времени только на краткий пересказ будучи при смерти дель ферро поделился формулы со своим учеником
7:46
антонио фиоре антон решил что теперь не уязвим по крайней мере в математике и вызвал на дуэль гораздо более опытного
7:53
никола тарталья который в свою очередь хвалился что у него есть формула для подобных кубических уравнений
7:59
как оказалось он блефовал правда перед турниром он настолько испугался надвигающегося позора что все-таки вывел
8:06
формулу и одержал решительную победу и тут же раскрыл формулу миру но не совсем
8:13
долгое время тарталья хранил ее в секрете еще не раз использовал в бою через какое-то время талантливый
8:19
математик джероламо кардано все-таки уговорил его поделиться переговоры были долгие и кардана добился своего лишь
8:25
поклявшись хранить секрет но однажды он наткнулся на сохранившуюся работу дель ферро первооткрыватели этого решения
8:33
кардана сделал вывод что в секретности нет нужды и включил формулу в свою книгу великое искусство нарушение клятва он
8:40
оправдывал тем что смог улучшить формулу вернув условия x квадрате оставался ряд
8:46
вопросов в похожем на исходное уравнение x cube равно c на x + d при определенных
8:51
значениях c и d формула ломалась например вот x cube равно 15 x + 4
8:59
воспользовавшись формулой кардана мы получим в решении корни из отрицательных чисел и что делать с этой проблемой
9:06
кардан не знал квадратный корень это число которое при
9:12
умножении на себя дает значение записанная под знаком корня квадратный корень 9 это 3 так как 3 на 39 но учтите
9:20
что квадратным корнем из девяти будет еще и -3 поскольку минус на минус даёт
9:25
плюс а как быть с корнями отрицательных чисел чему равен квадратный корень минус 9 3 не подходит -3 тоже похоже тупик
9:34
примерно так рассуждал кардана он не знал чисел которые могли бы решить подобную задачу вообще это не первый
9:41
случай когда корни из отрицательных чисел ломали расчеты обычно в таких ситуациях математики разводили руками и
9:48
говорили что задача не имеет решений зачастую так и было вот только если мы
9:53
построим график кубической функции то увидим что как минимум одно решение должно быть как не меняй коэффициенты
10:00
график подобные функции пересекает ось x хотя бы раз а значит уравнение x cube
10:05
равно 15 x + 4 должен быть хотя бы один вещественный корень
10:10
таким образом у нас есть задача точно имеющие решение и есть формула которая
10:16
точно работает а вот вместе они дают очень странный результат и как с ним быть непонятно в математике и науке
10:23
бывает что при определенных условиях какой-то закон отказывается работать обычно это значит что мы хотим
10:29
невозможного но иногда оказывается что надо взглянуть на проблему чуть иначе
10:36
то что математики узнали пытаясь доработать формулу кардана навсегда изменило науку об этом в следующий раз
10:47
как помните формула кардана ломалась при решении некоторых кубических уравнений кардана знал что эта проблема должна
10:54
иметь решение но квадратные корни отрицательных чисел сбивали его с толку он шел по правильному пути однако все
11:01
попытки доработать формулу или привести уравнение к другому виду просто водили его по кругу только следующее поколение
11:09
математиков смогло продвинуться дальше рафаэль бомбелли ученик кардана нашел очень оригинальное решение для этой
11:16
проблемы напомню в чем суть нам нужно умножить некое число на себя то есть возвести в
11:21
квадрат и получить отрицательное число вот только не положительные неотрицательные числа тут не подходят
11:27
бомбили задумался если задачу нельзя решить не с помощью положительных неотрицательных чисел
11:34
возможно существуют какие-то еще а если так то стоило бы подумать как эти новые
11:40
неизведанные числа назвать и как их обозначить бомбили подошел к вопросу практично не
11:48
стал ничего выдумывать и оставил квадратные корни из отрицательных чисел квадратными корнями из отрицательных
11:54
чисел так что теперь если кто то говорил что у задачей нет решений он мог спокойно сказать что они есть просто
12:00
допустив что квадратные корни из отрицательных чисел существует рассмотрим самый простой пример корень
12:07
квадратный из минус единицы возможно вы ждали нечто более впечатляющий от принципиально нового числа на первый
12:14
взгляд и правда ничего примечательного но у него есть особое нужное нам свойство его квадрат дает -1 такого не
12:21
могут ни положительные неотрицательные числа значит перед нами нечто принципиально новое
12:26
может показаться что здесь есть какой-то подвох будто кто-то подгоняет решение под ответ что же так часто бывает при
12:31
первом знакомстве с мнимыми числами но как-то иначе объяснить вряд ли получится поначалу кажется что подобные корни
12:38
придумали для того чтобы студентам жизнь медом не казалась давайте пока подытожим вышесказанное
12:44
карданные бомбили знали что их проблема имеет решение но не могли его найти
12:49
бомбили понял чтобы продвинуться дальше нужно расширить числовую систему тем
12:55
более что идея не новая так было и с дробями и с нулем и с отрицательными числами все они появлялись только тогда
13:01
когда в них возникала необходимость настало время и для квадратного корня из минус единицы
13:07
[музыка] но сперва надо разобраться как этим числом пользоваться если это новое число
13:15
является открытием они изобретениям то оно должно обладать такими же свойствами какие есть уже у известных нам чисел а
13:22
точнее подчиняться тем же законам алгебры и арифметики сразу скажу есть нюансы но в целом тут все в порядке
13:28
например мы можем разложить квадратный корень на множители независимо от того является ли число под ним положительным
13:34
или отрицательным корень из минус 25 равен корню из 25 умноженному на корень из минус единицы
13:41
это свойство позволяет выразить корень из отрицательного числа с помощью квадратного корня из минус единицы
13:47
корень из минус 25 сокращается до 5 корней из минус единицы
13:52
то есть квадратный корень из любого отрицательного числа можно выразить как корень из положительного числа
13:58
помноженный на корень из минус единицы давайте пройдемся по некоторым другим алгебраическим свойствам
14:05
например дистрибутивный закон работает одинаково в обоих случаях 2x + 3 x равно
14:12
5x но 2 + 3x уже никак не упрощается аналогично 2 корня из минус 1 плюс 3
14:18
корня из минус 1 это 5 корней из -1 но 2 плюс 3 корня из минус 1 это 2 плюс 3
14:25
корня из -1 как и в случае с переменными то что нельзя сложить можно перемножить
14:30
5 умножить на x это 5x опять умножить на корень из минус 1 это 5 корней из -1
14:36
правда некоторые операции требует особого подхода в подобных случаях можно вынести за скобку все корни из минус
14:43
единицы и так с основами разобрались что нам это дает как помните в прошлом видео
14:49
мы пытались найти квадратный корень из минус 9 разложим -9 на множители возьмем корни и
14:56
получим три квадратных корня из -1 отлично но мы ещё не решили проблему кардана ведь в его вычислениях
15:03
появляется кубический корень из квадратного корня отрицательного числа бомбили смог разобраться с этим но это
15:10
тема для отдельного видео в прошлый раз мы остановились на идее
15:16
что квадратный корень из минус единицы не просто существует но и необходим для решения ряда задач однако этого
15:23
недостаточно чтобы решить проблему кардана поэтому бомбили продолжил расчеты он знал как выглядит график
15:28
типичного кубического уравнения из него следует что должно существовать решение без корней отрицательных чисел
15:35
подобные функции всегда пересекают ось x в точке от минус до плюс бесконечности
15:40
отсюда бомбили сделал вывод что все это возможно только если корень из минус единицы сократится в процессе вычислений
15:47
он обозначил проблемные слагаемые как a + b квадратных корней из минус единицы и
15:52
а минус b квадратных корней из минус единицы оставалось найти эти константы а и b
15:58
чтобы убрать кубические корни возведен в куб обе части выражения
16:03
сократив все что можно получим не простую систему уравнений но бомбелли удалось с ними справиться с помощью
16:09
нехитрого метода подбора можно начать перебирать целые числа и окажется что 4
16:15
является корнем подставив ее вместо x можно найти коэффициенты a равно двум b равно одному
16:23
следовательно слагаемые равны 2 плюс корень квадратный из минус единицы и 2 минус корень квадратный из минус единицы
16:30
если возвести в куб то мы получим то самое выражение с которого начинали но
16:35
самое главное если мы их сложим как на велит выведенная формула то получим 4 то есть корень исходного уравнения вот
16:43
теперь проблема кардана решено что интересно квадратного корня из минус единицы нет ни в условиях задачи не в
16:50
ответе однако мы смогли получить ответ только признав возможность существования
16:55
подобных чисел и включив их в наши расчеты позже выяснилось что есть еще масса
17:01
проблем которые без таких чисел не решить притом не только в математике но и в
17:06
других науках и как же бомбили отметил столь важное открытие да не как он решил
17:13
что это не более чем математические костыли и как бы это смешно не звучало сегодня в те времена такой вывод был
17:19
вполне обоснован уж больно удобно эти числа ложились в уравнении словно их специально придумали для подобных задач
17:25
в те времена квадраты чисел нужны были главным образом для подсчета площади квадратов собственно отсюда и название
17:32
площадь квадрата равна квадрату его стороны здесь все просто но где вы видели квадрат площадью минус 1 метр и
17:40
как измерить его сторону без ответов на подобные вопросы ни о каком развитии идеи мнимых чисел не
17:46
могло быть и речи лед тронулся спустя много лет после смерти бомбелли но это
17:51
уже немного другая история бомбили предположил что квадратный
17:57
корень из минус единицы может существовать такой подход позволил решить ряд проблем над которыми математики бились десятки лет однако
18:05
бомбили и его современники не восприняли мнимые числа всерьез решив что это математически и костыли разве в реальном
18:11
мире можно что-то посчитать с помощью корней отрицательных чисел неудивительно что им пришлось пройти тот
18:17
же тернистый путь что и нулю или отрицательным числам от непонимания и скепсиса до признания
18:22
несмотря на это называли их ужасно то мнимыми то воображаемыми или вовсе не
18:28
возможными числами лет что спустя элир решил использовать латинскую и чтобы
18:33
каждый раз не писать корень из минус единицы получилось удобно правда термин мнимые
18:38
числа к тому времени уже прижился и до сих пор используются ну остальные числа
18:43
на числовой прямой назвали вещественными сложив вещественную и мнимую часть мы
18:49
получаем комплексное число в то время мнимые числа все чаще и чаще
18:55
встречались в уравнениях особенно в дифференциальных но их истинный смысл математики поняли только через двести с
19:02
лишним лет после смерти бомбелли прежде чем углубиться в эту тему давайте
19:08
обсудим и с алгебраической точки зрения в отличие от большинства чисел и не
19:13
увеличивается при возведении в степень из определения следует что i в квадрате равно минус 1 если мы будем возводить и
19:20
в большей степени то заметим что каждые 4 степени результат повторяется снова и снова и снова вернемся к той алгебре
19:27
через полторы минуты а пока рассмотрим старую добрую числовую прямую как помните на ней есть все возможные числа
19:33
кроме мнимых их здесь пристроить нигде давайте представим проблему с корнями
19:39
отрицательных чисел в графическом виде и так нам надо найти число которое при
19:45
умножении на себя даст отрицательное число для наглядности вместо привычных
19:50
точек будем использовать стрелочки то есть вектор а при умножении положительного числа на себя же
19:56
направлении стрелки не меняется при умножении положительного она отрицательная стрелочка поворачивается
20:03
на 180 градусов квадрат отрицательного всегда положительный поскольку 1 минус
20:09
изначально смотрит влево а второй разворачивает его на 180 градусов
20:14
поэтому квадрат числа никак не может оказаться на отрицательной половине числовой прямой квадрат положительного
20:21
числа всегда положительной отрицательное число хоть и смотрит влево в начале но после умножения на себя всегда
20:27
разворачивается и тоже оказывается справа нам же нужно нечто среднее такое число при умножении на которая стрелочка
20:34
повернуться на 90 градусов а не на 180 этим свойством обладают мнимые числа и в
20:41
квадрате дает минус единицу первое и находится в 90 градусах от положительных чисел возводим в квадрат добавляем еще
20:49
90 градусов и вот мы попали на территорию отрицательных чисел полторы
20:55
минуты прошли вернемся к алгебре а лучше совместимые с геометрией нам достаточно
21:00
провести мне мою ось перпендикулярно числовой прямой поскольку умножение на и разворачивает нас на 90 градусов
21:08
допустим у нас есть единицы умножив ее на и алгебраически мы получаем и а в
21:14
геометрическом приближение вращаем стрелку на 90 градусов умножив еще раз на и получаем и в
21:21
квадрате то есть -1 что сходится с новым положением стрелки каждая степень приводит к новому
21:29
повороту и на четвертый раз мы возвращаемся к единице что полностью повторяет алгебраическую закономерность
21:36
самое важное понять что мнимые числа неразрывно связаны с обычными они живут
21:42
рядом просто в перпендикулярном измерение вот в чем истинная суть мнимых чисел это
21:49
не какой-то хитрый фокус чтобы подогнать решение под ответ они естественное продолжение нашей числовой системы ведь
21:56
числа существуют в двух измерениях и это открытие позволило математиком решать гораздо более сложные задачи
22:03
применением нашли также и ученые и инженеры
22:10
скоро мы поговорим и об этом но уже в другом видео
22:16
сегодня поговорим о том как применять мнимые числа в реальных вычислениях встречайте комплексную плоскость
22:23
комплексная плоскость получается если к привычной числовой прямой добавить вертикальную ось с мнимыми числами
22:29
принцип работы похож на обычные координаты только вместо x и y вещественная и мнимая части
22:36
помните гаусс предлагал альтернативную терминологию в которой числа делились на прямые и обратные и перпендикулярные
22:42
вещественные числа как бы движутся от наименьшего к наибольшему то есть прямо отрицательные же в обратную сторону а
22:49
мнимые как бы по бокам поэтому перпендикулярные что такое комплексная плоскость мы обсудили теперь обсудим ее
22:55
сильные стороны у обычной координатной плоскости есть оси и на них откладываются значения координат с такой
23:01
у нас начиналось самое первое видео в подобной системе координат нет каких-то особых правил по которым изменения 1
23:08
координаты должно приводить к изменению другой однако о комплексных чисел алгебра более сложная мы это обсудили в
23:15
прошлом видео поэтому координаты на комплексной плоскости влияют друг на друга и это очень полезная особенность
23:22
для начала надо понимать как происходит сложение и вычитание операции над вещественными и мнимыми
23:28
частями проводится отдельно это удобно когда мы имеем дело с движением в двух измерениях
23:34
если мы перемещались сперва в одном направлении а потом в другом то мы можем сложить соответствующие координаты и
23:40
узнать куда мы в итоге пришли хорошо но чем спросите вы это отличается
23:47
от обычных векторов странности начинаются когда комплексные числа умножают для этого необходимо
23:54
раскрыть скобки все делаем по принятым в алгебре правилам единственная особенность и в квадрате заменяется на
24:01
-1 сокращаем лишнее и получаем ответ но этой задачи есть альтернативное решение
24:08
как считаете можно ли получить такой же результат с помощью особенностей комплексной плоскости
24:16
но не думайте что я вам просто так все расскажу гораздо веселее будет дать домашнее задание чтобы понять как
24:23
происходит умножение на комплексной плоскости вам надо знать как происходит умножении комплексных чисел
24:29
алгебраически как отмечать числа на комплексной плоскости как пользоваться теоремой пифагора и как с помощью
24:36
арктангенса находить углы если вы найдете ответ самостоятельно то можете себя поздравить умнейшие
24:43
математики всей планеты бились над этой задачей справились всего-навсего две сотни лет назад
24:50
да и запишите четыре примера которые вам надо будет решить на комплексной плоскости
24:55
ответы в следующем выпуске 4 плюс 3 и умножить на и 4 плюс 3 и
25:01
умножить на 2 и 4 плюс 3 и в квадрате 2 + i умножить на 1 плюс 2 и
25:08
решив эти примеры на комплексной плоскости надеюсь вы увидите определенные закономерности и тема
25:15
станет вам понятнее нигде записать задание внизу есть ссылка на запись в блоге в лч labs посвященный
25:21
этому видео я уверен подумать над этой задачей будет полезно не только новичкам но и ветеранам комплексных вычислений в
25:29
следующем видео посмотрим что у вас получилось в прошлый раз я дал вам задание на дом
25:36
разобраться как работает умножение на комплексной плоскости
25:41
вам надо было решить несколько примеров для каждого примера отметим множители на
25:47
комплексной плоскости после посчитаем результат алгебраические выразим его геометрически теперь нам
25:55
надо найти закономерности в пятом видео мы выяснили что и как-то связано с поворотом числа на комплексной плоскости
26:01
а значит угол наклона между вещественной осью и соответствующим числу вектором
26:06
будет играть какую-то роль для этого позаимствуем у тригонометрии специальную функцию
26:12
арктангенс теперь соберем полученные результаты в
26:17
одном месте [музыка]
26:25
каждый раз угол поворота получившегося в ответе вектора оказывается равен сумме углов умножаемых векторов вот мы и нашли
26:32
первую закономерность при умножении комплексных чисел на комплексной плоскости
26:37
результат будет иметь угол равный сумме углов множителей
26:43
теперь давайте получше рассмотрим первые два примера обратите внимание в ответе
26:48
получились одинаковые углы но длинный разные а значит следить за углом поворота вектора при умножении на
26:54
комплексной плоскости все-таки недостаточно важен еще один момент
27:00
чем же отличаются эти ответы умножение на 2 и дало более длинный
27:07
отрезок чем умножение на и нам стоит выяснить насколько он длиннее
27:13
чтобы найти длину отрезка можно построить из него прямоугольный треугольник и воспользоваться теоремой
27:19
пифагора проделаем эту операцию со всеми числами из примеров
27:25
[музыка] нетрудно заметить что длина
27:31
результирующего вектора равна произведению длины перемножаем их это вторая закономерность и так при
27:39
умножение чисел на комплексной плоскости углы между их векторами и вещественной осью складываются от длины перемножаются
27:46
это и есть правило умножения на комплексной плоскости
27:52
таким образом есть два абсолютно разных но при этом одинаково верных способа умножать комплексные числа вы можете
27:59
посчитать произведение алгебраически а можете начертить векторы от 0 до соответствующих чисел перемножить их
28:05
длины и углы наклона к вещественной оси сложить самое удивительное
28:12
хотите два подхода и выглядят совершенно по разному но делают они одно и то же
28:17
просто мы наблюдаем один процесс с разных точек зрения
28:23
меня это наводит на мысль что формулах есть гораздо более глубокий смысл чем
28:28
тот что мы видим на бумаге а математика это один из способов познать и записать истину а нашей вселенной
28:34
давайте подведем итог под тем что мы сегодня познали умножении комплексных чисел на
28:40
комплексной плоскости затрагивает два параметра длину вектора от начала координат и угол между
28:46
вектором и вещественной осью и часто комплексные числа ради удобства выражают именно через эти параметры
28:53
вместо суммы вещественной и мнимой части можно использовать расстояние от нуля и
29:00
угол поворота такую форму называют в полярной а длину
29:05
вектора амплитудой или модулем смотрите как легко с ее помощью умножать
29:12
перемножаем модули складываем углы и готовы а теперь оцените насколько проще
29:17
выполняется отделение просто отделе модуля и вычитаем из угла
29:22
делимого угол делителя следующий раз используем эти знания на
29:28
практике разберемся с одной сложной задачкой по алгебре сэкономив кучу времени и бумаги
29:36
давайте решим простое уравнение x кубе равно 1 как думаете чему равен x
29:43
ответ подобрать несложно 1 в кубе будет один говорю же не сложно но может быть
29:50
есть и другие решения помните в первом видео мы познакомились с основной теоремой алгебры согласно
29:57
которой многочлен степени n должен уметь n корней запишем уравнение как x cube
30:02
минус 1 равно 0 чтобы было нагляднее и так мы видим что самая высокая степень 3
30:09
значит уравнение имеет рекорды можно найти их алгебраические но решение будет
30:14
довольно громоздким придется разложить куб и потом еще решить квадратное уравнение
30:20
давайте лучше попробуем сделать все графически с помощью комплексной плоскости итак вопрос какое число надо
30:28
умножить на себя трижды чтобы получить единицу воспользуемся полярной записью
30:34
комплексных чисел из прошлого видео единица на комплексной плоскости
30:40
это число с модулем 1 и углом 0 градусов ну или 360 при умножение чисел на
30:47
комплексной плоскости их модули перемножаются а углы складываются результат должен иметь модуль равной
30:54
единице 1 на 1 на 1 равно 1 поэтому если модуль x равна единице такой же будет
31:01
модуль ответа так а что с углами поскольку при умножении комплексных
31:07
чисел углы складываются нам нужно чтобы сумма углов было 0 ну или 360 неважно
31:15
собственно для наших целей 360 даже удобнее и
31:20
так нам надо разделить 360 градусов на три равных части быстренько считаем делим 360 на три 120 градусов у
31:28
нас есть угол и есть модуль 2 корня уравнения это комплексное число с
31:34
модулем 1 и углом 120 градусов на комплексной плоскости все очевидно
31:41
умножаем наш ответ на себя и получаем единицу с углом 240 градусов
31:47
умножаем еще раз результатом становится число с модулем 1 и углом 360 градусов
31:54
также известная как просто один вот только в алгебре не принято давать
32:00
ответы с градусами перенесем их на привычную систему координат для этого возьмем единичный круг или транспортир и
32:07
используем его по назначению как видите . с полярными координатами 1 120
32:13
градусов соответствует точке минус 1 2 для вещественной части корень квадратный из
32:19
3 делить на 2 для мнимой что же ответ у нас есть давайте проверять возводим в куб упрощаем
32:27
сокращаем и кто бы мог подумать получилось единица и так мы решили не
32:32
простой алгебраическую задачу графические получили такой же ответ как и после долгих вычеслений
32:40
но мы нашли только два корня согласно основной теореме алгебре есть
32:46
еще один найти его нетрудно нужно двигаться по комплексной плоскости в обратном направлении если мы сделаем три
32:52
поворота на минус 120 градусов то снова получим полностью вещественную единицу
32:57
итак третий корень это минус 1 2 минус половина корня из трёх на ней
33:03
вот мы и нашли все корни уравнения x cube равно 1 графически оцените
33:09
насколько комплексная плоскость практичнее алгебра я же говорил что так гораздо удобнее а давайте посмотрим что
33:17
будет если усложнить задачу что если x в нашем уравнении будет не в 3 а в восьмой
33:25
степени то есть x в восьмой степени минус 1 равно нулю
33:30
придется раскрывать очень много скобок не проще ли вернуться на комплексную плоскость и поделить единичный круг на
33:37
нужное количество частей в данном случае нам нужно 8 равных секторов каждый по 45 градусов переводим
33:46
в удобные координаты и готово все восемь корней найдены
33:51
в следующем видео я объясню как люди поняли что мнимые числа недостающий кусочек пазла который так долго искали
33:58
математике [музыка] совсем скоро мы перейдем к решению уравнений из первого видео но есть ещё
34:05
один вопрос откуда мы знаем что алгебра неполноценна без мнимого измерения я
34:10
рассказывал что в самом начале из всех чисел люди знали только натуральное
34:15
египтяне столкнулись с не решаемыми задачами и поняли что одними натуральными числами не обойтись однако
34:22
понять что вам чего-то не хватает иногда бывает непросто благая математики придумали как можно
34:29
проверить все ли необходимые разновидности чисел вы нашли сегодня поговорим о замыкание давайте ка
34:35
поиграем у вас есть множество чисел и какой-нибудь алгебраический оператор будем брать два случайных числа из
34:42
набора и проводить над ними какую-нибудь операцию получим ли мы число не принадлежащие к множеству начнем с
34:48
натуральных чисел и сложения и так можно ли сложив два натуральных
34:53
числа получить не натуральное число [музыка]
35:00
перебрав несколько вариантов справедливо заключить что суммой натуральных чисел всегда будет натуральное число на языке
35:07
математиков это значит что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения
35:12
теперь посмотрим как у натуральных чисел с вычитанием с некоторыми комбинациями все нормально
35:20
скажем 6 4 их разность равна двум а это натуральное число но что если взять 4 -6
35:27
тогда мы получаем число не принадлежащие к натуральным числам значит это
35:33
множество не замкнуто относительно вычитания нам надо расширить набор чисел чтобы в него входили ноль и отрицательные числа
35:40
множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания то ли дело множество целых чисел мы
35:47
расширили числовую систему и теперь можем вычитать что угодно из чего угодно
35:52
думаю вы догадались что для других операций нам понадобится числовая система побольше для деления например
35:59
нужны дроби а это уже множество рациональных чисел здесь рацию означает соотношение то есть
36:06
рациональное число можно выразить как соотношение двух целых чисел чтобы наглядно показать как логически связаны
36:13
между собой различные множество часто используют диаграммы венна это удобно целые числа всегда рациональны поскольку
36:20
могут быть выражены как соотношение двух целых чисел но не все рациональные числа являются целыми и так мы дошли до
36:27
множество рациональных чисел в него входят ноль и единица минус 5 и даже минус 2 3 относительно каких операций
36:34
замкнуто это множество сумма двух рациональных чисел также рационально так что смело записываем
36:40
сложения то же справедливо для вычитания умножения и деления а как насчет
36:46
степеней и корней если возвести рациональное число в
36:51
рациональную степень получим ли мы рациональный результат иногда до
36:57
например если возвести в квадрат для девятых
37:03
но если нам нужно двойка в степени 1 2 начинаются проблемы дробная степень это
37:09
альтернативный способ записи корня то есть нас интересует квадратный корень из 2 ни одно целое число как его недели не
37:16
даст квадратного корня из 2 доказательства есть но это тема для отдельного видео
37:22
поскольку подобные числа не являются рациональными их назвали и рациональными и сразу скажу есть кое-что позабористее
37:30
а именно трансцендентные числа вроде пи или е о них тоже в другой раз
37:35
нам надо снова расширить числовую систему и включить в нее все эти числа и тогда мы получим множество вещественных
37:43
чисел давайте сыграем ещё разок у нас есть
37:48
множество вещественных чисел а в качестве оператора выступает корень это множество замкнуто можем ли мы взять
37:55
корень из вещественного числа и получить не вещественное число хоть мы уже столько всего добавили в наше множество
38:01
кое-чего все равно не хватает мы ограничены множеством вещественных чисел
38:07
в этом множестве нет числа которое было бы квадратным корнем из -9
38:13
решение появляется когда мы добавляем еще мнимые числа а точнее берем все
38:18
известные нам вещественные числа добавляем к ним мнимую составляющую и получаем самое полное множество чисел
38:25
комплексные числа первое время математики сомневались а что если для каких-то задач нужны более
38:32
сложные числа например чему равен квадратный корень из минус мнимой единицы
38:37
не перейдем ли мы из двух измерений в 3 к счастью оказалось что нет найти
38:44
квадратный корень из минус и нам поможет старая добрая комплексная плоскость и это число с модулем 1 и углом минус 90
38:52
градусов значит наш корень это число с модулем 1 и углом минус 45 градусов
38:57
единичный круг подсказывает что это корень из двух на два минус корень из двух на два умножить на и корень из
39:04
минус и остается комплексным числом и фантастические числа обитающие в трёх измерениях нам не нужны нет такой задачи
39:10
включающий сложение вычитание умножения и деления возведение в степень или взять ее корня которую нельзя решить с помощью
39:17
комплексных чисел мнимые числа последний кусочек которого не хватало в пос ле под названием алгебра
39:22
[музыка]
39:28
[музыка]
39:34
так что же это такое 9 серий назад я сказал что без этого не решить одно квадратное уравнение с тех
39:40
пор больше про него не упоминал многие наверное подумали что этот простенький спецэффект добавлен видео ради
39:46
наукообразности и привлечения аудитории не делайте поспешных выводов давайте
39:53
вспомним как мы получили этот график мы взяли уравнение которое на первый
39:59
взгляд не имеет корней x квадрат плюс 1 равно нулю но теперь в 10 серии мы
40:05
научились решать подобные задачи алгебраически вычитаем единицу из обеих частей уравнения извлекаем из них
40:12
квадратный корень получаем 2 ответа плюс и минус мнимую единицу отлично но как из
40:18
этого получается вот такой график что ж пора познакомиться с функциями комплексных переменных
40:24
большинство из вас думаю знакомы с функциями вещественных чисел это те в которых аргументы функции то есть x и
40:30
значения функции то есть y выражаются вещественными числами это значит оба лежат на обычной числовой
40:36
прямой чтобы нагляднее показать зависимые значения от аргумента будет удобно расположить прямую для x например
40:43
горизонтально а прямую для y вертикально совместив их 0 и
40:49
и вот у нас получилось так называемая декартова система координат считается что в 16 веке и и придумал
40:57
рене декарт наблюдая за ползающими мухами получившаяся система отлично показывает взаимосвязь между двумя
41:03
переменными мы можем взять какую-нибудь странную абстрактную форму луи представить ее в
41:10
наглядной и понятной и графической форме в виде графика
41:16
придумав как задавать точкам координаты декарт связал вместе две крупнейших на
41:21
тот момент области математики алгебру и геометрию
41:26
современником ньютона это помогло классифицировать функции и даже новейшие проблемы не редко решаются этим довольно
41:33
старым инструментом например выявление закономерностей в наборе данных и все бы здорово но есть study картавых координат
41:40
некоторые ограничения они работают только в двух измерениях и это очень существенный недостаток если
41:48
нам нужны функции комплексных чисел в них аргумент это комплексное число и
41:53
значение функции как правило тоже такие значения x и y уже нельзя отложить
41:59
на одномерной числовой прямой нам нужны двумерные комплексной плоскости для
42:05
аргумента и для значения функции возникает вопрос как нам показать
42:10
зависимость y от x если для каждого числа вам понадобятся два измерения
42:16
как показать две плоскости одновременно первое что приходит в голову сделать
42:22
что-то вроде декартовых координат только оси расположить похитрее и вот тут мы
42:27
сталкиваемся с проблемой возможно вы замечали что в нашей вселенной всего три пространственных
42:33
измерения а для задачи нужно 4 построить четырехмерную структуру в трехмерном
42:39
пространстве никак не получится [музыка] но знаете оказывается можно решить эту
42:45
задачу и по-другому для этого математиком понадобилось получше изучить комплексные функции
42:52
пусть первая идея оказалась и не такой удачно это не повод полностью отказываться от двух отдельных
42:57
плоскостей снова вернемся к исходной функции f от x равно x квадрат плюс один
43:03
в дальнейшем нам будет проще если мы ее немного переделаем обозначим аргумент не как икса как z а y
43:12
значение функции w мы знаем что у z и у w есть вещественные и мнимые части
43:18
давайте их тоже как-нибудь обозначим пусть z равно икс плюс и на y x
43:24
вещественная часть а y мне me a w равно у плюс и на в
43:30
мы уже пользовались табличкой чтобы записывать аргументы и значения функции правда тогда у нас были функции с
43:38
вещественными переменными сейчас же нам понадобится таблица побольше в ней будут переменные x y у и
43:45
в что же мы теперь можем сделать функции f от z равно z квадрат плюс один можно
43:52
поставить функцию комплексное число скажем z равное 1 плюс i и с помощью
43:57
алгебры посчитать что w будет равно 1 + 2 и отметим полученные точки на
44:03
соответствующих плоскостях смотрите . 1 плюс и на плоскость z стало . 1 плюс 2 и
44:09
на плоскости w возьмем побольше точек и поищем закономерности
44:15
оказывается если мы нарисуем из точек линию то на второй плоскости она превращается в дугу
44:23
любопытно но подставлять точки вот так по одной довольно утомительно так что
44:28
пусть вместо нас расчетами займется компьютер и раз он такой быстрый пусть прочитает смещение вообще всех точек
44:36
для компьютера изображение на экране монитора это по сути куча пикселей на координатной сетки а
44:43
видео эта последовательность изображений у меня есть немного кода на python который перенесет каждый пиксель
44:49
исходного видео в за данная формула и положения то есть она сначала задаст каждому пикселю координаты в виде
44:56
комплексного числа на комплексной плоскости а затем подставит это число функцию z
45:03
квадрат плюс один в качестве аргумента z и принесет на плоскость w
45:08
программа автоматизирует то что мы делали вручную если у нас на входе был синий пиксель в
45:15
точке 1 плюс и то функция переместит его в точку 1 плюс 2 и на выходе ведь как мы
45:22
знаем при аргументе один плюс и функция равна 1 плюс 2 и будет любопытно взглянуть что получится в итоге если
45:31
простую линию так изогнула что же случится с целым видео я добавлю кое какие отметки чтобы было проще
45:37
ориентироваться в пространстве но цвет пикселей трогать не буду все готовы
45:43
начнём с чего-нибудь попроще горизонтальная стрелка вдоль оси x на входе практически не отличается от
45:49
стрелки на выходе теперь пройдем в положительном направлении мнимой оси
45:55
на выходе стрелка смотрит в другую сторону добавим еще линии чтобы найти закономерности смотрите семейства прямых
46:03
линий превращается в семейство кривых круто да однако закономерность есть но как она
46:09
связана с функцией z квадрат плюс 1 а главное как это все расширяет наше
46:15
понимание комплексных чисел и чего бы ещё такого интересного и
46:20
познавательного нам нарисовать может у вас есть идеи в следующий раз
46:25
обязательно попробуем что-нибудь новое до скорого ну что придумали какое-нибудь интересное
46:33
изображение которое помогло бы нам лучше понять функцию f z равно z квадрат плюс
46:38
один смотрите у нас есть z в квадрате то есть комплексное число z умножается на себя
46:45
значит поведение функции как-то связано с комплексном умножения этой теме была
46:50
посвящена 7 серия напомню что подобное умножение можно представить с помощью векторов на комплексной плоскости при
46:57
умножении комплексных чисел их модули перемножаются а углы складываются то есть вот эта часть функции z квадрат
47:04
возводит в квадрат длину вектора а его угол удваивает
47:10
с той частью функции где мы прибавляем единицу все проще добавление вещественного числа просто сдвинет
47:17
график функции в соответствующем направлении в данном случае на 1 вправо
47:22
поскольку сдвиг не меняет общий вид функции для удобства им можно пренебречь
47:29
давайте проверим гипотезу что наша функция удваивает угол входящего значения чего бы нам такого нарисовать
47:35
для наглядности нам нужно изображение все точки которого находятся под
47:40
одинаковым углом к оси чтобы можно было сказать наверняка что они меняются одинаково какой объект в полярной
47:48
системе координат подходит под описание да любая прямая проходящая через ноль
47:54
нарисуем такую линию после преобразования у нас получилось в принципе тоже самое но с удвоенным углом
48:01
добавим еще пару линий чтобы все перепроверить как видите угол и правда удваивается
48:08
после преобразования а что происходит с модулем
48:13
как помните при умножении комплексных чисел их модули перемножаются в нашем случае модуль то есть расстояние
48:20
от нуля до точки возводится в квадрат при преобразовании
48:26
чтобы нам нарисовать чтобы это проверить нас интересует именно расстояние поэтому
48:31
нам нужен объект все точки которого имеют одинаковый модуль если такая фигура у которой все точки
48:37
равноудалены от центра есть эта фигура называется круг
48:44
нам понадобится несколько окружностей но рисовать мы их будем по частям как
48:51
видите единственное отличие на выходе расстояние до 0 как и ожидалось форма сохраняется изменяется лишь радиус
48:59
кажется путем грамотного подбора входных данных мы смогли понять что именно
49:05
делает наша функция с комплексными числами отлично но есть еще над чем подумать
49:11
рано радоваться во-первых мы разобрались только с очень простой функцией во вторых даже эта
49:18
простая функция способна вырваться за пределы двух комплексных плоскостей смотрите мы знаем что наша функция на
49:26
выходе удваивает угол что же будет если мы решим до рисовать фигуры на оригинальном изображение я не просто так
49:32
не стал рисовать круги целиком как только мы доходим до 180 градусов возникает проблема мы использовали
49:39
только половину пространства на плоскости z она w и место уже не осталось
49:45
поэтому если мы продолжим двигаться по окружности новым точкам ничего не останется кроме как забраться поверх
49:50
старых все согласуется с алгебраическим возведением в степень ведь квадрат 1 плюс и равен квадрату -1
49:59
минус и то есть оба дают два и следовательно проблема не функции а в
50:07
том что наш подход к визуализации не позволяет адекватно сопоставить две разных точки на входе с одной точкой на
50:13
выходе ведь как решить какой пиксель показывать отсюда или отсюда
50:19
это лишь полбеды настоящие проблемы начинаются когда нам нужно сделать обратное преобразование если взять
50:26
какую-то функцию и поменять местами аргументы значения мы получим обратную функцию
50:32
нетрудно догадаться как будет выглядеть функция обратная нашей выразим из исходного уравнения z и
50:38
здесь возникает проблема обратная функция должны отменить тебя
50:44
преобразования которые сделала исходное у нас два числа на входе превращались в одно на выходе теперь все наоборот одно
50:51
число должно стать двумя если w равно двум и z может быть один
50:59
плюс и и может быть -1 минус и это неправильно строго говоря в такой
51:05
ситуации мы не имеем права называть обратную функцию собственно функцией
51:10
ведь определение функции гласит что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент
51:17
2 множество поэтому видимо не особо долго думая ввели новый термин многозначная функция в остальном все
51:24
пока по-прежнему просто запомните что когда мы получаем w и z эта функция а когда наоборот многозначная функция и
51:31
это другое на практике все работает как-то так одна
51:37
фигура на плоскости w превращается в две на плоскости z при этом меньшего размера
51:43
дублирование происходит из-за того что каждой точки на плоскости w соответствуют две точки назад а
51:49
изменение масштабов происходит потому что из модуля каждой оригинальной точки извлекается корень а угол делится на 2
51:56
давайте нарисуем еще что-нибудь пусть это будет произвольная замкнутая кривая линия на
52:02
плоскости w сравнив повнимательнее графики на плоскостях w и z
52:08
мы получим некоторое представление о том как себя ведет наша комплексная не совсем функция в четырехмерном
52:14
пространстве вот кривая возвращается в ту же точку из которой выходило на обеих плоскостях
52:21
вполне предсказуемо а теперь смотрите что будет если кривую немного изменить
52:26
на w мы вернулись в ту же точку из которой начали а назад нет мы вообще не
52:33
в ту часть графика попали каким-то образом мы пришли в другую половину многозначной функции
52:39
то есть преобразование одних замкнутых кривых линий возвращает нас в начало пути а других нет но как такое возможно
52:47
почему такие похожие замкнутые кривые так принципиально отличаются друг от друга после преобразования к счастью как
52:55
это часто бывает в математике когда сталкиваешься с казалось бы неразрешимой проблемой кто-то гораздо более умные уже
53:02
во всем разобрался и все решил в данном случае это был ученик гаусса бернхард риман его работу разберем в следующем
53:10
видео [музыка] если вы все еще с нами то вот небольшой
53:16
бонус смотрите как еще можно визуализировать функцию комплексных переменных
53:22
это называется раскраской и области определения кстати довольно новая идея
53:28
проследив за перераспределением цветов можно получить очень много полезной информации о поведении комплексной
53:34
функции например здесь видно что из-за квадратного корня изображения на
53:39
плоскости w после преобразования разделяется на две копии как можно заметить на плоскости z мы
53:46
встречаем каждый цвет дважды в интернете есть много информации об этом методе да и просто классных
53:52
картинок хватает начать поиски можно со статьи в википедии ну вот теперь точно
53:57
конец до скорых встреч в прошлый раз у нас возник вопрос почему
54:05
такие похожие кривые на плоскости w так сильно отличаются друг от друга после преобразования в середине 19 века
54:12
бернхард риман ученик гаусса занялся этой проблемой
54:17
для начала риман предположил что двух комплексных плоскостей недостаточно для визуализации нашей функции ведь каждой
54:25
точки на плоскости w соответствуют две точки на плоскости z мы сможем избежать
54:30
путаницы если введем еще одну плоскость w теперь у каждой проблемной точки на плоскости z есть своя собственная
54:37
плоскость w куда можно записать результаты преобразования хорошо но тут же возникает вопрос как определить
54:43
правильную плоскость w для той или иной точке с плоскости z
54:49
решение нашлось быстро можно поделить плоскость z пополам теперь ее правую
54:54
половину преобразуем на плоскость w1 а левую на плоскость w2
54:59
такие урезанные версии многозначной функции называются ветви
55:05
вернемся к нашим кривым многозначной функции рисовать будем на плоскости w1 все идет нормально пока не приходится
55:12
пересечь вещественную ось ровно в этот момент на плоскости z происходит скачок
55:17
это так сказать вынужденная мера ведь по нашим условиям все точки на w
55:23
преобразуются только на правую половину плоскости z почти любое значение w дает
55:28
два решения на плоскости z мы изучаем ту вид что находится справа
55:33
поэтому на плоскость из этой произошел такой скачок вот только вряд ли это нам поможет понять почему в прошлый раз
55:39
почти одинаковые кривые замыкались по-разному теперь какой бы контур я не нарисовал мой фломастер возвращается в ту же точку
55:47
с которой начинал на обеих плоскостях как будто это единственный допустимый
55:53
вариант поведения функции но все не так однозначно этот разрыв на
55:58
плоскости z говорит нам о том что ветви функции разрывные а математики такое не любят функции комплексных переменных это
56:06
важная часть современной математики а если функция ведет себя так безобразно то ее нельзя не интегрировать не взять
56:13
ее производную поделив многозначен ую функцию на ветви мы смогли сделать такой график в котором
56:19
каждой точки на входе соответствует 1 . на выходе вот только решив одну проблему мы столкнулись со второй неужели это все
56:26
чего добился риман нет он приступил к решению 2 проблемы
56:31
давайте повнимательнее изучим этот разрыв отложен в сторону обратную функцию и
56:37
вернемся к исходной снова рисуем на плоскости z и смотрим что получается нам надо найти где именно происходит разрыв
56:45
чтобы отследить нужные точки начертим замкнутую кривую которая будет постоянно менять свой цвет
56:52
при переходе из первого во второй квадрант плоскости мы перепрыгиваем с одной ветви многозначной функции на
56:57
другую а при переходе из 3 квадрантов 4 прыгаем обратно чтобы наш путь оказался непрерывным нам
57:05
надо каким-то образом соединить обе плоскости w в точках разрыва ремонт придумал как объединить две
57:12
комплексных плоскости таким образом чтобы каждой точки на входе соответствовало 1 . на выходе и чтобы
57:18
при этом график многозначной функции был непрерывным ножницы и скотч помогут нам решить эту
57:24
задачу но уже в следующий раз [музыка]
57:45
перед вами поверхность рима на наше окно в четвертое измерение
57:52
по сути мы разрезали плоскости в местах разрыва функции склеили их таким образом чтобы график не обрывался теперь он
57:58
непрерывен и переходит с одной плоскости на другую риман предположил что обычная двумерная
58:05
плоскость не может быть областью определения аргумента нашей многозначной функции
58:10
областью определения должна быть искривленная поверхность существующая в многомерном пространстве
58:18
геометрия поверхности римана позволяет продвинуться дальше в решение нашей задачи
58:24
если мы будем откладывать аргумент многозначной функции на поверхности римана то все проблемы из прошлой серии
58:30
исчезнут сами собой функция окажется непрерывной каждой точки на входе будет соответствовать только одна точка на
58:37
выходе а странное поведение кривых обретет смысл сейчас все объясню
58:43
ремонт представлял себе поверхности которой будто лежат непосредственно над плоскостью w сама поверхность состоит из
58:50
двух копий комплексной плоскости суть в том что аргумент функции на плоскости w и соответствующий ему точки
58:57
на поверхности римана оказываются одна под другой проведя линию строго вверх и с точки на
59:03
плоскости w например из 2 и мы найдем нужные нам точки на комплексных плоскостях если помните в прошлой серии
59:11
нам пришлось разводить значение функции которые мы откладывали на w поверхность
59:16
рим она делает то же самое для многозначной функции когда значение w это аргумент мы разносим их на разные
59:22
ветви в принципе можно воспользоваться и двумя плоскостями w но этот метод лучше
59:27
ведь теперь график многозначной функции остается неразрывным в прошлом видео мы как раз увидели что если откладывать
59:34
аргумент на w1 и w2 то может возникнуть разрыв функции
59:39
а поверхность римана позволяет цветной линии идти непрерывно правда теперь у нас график пересекает
59:45
сам себя так что здесь еще есть что обсудить сейчас я попробую объяснить почему
59:52
использование поверхности римана в качестве области определения делает жизнь проще и почему откладывать
59:59
аргументы для многозначной функции лучше именно на ней они на плоскости w
1:00:05
правда рисовать от руки на трехмерных поверхностях несколько неудобно счастью
1:00:11
спустя век после смерти римана у нас появились компьютеры для начала цифру им нашу
1:00:18
чудесную модель внизу у нас будет лежать плоскость w а прямо над ней поверхность
1:00:24
римана но пока мы тут все не из рисовали давайте быстро вспомним что мы сейчас
1:00:29
вообще ищем и зачем мы следуем комплексную функцию w равно z в квадрате
1:00:34
а также обратную ей функцию z равно плюс или минус квадратный корень из w
1:00:40
отношения между w и z тоже разница в том что мы знаем а что ищем проблема
1:00:46
заключается в том что для визуализации понадобится четыре измерения так как и w и z состоят из вещественной и мнимой
1:00:52
частей в 10 серии мы называли их икс игрек у и в
1:00:58
перед нами визуализация поверхности римана двухмерная поверхность в трехмерном
1:01:04
пространстве мы разместили ее над плоскостью w таким образом чтобы двум из трех измерений
1:01:10
соответствовали вещественная и мнимая ось и плоскости w именно их мы обозначили как у и вы
1:01:17
прям он хотел использовать третье измерение чтобы визуализировать переменную z
1:01:23
вот только z тоже комплексное число это же состоит из двух частей так что одной
1:01:29
оси для него недостаточно поэтому обычно при визуализации таких
1:01:35
поверхностей третье измерение или высота служит для отображения одной из частей числа z вещественной или мнимой
1:01:44
так мы сделаем у нас это будет x вещественная часть от z теперь в нашей
1:01:49
визуализации каждая точка поверхности рим она живет в трехмерном пространстве ее положение определяется значениями
1:01:56
переменных у v и x и так каждая точка на этой поверхности
1:02:02
отображает одно из решений нашего уравнения 3 из 4 чисел определяющих решения выражены через координаты точки
1:02:09
в трёхмерном пространстве неплохой результат но пока что картина у
1:02:15
нас не полная на этой визуализации не хватает мнимой части z которую мы назвали y а без
1:02:22
игреком и обойтись не можем ведь в противном случае у нас опять возникнет проблема с непрерывностью функции
1:02:30
если мы начнем изучать одну из ветвей многозначной функции то дойдя до точки сама пересечения
1:02:36
поверхности мы не будем знать куда именно нам дальше идти вверх вниз
1:02:41
чтобы это понять нужно выяснить почему поверхность пересекает себя и как такое
1:02:47
вообще возможно пересечении проходит вдоль оси отрицательных вещественных чисел на
1:02:52
плоскости w рассмотрим точку на этой оси скажем w равно -1 подставим это число и
1:02:59
посчитаем z получим два решения плюс и минус и это разные числа но на графике они
1:03:06
выглядят одинаково поскольку вещественной частью обоих равна нулю нам просто-напросто не видно что это разные
1:03:12
точки поскольку в визуализации присутствует только вещественная часть z перед вами типичная проблема
1:03:19
визуализации многомерных математических концепций мы видим только проекцию грубо говоря
1:03:25
это такая тень от настоящей четырехмерной поверхности на самом деле никакого сама пересечения
1:03:33
нет все точь-в-точь как с двумерными тенями от трехмерных объектов объекты не
1:03:39
пересекаются но нам кажется иначе такое же искажение возникает когда мы
1:03:45
пытаемся визуализировать многомерный объект в 3d пространстве но это не значит что четвертое измерение
1:03:52
так и останется для нас загадкой и к нему есть свои подходы например можно выразить его в иной форме
1:03:59
понятные человеческому восприятию с помощью цвета раскрасим каждую точку поверхности так
1:04:06
чтобы ее цвет отображал значение скрыты от нас переменной в данном случае эта мнимая часть z то есть значение по y
1:04:14
надо только договориться какому числу соответствует какой цвет то есть задать цветовую шкалу
1:04:20
раскрасив поверхность мы получаем представление загадочным четвертом измерении y
1:04:26
как видите на проблемном участке поверхности пересекаются совершенно разные цвета
1:04:31
следовательно на самом деле наша четырехмерная функция себя не пересекает иллюзия пересечения всего лишь дефект
1:04:38
методы визуализации отсюда следует что если мы встречаем подобные пересечения на поверхности
1:04:45
римана то мы имеем полное право их игнорировать проследив за графиком на поверхности
1:04:50
рима нам мы видим что он абсолютно непрерывен несмотря на это чудное пересечении
1:04:57
с непрерывностью разобрались но вопросы еще остались помните в одиннадцатом видео мы рисовали
1:05:04
и преобразовывали кривые тогда маркер ту возвращался в начало рисунка
1:05:09
то убегал на другую половину давайте я напомню как все выглядело на плоскостях
1:05:15
w и z а теперь давайте посмотрим что будет если провести такое же преобразование на
1:05:21
поверхность римана чтобы избежать путаницы будем рисовать кривые по очереди одну за другой все
1:05:29
готово я нарисую те же линии на плоскости w а выследить и как они
1:05:34
выглядят на поверхности римана и преобразуются на плоскости z [музыка]
1:05:53
[музыка] так почему же зеленая линия не вернулась в ту точку из которой началась на
1:05:59
плоскости z потому что зеленая линия ушла на другой лист поверхности римана
1:06:05
если мы посмотрим на плоскость w сверху то кажется что она вернулась в начало но
1:06:11
это не так на плоскости w мы видим только проекцию тень от линии в
1:06:18
реальности линия ушла в другую ведь функции с другими значениями z
1:06:24
напомню что это не полная картина так как для каждого значения w существует два решения z поэтому в
1:06:32
одиннадцатом видео наша кривая превращалась в 2 на поверхности рима на второе решение зеркальная копия первого
1:06:40
из наших примеров видно что некоторые линии из плоскости w в результате преобразований уходит в другую ведь
1:06:46
функции а некоторые нет причем в другую ветку ходят ти линии
1:06:53
которые прошли рядом с центром поверхности римана такие места называют точками ветвления
1:06:59
эти точки возникают когда функции принимают одно и то же значение в двух разных ветвях они дают массу информации
1:07:06
о поведении комплексной функции в данном случае такая точка находится в 0
1:07:12
поверхность римана не только решила ряд описанных выше проблем но и объяснила странное поведение замкнутых кривых и
1:07:20
это только начало в современной математике применению поверхности римана
1:07:25
масса но у нас сейчас нет времени обсуждать их все давайте лучше наконец разберемся что же
1:07:33
это такое на протяжении 13 серии мы искали нули функции f от z равно z квадрат плюс 1
1:07:41
за это время мы пришли к визуализации функции с помощью поверхности римана где трём из четырех переменных соответствует
1:07:47
координаты в трехмерном пространстве мы начинали со знакомого из школьной программы
1:07:52
двухмерного графика но он показывает только вещественные части переменных z и
1:07:58
w мы добавили еще одно мерность и представили на ней мне мою часть z
1:08:05
в нашу визуализацию добавилось высота и мы получили вот такую поверхность
1:08:10
после того видео у многих возникали правильный вопрос если согласно основной теореме алгебры
1:08:18
функция должна иметь ровно два корня то почему точек пересечения 0 плоскости и
1:08:23
исследуемой поверхности значительно больше подобная двусмысленность вызвано упомянутыми ранее недостатками нашего
1:08:29
восприятия привыкшего к трехмерному пространству не забывайте всякий раз когда мы
1:08:35
визуализируем четырёхмерный объект в трехмерном пространстве нашему взору предстаёт лишь проекция этого объекта
1:08:40
они его истинная форма мы видим только тень рассмотрим поверхность повнимательнее в
1:08:46
первом видео половина поверхности было как бы скрыто листом бумаги от цвета выбраны так чтобы условно отразить
1:08:52
изменения высоты поверхности теперь когда мы узнали кое-что о
1:08:58
функциях комплексных переменных имеет смысл раскрасить поверхность по-другому пусть цвет соответствует значению
1:09:05
переменной в которые не хватило места в наших трёх измерениях теперь мы видим как ведут себя все
1:09:11
переменные осталось найти предсказанный гауссом корни
1:09:16
нам нужны такие точки в которых значение функции равно нулю то есть нулю должны
1:09:22
равняться координаты у евы которые являются вещественной и мнимой частями переменной w
1:09:28
координата у будет равна нулю там где поверхность пересекает плоскость z
1:09:34
судя по цветовой шкале мнимая часть переменные w обозначенная буквой просто в равна нулю там где поверхность
1:09:41
окрашена в зеленый правда у нас тут много разных оттенков
1:09:47
зеленого поэтому давайте для удобства проведем синюю линию там где находится непосредственно 0
1:09:55
теперь на графике видно что точек где нулю равные вещественная и мнимая составляющие w пересекающей комплексную
1:10:01
плоскость z ровно 2 плюс и минус и как и было предсказано в теореме
1:10:07
наконец-то мы узнали где были эти корни старина гаусс не ошибся все как он и
1:10:14
говорил корни у функции есть и их ровно 2 поиск этих корней обернулся длинным
1:10:20
путешествием в дебри математики пришлось задуматься о природе чисел и о том зачем они нужны оказалось что для алгебре
1:10:27
гораздо лучше подходят двумерные комплексные числа
1:10:33
но мы пошли дальше и добрались до четырёхмерного мира римана вских поверхностей
1:10:40
увиденное позволила взглянуть на школьные алгебру как на бледную тень гармоничные могущественной многомерной
1:10:47
математики немыслимы без чисел по глупому недоразумению названных мне маме
1:10:54
спасибо за внимание переведено и озвучено студией art дай
1:11:00
дар