Лекция 1 | Алгебры Клиффорда и спинорные группы | Николай Вавилов | Лекториум

Пересказ текста:

персказ первых 50 минут

Вступление:

Лектор начинает спецкурс по общеобразовательной дисциплине.
Он приветствует студентов и говорит, что курс посвящен алгебре Клиффорда и спинорам.
Лектор отмечает, что это важный общеобразовательный материал, который не входит в стандартные курсы.
Он упоминает, что некоторые элементы курса могут быть знакомы студентам с 4 курса физики.

Основная часть:

Лектор начинает с объяснения, что такое алгебра Клиффорда.
Он использует примеры с векторами и вращениями, чтобы проиллюстрировать концепцию.
Лектор вводит понятие спина и объясняет его связь с алгеброй Клиффорда.
Он использует примеры с игральными картами и чашкой, чтобы сделать объяснение более понятным.
Лектор переходит к более формальному определению алгебры Клиффорда.
Он объясняет, что алгебра Клиффорда является обобщением кватернионов и октав.
Лектор связывает алгебру Клиффорда с симметрическими билинейными формами на векторных пространствах.

Заключение:

Лектор кратко излагает теорему о существовании алгебры Клиффорда.
Он сравнивает алгебру Клиффорда с конструкциями тензорной и внешней алгебр из общего курса математики.
Лектор анонсирует темы следующих лекций.

Дополнительные сведения:

В тексте упоминаются имена математиков, которые внесли вклад в развитие алгебры Клиффорда:
    Уильям Клиффорд
    Герман Грассманн
    Уильям Роу Гамильтон
    Дэвид Планк
    Эли Картан
В тексте используются некоторые математические термины:
    Алгебра
    Кольцо
    Модуль
    Вектор
    Скаляр
    Группа
    Тензор
    Спинор
    Квадратная форма
    Симметрическая билинейная форма
    Гомоморфизм
    Изоморфизм

Важно отметить:

Этот пересказ является кратким и не содержит всех деталей из лекции.
Для полного понимания материала рекомендуется прослушать лекцию или ознакомиться с оригинальным текстом.

https://gemini.google.com

Расшифровка видео

0:01
[музыка] в этом семестре мы начинаем новый
0:08
спецкурс общеобразовательный я приглашал самых маленьких самые маленькие не пришли
0:15
значит но ВТО второй курс есть и первый есть Ну
0:21
да вот значит алгебры
0:28
клиффорда
0:34
и спинор
0:41
Груп Ну и Для начала я просто расскажу вам Я думаю первый
0:49
час значит о том что это такое вообще с моральной точки зрения Так что я вам собираюсь рассказывать в
0:57
течение семестра Ну и какие-то такие вещи исторические и
1:06
значит где всё это можно прочесть и так далее Ну вот то что вам буду рассказывать это один из самых важных
1:14
общеобразовательных кусков которые не попадают ни в один Общий курс Ну может
1:19
быть в каком-то виде упоминаются на четвёртом курсе в курсе физики
1:25
так физиков снимет в свои слова придумывать потом мы узнаем
1:31
что видимо мы их слова тоже понимаем если сможем сопоставить их со своими словами Они там говорят спинор
1:38
Дирака там ещё что-то там спинор вейля ну потом мы узнаем что мы всё это
1:45
знаем вот значит О чём здесь пойдёт речь Ну можно начинать по-разному
1:54
объяснять но как бы я
2:00
упомяну в начале несколько Тем где это возникает Ну и потом расскажу какие-то определения так
2:09
по первому разу а потом уже будем всё систематически изучать
2:14
Значит все объекты геометрические которые у вас встречаются в общих
2:19
курсах они все являются тензора так то есть вот вы
2:25
рассматриваете представление ну скажем это допустим для просто векторное
2:32
пространство векторное пространство значит над полем
2:38
K Ну потом Конечно мы будем работать над произвольным коммутативный кольцом вот
2:45
значит и вы рассматриваете действие группы СВ Ну вот на этом
2:54
пространстве [аплодисменты] так так вот тогда ВС что вам до сих пор
3:01
встречалось всё является тензора так то есть что там у вас было какие у
3:09
вас были геометрические объекты скаляр векторы ко векторы то есть линейные
3:15
функционалы линейное отображение Так значит билинейные
3:22
формы структура алгебры на структура ко алгебры на это значит задаётся
3:32
тензора Но вот чуть больше века
3:38
назад при построении представлений простых
3:48
алгебр ли картан обнаружил что не все геометрические обеты
3:58
являтся ру или представление группы
4:04
Симплекс так то оказывается что все их Конечно мерные неприводимые
4:10
представления можно построить в терминах вот этого представления Но если Мы попытаемся тоже
4:17
самое проделать для ортогональной группы со Ну считая что на на этом е задано
4:25
какое-то скалярное произведение скалярное произведение значит в данном случае Симплекс в данном
4:34
случае симметрическая так так вот для этих
4:39
групп Значит все представления строятся в терминах представления на в терминах
4:44
вот этого самого векторного представления а для этой группы нет картан обнаружил
4:50
что значит существуют другие представления нох
4:57
называемые ление значит в тех случаях когда оно является разложим оно раскладывается на
5:04
два слагаемых полуспиртовой новый
5:09
тип геометрического объекта который как оказалось вот эти объекты они очень
5:18
важны практически сразу они получили приложение физики Вот они
5:25
отвечают за то что называется спином Так ну вот что такое
5:31
спи вот значит давайте возьмём Вектор И
5:36
будем его вращать Значит повернём на 360° он вернётся в
5:44
исходное положение он вернётся в исходное положение при этом один раз вот
5:51
за полный поворот Поэтому у него спин равен едини так возьмём
5:58
теперь противоположных Вот и будем точно также
6:04
е вращать э пара векторов она значит за
6:10
полный поворот вернётся в исходное положение ну или в то что не отличается от исходного положение два
6:17
раза Вот ну есть такая замечательная
6:24
книжка хонга она по-моему на русском есть
6:30
краткая история времени как в таком духе называется Да в общем общая теория всего
6:36
вот там он иллюстрирует это на примере игральные карты вот значит есть
6:42
игральные карты двух сортов
6:48
Да я не знаю как это называется картинки Да а вторые которые не картинки как
6:53
называется ну в общем не картинки у них спин о их Като Оборотная сторона Я имею в виду
7:02
вот там двойка тройка да вот ну в общем картинки они имеют спин 2 а не картинки
7:12
спин о то есть вот это как раз то что я сейчас нарисовал Ну понятно что такое
7:17
там спин 3 целый спин легко
7:25
изобразить Так значит это спин 2 спин
7:30
3 это легко изобразить вот а что же такое спин
7:42
1/2 вот ну и Хокинг это поясняется следующим образом вот Представьте себе
7:48
что у вас есть значит Ну какой-то вот объект у
7:55
которого внутри стоит редуктор в тот момент когда вы этот
8:01
объект проворачивает вокруг центра на 360
8:10
Гра вот внутрення
8:15
это колёсико вращается в два раза медленнее и значит за полный
8:22
поворот проходит половину
8:28
Пусть щается в противоположный То есть это значит что
8:35
за полный поворот вот этот Вектор не возвращается
8:42
в исходное положение но в действительности есть масса примеров т в
8:48
окружающем нас мире которые ведут себя ровно таким образом так вот я писал в
8:55
анонсе что части того что называется веществом
9:01
фермионы с полым спином они себя ровно так ведут то есть Электрон при повороте
9:07
награ Он вовсе не вращается в исходное положение у него есть внутренняя степень Свободы которая здесь была изображена
9:14
так и значит что-то у него внутри него не возвращается в исходное положение а
9:20
увидеть это проще всего следующим образом Так
9:28
кто рисовать Так ну все представляют что это
9:33
такое Да вот я начинаю Так ну кто умеет рисовать я не
9:38
знаю Мне нужно было как-то так сказать зарание подготовиться Вот то есть значит если у
9:46
нас есть цилиндр так то тогда когда мы обходим
9:54
вокруг цилиндра вот проносим Вектор параллельно
10:01
по этой окружности на которую наве наши образующие цилиндры Так то он
10:07
возвращается в исходное положение значит когда мы сделаем то же самое на листе мебиуса Но вот лист
10:14
Мебиус он
10:20
перекрученной из вас откроет сейчас интернет и там он где-нибудь нарисован вот и поможет мне его
10:28
изобразить Нам нужно будет сделать перерыв и изобразить лист квадратик нарисовать а квадратик о да о да это
10:35
правильно Дада и и сказать что это а это а это б это б
10:42
да Ну да да да это наверное лучше всего
10:48
Да вот значит Ну в общем Представьте себе что когда вы просите
10:55
Вектор так он возвращается сюда же да вот вокруг этого
11:01
базы окружности Да вот Но это кажется что он вернулся туда же
11:10
Представьте себе что на самом деле это не вектор А муравей так вот он когда прополз по
11:17
этому э значит по этой окружности он вернулся
11:23
туда же с той же стороны а теперь Представьте себе что муравей проделал Это упражнение на листе мёбиуса
11:31
он вернулся в эту же точку он смотрит в том же направлении но он
11:37
находится Вот в этой точке С другой стороны то есть нельзя сказать На другой
11:44
стороне листом потому что у него всего одна сторона Да но он находится Значит в этой же точке На другой стороне то есть
11:50
чтобы ему вернуться снова в эту точку на самом деле нужно прополз по окру не один
11:56
раз а два раза так вот опять же если бы я там умел
12:02
изображать филиппинские танцы кто-то только Что изображал значит то я бы взял
12:09
бокал провернул руку и значит там не пролив не
12:15
капли Вот она возвращается за два поворота в исходное положение а не за
12:20
один так Ну вот опять же вы можете найти я не могу вам это изобразить на доске
12:27
значит следующее упражнение вот закрепите
12:33
значит чашу с двумя ручками резинками к двум стенкам комнаты и начинаете е
12:40
поворачивать вокруг своей оси Когда вы повернёте на
12:45
360 то вот эти резинки запутаются Казалось бы что ко проверте е ещё
12:58
награ так то одно из резино можно будет
13:04
перекинуть и их расцепить Вот это ровно значит что вот те ситуации ко сейчас описал имеют спины
13:13
1/2 так вот это вот ровно значит Ну вот это вот иллюстрация потому что здесь
13:18
чтобы вернуть обратно нужно ещё привернуть сделать полный
13:28
оборот зап это называется
13:33
СНР Вы можете найти по этому кодовому
13:39
слову или спи с Я думаю что вот
13:44
так так вот Представьте что у вас чашка с двумя ручками чаша вы закрепили её к
13:51
двум гвоздика на стене и начинаете е Вот так вот вращать когда вывернули на 3
14:00
эти вот верёвочки резиночки переплелись пнули ещё раз кажется что они должны ещё
14:07
больше переплести но это не так они после этого после ещё одного
14:12
поворота в ту же сторону они рассы Вы можете одну из них перебросить
14:17
и снова т ну вы проделайте это тако вы проде
14:23
тако Вот вот ровно так сказать мы этим и будем заниматься чтобы так сказать
14:29
представить себе Вот это так то есть в алгебраическом смысле
14:34
представить себе Вот это то есть не представить А посчитать
14:43
Вот то есть это ровно те ситуации когда значит вот нужно что-то
14:49
другое кроме векторов что не строится тех векторов что-то на самом деле что стоит
14:58
за векторами фундаментальное по отношению к этой группе Вот это другое
15:03
это вот и было это и были спинор которые были построены э картам вот ну э или
15:12
картана в начале XX века А теперь я э значит подойду к этому немножко с другой
15:18
стороны так вот на самом деле ээ почему же что такое алгебра клиффорда
15:25
и э почему они называются алгебра клиффорда
15:32
хотя на самом деле их построил Я уж не знаю кто не Ну конечно над R и над C
15:38
картан а в общем случае шевали я думаю вот значит алгебры клиффорда
15:46
возникли следующим образом это они возникли там скажем в семидесятые годы XIX
15:51
века При попытки продолжить вот следующий ряд R C
16:00
H так Ну и все знают что это такое Дат вещественные числа комплексные Экватор
16:07
неоны Ну и как бы мы все привыкли Это продолжать неким образом Мы все знаем
16:13
Какая следующая буква правда Да Так значит 1 2
16:19
4 так следующая буква которую мы обычно рисуем это буква О так октавы чит
16:27
вот
16:34
сороковые годы X века в начале сох годов X века значит Гамильтон построил
16:43
кватернионы а потом вскоре после этого кли и грейвс построили октавы Вот Но при этом это будут алгебры
16:53
слени но при этом алгебра крнов она не коммуна алгебра
16:59
октав она кроме того не савна но они все будут алгебра с
17:07
деления так вот клиффорд пытался Продолжить это следующим образом он
17:13
пытался построить обобщить кватернионы другим образом чтобы всё-таки получить
17:19
ассоциативные алгебры вот значит здесь в с есть там с
17:25
точностью до линейной Независимости Лине зависимости
17:33
одна мнимая единица значит здесь две мнимых единицы значит Ну на самом деле кажется
17:40
что три но две которые порождают А как алгебру вот значит
17:48
здесь три единицы которые порождают О как алгебру они
17:54
нев вот е возни которые порождают огб то они образуют не ассоциативную тройку а
18:01
антив они образуют тройку для которой XY вот в таком порядке равно
18:09
мину в таком порядке вот то есть это не
18:15
авна алгебра клиффорд зал вопросом
18:27
таким скажем че и так далее мнимыми единицами но при этом
18:35
ассоциативно но понятно что при этом придётся Отче другого отказаться придётся отказываться от того
18:42
что это алгебра с деление То есть те алгебры которые будут получаться на этом пути
18:49
Они вообще говоря будут алгебра с делителями
18:57
нуля и гиперкомплексные системы именно гиперкомплексные
19:03
числа Но вскоре после этого но сразу после этого лип заметил что алгебры
19:10
клиффорда они играют такую же роль по отношению вот при изучении
19:17
пространств вещественных он рассматривал только вещественно естественно пространств со скалярным
19:25
произведением как внешняя
19:31
алгебра при изучении пространств
19:37
значит при изучении просто векторных пространств Так значит Ну давайте
19:43
Пожалуй я сразу вам скажу определение алгебры клиффорда для того чтобы быть
19:50
предметным а потом мы действительно Увидим что это
19:57
определение такая алгебра существует изоморфизма и так далее
20:04
вот значит что такое алгебра клиффорда Ну вот Давайте пока для просты Будем
20:10
считать по-прежнему что у нас – это поле Ну и причём для того чтобы буквально
20:16
было верно всё что я говорю и не задумываться там над эквивалентность разных определений будем пока
20:21
предполагать что
20:27
харак чу рассказывать ВС для любого поля Так ну и даже Более того я хочу
20:34
рассказывать как бы всё то есть независи от характеристики
20:41
единообразно для всех полей Ну ли то самое рассказывать над Z то есть тем самым для любых
20:48
коммутативность для начала – это поле значит и
20:55
пусть это векторное пространство пространство над полем
21:02
к Вот и давайте рассмотрим симметрической скалярное
21:08
произведение симметрической скалярное
21:15
произведение Ну естественно билинейная
21:24
Спасибо Да здесь нужно поставить к Спасибо да иначе это определяет алгебру
21:31
а не Спасибо Да это была щетка вот линейное
21:46
симметрической курс Я думаю что это не нужно напоминать никому в том числе и первому курсу правда да вот что это
21:52
значит трист
21:57
тва элементы у и в векторного пространства
22:03
ра вот Ну поскольку характеристика поля нед то задать симметрической на
22:11
векторном пространстве это значит ровно тоже самое что задать на этом пространстве квадратичную
22:18
форму так то есть вот это вот такое произведение
22:25
соответствует однозначно такие произведения соответствуют квадратичным формам на V Что такое квадратичная форма
22:32
Так ну вот квадратичная форма
22:39
значит это вот что такое Ну вот квадратичная форма которая соответствует
22:44
B при этом отображении это просто скалярный квадрат Q от V Рав B
22:52
VV так скалярный
22:57
квадрат
23:09
вот а что такое вообще квадратичная форма вообще квадратичная форма это ровно то что приходит из такого
23:17
отображения так то есть во-первых значит Q является
23:23
однородной степени 2
23:29
так однородность в степени
23:38
2 и во-вторых
23:43
вот ику поляризации можно получить линейное
23:49
скалярное произведение так поляризация это вот что
23:55
такое бем векто из и определяем следующим образом
24:03
Так ну и сейчас вы увидите Почему я пока предполагаю что характеристика не равна
24:08
дву Так ну кто слушал мои лекции уже знает правда да потому что мы должны
24:13
поделить над значит Q в Извините у п V
24:19
ми Q ми qv вот так вот
24:27
тва квадратичной формы если оно однородной степени если это отображение однородной степени 2 отображение из V в
24:35
k так и если его поляризация вот определённая этой формулой
24:41
является Ну разумеется симметрических линейным скалярным
24:55
произведением то есть значит если характеристика Поля не два то задать
25:00
симметрической скалярное произведение то же самое что задать квадратичну форму на векторном пространстве то есть скалярное
25:06
произведение полностью определяется заданием скалярных квадратов всех векторов
25:13
Вот но так
25:22
идея классиков XIX века состояла в следующем Ну
25:27
а нельзя ли построить такую алгебру чтобы в этой алгебре скалярные
25:36
квадраты всех векторов в пространстве в были настоящими квадратами в этой
25:45
алгебре так то есть вот но при этом хочется ещё
25:52
одну бым сво
26:00
было ничего лишнего сно сго ны чтобы никах других
26:07
соотношений между векторами из Кроме тех которые вытекают из того соотношения
26:13
которое только что сказал и соотношение что ква равняется
26:29
чит алгебра клиффорда пространство в Так ну я напишу форму
26:36
Q алгебра [музыка]
26:47
клиффорда Вот
26:55
это универсальна
27:01
универсальный объект Ну я скажу слово категория
27:07
которое потом использовать не буду пока вот универсальный объект в
27:15
категории отображений отображение из V в авю
27:24
алгебру в авно алгебры так а значит
27:34
ээ Нет это вы сейчас мне рассказываете построение ээ ээ Сейчас вы мне рассказываете
27:41
построение алгебры клиффорда алгебра клиффорда строится конечно так V нзр на
27:46
V минус qv идеал порождается вот просто я не понимаю где у нас элементы поля в
27:52
V элементов поля V нету они есть Ну о да
27:58
атина алгебра с
28:03
единицей так а отображение обладает следующим свойством что
28:08
А значит такие таких
28:14
что PS от V в квадра равняется Q от
28:23
V Ну у нас просто есть какое-то свойство универсальное свойство её-то О что
28:31
естественно у нас тензорная алгебра – это универсальная объект в категории
28:37
отображения вообще линейное отображение естественно
28:42
значит универсальный обект в категории всех линейных отображений из векторного
28:47
пространства в алгебры правда датив алгебра види
28:57
да универсальный объект другой категории не всех линейных отображений а линейных
29:02
отображений для которых выполняется вот такое вот свойство то есть иными словами из
29:07
пространства в существует отображение которое Ну вот я почему-то обозна
29:14
скажем как буквой гамма Вот Потом я это гамма буду вообще
29:20
перестану писать Ну потому что видимо так обозначает там Вале значит Алекс ха
29:27
и так далее в своих книжках значит
29:32
CQ с таким свойством Что значит Ну вот это отображение этим свойством обладает
29:38
То есть qv к Рав га к ра Q от так и для
29:45
любого отображения п в любую асов ную алгебру с единицей обладающего этим
29:51
свойством существует единственное
29:57
отображение единственное отображение единственный гомоморфизм
30:02
алгебр единственный гомоморфизм алгебр ну скажем это гомоморфизм
30:15
алгебра значит такой который делает этот треугольник
30:22
коммутативность тако что есть композиция га
30:31
и Извините вот вот это определение алгебры
30:38
клиффорда Ну из Да
30:45
конечно вот значит это определение алгебры клиффорда из которого вытекает
30:51
что алгебра клиффорда если существует то
30:56
единственно то изоморфизма с точ до единственного
31:07
изоморфизма Ну да да конечно вот единстве
31:13
изоморфизма значит но Разумеется из этого не вытекает что такая алгебра
31:20
существует Но то что
31:26
сущест по той причине что она является
31:32
фактором тензорное бры Вот по этому
31:43
соотношению так значит ну
31:48
давайте я сформулирую первый раз что на существует потом я сформулирую это
31:54
видимо чуть поточнее и в более общей ситуации
32:04
но для этого мне придётся там поговорить о том что
32:11
такое что такое скалярные приз Дения над кольцами Там и так далее Что там
32:16
происходит при необратимой двойке потому что я хочу работать над произвольными Коми кольцами так это сегодня
32:26
приня Ну
32:32
теорема что CQ
32:42
существует Ну вообще на что это похоже вот то что мы сейчас здесь
32:48
видим на что это похоже это похоже на
32:56
значит очень похоже на те конструкции которые мы видели В общем курсе так вот
33:04
у нас в общем курсе Ну у меня точно но я думаю что и у других лекторов значит были конструкции в
33:11
третьем семестре конструкции трёх алгебр связанных с векторным пространством в конструкции
33:19
симметрической алгебры Извините тензорная
33:26
алгебра Ну тензорная алгебра – это то что называется алгебра контравариантность
33:46
[музыка]
33:56
алгебры и конструкция внешней
34:11
алгебры Так ну вот Давайте вспомним коротко что это такое значит Кстати да
34:17
конечно Я предполагаю это видимо частной случай внешняя алгебра потому что мы
34:24
нигде не говорили что у нас не выраж это правда да Да значит внешняя алгебра – это в точности частный случай алгебры
34:31
клиффорда которые получаются в том случае когда значит симметрической скалярное произведение наше является
34:38
нулевым так то есть совершенно верно значит алгебра клиффорда является
34:45
алгебра клиффорда является очень широким обобщением внешней алгебры Совершенно верно и ровно в таком качестве они как
34:52
бы в науке и возникли как инструмент который сводит
34:58
там какие-то рассуждения про пространство со скалярными произведениями к вычислениям в какой-то
35:05
алгебре ровно так вот значит Да но я здесь хотел сказать что я предполагаю
35:12
что все видели раньше тензорные произведения правда да и в том числе Те кто не видел их в общем курсе но все
35:18
видели В общем курсе значит но если нет то уж По крайней мере я об этом
35:23
рассказывал в прошлом семестре в курсе домино правда да Вот то есть все знают
35:30
что такое тензорное произведение там двух модулей над коммутативный кольцом
35:36
Ну и уж в любом случае такое нное произведение двух значит векторных пространств и в общем я это не хотел бы
35:44
напоминать так потому что на самом деле в общем курсе Мы конечно строили всё это
35:51
через Мы строили Мы начинали строить тензорные степени там симметрические
35:57
степени в пе потом их складывали Да но в действительности все эти алгебры можно
36:02
было определять иначе чем это делается в общем курсе А можно было определять так же как это делается здесь то есть
36:09
непосредственно через линейное отображение в в какие-то алгебры В какие
36:15
алгебры Что такое т от так т от – это
36:23
универсальный объект
36:29
в категории Ну универсальны отталкивающий естественно в категории линейных
36:36
отображений в в атина
36:45
алгебры с единицей Так значит То
36:50
есть есть отображение
36:56
из лю отображения другого линейного в любую
37:02
алгебру существует единственное отображение которое делает этот
37:07
треугольник коммутативный где а любая ассоциативная алгебра с
37:18
единицей Так ну вот на самом
37:23
деле то как это
37:29
рассказывалось В общем курсе это было фактически построение этого дела то есть
37:34
мы в начале стру или тензорные степени а потом говорили что тензорная
37:41
алгебра есть прямая сумма значит кольца
37:47
R модуля
37:56
вго Рось посредством ных произведений
38:01
которые тоже как-то там строились двум спосо или большим количеством СПО
38:08
вот значит То есть вот решение такой задачи существует вот
38:18
оно так что такое с этоже
38:26
сано отображение не в произвольно овно алгебры с единицей А
38:35
в коммутативный Совершенно верно Да да Значит то есть универсальный
38:44
объект объект в
38:50
категории линейных
38:56
отображений пси из V в А где А ассоциативная
39:07
коммутативность есть ровно тоже самое V
39:13
SV А где а ассоциативная
39:24
коммутативный гомоморфизм алб который делает это треугольник коммутативный значит как строилась алгебра т от V Ну
39:33
её мы могли строить также построив симметрические степени но мы её
39:38
строили не так Правда Да мы её строили как фактор тензорный
39:44
алгебры по идеалу по рождённому элементами тензор V ми V тензор
39:55
у так замечательно вот а
40:03
значит теперь Последний из тех примеров который у нас был до сих пор на самом деле мы
40:09
увидим ещё и другие примеры кроме у вас тут же возникнет вопрос
40:16
Кстати когда я сейчас построю алгебру клиффорда у вас должен ту тут же возникнуть
40:23
вопрос А почему мы сразу ещ один класс алгебры не рассматриваем
40:31
ещё одну такую же задачу Так ну Давайте вспомним значит
40:37
что А что за задачу Решало
40:44
решали внешние
40:56
алгебры Так значит ну внешне алгебры решали
41:03
такую же задачу
41:09
так но отображение в алгебру а алгебра а была
41:21
какой какой да что А что это такое как это
41:28
называется суче что ли Не знаю как это можно назвать вот я вас и
41:35
спрашиваю какая задача
41:40
решалась Ну она в любом случае ассоциативная конечно но в ней не всё что угодно
41:47
должно быть
42:04
для любого одно и тоже
42:12
что нет коне Что такое антив
42:18
алгебра вот нет именно
42:26
только вот значит просто рассматривается То
42:32
есть это ровно значит что внешняя алгебра это ровно алгебра
42:39
клиффорда для случая когда Q равно Ну так когда Q от ра Ну для
42:48
любого значит V Но это ровно значит поско мы предполагаем что поле характеристики не это ровно пока это
42:57
знат что наше скалярное произведение равно Ну то есть внешняя алгебра это
43:02
алгебра клиффорда для значит пространство с нулевым скалярным произведением Ну и вот здесь существует
43:09
единственное отображение единстве гомоморфизм алгебр
43:14
который делает этот треугольник коммутативный эту алгебру В общем курсе Ну опять же мы могли её
43:26
пр могли построить там каким-то другим образом да Но кроме того Мы строили её
43:34
единообразно при помощи нной алгебры как фактор нной алгебры
43:41
по Почему по идеалу
43:47
А ну да по идеалу по рождённому
43:53
значит порождён всеми такими НСО степени 2 Ну и
44:01
поскольку Это идеал однородный кстати и Это идеал однородный алгебра т
44:26
градуированная Фактори зуем по однородному идеалу ээ по рождённому
44:31
тензора степени два то тензоры степеней 0 и оди не меняются меняются начиная со
44:37
степени два плюс симметрические квадрат плюс симметрических куб ну плюс и так далее То есть эта
44:44
алгебра продолжает оставаться градуированной и то же самое здесь Посмотрите мы Фактори зуем тензор ную
44:51
алгебру по идеалу порождён э однородными тензора в степени два
44:57
поэтому конечно начало тоже не меняется так начало не меняется То есть
45:03
это будет плю плюс Ну а дальше будет внешний
45:09
квадрат дальше будет внешний куб и так
45:14
далее так Ну если пространство конечно мерно то это довольно Скоро оборвётся Вот Но в общем
45:24
случае вот это то что В общем случае то что называется
45:30
алгеброй ФОКа вот Ну
45:36
примерно пополнение а
45:47
значит а теперь мы хотим решить какую-то задачу
45:52
которая ну очень похожа на те задачи которые мы решали до сих пор правда да
45:57
Ну очень похоже Ну так как мы е
46:03
решим точно также решим мы просто возьмём терну алгебру туда-то существует
46:11
заведомо отображение которое в любое отображение переходит Ну
46:19
а теперь мы просто
46:25
профазу только по ним так то есть как мы
46:31
определим алгебру клиффорда значит положим
46:36
а C vq равным фактор алгебры т от V
46:47
по Ну по идеалу по рождённому Чим вот там мы Фактори зова у Тен у А
46:55
здесь нужно Тен у ми минус совершенно верно Вот и
47:02
всё так ну и совершенно Понятно Ну это просто ровно то же доказательство
47:09
которое было в общем курсе для этих случаев что вот то что мы так построили и решает вот ту универсальную
47:16
задачу которую мы хотели решить универсаль два ра универсальную
47:23
конструкцию применяем получаем универсальную конструкцию Ну примерно так да вот значит То есть
47:31
мы значит решили ту задачу которую мы хотели решить мы построили некоторую алгебру в
47:39
которой квадрат каждого Вектора в алгебре равен скалярного квадрату этого вектора в
47:48
пространстве вот ну это алгебра Кстати она немножко отличается в одном аспекте
47:55
отте ал кото Мы только что перед этим обсуждали которые обсуждались в общем курсе от симметрической и внешней она в
48:03
одном аспекте отличается В каком Вот мы только что заметили что и
48:09
там и там и вот здесь мы Фактори зова по однородному идеалу А этот идеал
48:17
порождён однородными разве элементами Так это значит градуировка
48:24
здесь сохранится Ну во ответ правильный Да значит
48:31
градуировка Z градуировка как алгебры не сохранится то как как векторного пространства А как алгебра не сохранится
48:38
это не будет значит умножение там не будет правильном умножением
48:44
Да вот а но при этом мы Фактори по идеалу который подн
48:54
элементами содержа только тензоры счётных валентностей
49:00
так вот значит здесь степень валентность 2 да а здесь ну то есть это значит что Z
49:07
градуировка не сохранится но деление на та ска чётные
49:14
компоненты могут смешиваться и нечётные могут смешиваться но чётные с чётными неми
49:21
могут смеши есть что полум суммой прямой чётной
49:29
части и нечётной [музыка]
49:35
части То есть это будет то что так сказать называется супе алгебры Вот то есть это
49:44
значит что нам в частности придётся Значит нам
49:53
придётся переосмысливать все понятия Ну например произведения алгебр нам придётся
49:59
определять по-другому с учётом вот этой дивки с учётом знака Так что сделал Вале в пят чем
50:08
году вот ну и вот наша первая цель состоит в
50:15
том чтобы шить эти алгебры то есть Давайте Сейчас я вам буду говорить что я вам Планирую в этом семестре
50:24
рассказать значит что будет
50:34
рассказано Значит первое это структурная
50:44
теория алгебра клиф но причём в общем случае так то
50:52
есть мы научимся в этих алгебра считать мы скажем Чему равны их центры как они вообще устроены вот эти алгебры они
51:02
являются тем что называется градуированный алгебра азума так то есть они тесным образом связаны с
51:10
арифметикой нашего поля или кольца
51:15
Так значит вот мы узнаем там чему ра Чему равен центр
51:22
чётной части там ну и так далее То есть изучим вот классическую структурную теорию таких агб Значит эта структурная
51:28
теория она была развита значит в пят чето году
51:37
Вале И сейчас мы узнаем Почему по какому поводу Ну и вот значит
51:44
первый источник который кстати и сегодня очень неплохо смотрится значит
51:51
это потому что картана я вам читать вот совсем уж классику я вам читать не посоветую картана я в него заглядывал
51:57
Саша вы тоже заглядывали Наверняка да его читать не просто правда да то есть у картана там он всё пишет уравнениями в
52:05
явном виде и значит не пытается как бы за этим Ну может время просто не было
52:12
такого языка ещё даже да то есть он сам как раз его и придумывал значит не пытается каким-то инвариант образом это
52:19
определить А вот Шева Хотя написано больше 50 лет назад
52:25
читается и сегодня очень легко Прим нужно читать конечно не книжку а в
52:34
его избранных трудах значит это
52:44
[музыка]
52:52
называется это вышло в издан
52:57
а В девяносто седьмом что ли
53:10
году Ну где-то так да в дено седьмом
53:16
году Вот и в Томе 2 там значит два
53:21
текста Вале и несколько значит текстов их сопровождающих
53:27
значит а именно там перепечатка его книжки алгебраическая теория спинорог по
53:33
Алгебра клиффорда Ну и Кроме того два Значит других текста там д Дане и
53:40
бургиньон в котором рассказывает что такое спинор что они значат сегодня там
53:45
и что вообще какое место всей этой науки Вот то есть это вот такой
53:52
э некий важный очень классический текст но в действительности я вам собираюсь
53:58
рассказывать структурную теорию вс-таки не для полей Т вот валея рассказывает
54:04
структурную теорию для полей правда для всех полей включая поля характеристики 2
54:10
Но для полей характеристики 2 там всё-таки вот есть некие нюансы
54:16
которые то есть формально так сразу не
54:25
за бы не решает систематически но дело в
54:31
том что они были систематически сняты только уже гораздо позже Вот Но в действительности в том
54:38
что касается структурной теории я конечно буду следовать другим более поздним источником в основном который
54:44
Вам сейчас
54:50
[музыка] назову
54:57
у как алгебра что это в
55:03
действительности либо матричные алгебры над телами либо суммы таких алгебр что-то
55:12
таком духе вот Ну вот есть современные источники несколько Давайте я вам значит
55:19
назову пару
55:25
кни обсуждается структурная теория в книжке которая совсем недавно вышла Ну относительно недавно вышла это
55:32
книжка значит хельм
55:39
тетте и
55:45
и ми
55:50
кали значит книга называется
56:10
значит хойзер
56:18
2008 год Вот И там обно
56:25
такая ковно кольцо произвольная форма то есть
56:30
никаких предположений отно не выраженности формы не делается вообще
56:35
никаких предположений отельно обратимости двойки не делается вообще Ну вот как бы развивается структурная
56:41
теория Вот в такой вот общности Так значит алгебр клиффорда Ну и каких-то
56:47
вот связанных с ними там групп на самом деле они там даже изучают не группы клиф А то что они называют лише своми моими
56:55
Но неважно вот значит Ну вот Вале я вам назвал Ну ещё
57:02
один источник в котором излагается примерно в такой общности чуть меньше
57:07
общности чем здесь Но примерно такой общности это книжка Александра хана Так значит которая называется
57:25
растат у вас вопрос А какого класса какой класс алгебры Мы ещё не
57:32
определили
57:45
квадратик
57:55
groups так это шпрингер
58:00
тоже девяносто четвёртый год
58:05
вот ну и ещё один очень полезный текст общего
58:13
характера тоже где кстати масса деталей
58:21
для модулей небольшого ранга это текст значит Макса кнуса Мак Альберта
58:29
кнуса который называется
58:55
ф вышел лекции там университета кампинас
59:09
года но в интернете можно найти на самом деле вот значительная часть того что
59:14
здесь попала в близком духе в
59:25
книжку юде начинается с определения Агры Лида в
59:33
таком Ду и бы ничего другого нет нужно вле е много другого преодолеть
59:38
чтобы до этого места дойти
59:46
правда это замечательная
59:55
книга ном порядке к нус меркурие рост и тень правда я в правильном порядке их
1:00:01
воспроизвёл Да КС А
1:00:07
меркурьев рост Маркус Ну вот Александр Сергеевич
1:00:14
меркурие Маркус рост и ль
1:00:19
[музыка] Вот то есть те кто более уверены в своих
1:00:24
силах могут читать эту ни з ситуа обратная знат есть книга хана
1:00:30
уми которая тоже есть глава алгебры клиффорда и там спинор
1:00:37
норма Но вот книга ханами содержит меньше деталей чем эта книга это
1:00:44
написано позже и более подробно чит но у кого есть книга хана уми могут читать также книгу
1:00:54
мимира Ну не всю книгу опять же а нужную
1:01:01
главу книгу которая называется вот с собой
1:01:11
даже классические
1:01:24
группы структуре алгебры клиффорда над котив кольцами и спинор норме вот значит и вот
1:01:34
это вот первый такой блок который я собираюсь вам
1:01:40
подробно рассказать Ну вот это не так долго значит как кажется я думаю лекции
1:01:46
2Д с поно Вот То есть определить АБ
1:01:54
произвольным и вот вычислить центры Это не просто алгебра это алгебры с
1:02:00
инволюции на самом деле с двумя инволюция вот
1:02:05
значит ну и так далее То есть классическая структурная теория таких алгебр
1:02:11
так то есть – это алгебра с инволюции алгебра с
1:02:24
инволюции всем очевидно одна инволюция да одна инволюция – это замена знака здесь Да но на самом деле чуть менее
1:02:33
очевидно что есть другая инволюция которая обращает порядок ножи То есть у тензор в
1:02:40
переводит в нзр у так но вот на самом деле можно взять произведение этих
1:02:46
инволюции композицию Вот это и будет то что называется главно инволюции алб кото
1:02:52
играет огромную роль кото играт туже ро
1:02:58
сопряжение в к вот значит это вот Первый кусок значит
1:03:05
дальше после этого я бы хотел отождествить
1:03:10
алгебры вот второе вторая тема – это отождествить эти алгебры над
1:03:15
классическими полями тут тоже возникает очень интересная и очень важная ве очень
1:03:21
важная в том числе за пределами алб сейчас я об этом скажу Но
1:03:26
пока я Вас спрошу возникли ли у вас мысли по поводу того чего мы не
1:03:32
определили так Ну давайте пока у вас эти значит мысли не возникли я не буду вам
1:03:39
называть вторую вещь которую мы будем изучать а немножко поговорю ещё об этом и они у вас такие мысли возникнут в
1:03:46
процессе так значит а именно Ну вот я
1:03:51
вам сказал что если поле характеристики не два то квадратичная форма тоже самое невыраженная билинейная форма правда Да
1:04:03
симметричен но не вырожденная это ерунда конечно Значит симметрическая скалярное
1:04:09
линейное скалярное произведение так Ну как в этом случае
1:04:15
будет задаваться какое соотношение будет возникать так если посмотреть не на Q а
1:04:24
посмотреть на значит
1:04:31
на то есть я вам определил алгебру CQ Ну так это тоже самое Ну или изоморф если
1:04:38
хотите что CB вот по каким соотношениям мы Фактори
1:04:44
зуем что мы хотим Ну
1:04:54
ра
1:05:01
вот я и спрашиваю какое соотношение вы хотите правильно да дадада Совершенно
1:05:09
верно Мы хотим чтобы выполнялось следующее соотношение чтобы у нас было отображение гамма из V в
1:05:16
CB но у нас есть Гама га плю
1:05:22
Гага и чтобы это равнялось чтоб это равнялось правда да Или
1:05:34
д да это правда вот но в тот момент когда я скажу что у нас поле характеристики любой а не только не два
1:05:42
в этот момент я эту двойку должен буду зачеркнуть но при этом рассматривать не
1:05:48
не то что до сих пор мы
1:05:54
расс Должен написать двум вот Ну и это ровно значит что я должен эту алгебру
1:06:01
строить так я должен Фактори зовать тензор наю алгебру по идеалу по рождённому чем Ну тем что здесь написано а тезер на
1:06:10
V п V тензор на у минус
1:06:16
buv а два а а вы хотели чтобы оно было са Ну конечно да да да конечно конечно
1:06:26
Вот то есть вот значит алгебру клиффорда в действительности мы могли для поля характеристики нед определять таким вот
1:06:33
образом для поля характеристики
1:06:41
нед вот ну и на самом деле вот вот это вот в таком виде эта формула Она
1:06:47
позволяет вам Анти коммутировать Ну например эта формула позволяет вам сразу сказать Чему равен Базис алгебры
1:06:54
клир вот из этой формулы сразу вытекает что
1:07:00
размерность алгебры клиффорда Я здесь напишу K в степени N
1:07:08
здесь я напишу скажем так вы мне тут же скажете чему это
1:07:14
равно А здесь ВС
1:07:21
написано также как Мы строили Базис нам это соотношение
1:07:27
позволяло расставлять базисные прония образов базисных векторов в любом порядке Ну например в
1:07:36
порядке возрастания индексов то есть вот если Базис здесь значит
1:07:43
Е1 то Базис это
1:07:50
Базис то Базис в качестве базиса
1:08:00
АЦ ВБ можно
1:08:05
взять Так ну всё здесь содержится в том что я написал всё содержится Так ну оста продиктуйте мне кто-нибудь
1:08:13
Рома вы знаете Вы получили Отлично На экзамене
1:08:18
поэтому вы должны
1:08:24
знать произведение базисных векторов В каком
1:08:30
порядке Ну конечно да дада да значит Е
1:08:35
гамма E и1 гамма E
1:08:41
и2 и так далее гамма E им где Значит от чего от нуля
1:08:50
до вот а значит и1 Мень чем и2 Мень чем и далее меньше
1:08:56
чем и от единицы до Так значит вот такой вот Базис
1:09:02
алгебры клиффорда Ну и вот как бы использовать соотношение мы можем
1:09:08
понимаете да брать взять двали таких выражения
1:09:13
умножить и
1:09:24
переписать никакими соотношениями неть Ну ровно также как мы доказывали
1:09:31
для внешней алгебры это ровно тоже самое доказательство я пока сейчас ничего не доказываю Но это ровно тоже
1:09:36
доказательство которое мы доказывали в общем курсе для внешней алгебры Дело в том что как векторное
1:09:44
пространство это алгебра от не
1:09:49
зависит как векторное пространство как модуль она от не зависит
1:09:56
То есть как модуль Ну потому что значит в этих вот
1:10:03
соотношениях старшие члены переписываются также как во внешней алгебре а все члены дополнительные
1:10:08
которые возникают они меньшей степени строго меньшей степени понимаете поэтому
1:10:14
умножение деформировано то есть на самом деле так сейчас я вам скажу страшные слова Значит на алгебру клиффорда
1:10:21
правильно смотреть как на квантова внешнюю алгебру то есть внешнюю алгебру в которой
1:10:28
сложение такое как было а умножение деформировано То есть к тому умножению
1:10:34
которое было добавляется ещё что-то меньших степеней вот как модуль
1:10:41
[аплодисменты] изоморф
1:10:53
внешне с что-то Дока Я говорю а только для того чтобы вас навести на мысли о
1:10:58
том чего же мы ещё не определили что вам ещё хочется
1:11:04
определить нет подождите подождите какую алгебру вам ещё хочется определить у нас вот было так это можно стереть тоже У
1:11:11
нас было до сих пор построено значит была построена тензорная алгебра
1:11:18
но она такая большая совсем
1:11:24
больша сказал вы знали нет Это правильно
1:11:29
Это правильно вы догадались Да это правильно но только тогда б должна быть
1:11:36
не симметричной а а а какой правильно
1:11:43
ровно так и это алгебра это то что французские товарищи называют значит
1:11:50
Симплекс алгебры клиффорда Но то что все остальные всё-таки называют алгеброй ля
1:11:55
так Совершенно верно то есть значит вот у нас было Вот что у нас была нря алгебра
1:12:03
Но она как бы надо всем живёт у нас была симметрическая алгебра у нас была внешняя
1:12:09
алгебра внешнюю алгебру Мы
1:12:17
деформировались тоже
1:12:24
хочется
1:12:29
Симплекс скалярное
1:12:35
произведение Вот такая алгебра называется алгеброй
1:12:42
вейля алгебра вейля Ну вот я повторяю что во
1:12:47
французских источниках она называется Симплекс алгеброй клиффорда симпле алгебра клиффорда
1:13:06
Ну и конечно она получается факторизации по соотношению Уте V ми
1:13:13
V миб Ну и понятно что поскольку это
1:13:19
Симплекс то при перемене у и в это меняет знак и это меняет знак да то есть
1:13:24
всё правильно потому что там симметрическая там при перемене не меняло Да здесь при
1:13:30
перемене Вот это очень интересная алгебра но и тоже если у нас останется
1:13:36
время я вам расскажу но уже просто только расскажу то что остальное что собирался рассказать я вам расскажу про
1:13:43
строение этой алгебры Но это как бы уже бонус Это я не обещаю Вот потому что это
1:13:50
очень интересная алгебра но например там в случае поля
1:13:56
эта алгебра является кольцом Ора То есть у неё там есть тело
1:14:02
частных Вот но исключительно интересный пример с Кольцевой точки зрения алгебры
1:14:09
вот значит ну потому что как бы здесь есть делители нуля и это как бы
1:14:16
в тело так сразу не вложить да а это вот получается кольцо
1:14:22
оры то есть вкладывается в тело очень интересная алгебра действительно Ну если конечно форма не вырожденная естественно
1:14:29
если форма вырожденная там получается тензорный множитель как всегда рный
1:14:35
множитель просто внешняя алгебра Но это как-то в тело трудно вложить вот значит
1:14:44
вот это Первый кусок Ну и продолжение Если будет время Так знат теперь
1:14:51
следующий кусок который я собирался вам рассказать это классификацию
1:14:58
алгебр клиффорда над классическими полями То есть как конкретно устроены
1:15:03
алгебр клиффорда над классическими полями Ну и Разумеется как они устроены
1:15:09
над C и над значит это как раз ровно выяснил картан
1:15:16
и это то что значит все остальные математики называют периодичностью
1:15:23
ботта Но поскольку значит её открыл картан Вот Но картан её открыл в другой
1:15:30
ситуации алгебраический вариант это алгебраический вариант периодичности ботта Так значит а именно следующий
1:15:37
кусок Вот первый я вам сказал структурная теория второй кусок
1:15:53
классификация [музыка]
1:16:04
второй кусок – это классификация это Первый
1:16:10
кусок второй – это
1:16:15
классификация а в а K
1:16:23
CQ на
1:16:32
Ну вот значит на я вам вряд ли что-то смогу рассказать много более того что
1:16:38
было известно к началу д века то есть картан или картан
1:16:44
классифицировал над и а Диксон класи над конем
1:16:53
полем писал как они явно устроены вот сколько их там есть и как
1:16:59
они устроены Ну и значит над R допустим Будем считать что
1:17:08
Q Не выраж ну
1:17:15
невырожденные как мы знаем невырожденные квадратичные формы
1:17:22
полностью определяются размерностью количеством переменных и ещ одним ровно ин вариантом
1:17:29
каким Так вы
1:17:42
сдавали сигнатура так и называется Да значит То есть нар пространство с
1:17:53
недева
1:17:59
так они выглядят следующим образом значит Q от X1
1:18:06
xn Так ну и нужно мне здесь поставить вторую скобку Да наверное
1:18:12
нужно значит равняется X1 в квадра плюс и так далее п
1:18:20
XP – XP + 1К ми и так далее минус XP + Q к где p +
1:18:29
q = n p + q = n это вот
1:18:36
размерность значит размерность а а второй инвариант
1:18:42
сигнатура а p – q Вот и совершенно поразительное
1:18:50
открытие картана ээ состояло в том Ну которое потом сыграла огромную роль во
1:18:56
многих вещах состояла в том что алгебра клиффорда вот пространство RP п Q То
1:19:05
есть я уже когда написал Вот это я могу больше ничего не писать да когда я написал Вот это это уже указывает форму
1:19:10
правда да Значит эти алгебры Ну на самом деле не сами эти
1:19:16
алгебры сами-то эти алгебры конечно Значит не точностью до изоморфизма эти
1:19:23
алгебры А с точностью до того что называется морето
1:19:28
эквивалентность то до замены кольца она матрице над ним над этим кольцу значит с
1:19:34
точно до мо эквивалентности эти алгебры значит с точностью
1:19:43
до до море этой
1:19:53
эквивалентности
1:19:59
периодично значит ну по P ми Q по модулю
1:20:09
8 Ну на C они периодич по модулю 2 вот а на по модулю
1:20:18
8 что имеет очень глубокий смысл кстати вот на самом деле это ровно те же самые
1:20:23
которые то есть кажется что кажется что алгебры клиффорда АВ а
1:20:29
алгебра нев но это только кажется нет алгебра
1:20:35
конечно нети на самом деле это ровно которые вот вот эти
1:20:42
Так и это объясняется в книжке книжке
1:20:53
ва периодичность там стабильных
1:20:59
гото ортогональной группы она влечёт периодичность в ортогональной теории по
1:21:05
модулю 8 вот которая называется периодичностью
1:21:10
Бота
1:21:20
периодич то есть вот это вот значит играет это периодически играет огромную роль в
1:21:27
топологии и в теории в топологической теории Так ну вот на самом деле на
1:21:34
русском это можно прочитать Вот это можно прочитать в статье
1:21:39
ая бот и шапира которая называется фр модули
1:21:52
клиффорда в там в теории в книжке отик теории там одно
1:21:58
из приложений э статья переведена вот значит То есть в
1:22:03
действительности то что мы узнаем это есть алгебраический исходник периодичности бу алгебраическое
1:22:09
объяснение того почему имеет место периодичность Бота
1:22:15
Вот это вторая тема которую вам собирался рассказать
1:22:20
знат После этого я буду рассказывать то что уже нужно непосредственно нам значит
1:22:27
а именно я буду строить спинор группы так изучать строение спинор Гру третья
1:22:34
тема это спинор
1:22:43
Груп Вот и вот как раз значит здесь мы увидим огромную разницу которая
1:22:50
есть между группами скажем R с одной стороны и
1:22:56
группой SP 2lr и группой
1:23:02
so nr Но на самом деле группа SR она образует две серии вот э серия an
1:23:10
-1 это серия CN CL если с точки зрения там алгебраических групп или групп ли
1:23:18
Вот вот эти группы они разбиваются на две серии в зависимости от того чётная или неч
1:23:27
значит 2 П 1 это серия
1:23:32
и 2 это D Но вот оказывается что эти
1:23:42
группы устроены по-другому И принципиально сложнее чем эти
1:23:48
группы Ну то есть наме общем вещах проявляется но например
1:23:56
если вы возьмёте факторы этих групп по центру Ну вот как групп точек не как
1:24:01
алгебраических групп а просто группы точек возьмёте факторы по центру вы получите конечные простые
1:24:08
группы Ну вот эти группы они ну над полем допустим совершенны Ну там кроме
1:24:15
одного исключения Ну кроме трх исключений Ран я
1:24:22
вообще не думаю о НМ так сказать да конечно слишком маленькая группа она не совершенно Поля из д ИТ элементов А
1:24:30
[музыка] с 4 не совершенно над полем из двух элементов Вот Но вот если Вы посмотрите
1:24:37
на эту группу то ничего похожего вы не получите То есть если вы Рассмотрите её
1:24:42
фактор по центру то получився группа не будет
1:24:48
простой и тах вот мас с не получается для ортогональной
1:24:57
Гру вот в чём причина этого так Ну вот
1:25:03
причина этого топологическая скажем Ну она же алгебраическая для алгебраический
1:25:10
замкнутого поля состоит в том что вот эти группы одно
1:25:20
связаны а Эта группа не односвязная
1:25:28
Если вы посчитаете значит её фундаментальную группу скажем на с Ну в
1:25:35
любой топологии хоть алгебраическую фундаментальную группу хоть обычные комплексное топологии вы получите что её
1:25:42
фундаментальная группа имеет порядок два такт для алгебраически замкнутого
1:25:50
поля то есть Эта группа не является не является
1:25:57
односвязной Вот но так в ЧМ здесь дело а вот Дело в
1:26:02
том что на самом деле над ней висит настоящий аналог этих групп а именно
1:26:09
спинор группа то есть мы вот как раз нашей третьей целью является
1:26:17
построение спи
1:26:23
Гру из длины накрываю длины
1:26:28
накрываю специальные ортогональные группы Ну и изучение получившихся
1:26:35
групп и того что с ними связано там значит вокруг них на самом деле Ну вот
1:26:42
возникает просто масса разных
1:26:48
моментов кот
1:26:54
принци сложнее чем изучение специальной линейной и Симплекс
1:27:01
группы сейчас я упомяну о некоторых этих моментах
1:27:07
Так значит Ну
1:27:18
и всей сложности мы не увидим Пока тот я вам намекнул э и и дальше как
1:27:27
раз я планирую подробно это всё обсудить э так
1:27:36
э значит Ну вот мы построим спинор ную
1:27:44
группу спинор ную группу спин
1:27:51
nr построим её гомоморфизм в специальную
1:27:56
ортогональную группу Son
1:28:08
так а вот дальше
1:28:14
интересно вот то что стоит дальше это и есть то что мешает фактор группе этой
1:28:20
группы по центру быть
1:28:27
ру так и то что стоит дальше значит вот это в
1:28:36
действительности было вычислено для
1:28:52
коммутативность та статья
1:28:57
басса которая
1:29:15
[музыка] называется года вот где значит просто впервые для
1:29:24
произвольных
1:29:40
[музыка] коммутативный группы
1:29:45
Да значит ядром является образ значит
1:29:51
является группа Омега nr значит образ а спин nr в
1:30:02
SR Вот это называется ядро спинор
1:30:07
нормы ядро спинор
1:30:12
нормы а само это отображение называется спинор
1:30:22
нормой вот на самом деле я не буду обсуждать спинор ную норму для
1:30:29
анизотропного случая Это довольно сложно сделать та ну скажем для вещественного поля
1:30:36
она это отображение субъективно для анизотропного случая то есть для компактных групп оно субъективно а в
1:30:42
общем случае это довольно сложно вот Но для случая нени
1:30:52
зап который нас как алгебра больше интересует нас интересует
1:30:57
случай когда вот квадратичная форма Ну или билинейная форма содержит хотя бы
1:31:03
одно гиперболическое слагаемое А
1:31:11
что произнесли Запретные слова
1:31:17
H1
1:31:22
яи слов Не произношу конечно да это верно Да ну может быть в своё
1:31:30
время всё в своё время вот значит Ну
1:31:35
да вот если форма содержит ну скажем начинается вот так
1:31:44
вот наша квадратичная форма так то тогда для
1:31:51
поля для поля вот спинор норма принимает значение
1:32:00
в в зв пока квадрат для поля её довольно легко
1:32:10
описать она принимает значение здесь а для кольца там что-то ещё появляется там появлятся какие-то элементы группы
1:32:16
пикара Там и так
1:32:22
Дале Вот то есть на самом деле то что я вам сечас пытался сказать Вот настоящим
1:32:30
аналогом этих групп вот этих групп является не Вот эта
1:32:35
группа а является спинор группа Ну причём даже в большей степени
1:32:43
чем группа Омега потому что спинор э группа является алб птся поми уравнения
1:32:52
РУП АБ Так значит То есть настоящим
1:33:05
аналогом SL и [музыка] sp2 является вовсе
1:33:15
не а спи и
1:33:22
вот Как устроена группа СН Как устроен е
1:33:28
образ Как устроен фактор значит по образу этого
1:33:34
отображения и так далее значит причём понять для тоже для произвольных
1:33:52
коммутативный N = 2l значит Дело в том
1:34:00
что Вот эта группа она
1:34:07
будет она допускает она является линейной группой То есть она допускает
1:34:13
конечно мерное линейное представление полиномиальное даже
1:34:20
вот нари обх которы как раз и называются спино и которые живут внутри алгебры
1:34:29
клиффорда Так значит но разница состоит в том что
1:34:35
для нечётного мы получим не приводимое представление значит в степени
1:34:44
2 а для чётного вот представление степени
1:34:51
2 кото буде фр оно будет приводим оно
1:34:57
будет ра складываться в прямую сумму двух не приводимых
1:35:02
представлений Значит на единичку меньшей степени двойки так вот то есть оно само
1:35:11
спинор представление для чётного случая не будет Не приводи с этим связано очень
1:35:22
фун физи тут конечно физики все придумывают специальные слова Вот такие вот спино
1:35:29
физики называют СМИ ди а вот такие спино
1:35:35
то что мы называем полус Они называют спира
1:35:40
веля А если поле вещественных чисел то сно марана и так далее у них на ВС есть
1:35:52
отдель
1:36:02
фми то есть значит Ну в тот момент когда я вам это определю я постараюсь нуно
1:36:08
поскольку поскольку в лекциях кнуса там в приложении терминология математическая
1:36:15
отождествляется с терминологией физической то значит я думаю что Прочитав то что написано Я тоже смогу
1:36:20
это сделать вот и мы все узнаем что мы так сказать знаем всё о чём говорят физики
1:36:27
просто никогда не знали что Мы это знаем Вот Но значит смысл в том что вот мы
1:36:34
построим для нечётного N мы построим
1:36:41
группу спин которая сидит над S 2 П 1 так это
1:36:52
CL вот а для
1:36:57
чётного мы построим группу спин и вот для чётного L возникнет ещё
1:37:05
одно важное различие возникнет различие между случаем L равным 4 Извините L
1:37:13
Рав само L чётно или нечётно L ра 2 П 1
1:37:20
и 2 Томи словами 4 + 2 и =
1:37:30
4 вот значит в этом случае мы построим группу спин
1:37:38
2 L которая сидит над 2 которая сидит над P Ну Даше что
1:37:47
вам муто так хочу потому что я занимаюсь
1:37:54
алгебраическими группами я я не знаю что такое псо а тем более P Омега – это не
1:38:00
алгебраические группы То есть я догадываюсь что это такое но это не алгебраические группы вот PS 2l И тем
1:38:07
более P Омега 2 это не алгебраические вот а здесь картинка
1:38:13
будет интереснее здесь есть группа спин 2 L так но эта группа
1:38:22
она она не имеет точного не приводимого
1:38:29
представления так чтоб построить точное представление я должен сложить какие-то
1:38:34
два из этих значит А здесь будут представления значит обычное векторное
1:38:41
представление полуспиртовой
1:38:56
G2 вот а значит Ну и вот с этим связано масса
1:39:02
тонкостей которые сейчас просто у меня нет времени обсуждать потому что иначе я
1:39:07
не смогу упомянуть значит то что я ещё хочу упомянуть что мы будем изучать в
1:39:13
этом курсе так Ну например Давайте я просто намекнула А вот допустим мы вот
1:39:20
здесь Мы строили что-то что сидит на дсу Но на самом деле со – это собственные
1:39:27
вращения вращения которые с определим единица но у вас же значит кроме
1:39:33
собственных вращений бывает не собственные вращения с определителем минус едини да Так значит но при этом
1:39:39
сохраняющее все расстояние то есть не подобие А вот группа
1:39:47
О вот на нени сидит группа
1:39:55
пин но при этом оказывается что э группа пин в отличие от группы
1:40:02
спин уже не единственно можно по-разному выбирать в алгебре клиффорда так по разном источ
1:40:10
диморфизма по разному вот Ну да вот значит Но на самом
1:40:17
группа подой то есть
1:40:23
подобие понятно Да они сохраняют отношение скалярных произведений но не сами скалярные произведения они умножают
1:40:30
скалярное произведение на какой-то мультипликатор Вот то есть ну что такое
1:40:37
подобие в школьной геометрии Да вот а вот над ней что-нибудь сидит
1:40:43
таким же образом в алгебре клиффорда
1:40:48
Ну Груп Лир вещей Да так сказать вот как
1:40:55
устроена Омега чем порождается Кстати эта
1:41:00
группа то есть масса интересных вопросов Вот чем
1:41:08
порождается чем порождается группа спин 2 ну скажем спин
1:41:15
N Но вот чем порождается э группа над
1:41:22
полем в изотропной случае это я вам скажу потому что она порождается некими
1:41:28
элементарными образующими которые вам просто явно опишу
1:41:34
так вот то есть это вот как раз то
1:41:40
что то что играет основную роль в в алгебраической
1:41:46
теории так то есть на самом деле Значит мы узнаем Ну
1:41:53
для для поля мы узнаем как бы настоящие образующие этой группы а для кольца они
1:42:00
всю группу не порождают Но порождают большую подгруппу в ней то есть в частности мы узнаем
1:42:07
образующую мы узнаем значит очевидной
1:42:15
образующий образующий
1:42:21
спин но в действительности вот поскольку они очевидные то они всю группу не порождают они порождают подгруппу
1:42:30
е Вот образующие для всей группы Мы вряд ли узнаем это нам рассказывал в декабре
1:42:37
Рави рауна но как я понимаю там текста нет до сих пор где Доказано было бы что
1:42:43
они порождают всю группу там но в общем но есть примеры того что они выходят за
1:42:49
пределы епин так называе матри суслина В общем может быть мы может быть к концу
1:42:55
семестра мы и напишем может мы получим как раз текст о траве Где будут написаны образующие вот э может мы узнаем
1:43:02
действительно все образующие Ну при каких-то предположениях на кольцо вот э
1:43:07
значит Матрица суслина и так далее Вот но Давайте я вам упомяну ещё э значит
1:43:13
несколько тем которые я хотел бы в этом семестре м
1:43:21
[музыка] ещё две Ну вот кстати да вот э тема
1:43:28
четыре образующие соотношения образующие
1:43:42
соотношения значит ну давайте
1:43:49
я вс-таки ещё немножко помедитируйте ещё 5
1:43:54
минут значит а именно Давайте я вам [музыка]
1:44:01
нарисую диаграммы дынкин Так ну кто-то из вас знает что это такое
1:44:07
из курса культуры математических рассуждений то есть теперь это оказывается рассказывается на первом
1:44:12
курсе как я сегодня узнал причём до всякой
1:44:22
алгебры Ну раз были системы корней то были диаграммы дынкин
1:44:34
Ну вот значит на самом деле я сейчас нарисую вам диаграммы
1:44:41
дынкин не вы знаете Давайте я лучше нарисую на этой доске потому что чтоб
1:44:47
места было больше эту доску я потом смог
1:44:53
поднять наверх и чтоб продолжать писать
1:45:02
[музыка]
1:45:21
дальше
1:45:29
значит а L диаграмма дынкин выглядит вот таким вот
1:45:35
образом Сейчас я скажу зачем я это рисую BL вот таким вот
1:45:46
образом CL вот таким вот образом двойственная к этой
1:45:55
так ну в какой-то момент для тех кто либо вы все прочтёте что это такое либо
1:46:02
в какой-то момент я вам расскажу вот
1:46:07
ну либо те кто ходят на семинар узнают на семинаре
1:46:15
вот при помощи этих диаграмм там в терминах этих диаграмм описываются комбинаторные вещи типа систем корней
1:46:22
там рештки Весов и так далее при помощи которых строится представление соответствующих групп и вот в чём
1:46:29
принципиальное различие между вот этими случаями и вот этими случаями оно стоит
1:46:37
в следующем вот эта теория классическое представление называется теория картана
1:46:51
вейля э Тери следующем что все представления строятся
1:46:56
примерно так значит берутся какие-то фундаментальные представления которые
1:47:02
отвечают Вот диаграммам вершинка это этих диаграмм берутся
1:47:08
их тензорные произведения какие-то и в них выделяются неприводимые
1:47:16
слагаемые Вот и оказывается что все фундаментальные представления
1:47:23
для этого случая И для этого являются степенями первого фундаментального
1:47:29
представления который отвечает вот первой вершинки Это я
1:47:35
написал первый фундаментальный вес Вот оказывается что все остальные
1:47:43
фундаментальные веса в этом и в этом случае
1:47:48
являются чит просто имеют такой вид значит E1 + E2 E1 + E2 + E3 Ну и так
1:47:59
далее E1 п
1:48:06
е Вот и те представления которые им отвечают Так значит э то есть вот
1:48:15
фундаментальное представление свесом Пи это есть
1:48:21
просто Ита внешняя степень фундаментального представления с
1:48:26
первым весом то есть иными словами Ну а внешняя степень метрические Тен иными
1:48:33
словами Ну че Но это просто даже не фактор Это буквально слага то есть
1:48:39
тически но Ну вот который относится теории катана Да классическая все
1:48:45
представления
1:48:51
строятся кто
1:48:59
представление то есть вот у этой группы и у этой группы у SL и нух
1:49:09
алгебр все представления строятся из векторного представления при
1:49:17
помощи пере
1:49:23
не приводимых под пространство то есть ничего кроме тензоров и не
1:49:29
существует Конечно мерно вот у и
1:49:34
исп А вот у этих групп всё обстоит немножко не так вот у этой
1:49:42
группы первые веса выглядят также то есть вот эти вот досюда веса
1:49:51
являются преставления бу внешними степенями векторного
1:49:56
представления то есть вот здесь будет стоять Что там должно стоять Е 1 плю и
1:50:02
так далее плю El – 1 А вот здесь
1:50:08
вот а вот здесь появится то с чего Мы начинали сегодня здесь появится 1/2 1/21
1:50:21
ПП з здесь будет начинаться Е1 так но здесь тоже самое Е1
1:50:28
п здесь степени доходят
1:50:33
[аплодисменты] досюда [музыка] -2 А вот последние два последние два
1:50:42
фундаментальных веса выглядят так Е1 П –
1:50:48
1 +
1:50:54
спино веля и El – 1 ми отрицательный
1:51:03
полус пожалуйста а Да извините то есть
1:51:09
вот значит то что я говорил вот это вот есть 1/2 вот это вот 1/2 – это полуй
1:51:15
спин это то что значит объясняет наличие
1:51:21
1/2 объясняет Почему для ортогональных
1:51:28
групп Ну и точнее для спинор Груп как раз эти представления не будут представлениями ортогональных групп они
1:51:33
будут противными представления оны Груп они не будут обычные представления линейными а для спиной группы есть вот
1:51:41
эти представления с полум спи которые не строятся в
1:51:48
терминах векторного представления и обычных нных конструкций этому отвечают
1:51:53
геометрические объекты другого типа которые значит не выражаются в терминах
1:52:00
векторного представления это вот и есть спино и полус которые мы построим через алгебру
1:52:08
клиффорда ну и наконец последние две темы поскольку мы договорились 2 часа то
1:52:14
значит я должен закончить через 7 минут правда да
1:52:19
Через я закончу вот значит последние две темы которые я
1:52:28
хотел отразить как бы как основную часть курса Ну вот то что я сказал сейчас то
1:52:36
что я сказал сейчас вот строение спинор групп и вот связь с теорией представлений это как
1:52:43
раз то чем мы непосредственно занимаемся то чтом непосредственно нужно для рабо
1:52:49
есть Иня
1:52:54
занимается который интересуется алгебраическими группами группами ли конечными простыми группами и так
1:53:01
далее ну и всем что с ними связано там геометрия однородными
1:53:08
пространствами Вот то чем занимается там группа Ивана Александровича Вот то
1:53:15
есть
1:53:21
это кусо перейти знат тому чем мы на кафедре
1:53:28
алгебры занимаемся непосредственно и вот то что этих вещей нет то что алгебры клиффорда и спиров нет В общих курсах
1:53:34
это конечно просто огромный пробел потому что в действительности они играют
1:53:40
роль не только в том чем мы занимаемся Они конечно играют огромную роль Я уже
1:53:45
упомянул в
1:53:51
топологии при построении э скажем
1:54:01
А симметрических ремхе вот Ну и конечно в физике но
1:54:08
только в физике там то что они пишут понять невозможно А вот после того что я вам расскажу вы сможете уже так сказать
1:54:14
смотреть то что там написано и О я эту размерность видел это значит должно быть Вот это потому что там только так когда
1:54:21
читаешь там книжку по теории Т только по совпадению разменной понять что говорится что говорится что-то что мы
1:54:27
должны понять вот ну и наконец значит последние три темы общих которые я хотел
1:54:32
затронуть так у нас пятый называется пятый пункт кли Да вот
1:54:42
молодые уже не могут этого понять
1:54:48
значит пятое что я хотел рассказать это ность
1:54:56
так это удивительное обстоятельство которое состоит в том что для группы D4 для неё Если Вы посмотрите на
1:55:02
диаграмм типа D4 для неё вот эти три вершинки выглядят абсолютно одинаково
1:55:08
Хотя Здесь вроде бы что-то целое А здесь что-то Полу так вот в терминах
1:55:14
значит ортогонального базиса пространства живут корни вот на самом
1:55:20
деле этри прост имено и оказывается что они связаны
1:55:27
между собой вот неким замечательным соотношением которые называется
1:55:35
тростное связа с массой важных вещей скажем вот Александр Юрьевич с Игорем
1:55:42
Видимо вы написали уравнение кстати
1:55:51
даме это мы сможем узнать Да значит но к концу семестра мы узнаем и явные
1:55:57
уравнения Вот это ещ одна тема которую хотел ть важнейшая это вот особенное
1:56:02
поведение группы D4 связь с октавами там связь С2 и так далее То есть связано С2
1:56:08
связа с октавами Ну в общем Ну и тем самым со всем что вообще бывает в жизни
1:56:14
потому что значит Арнольд считал что вот есть три математики вещественная
1:56:19
комплексная ин он забыл что есть ещ одна хотя на самом деле он знал в его работах она
1:56:26
встречалась но в его классификации там но у него есть работа о том что вся
1:56:31
математика делится на три части Ну она начинается с пародии на Юлии цезар так сказать чтото вся математика делится на
1:56:37
три части Одна называется криптография вторая гидродинамика А третья я забыл Ну
1:56:45
както таком же духе Не помните Ну и дальше он объясняет почему одна из них
1:56:50
вещественная вторая комплексна а третья
1:56:56
значит кватернион Но на самом деле ещ октавная просто октав очень быстро заканчивается в конечных размерностей
1:57:23
этой математи ВС строится через это значит ещ одна веь которую я хотел вам рассказать
1:57:29
это явные уравнения явные
1:57:34
уравнения на спин это вот то что называется теория
1:57:42
Роберта Брауна так это вообще это классическая
1:57:48
веь тоже там работа 7 какого года са се се вго работа семьдесят второго года но
1:57:56
почему-то до сих пор она не попала не в один текст кото не в один
1:58:02
учебник правда да Вот то есть вопрос естественный Да вот мы знаем что там те
1:58:08
группы которые наверху нарисованы – это алгебраические группы мы знаем какими уравнениями сдаётся скажем симпли группа
1:58:13
мы знаем какими уравнениями сдаётся группа со А какими уравнениями задаётся спинор ная
1:58:21
группа Вот и оказывается что здесь возникает Ну совершенно потрясающая вещь здесь
1:58:28
возникает вот на пространстве сноровка вот
1:58:33
структура так вот такие структуры потом в дальнейшем изучал ДНФ такие
1:58:39
отображения в связи Ну вот структура алгебры которая алгебра так сказать вчм
1:58:46
смысле которые сдаются вот таким вот умножением так вот это связано там с уравнениями Янга бакстера и так далее
1:58:54
Вот оказывается что на пространстве спиров есть вот такое
1:58:59
отображение группой автоморфизм которого является спинор группа его можно явно
1:59:06
описать то есть вот очень интересная алгебраическая структура которая явно
1:59:12
описывает уравнение на спиною группу это ещ одна Тема и
1:59:21
по вот ну я уж не знаю как назвать Орбита
1:59:27
вектора я напишу чистый
1:59:33
спино так вот построим Базис в пространстве
1:59:44
спинорог ПП что получится получится ну вот когда мы
1:59:51
изучали внешнюю алгебру мы говорили что у нас не Каждый элемент внешней алгебры
1:59:57
имеет вот такой вот вид так а только элементы которые
2:00:05
назывались разложи поле векторами так и это в точности те поле
2:00:12
векторы которые лежат в Орбите значит базисного
2:00:19
вектора там под спе Лине
2:00:27
Гру Как узнать по значит координатам поле вектора по
2:00:33
ПСМ координатам или М координатам Как узнать значит яля или нет Вот чтобы быть
2:00:40
ть системе квадратичных уравнений уравнений плюке и Вот
2:00:50
оказывается Т спинор группы в Орбите старшего веса значит спинор должен его
2:00:59
координаты Том ба который мы построим долж в системе квадратичных уравнений называемых уравнениями
2:01:07
картана уравнения картана которые являются аналогами уравнений
2:01:15
плюке ито тем
2:01:20
сам може сре многообразие
2:01:27
симметри либо как на алгебраическое многообразие вот то что как раз
2:01:32
изучается в четверг на семинарах перед этим спецкурсов вот е сда придёте значит
2:01:39
чуть пораньше я не знаю часа в два Саша да сколько Так вы застав на которых они
2:01:45
обсуждают вот
2:01:50
Эди и на их семинары Вот Ну а значит всё остальное вот это то что я хотел бы
2:01:56
рассказать в этом семестре А значит обобщении там типа есть масса обобщений
2:02:03
Но вот одно я упомянул это алгебра вейля алгебры
2:02:09
веля Так значит Ну вообще есть более широкие гораздо обобщения квадратичные
2:02:15
алгебры Вот то чем занимается значит ну одна из вещей которыми занимается Анатолий мусевич
2:02:21
верк вот значит которые являются совместными обобщения алгебры веля и алгебры
2:02:27
клиффорда вот значит Ну и скажем А вот как выглядит обобщение
2:02:35
алгебры клиф формы высших степеней значит для форм высших степеней
2:02:41
но там существенно всё сложнее но тоже некие
2:02:46
рабо некая Рия но геометрической теории
2:02:54
вот ма таких обобщений наме е одно потрясающе интересное обобщение для
2:02:59
теории чисел для всего это тическая группа Вот например если возьмёте группу
2:03:07
С2 то она будет односвязной А2 как топологическая группа как
2:03:14
алгебраическая группа она
2:03:20
однос
2:03:26
Но это коне может быть линейной группой Потому что потому что иначе мы об этом бы знали
2:03:34
Она имеет бесконечно мерные только представления не имеет конечно мерных представлений не является линейной
2:03:42
группой значит литическая
2:03:50
Гру Вот то есть есть масса обобщений вокруг этого Ну вот Ну как всегда в математике
2:03:59
узнав там что-то сразу так ска узнаёшь гораздо больше вопросов чем ответов то есть отсюда уже можно двигаться в разные
2:04:05
стороны всяком попытаюсь изложить некий классический кусок очень
2:04:11
важный вот классической теории которая вам позволит Ну как
2:04:20
бык знаете что вот есть такие объекты как значит алгебра клиффорда спино
2:04:26
спинор нае группы спинор нормы и так далее Вот это всё я с вами хочу в этом семестре как бы систематически так
2:04:33
проработать Ну вот причём для общего случая но естественно не слишком глубоко столько
2:04:40
сколько за семестр удастся узнать ну вот я думаю что на сегодня всё и

Поделиться: