Математика: от прoстого до сложного один шаг. Задача Смолянова о производных и полиномах. МГУ, мех-мат, функциональный анализ.
Расшифровка видео
0:04
Добрый вечер слушатели канала знание
0:07
сила давно у нас не было видео про
0:10
математику и сегодня будет одно из таких
0:14
видео Ну особенно оно ориентировано на
0:17
вот слушателей в России потому что там
0:19
сейчас довольно длинный зимний отпуск
0:23
каникулы и даже может детям будет
0:26
интересно или там очень много среди
0:29
слушателей канал людей которые довольно
0:31
неплохо были образованы в своё время в
0:33
математике в физике Там и так далее я
0:37
дам две задачки одна из этих задачек
0:39
довольно простая и это вот мне её
0:43
прислали родители одного мальчика из
0:45
Москвы Это примерно пятый класс но её не
0:49
так просто решить то есть Попробуйте
0:51
дать вашим детям внукам а они могут
0:54
попробовать спросить своих учителей
0:56
математики Ну переходим к этой первой
0:58
задач да Вот это первая Задачка то есть
1:01
вот надо найти такую сумму надо найти
1:03
такую сумму закономерность очень проста
1:07
берём один Умно на 2 Плюс теперь 2 Умно
1:11
на 3 плюс дальше 3 на 4 п 4 на 5 и так
1:16
далее ну и до какого-нибудь числа скажем
1:19
последнее 1000 а при последнее будет 999
1:23
то есть вот найти эту сумму Ну а более
1:26
общем можно просто как бы здесь какой-то
1:29
произво
1:30
Ми 1
1:32
у ну существует много способов Я знаю
1:36
один более такой
1:39
скажем более такой Университетский
1:42
способ но по видиму существуют и способы
1:44
для решения для школы то есть вот можете
1:47
поразвлечься
1:51
[музыка]
2:00
давал на кафедре функционального анализа
2:02
в Московском государственном
2:03
университете Олег Ой я опечатался но
2:07
Извините смолянов надо поменять м и о от
2:11
слова смоль он действительно у него были
2:13
чёрные такие смоляные волосы довольно
2:15
долго он не сидел
2:19
вот он был мой научный руководитель Ну
2:22
такой Он был довольно своеобразный
2:24
Интересный человек ну можно например
2:26
сказать что мог опоздать на встречу с с
2:30
аспирантом или студентом на 2 часа там и
2:32
мы сидели ждали но в общем как-то были
2:36
отношения довольно тёплые хотя и не
2:39
простые Вот давайте перейдём к его
2:41
задаче он любил давать эту задачу своим
2:44
студентам и аспирантам чтобы проверить
2:46
как вот они соображают или нет Кто решил
2:49
он тех довольно высоко у себя в иерархии
2:53
оценивал довольно высоко оценивал в своё
2:56
время я её решил но сейчас решение не
2:58
помню и сам Олег Георгиевич говорил что
3:02
собственно говоря каждый раз е человек
3:04
решает по-новому и тут же забывает Ну
3:06
потому что решение какое-то очень
3:09
непростое А хотя когда решил оно простое
3:13
э эта задача она как раз показывает что
3:16
в математике от простого тривиально Да
3:19
очень сложного один шаг то есть вот
3:21
почему так происходит вот в чём
3:23
сложность проблем для нашего мозга это
3:26
всё-таки загадка это всё-таки загадка
3:30
поскольку не все слушатели моего канала
3:32
конечно продвинутые в математике я им
3:35
дам некое напоминание Да так сказать
3:37
элементарных сведений и школы и
3:39
университета может быть Ну это полезно
3:42
даже вот для пожилых людей это
3:45
тренировка мозга Да там советуют
3:47
разгадывать кроссворды чтобы этой
3:49
болезни не было там Ну раньше называлась
3:51
маразмом просто сейчас и красивое слово
3:54
там придумали альмер открыл он открыл Ну
3:57
всегда говорили ну впал человек в морал
4:00
вот значит ну чтобы Не впасть в маразм
4:03
давайте мы вспомним как дифференцируются
4:06
функции а именно мы интересуемся как
4:08
дифференцируется моном моном – это x в
4:11
степени N Ну N может быть например
4:14
квадрат X ква Ну производная X ква она
4:18
равна чему 2x да А ещё производная 3 x
4:22
ку равна 3X к то есть выскакивает
4:25
троечка а степень уменьшается на единицу
4:27
но надо было бы написать общую форму что
4:30
производная монома x в степени N она
4:34
равна N у x в Степе N – 1 Дальше мы
4:38
можем продолжить и найти вот здесь
4:40
вторую производную то есть вторую
4:42
производную от x ква это производная уже
4:45
будет от 2x она будет 2 вот что
4:48
интересно производная константы то есть
4:51
любого числа она равна нулю то есть
4:53
третья производная от x к она Рав Ну она
4:56
равна у нас на хма ра АТ любили
5:01
рассказывать анекдот значит что вот
5:04
попал один математик в Сумасшедший дом в
5:07
ка канке все попадали математики Вот И
5:11
там так
5:12
сказать ходят все так сказать а один
5:15
ходит значит совершенный шизофреник и
5:18
всем говорит я тебя про
5:20
дифференцируют него убегают все от него
5:22
убегают а один идт ему говорит я тебя
5:25
профен А он говорит А я е в Степе
5:29
производная функции е в степени x опять
5:31
е в степени x ему всё пофигу и мы
5:33
страшно ржали это юмор математиков тем
5:37
не менее к чему я иду что если взять Вот
5:39
такую функцию как X ква
5:41
продифференцировать её три раза будет но
5:43
и вообще если взять функцию вот этот
5:46
моном x в степени N или одночлен Да
5:50
продифференцировать его N п о раз то
5:54
производная его будет равна нулю то есть
5:56
Вот например сами можете проверить что
5:58
если мы возм че производную от x Куба
6:01
она будет 0 дальше мы заметим что
6:05
производная Да дальше Допустим мы
6:07
перейдём от
6:23
[музыка]
6:28
мономолекулярной п Ну можно написать
6:31
кубический можно написать четвёртой
6:33
степени и так далее Теперь мы заметим
6:36
такое свойства производной что если
6:39
взять производную суммы двух функций она
6:41
равна сумме производных То есть это вот
6:44
то что говорят математики Линейная
6:46
операция вот дальше Теперь если мы
6:50
начнём дифференцировать полином или
6:52
многочлен как ещ говорят да то
6:55
производная его тоже будет обращаться в
6:58
Но потому
7:00
всей суммы равна производной каждого
7:03
члена поскольку этот зану через три шага
7:06
Да этот зану через два шага этот зану на
7:10
Первом шагу Она всегда но то есть у
7:13
всякого многочлена полином – это
7:16
многочлен Да многочлен по-русски надо
7:18
говорить Да надо говорить
7:21
многочлен производная всякого многочлена
7:24
она равна Ну производная всякого
7:25
многочлена равна
7:28
ну с какого-то номера То есть если
7:30
многочлен имеет номер N то N п первоя
7:34
его производная будет но то есть вот у
7:36
квадратичного третья если мы напишем
7:39
многочлен третьей степени у него
7:41
четвёртая производная будет Везде ноль
7:44
Полный ноль исчезнет он четыре раза Вот
7:47
этот который ходил по сумасшедшему дому
7:49
математик подойдёт четыре раза его
7:51
продифференцировать чуть руку не разбил
7:54
от ужаса четыре раза продифференцировать
7:59
Полный ноль Полный ноль во всех точках
8:01
Полный ноль во всех точках дальше такие
8:05
вот не надо точно вспоминать Но вот
8:07
какие-то такие туманные Воспоминания у
8:11
всех кто учился на естественных
8:12
факультетах или инженерных что есть
8:15
такая формула Тейлора что можно функцию
8:18
которая бесконечно дифференцируема у неё
8:21
можно выделить какой-то многочлен из
8:23
производных и какой-то остаточный член
8:26
Ну в общем можно доказать и обратно тако
8:29
ждение что если у нас функция бесконечно
8:31
дифференцируема то есть её можно
8:33
дифференцировать сколько угодно и
8:35
допустим что её производная какого-то
8:38
порядка везде равна нулю то есть раз её
8:42
продифференцировать
8:48
порядка ноль везде тогда э функция
8:51
квадратичный многочлен квадратичный
8:54
многочлен Я в сво время работа в
8:57
Московском институте радиотех
9:00
автомати радиотехники электроники
9:02
автоматики и там у них были ещ такие
9:05
заочные факультеты и работницы из цехов
9:09
они тоже зачем-то хотели повысить свой
9:11
уровень образования и вот когда я там им
9:13
рассказывал про многочлены одночлены это
9:16
у них вызывало совершенно какие-то не
9:18
математические эмоции девки ржали Там
9:21
что-то они мне говорили что я им
9:23
показать многочлен и так далее есть вать
9:28
было
9:30
Ну вообще вот меня какие-то остались вот
9:34
человек не ВС в жизни может реализовать
9:36
Да вот остались очень какие-то такие
9:39
недосказанность какая-то вот женщин
9:42
которые вот не занимаются ни наукой не
9:45
закончили университетов а работают
9:47
марами
9:48
там плотника Да и так
9:52
далее какое-то от нихло тепло простота и
9:55
никакого напряга не было Может это опять
9:57
же с
9:59
иллюзия иллюзия никогда такого у меня а
10:03
так возвращаемся и вот значит что мы
10:05
теперь Знаем мы знаем что е у нас есть
10:08
многочлен его продифференцировать Ну
10:12
допустим он в степени
10:14
продифференцировать будет полный но и
10:17
если наоборот обратное утверждение у нас
10:20
есть функция бесконечно дифференцируема
10:23
такая
10:24
продин
10:28
с
10:30
то э функция является тоже многочленом
10:33
степени это доказывается с помощью фор
10:36
Лора теперь вот задача Олега георгиевича
10:39
смоляного который он проверял аспирантов
10:42
вот по проверяйте себя Ну формулировка
10:45
настолько проста что ей может заниматься
10:47
Любой человек который живёт где угодно и
10:51
в избушке в лесу и так далем лесть
10:54
математики можно заниматься где хоче
10:58
хоче нечего се и занимаешься решаешь
11:01
задачу ну хотя бы вот тун которая
11:03
наверху простенькая но она тоже не так
11:05
уж простенькая
11:06
вот вот такая задача у неё была пусть у
11:09
нас теперь опять бесконечная
11:11
дифференцируемая функция и теперь пусть
11:14
для каждой точки существует такой номер
11:18
такой номер зависящий от точки такой что
11:22
производная порядка вот этого n
11:25
зависящего от точки равна нулю в этой
11:28
точке то есть допустим что в одной точке
11:31
мы знаем что е производная начиная с
11:33
номера три обнулила а в другой точке
11:36
производная с номера 4 обнулила в
11:38
третьей точке производная с номера пять
11:41
обнулила и так далее а в какой-то точке
11:44
может производная с номера миллион
11:46
обнулила и мы не знаем А вот нам не
11:48
говорится что существует такой один
11:50
номер чтобы производный во всех точка
11:53
начиная с этого номера ноль нет только
11:56
говорится что для каждой точечки есть
11:57
своё число что начиная Вот с этого
12:00
номера производная в этой точке Ноль вот
12:03
тогда тоже можно доказать что F является
12:06
многочленом Ну вот Попробуйте решить да
12:10
А если вы студент вот поможете своему
12:12
профессору математики дать ну после того
12:14
как вы сдали экзамен то он не решит её
12:27
рассвирепевший
12:29
сно человек довольно необычной судьбы Ну
12:33
вот он был очень умн то есть он решил
12:36
очень сложнейшие задачи в очень юном
12:39
возрасте скажем лет
12:42
25 в 30 скажем Да ну а ему не давали
12:45
защитить докторскую ещ лет 30 потому что
12:48
он как-то не смог подоль вот там на
12:51
кафедре функционального анализа все
12:57
зав писался Ну даже заправлял не сам
13:00
гель Ген был типа Бога А заправлял вот
13:04
его как бы подмастерья и они не давали
13:07
Ему защитить докторскую много-много лет
13:09
уже потом защитился какой-то его
13:13
аспирант где-то там во Владимире Тогда
13:16
он уже говорил Ну люди вы ВС по имеете
13:18
совесть у меня уже аспиранты
13:20
защитили его как-то очень давили
13:27
пне ру людей их вот незаслуженно давили
13:32
давили и не давали им расцвести если бы
13:34
вот как бы так сказать он мог расцвести
13:37
он бы конечно гораздо более прославился
13:39
вот те кто знает те кто знает сейчас во
13:43
всю используется вот этот Стаха ский
13:45
анализ и там финансовой математики и так
13:49
далее И там есть исчисление малина это
13:53
такой французский был математик вот ну
13:56
смолянов это исчисление Мали слет за 10
13:59
до него опубликовал в трудах Московского
14:02
мото общества Ну поскольку он вот был
14:04
такой придавленный он конечно не мог а
14:07
мавен был член Парижской Академии Наук
14:11
он конечно не мог И теперь никто даже не
14:14
знает кроме нас его учеников что мы это
14:16
всё делали лет за 10 до того как
14:19
французы до этого французы до этого
14:24
доп вот когда
14:27
натри
14:29
Вот они ничего не придумали это ВС
14:31
брехня придумали очень много но не
14:34
всегда как-то смогли продать что ли Вот
14:37
я даже не могу понять то ли продать то
14:39
ли их замалчивают Вот например другой
14:43
такой пример Тут уж полностью замолчать
14:46
не удалось Это был такой Соболев был
14:49
такой
14:50
Соболев тоже Советский математик и он
14:53
где-то в рие годы научился
14:56
дифференцировать функции в обычном
14:59
смысле не дифференцируемые например как
15:01
продифференцировать ступеньку Да вот она
15:03
идёт идёт у неё тут разрыв и вроде бы
15:06
дифференцируемая функция должна быть
15:08
непрерывной и он их производные ввёл И
15:12
да ну от нём осталась память
15:14
пространство Соболева но по существу то
15:18
что он сделал это вот было то что потом
15:20
стала теория обобщённых функций теория
15:22
обобщенный функций ну их создание тоже
15:24
приписывается Французу рану шварцу рану
15:27
шварцу и он Соболева конечно в своей
15:31
книге по-моему особо не упоминает и в
15:35
общем если сейчас кому-то сказать что
15:37
вот это исчисление обобщённых функций
15:40
запрете советским русским математиком
15:43
соболевым то тут так сказать
15:46
так никто про это и не скажет вот такое
15:49
было лирическое отступление Ну что ещё
15:51
сказать Вот в те времена конечно
15:53
отношения преподавателя не всех но очень
15:56
многих и студентов были
15:59
студенты или аспиранты были гораздо
16:01
ближе и более как бы душевные и понятные
16:05
то есть очень часто олех Георгиевич брал
16:07
нас с собой в поход и мы ходили по
16:10
подмосковью он не брал большие группы то
16:12
есть был либо я один либо ещё кто-то то
16:15
есть он и два аспиранта или студента и
16:20
мы совершали походы там 20 кмет там
16:23
доезжает куда-то не знаю ходят сейчас
16:26
вот студенты в такие походы или нет и
16:28
так сказать шли сейчас конечно не Да это
16:31
они в основном укрываются да кто где вот
16:35
и шли от одной станции до другой там на
16:38
лыжах зимой ходили
16:41
Ну довольно простые были эти советские
16:44
учёные советские профессора так сказать
16:47
Вот Ну например вот какая была у него
16:49
радость Однажды мы отправились тоже в
16:51
такой поход и он сказал что будет
16:53
довольно интересное Приключение и мы
16:55
пришли и в лесу было Знаете та заброшено
16:58
то ли озеро то ли котлован и там у него
17:02
Доцента ему уже лет много было лет 55 он
17:05
всё был доцент
17:08
вот там у него был прип плотик и мы вот
17:13
залезли на Этот плод и я помню как он
17:15
упирался этой палкой И мы переплыли этот
17:19
пруд и мы там обсуждали некоторые
17:21
математические задачи Однажды мы по
17:25
рассказывали эту историю поехали зимой
17:26
на лыжах и мы когда выезжали было скажем
17:30
П2 А к вечеру там ушло ми 20 а так
17:34
сказать они посмотрели прогноз А я жил в
17:36
общаге и даже как компьютера не было
17:39
интернета не было как узнать прогноз
17:42
погоды не особо понятно да А я в свитер
17:45
был мы Пока ехали было нормальном стал
17:47
падать к д мы стали замерзать я не тоже
17:50
мы разожгли костёр грелись неж но надо
17:54
было ки 10 до станции Вох
17:59
аспирант Олега георгиевича отдал свою
18:02
куртку отдал свою куртку но ему было
18:05
дико холодно и я Помнишь когда мы уже
18:07
собирались уезжать и от костра
18:09
оставались угольки у которых мы грелись
18:11
он сел на эти угольки чтобы прогреться
18:13
немножко И потом мы рванули к станции
18:16
такое конечно остаётся на всю жизнь
18:18
остаётся на всю жизнь и мне скажет это
18:21
типа твоя молодость мне кажется это не
18:23
Молодость это просто вот была такая
18:25
Советская жизнь она была проще но она
18:29
была как-то более насыщена То
18:32
есть это по-моему более интересно чем на
18:35
Мальдивы слетать чем слетать на Мальдивы
18:37
или куда-то в Дубай и так далее вот все
18:40
хорошего ну пробуйте решать задачу
18:42
первую задачку Если уж не решите и не
18:46
захотят ваши дети или внуки решать но
18:49
решение Можно даже погуглить а второй Вы
18:52
помоему решение ниде не найте я не ю сам
18:55
ли снов придумал э
18:57
зада передавалась и покон веку э вот ну
19:02
попробуйте всего хорошего и до
19:04
свидания Хорошего
19:07
вам выходного дня после новогоднего Так
19:11
сейчас я попробую сделать чтобы мне это
19:13
всё записали стоп Share стоп Share и end
19:18
я
19:21
сделаю о Мити