Тема лекции: Вещественные числа.
https://www.perplexity.ai
промт – Сделай обзор на текст, выдели основные пункты, предложи варианты заголовков текста и задай 10 контрольных вопросов по тексту, также предложи варианты картинки иллюстрации
Обзор текста
Текст представляет собой расшифровку видеолекции по математическому анализу, посвященной доказательству теоремы о существовании точной верхней грани множества.
Основные пункты:
- Определение точной верхней грани (супремума) множества
- Формулировка теоремы о существовании точной верхней грани
- Доказательство теоремы для двух случаев:
- Множество содержит неотрицательные числа
- Все элементы множества отрицательны
- Подробное построение точной верхней грани для первого случая
- Проверка свойств построенного числа
Варианты заголовков:
- “Доказательство теоремы о существовании супремума”
- “Построение точной верхней грани ограниченного множества”
- “Математический анализ: теорема о супремуме”
Контрольные вопросы:
- Что такое точная верхняя грань множества?
- Какие условия должны выполняться для множества X в теореме о существовании супремума?
- Почему в доказательстве рассматриваются два случая?
- Как выбирается целая часть при построении супремума в первом случае?
- Каким образом выбираются цифры после запятой при построении супремума?
- Почему построенное число M действительно является верхней гранью множества X?
- Как доказывается, что M является точной верхней гранью?
- Почему важно рассмотреть случай, когда M1 < 0?
- Как меняется процесс построения супремума во втором случае?
- Почему теорема о существовании супремума важна в математическом анализе?
Варианты иллюстрации:
- Диаграмма, показывающая ограниченное множество на числовой прямой с выделенной точной верхней гранью
- Схема пошагового построения супремума с выбором целой части и последующих цифр
- Графическое представление двух случаев: множество с неотрицательными элементами и множество только с отрицательными элементами
https://giga.chat
промт – Нарисуй Диаграмма, показывающая ограниченное множество на числовой прямой с выделенной точной верхней гранью, стиль трёхмерная графика
Расшифровка видео
Поиск по видео
0:00
[музыка]
0:09
мы будем доказывать теорему о существовании
0:14
точной верхней грани поэтому я конечно дам формулировку этой теоремы ещё раз но
0:21
в начале я напишу определение точно верхней грани мы же будем доказывать что
0:27
вот она существует я повторю его называется точной верхней
0:36
гранью равняется супремум множества X
0:42
если Ну вот тут строчка длинная поэтому то что я писал там в две строчки япишу в
0:48
одну если первое Для всякого X приго
1:00
ме либо равно и второе второе для
1:09
[музыка] любого меньшего чем найдётся Ну вот я раньше писал
1:18
найдётся X давайте сейчас напишем найдётся Y из множества X Ну просто
1:23
чтобы разли а торые поци
1:28
сши что Y больше чем M1 значит это определение но
1:37
оно у вас есть И точно так же У вас есть теорема формулировка её значит
1:44
теорема один для любого множества
1:50
X входящего в R такого
1:57
что X Не
2:03
пусто и X ограничено
2:13
сверху следует следует что
2:20
существует равно точной верхней грани
2:26
X Ну теперь приступим к доказательству Вот тут я хочу сказать что я обычно на
2:32
доске пишу Вот так это первый раз теорема в которой та сказать доказательства до этого у меня ВС время
2:37
изложение вот так вот шло первая строчка вторая и так далее
2:43
заполнял я левую часть потом дальше Обычно я всё-таки делаю так вот я сформулировал теорему доказательство
2:50
будет где-то в стороне вы конечно пишите подряд а мне удобнее потому что скажем
2:56
если я там доказываю теорему там 3 4 5 и
3:02
так далее То я говорю что вот мы Согласно теореме 1 то получается то из
3:09
теоремы 2 вытекает вот это а формулировка Вот она тут сохранилась а доказательство я потом Могу конечно и
3:15
Стереть Ну значит Итак приступим к доказательству
3:22
Итак значит
3:28
пусть не есть пустое множество X
3:34
ограничено сверху ограничено
3:40
сверху рассмотрим два случая значит первый случай вот он основной будет так
3:47
сказать его подробно мы будем рассматривать первый случай такой
3:53
что пусть существуют
4:00
лежащее X такие что X Не
4:08
отрицательны ну потом будем рассматривать второй случай когда там только отрицательные То есть со знаками
4:16
минус Так а ну да В любом случае надо написать что X ограничен сверху X
4:23
ограничен сверху ограничен сверху
4:30
есть есть какое-то с волной вот такое что Для всякого X
4:40
принадлежащего X X меньше либо
4:47
равен с волной Вот это конечно есть это какая-то Верхняя грань просто
4:53
определение ограниченности сверху вот а тепер нам нужно доказать существует то
5:01
значит какая-то Верхняя грань есть Вот первый случай что есть иксы неотрицательные помимо неотрицательных
5:08
иксов в множестве X большое может существовать и бесконечно много бесконечно много
5:16
отрицательных Ну например Все числа строго меньше единицы там как раз и
5:24
положительные иритель
5:31
не отрицательные числа входящие в X рассмотрим только не отрицательные на
5:37
отрицательные сейчас не будем обращать внимание значит рассмотрим только
5:43
неотрицательные то есть числа вида X Рав
5:48
x0 за X12 и так далее и так далее при
6:01
эти все меньше либо равны с волной
6:06
рассмотрим только множество целых частей вот этих вот X нулевых рассмотрим только
6:14
их среди всех неотрицательных чисел рассмотрим множество Вот только нулевых
6:21
цифр или лучше сказать целые часть это нете фры може
6:30
есть есть всякие числа и 19 и 15 рассмотрим X ну эти вот это множество
6:36
целых чисел поскольку X меньше либо равно то отсюда следует что X нуво тоже
6:44
меньше либо равно то есть не А с волной и поэтому таких неотрицательных чисел
6:51
конечное число может быть очень большое потому
6:56
что если например Все числа меньше 10 млрд то их тоже вот порядочно порядка 10
7:03
млрд и будет Вот так что но всё равно их конечное
7:09
число Поэтому введём в рассмотрение вот такое X
7:15
нулевой с чертой это максимум вот этих вот нулевых значит я
7:23
ещ раз подчеркиваю Откуда мы взяли X Ну мы рассматриваем только
7:30
входящие в отрицательные мы не рассматриваем ну выбросили мы их на
7:36
время вот значит максимальная из целых частей значит вот так после этого Значит
7:44
мы уже не рассматриваем отрицательные рассматривали только неотрицательные из этих неотрицательных
7:52
тоже Давайте рассматривать вот кае
8:02
принадлежащие и имеющие вот такой вид у которых целая часть Вот такая которую мы
8:10
уже выбрали а цифры потом после запятой какие
8:17
есть принадлежащие X только на них будем обращать внимание Вот у которых та лая
8:25
сть которую мы
8:31
так рассмотрим среди них только множество первых цифр множество только первых цифр X
8:40
пер Ну вообще все цифры это их всего 10 штук 0 1 2 3 и так далее 9 Вот то есть
8:49
среди них выберем максимальную вым максимальну обозначим
8:56
это с че это получается это
9:03
максимум из X пер Вот но я опять повторяю максимум из
9:10
X первы мы берём не все числа из множества X во-первых там нету
9:17
отрицательных мы их не рассматриваем А во-вторых мы рассматриваем только
9:23
неотрицательные но у которых целая часть совпадает уже
9:31
вот дальше Понятно будем выбирать следующие цифры по очереди
9:39
значит первую цифру выбрали значит что у нас получилось вот я здесь скажу а потом
9:45
напишу что в общем случае получается дальше мы выберем только такие числа из
9:51
множества X у которых X нуво с чертой целая часть пер с чертой выбранная уже
9:57
фра им максимум из вторых цифр потом из
10:02
третьих и так далее Вот и так далее Значит на катом шаге на катом шаге мы
10:10
будем рассматривать следующее X равно X нулевое с чертой X пер с чертой и так
10:20
далее xk ми пер с чертой А дальше без
10:27
черты п и так далее принадлежащее X Ну то есть
10:34
вот предположим мы уже выбрали целую часть и K ми одну цифру после
10:40
запятой вот при K равном нулю это повторение первого шага так вот теперь
10:48
мы рассматриваем только эти числа только эти числа из них выбираем
10:57
значит рассмотрим множество цифр стоящих на катом месте это
11:03
множество ограничено сверху берём X ка с
11:09
чертой это будет максимум из X
11:15
ка максимум из X ка и так
11:20
далее Ну давайте точку с запятой поставим и так далее В конечном счёте в
11:27
конечном счёте у нас получается у нас получается
11:33
некоторое число некоторое число обозначим его M x0 с чертой X1 с
11:44
чертой и так далее xn с чертой и так далее Всё с чёрточками Всё мы проделали
11:53
выбрали все цифры каждый раз на каждом шаге сделали
12:00
именно счётное число шагов и выбрали значит цифры выбрали цифры вот вот
12:07
получили некоторое число это именно Число Вот там может быть де в периоде Ну
12:14
вот Представьте что у вас что у нас числа Вот какие все меньшие
12:21
единицы строго меньше едини чит на нулевом шаге целую часть мы выбрали
12:29
среди неотрицательных чисел но потом среди первых цифр де среди вторых цифр
12:37
мы взяли число 0,9 и смотрим вторую цифру выбрали тоже
12:43
9 9 99 и так далее значит вот получается такое число Так значит вот мы построили
12:52
некоторое число мы построили некоторое число и
12:59
Теперь давайте докажем что вот это вот построенное нами число и есть точная
13:08
Верхняя грань Я же ведь не зря обозвал его буквой м вот то есть Вот давайте это теперь
13:16
установим Вот для этого нам понадобится определение Значит надо
13:23
установить два случая строчки дава
13:30
это супрем множества X вот я специально ставлю знак вопроса Вы тоже когда
13:36
Переписывай ставьте знак вопроса это если вы не поставите знак вопроса то
13:42
когда будете готовиться к экзамену вы скажете Ну вот супре всё теорема
13:49
доказана Вот вот теперь этот факт надо доказать будем доказывать
14:00
любое из множества X так любое X в X всё-таки есть и
14:08
неотрицательные числа и обязательно они есть и есть могут быть и
14:15
отрицательные Если вдруг если вдруг X меньше Ну если X отрицательно то есть ме
14:25
Ну ОТС сдует
14:30
больше чем Ну потому что у нас определение понятия больше именно такое что любое
14:39
неотрицательное число оно всё-таки больше отрицательно
14:44
Ну да давайте потим этот факт Конечно больше либо равно нулю просто по построению вы же видите Откуда берётся
14:51
x0 это же вот некото сть ното
14:58
п е X отрицательная А если X не отрицательная X больше либо равно нулю
15:06
Ну что это значит То есть X равняется со знаком
15:14
плюс Давайте уж его здесь напишем это x0
15:19
X1 и так далее xn и так далее принадлежащее X значит вот берём такое
15:28
число что мы видим по построению числа мы
15:33
видим что x0 x0 меньше либо равняется x0 с чертой
15:41
по построению целой части мы ведь рассмотрели всевозможные такие числа и
15:47
из них выбрали среди целых частей самое большое Так значит Итак первая целая
15:54
часть то есть нулевая цифра Мень либо Рав
15:59
Если меньше то Ясное дело что X будет меньше чем м по определению знака меньше
16:06
больше так А если X 0 равняется
16:13
x0 с чертой то по построению первой цифры X
16:20
пер X пер так меньше либо равна X пер с
16:27
чертой по построению пер с чертой Так ну и так далее и так далее У
16:35
нас что получается X K ми
16:40
пе Пусть все иксы давайте так уж напишем X
16:48
нулевое X Ну равняется X Ну с
16:54
чертой X ра X с чертой и так далее xk – пе ра
17:04
xk – пе с чертой а X ка X ка меньше либо
17:12
равно X Като с чертой по построению X Катова с чертой по построению мы выбрали
17:20
тогда на на выборе катой цифры мы сделали Именно так мы рассматривали все
17:27
числа из у кото До ми
17:32
случая ми пер цифры ВС совпадает ВС совпадает вот это как раз так и было а
17:40
катая цифра выбирается самая большая то есть что мы дальше получаем вот
17:47
Следовательно Следовательно получается отсюда что X меньше либо ран Ну
17:55
действительно Либо мы бесконечно до конца так
18:01
сказать до последней цифры которые так сказать нету потому что их бесконечно
18:07
много либо у нас каждая цифра будет совпадать тогда X равняется
18:13
либо на каком-то месте будет меньше Ну в
18:19
любом случае получается либо равно если все цифры совпадают
18:24
либо Меньше значит получается
18:30
значит Итак первая часть первая вот это вот что поставлено вот здесь установлена
18:36
в случае неотрицательных чисел Так
18:42
теперь установим вторую часть установим вторую
18:48
часть значит берём
18:53
любое которая меньше чем опять-таки
18:59
Мы же должны взять любое М1 которое меньше чем м м у нас оно вот у нас
19:05
отмечено что оно число неотрицательное всё-таки по построению и это вот
19:11
неотрицательное число А1 может быть и отрицательным и любым так если
19:18
М1 если М1 меньше нуля если М1 меньше Ну
19:23
то давайте посмотрим мы рассматриваем первый случай первый случай что у нас
19:30
среди этих самых среди элементов среди чисел входящих в в множество X есть
19:39
неотрицательные то есть существует ну здесь это Y которые
19:45
равняется x0 X1 и так далее даже не буду писать X и
19:52
так далее которые больше либо равны нулю и y принадлежит множеству X Но
19:59
опять-таки тогда раз Y Ой я сказал больше либо равно Ну а написал больше
20:04
либо рано больше либо равно нулю значит Раз такие существуют из X то
20:12
отсюда следует что Y больше чем М1
20:18
опять-таки по определению что любое неотрицательное чило больше любого
20:24
отрицательного так
20:30
так а если больше либо равно нулю то есть не
20:38
отрицательно Но по-прежнему конечно но по-прежнему
20:45
М1 естественно меньше чем значит если такое
20:50
число Вот Мы же должны взять для любого кото Мень
20:57
чем найти Y из X которое больше чем М1
21:03
вот М1 меньше Ну мы рассмотрели теперь пусть М1 больше либо равно нулю но
21:09
по-прежнему М1 меньше либо равно так давайте смотреть
21:17
обозначим М1 раз это число не отрицательное пусть у него x0 здесь с
21:26
волной зап с волно и так
21:32
далее с волной и так далее
21:37
вот может принадлежать X может не принадлежать Ну может быть среди
21:44
рассматриваем только рациональные числа а вот нам Захотелось взять М1 меньше чем
21:50
а оно иррационально
22:01
Мень чем А я напомню Это x0 с чертой X1
22:08
с чертой с чертой и так далее ведь Что это
22:15
значит Это значит что у него первые цифры целые части некоторые первые цифры
22:22
могут совпадать То есть это означает что
22:27
сно равняется X но с чертой и так далее X K ми пе с волной
22:37
равняется xk – пер с чертой но X КТ с
22:44
волной строго меньше чем X ка с чертой А дальше уже неважно как цифры между собой
22:52
расположено раз меньше строго Меньше значит нам
22:59
равенство нарушается если равенство нарушается в самом начале то есть при
23:05
Рав Ну то вот всей этой предыстории с равенства Нет Об этом я говорил и неделю
23:10
назад на этом же месте Вот тогда но на каком-то месте при к равном нулю вдруг
23:16
целое части меньше пожалуйста Так давайте посмотрим вот у нас уже есть
23:24
построение построение
23:29
числа на катом шаге мы уже это
23:34
использовали А теперь давайте посмотрим А с чего
23:39
начинается построение K плю первой цифры вот Давайте посмотрим для
23:48
построения K плю первой цифры числа Вот то есть не
23:57
числа че а числа xk п перго с чертой оно
24:03
нам и не понадобится но Давайте вспомним Что же нам что мы делали мы рассматривали мы
24:13
рассматривали множество всех иксов которые Вот какие x0 с чертой
24:22
запита X пе с чертой и так далее
24:29
с чертой А дальше уже x П пе и так далее
24:36
принадлежащие X значит вот мы рассматривали
24:42
всевозможные вот такие числа и начинали потом искать максимум среди К плюс
24:49
первых цифр этого я сейчас не буду говорить мне здесь нужно вот что это
24:55
означает существует Y
25:02
принадлежащий X Вот вот такой вот Вот
25:08
специально напишу другой буквой у которых есть x0 с чертой X пер с чертой
25:16
и так далее X к с чертой А дальше xk п пер и так далее без черты принадлежащее
25:25
X и вот среди Я просто переписал вместо Иса лишь написал этот Y вот глядите вот
25:33
такие числа есть в множестве X такие числа есть потому что для построения
25:40
повторяю K + первой цифры мы рассматриваем только
25:45
их Вот Но это Y это
25:51
Y больше чем М1 больше чем М1 Почему а потому что вот
26:00
смотрите ведь что такое М1 у него док минус
26:07
первого цифры совпадают а катая цифра а
26:13
катая цифра строго меньше чем вот это И поэтому это М1 оказывается меньше чем
26:22
Y вот итак итак построено
26:28
построено но вы напишите ниже А мне жалко место Итак в этом случае
26:34
установлено что есть супремум множества X Ну вот не
26:40
забывайте ещё теорема не доказана Это только первый случай самый
26:45
основной вот значит Итак мы
26:50
рассмотрели рассмотрели вот этот вот как я говорил самый важный случай построения
26:58
этой точной верхней грани среди элементов среди чисел входящих в
27:07
непустое множество X имеются не отрицательные числа может
27:15
быть это одно единственное неотрицательное число например вот такое множество все числа которые меньше либо
27:22
Рав Ну там у всех чисел зна минус Роме нуми но целы и все нули тогда у него по
27:31
построению будет ноль целых оно одно единственное на первом этапе на каждом
27:37
этапе мы его только и будем брать и у нас получится ноль целых и все нули
27:43
дальше ноль в периоде Так теперь рассмотрим второй
27:49
случай второй случай для любого X принадлежащего
27:58
что там все иксы отрицательны Ну раз все иксы
28:04
отрицательны то X имеет вид мину X
28:09
Ну X пер и так далее Ну вот здесь здесь я вы
28:18
конечно Запишите А я особо так сказать писать не буду потому что тут формул особенно не будет а теперь проделаем
28:28
тоже самое что мы делали для построения числа вот этого вот
28:36
гдето вот оно то есть выберем вначале целую часть
28:42
потом первую цифру потом вторую цифру и так далее но только будем вместо
28:50
максимума брать минимум Т вот возм миним и проделаем всё
28:59
тоже самое И получим вот тут вы слушаете Я аккуратно выражаюсь
29:05
получим бесконечную десятичную дробь значит проделаем тот же самый процесс и
29:14
получим бесконечную десятичную дробь она получится со знаком минус x0 с
29:21
чертой X пер с чертой и так далее
29:28
и так далее значит получим вот такую бесконечную десятичную
29:34
дробь Вот и э бесконечная десятичная
29:40
дробь это бесконечная десятичная дробь по так сказать тому что у нас есть
29:48
удовлетворяет этим же самым двум свойствам что она так сказать что для
29:55
неё всегда все иксы меньше либо равны и найдутся Для всякого М1 больше меньшего
30:02
чем найдется Y из X Который больше чем это 1 Вот но здесь возможна Вот такая
30:12
тонкость мы я не зря сказал что здесь мы строим десятичную дробь а не число
30:20
потому что вдруг получится такая десятичная дробь которой не
30:27
соответствует никакого вещественного числа ведь что называется вещественным
30:32
числом вещественным числом называется бесконечно На прошлой лекции был
30:37
бесконечная десятичная дробь которая поставлена в соответствие по вполне определённому
30:44
закону точки на вещественной оси при этом
30:49
получается при этом получается обязательно Девятка в периоде что С положительной что с
30:56
отрицательной стороны и обязательно получается ноль просто по определению мы
31:02
с этого начали соответствует неотрицательное число ноль целых и все нули
31:08
вот ведь в принципе могло получиться И вот так что вот Давайте опять же пример
31:15
вот какой вы рассмотрим все отрицательные числа вот просто
31:21
рассмотрим множество всех отрицательных чисел что получится При таком построении а получится вот что если все
31:28
отрицательные числа Какая минимальная целая часть ноль рассмотрим все отрицательные числа
31:34
ми 0 целых и дальше цифры Какая минимальная первая цифра тоже ноль среди
31:41
таких минимальная вторая цифра среди 0,0 и дальше X2 и так далее тоже ноль
31:49
получится -0 и и все нули получилась бесконечная е десятичная
31:57
дробь но не это самое но не число точно также может получиться
32:05
бесконеч десятичная дробь с нулём в периоде в любом другом месте например
32:10
вот все числа которые меньше мину 1/2 ведь что у нас получится берём целое
32:18
число ноль значит мину 0 целых берём всевозможные первые так
32:24
сказать первые цифры какой среди них минимум минимум 5 правильно 5 – 0 5
32:32
дальше всевозможные отрицательные числа вида ми
32:38
0 и 5 и дальше что-то Какая минимальная следующая цифра но и дальше пойдут все
32:44
нули вот в этом случае делаем вот что если вдруг получается M ра
32:54
-0 и так далее заменяем его заменяем его на плю 0 0 и
33:04
так далее Ну зря я тут этот ноль написал
33:09
Если получается M вот такое минус
33:16
x0 с чертой X пер с
33:22
чертой X K – пе с чертой а
33:32
Прим Конечно вот вот самое последнее цифра X ми пер с чертой не
33:40
равняется нулю Ну потому что если бы она равнялась Ну ну мы бы написали этот
33:46
период но с более раннего места тогда заменяем эту дробь начи
33:58
минус x0 с чертой X пе с
34:05
чертой xk – второ с чертой здесь цифра
34:11
будет xk ми перва с чертой
34:17
-1 А дальше 9 9 и так далее Вот это уже
34:23
будут числа Вот и если посмотреть вот Предлагаю это сделать так сказать когда
34:30
дом будете рассматривать это доказательство сделать это самостоятельно и убедиться что уж раз
34:36
вот такая бесконечная десятичная дробь удовлетворяет соответствующим
34:41
неравенствам которое получается там по ходу то такие и подавно такие и подавно
34:48
Так что тут вот всё получается вот теперь можно сказать что
34:53
теорема доказана значит Итак
34:59
вот это вот первая теорема доказана Ну теорему 2 я заново формулировать не
35:07
буду но лишь напомню вам даже вот не хочу лишнюю строчку занимать вот здесь
35:13
вот напишу теорема 2 теорема 2 о том что существует точная Нижняя Грань сниу
35:22
множест
35:29
теорема 2 доказать самостоятельно то есть вот таким образом мы получили вот
35:37
то что надо вот теперь я думаю понятно почему я не стал На прошлой лекции доказывать эту
35:44
теорему вы же видите сколько это времени заняло почти целый так сказать вот
35:50
академический час [аплодисменты]
35:57
такая теорема Теперь давайте введём некоторые
36:03
числовые множества ну их можно было ввести и раньше но удобнее всё-таки
36:10
после этих двух теорем введём некоторые числовые множества которые вам конечно
36:18
известны это отрезок интервал И полуинтервал значит введём вот Какие
36:25
множества [музыка]
36:32
АБ вот я только хочу сказать что вот в школе принято в таких случаях писать
36:38
точку с запятой в конце концов Если вы будете писать точку с запятой Я не буду на это обращать внимание да И
36:45
никто из преподавателей на это обращать внимание не будет но вот как-то уж в Высшей школе сложилось что здесь пишется
36:53
запятая просто Но если вы будете следуя школе писать то зап не
37:01
страшно это множество X принадлежащих R
37:07
таких что А меньше либо равняется X меньше либо равняется
37:16
B так здесь ещё будут некоторые пояснения Поэтому да и удобнее вот так
37:22
а вот так это вот что за множество
37:29
принадлежащее R таких что А меньше либо
37:34
равно X и меньше чем B так такой полуинтервал
37:45
А это опять же X принадлежащее R такие
37:50
что аме лира
37:57
наконец интервал AB это вот что X принадлежащее R такие
38:08
что А меньше X и строго меньше чем B вот
38:15
здесь некоторые пояснения пояснения такие что когда отрезок то
38:22
а конечно это тоже кае
38:29
какие-то вещественные числа а конечно меньше либо
38:34
равно если а ра B то отрезок вырождается в точку
38:41
здесь или значит здесь а принадлежит R
38:49
а или прилежит
38:57
нехорошо я написал б или лучше начать со слова или А здесь была тряпочка Так а
39:07
принадлежит R А дальше или
39:12
B принадлежит R причём а
39:18
Мень или ра п бесконечно
39:25
[музыка] бесконечность просто означает что все если вместо B стоит бесконечность то
39:33
такой вот полуинтервал полы интервал который так сказать от какой-то точки
39:39
начинается и вправо продолжается неограниченно здесь
39:45
или а
39:51
принадлежит R в скобках а Мень м
40:00
или а ра минус бесконечности А
40:08
обязательно некоторое вещественное число тут вот что может быть
40:15
тут значит или AB
40:21
принадлежат R в скобках тогда а Мень B
40:29
а вот тут я напишу так и или а равно минус бесконечности B
40:38
равно плюс бесконечности Ну то есть когда мы рассматриваем интервал в
40:45
котором которому не принадлежат оба конца то может быть о оба конца
40:52
вещественные числа например интервал 0 может быть
40:59
это этот интервал не ограничен вправо не ограничен влево А может быть он не
41:05
ограничен ни вправо ни влево тогда это вся числовая ось Ну в общем это то что вам
41:10
конечно знакомо и это
41:18
самое ничего так сказать принципиально нового по сравнению с тем что было раньше в школе у вас изучалось здесь в
41:25
общем-то нет вот А вот теперь А вот теперь как
41:32
раз Вы ВС так сказать На прошлой лекции вы меня спрашивали и в перерыве и всё
41:39
такое прочее так сказать и во время лекции сколько же вещественных чисел Вот
41:45
вот сейчас как раз уместно после введения Таких вот
41:51
множеств доказать что стх
41:59
не счётное множество Ну вот я вот в начале скажу некоторые слова но тут я
42:05
чувствую скоро уже Будет перерыв поэтому Ну вот я некоторые слова скажу а уже после перерыва это действительно мы
42:13
будем устанавливать значит что значит множество счётное вот у нас до этого
42:21
были среди числовых множеств только множество счётные множество натуральных чисел это просто
42:27
по себе эквивалентно само себе это множество и поэтому оно счетно мы
42:33
установили что множество целых чисел чётно множество рациональных чисел чётно
42:40
А что значит нечётно значит невозможно невозможно поставить в
42:46
соответствие все вещественные числа Чтобы каждому соответствовало натуральное число Вот но для этого
42:53
достаточно установить множества множество вещественных чисел
43:01
не является чётным Ну вот мы установим для определённости что вот вот такое вот
43:09
множество вот оно 0 1 это не счётное
43:15
[аплодисменты] [музыка] множество множество я это хочу
43:21
установить поэтому опять же видите ставлю Знак вопроса Ну вот Ну вот на
43:27
этом так сказать на самом интересном месте сделаем перерыв ственных
43:35
чисел вещественных чисел вот даже даже не только
43:43
на отрезки не только всех вещественных чисел а только на
43:52
интервале 0 их не счёт
44:04
Вот значит как это установить вот я специально взял
44:11
интервал чтобы там не было Вот чего ведь число но у него это единственное
44:20
вещественное которого раз но в периоде
44:28
это вещественное число Но это Но тоже но целы и все девятки но оно не принадлежит
44:35
интервалу Ну просто чтобы как-то было немножечко легче для понимания значит
44:41
Вот рассмотрим все вещественные числа которые лежат на интервале
44:48
0 доказательство будет идти от противного предположим что их сно
44:56
число тогда мы их можем за нумеровать то есть Давайте сделаем вот пусть у нас
45:03
будет X Первое у нас теперь нижние индексы нижние индексы они
45:10
употреблены для номера цифры Ноль – это целая часть А дальше цифры значит пусть
45:17
вот X пер Ну да Все числа со знаком плюс и у всех
45:24
целая часть но то есть это но X Вот это в номере числа это номер цифры
45:32
X пер здесь вторая цифра
45:37
X здесь в первом числе нная цифра и так далее так Это мы так вот скажем
45:46
предположим
45:53
[аплодисменты] вторая цифра второго
45:59
числа нная цифра второго числа и так далее так и так
46:07
далее X N но число ноль
46:15
целых X первая цифра ного числа вторая
46:20
цифра ного числа нная цифра нного числа
46:26
и так далее есть предположим что так вот сделали
46:33
так с рациональ помни как мы делали там не обязательно было больше меньше чтобы
46:39
было общем как-то мы это делали предположим что-то нам удалось сделать с
46:44
вещественными числами И вот я хочу доказать что такого быть не может Вот
46:51
кам обм ходя на интервале 0 но которого нету
47:02
среди вот этих вот занумерованных чисел что оно будет отлично от всех этих чисел
47:11
вот как будем строить число X равно
47:17
0 X пе X в X и так далее вот Каким образом
47:29
X пе X пе оно не равняется
47:37
нулю X пе не равняется
47:42
де X пер не равняется X первой цифре первого числа Ну вы
47:52
понимаете даже вот если здесь какое-то цифр у нас 10 исключаем из них
48:00
ноль девять и ещё одну цифру семь цифр ещё остаётся можно взять Вот
48:07
какой-нибудь такая возможность есть X второе вторую цифру тоже берём чтобы
48:17
она не равнялась нулю не равнялась
48:22
девяти Но самое главное чтобы она не равнялась
48:27
второй цифре второго числа и так
48:32
далее xn нная цифра Этого числа она не
48:39
равняется нулю не равняется де Ну так чтобы не
48:47
думать о том что вот здесь вот вы ко мне подходили спрашивали как быть тут дробь
48:53
может получиться А может это дробь числу соот соответствовать поэтому хочу исключить
48:59
чтобы был и но в периоде и де в периоде чтобы вот всего этого не было То есть
49:04
почему я написал Вот вот и самое главное xn не
49:14
равно в ном числе и так
49:19
далее что же получается А вот смотрите сами
49:27
не равняется X
49:32
первому Почему а первая цифры-то там разные первая цифры там другие всё-таки
49:40
чтобы числа равнялись нам нужно чтобы все цифры там совпадают первая цифры
49:45
неравны значит X пер то есть X не равен
49:50
X второ потому что вторые цифры не совпадают и так далее
49:59
неравен и так далее Вот получается что вот мы построили такое число которого среди
50:08
этих занумерованных как мы предположили всех вещественных чисел просто нет а это
50:15
число всё-таки лежит здесь даже мы дополнительно исключили чтоэто не будет
50:21
задо но ну
50:29
мы исключили все девятки то есть но все девятки тоже исключено Так что Так что
50:35
вот как видите и так сказать вот Следовательно
50:40
отсюда получается что множество множество вещественных чисел даже
50:49
на интервале
50:55
0 вещественных числ не только на интервале а на минус плюс бесконечность
51:01
и подавно нечётное множество Вот то есть это вот
51:06
действительно такая уже вещь что нужно
51:12
нужно что-то другое рассматривать Потому что некоторые даже вот я думаю думали
51:18
Ага натуральные числа построили чис я доказал на первой лекции их с но
51:27
Бо потом мы е расширили понятие числа получилось ВС равно рациональных
51:34
чисел ВС равно их столько же А вот теперь расширили понятие числа их
51:39
оказалось бесконечно много конечно Но помимо того что бесконечно много их больше чем
51:46
счётное множество так Ну теперь давайте вс-таки вернёмся к тому От чего мы о
51:58
а нам е нужно сложение и умножение ввести так
52:05
чтобы это всё совпадало Вот вы видите сколько это времени занимает вот поэтому
52:11
не удивляйтесь тому что я тут буду говорить я об этом буду ещ обращать Ваше внимание
52:19
на это вот это
52:26
больше писать не буду А это доказательство я его стёр
52:32
теперь рассмотрим как вводить операции сложения
52:38
и умножения Давайте опять-таки вспомним А как Мы строили вещественные числа Мы строили
52:47
вещественные числа Мы строили вещественные числа Вот Каким образом мы от ну Отвали
52:57
в зависимости от того где эта точка находится справа или слева
53:02
откладывали единицу потом 1 потом о и так далее и следили чтобы
53:10
каждый раз отрезок оставался больше единиц Вот то есть при построении Ной
53:18
цифры бесконечной ро соответствующей точ на вещественной оси
53:27
вот что получалось значит вот каждое вещественное число Для всякого X
53:34
принадлежащего R мы можем указать вот Какие
53:41
существуют x x плюс А лучше начнём с минуса X мину
53:51
и x П принадлежащие
53:58
Q такие такие что
54:04
x минус меньше либо равно X меньше либо равно X п и в то же
54:16
время x П вычесть X ми ра
54:24
1 10 пе вот значит почему я в обоих случаях
54:30
написал меньше либо равно А дело вот в чём когда Мы строили вещественное число
54:36
соответствующее точки лежащей справа от оси у нас в одном месте получился знак
54:43
строгого неравенства в другом не строгого А когда мы строили вещественное
54:49
число соответствующее точки лежащей слева от нуля У нас эти знаки были
54:55
наоборот мне сейчас это без разницы поэтому я и написал вот эти вот соотношения и там и
55:03
там меньше либо равно меньше либо равно
55:08
натураль да Угу для каждого да да ну ага да Надо
55:18
было мне написать Вот Что Вот давайте вставим Это правильное замечание Вот это
55:24
я перепишу Просто мне место для каждого X принадлежащего R для любого N и
55:32
натурального найдутся два рациональных числа это две конечные десятичные дроби
55:39
То есть это рациональные числа то есть Вот например ре2 он заключён между единицей и двойкой
55:48
дальше с точностью до до 1 10 Ну между
55:57
с точностью до 1 141 142 с точностью до едини на 10к Ну и так
56:05
далее Вот 1/3 например Это от нуля до единицы от 03 до 04 от
56:13
033 до 034 Ну и так далее В общем вот Для всякого рационального числа найдутся
56:21
два вещественных числа по
56:26
это это их приближение по недостатку и по избытку Ну вот и вот после этого
56:33
после этого Давайте дадим определение вот какое будет
56:44
определение
56:49
[аплодисменты] суммой вещественных чисел суммы X Y
56:56
принадлежащих R
57:02
называется называется число обозначается оно так X + Y а называется вот
57:11
что точная Верхняя грань множества
57:18
X N минус
57:23
прибавить прибавить X
57:31
плюй чуж написал Y минус вот как потому что я уже думал о следующем значит вот
57:38
суммой двух вещественных чисел называется вот такой вот такая вот
57:46
точная Верхняя грань сумм двух рациональных чисел Что такое
57:52
рациональное число сумма их Это Вам известно со школы
57:59
будем считать вот так вот А что такое точная Верхняя грань вот этим мы сейчас
58:04
как раз занимались значит вот это у нас точная Верхняя грань вот некоторого
58:11
числового множество и вот тут вот я смотрите ограничусь такими словами Вот
58:17
это по идее надо вот всё это устанавливать А я ограничусь такими
58:23
словами во-первых можно до можно доказать Это серьёзно
58:30
доказательство быстро не делается можно доказать что это инфимум вот
58:39
чего плю прибавить Y п можно доказать
58:46
что Это точная Нижняя грань Вот таких вот чисел Ну можно доказать доказа что это
58:55
множество множество ограничено сверху можно доказать что это множество ограничено снизу вот а раз я говорю что
59:01
это можно доказать что это будет инфимум значит Они совпадают супремум вот этого множества и инфимум этого А это вот я
59:09
говорю надо доказывать Но я этого делать не буду потому что если я всё это буду делать то мы до математического анализа
59:16
просто не дойдём но я м просто вот видите не просто говорю что вот так
59:22
сказать Вот так вот это делается но ещ ставлю какие-то это не значит что я вам говорю доказать
59:30
Вот это это не надо вот теорему 2 вот это действительно доказать
59:36
самостоятельно это надо сделать То есть это на экзамене могут спросить а вот
59:42
доказывать что вот так значит вот можно доказать что так оно и будет можно
59:49
доказать что при это
59:55
при точная эта сумма всегда всегда определена для любых двух
1:00:03
вещественных чисел совпадает с суммой двух
1:00:08
рациональных чисел Если вдруг X и Y вещественные числа но являющиеся
1:00:14
рациональными и при этом выполняются соответствующие свойства вот
1:00:21
а именно вот Какие выполняются свойства
1:00:26
2 2 тире 5 11 и 13 Ну посмотрите какие
1:00:34
там эти свойства как раз ведь 2 5 там существует ноль роль нуля
1:00:41
играет Вот как раз вот это вот число не вот э дробь которая не является
1:00:47
вещественным числом А вот это вот так что это всё тут так вот таким образом
1:00:54
вот вводит ня суммы то есть
1:00:59
вот вот опять же я говорю вам вот когда я вводил понятие равенство и больше
1:01:08
меньше то вот там первое свойство в котором только это вот его я
1:01:13
аккуратненько доказал Ну это достаточно простая всё-таки вещь и её я сделал Но
1:01:20
ВС равно это занимает время А вот если я займусь вот этим
1:01:26
за гораздо больше времени но можно это доказать то есть вот так строятся
1:01:32
вещественные числа Вот так вводится понятие [музыка]
1:01:37
суммы теперь введём произведение и тоже я буду говорить что можно доказать но и
1:01:43
произведение не сразу можно
1:01:49
ввести видение
1:01:57
Прима определение [музыка]
1:02:04
произведением произведени
1:02:09
двух положительных вещественных
1:02:19
чисел двух положительных вещественных чисел называется
1:02:28
называется обозначается так X у y Ну и точку можно
1:02:35
опустить точная Верхняя грань мину Умно на Y
1:02:45
мину значит вот произведением двух
1:02:54
положите чил называется точная Верхняя грань вот этих
1:03:01
вот произведений Ну точно также можно доказать что Это точная Нижняя
1:03:09
грань вот этих вот
1:03:17
произведений Вот и если вдруг это два положительных
1:03:23
рациональных числа то она совпадает с произведением
1:03:29
рациональных чисел которые являются Ну дро перемножать числитель знаменатель
1:03:35
знаменатель сократи Вот положительны вот что оно всегда есть Всегда существует
1:03:42
для любых двух положительных вещественных чисел вот это вот всегда
1:03:48
можно
1:03:57
определение определение
1:04:03
произведение XY принадлежащих
1:04:08
R называется вот что обозначается так XY
1:04:17
Ну точно так
1:04:24
же лучше так Но если X ра
1:04:32
Ну или Y ра Ну ну то есть произведение двух
1:04:39
сомножителей один из которых Ноль это как раз вот тоже будет так
1:04:46
сказать по определению считается нулём до этого этого не было только
1:04:51
положительные числа модуль X у
1:04:57
модуль Y если X Y одного
1:05:10
знака и минус абсолютная величина X Умно
1:05:16
на абсолютную величину Y если X Y разных знаков
1:05:30
Вот вот так определяется значит если один из сомножителей хотя бы
1:05:38
один равен нулю Но если оба и пода то произведение определяется Да вот Давайте
1:05:44
три палочки поставим то и произведение определяется нулём А если они так Скара
1:05:55
абсолютны величины вспомните На прошлой лекции было определение абсолютной величины это обязательно будет число
1:06:01
положительное длях уже вот такое вот произведение положительных чисел вот оно
1:06:07
у нас что есть вот значит если они одного знака то
1:06:12
произведение их абсолютных величин и знак плюс А если разных знаков то произведение абсолютных величин
1:06:24
как опять же вот теперь конечно опять же можно доказать что оно совпадает
1:06:32
совпадает с произведением рациональных чисел Если
1:06:38
вдруг эти вещественные числа являются рациональными что они определяются единственным образом Вот и при этом и
1:06:47
при этом выполняются свойства вот оставшиеся
1:06:56
и свойство 12 но свойство 12 – это Распределительный закон То есть он связывает как раз умножение со сложением
1:07:04
Ну вот то есть вот при этом Вот что получается И вот таким образом Вот
1:07:11
теперь уже Мы можем говорить если всё это
1:07:16
проделать А это занимает достаточно много времени чего я делать не буду но
1:07:23
вот если ВС это проделать то вот после этого мы можем считать что у нас
1:07:30
построено множество вещественных чисел как расширение понятия числа из
1:07:38
рациональных Вот вот я Обозначил здесь по дороге что это достаточно сложная
1:07:46
вещь кое-что приходилось мне вот доказывать вот понятное дело
1:07:53
супремум нужен Вот потому что супремум и инфимум нужны потому что вот мне через
1:07:58
них нужно вводить понятие суммы и произведение Но помимо
1:08:05
ввести понятия Нужно ещё много чего сделать И вот это задачи достаточно
1:08:13
Непростые и Ну здесь я хочу лишь сказать что можно и по-другому вводить
1:08:20
вещественные числа если вы раскроете задачник демидовича
1:08:26
Демидович предпочитает немножко по-другому через так называемые киндо вы
1:08:32
сечение Ну вот в Демидович конечно об этом ничего не сказано как их строить Но
1:08:38
если вы этим заинтересуется можете почитать соответствующую литературу это
1:08:44
немножко другой способ построения Ну а вот я делаю то что вот я сделал так Ну
1:08:51
теперь давайте рассмотрим некоторые сказать тут
1:08:57
свойства этих самых вещественных чисел которые которые
1:09:04
вам тоже известны со школы помимо тринадцати свойств которые вот я сказал
1:09:11
что можно [аплодисменты] доказать Ну вот как это всё делается
1:09:20
считая теперь что вот у нас есть вещественные числа там определена сумма
1:09:27
произведения и для этих вещественных чисел выполняются те же самые 13 свойств
1:09:34
что вы знаете со школы для чисел рациональных Ну отметим следующее что
1:09:42
абсолютная величина произведения равняется
1:09:48
произведению абсолютных величин
1:09:55
вытекает из определения произведения Ну действительно ведь что
1:10:01
же это такое если X можете Вот вот это вот Рассмотрите
1:10:08
самостоятельно Что делается здесь когда либо X либо Y равны нулю когда не равны
1:10:14
нулю в общем вот это вот так сказать абсолютная величина произведения
1:10:19
равняется произведению абсолютных величин сомножителей
1:10:25
так а вот с суммой Ну я хочу установить общие так ска общие свойства что модуль
1:10:32
суммы меньше либо равен сумме модулей это тоже Вам известно но давайте это
1:10:37
установим значит вот как мы знаем всякое число всякое число
1:10:45
вещественное по определению абсолютной величины или что тоже самое что модуль
1:10:58
Ой вот просто уже думаю о следующей на самом деле X либо равняется
1:11:05
своей абсолютной величине либо равняется минус своей абсолютной величине в
1:11:12
зависимости от того какой знак вспомните как у нас определяется абсолютная величина это же
1:11:25
неважно какого знака обязательно знак плюс а ВС остальное не меняем Вот то есть получается что на самом деле либо
1:11:32
здесь либо здесь равенство либо для нуля в обоих случаях вместе ми 0 – это тоже
1:11:39
но это так точно также
1:11:49
Y А теперь вот что сделаем используя вот эти вот свойства
1:11:56
свойств А давайте мы их сложим тогда получается я для рациональных чисел
1:12:01
показывал что вот строго говоря среди этих 1 свойств написано что если а бо B
1:12:07
то а п боль чем B п C но можно отсюда установить что если а бо B а бо то а п
1:12:16
бо чем B п D Ну равенство тоже сохраняется тде
1:12:22
получается мо Мень либо Рав X + Y меньше либо
1:12:31
равно моду x П модуль Y А теперь это напишем вот Каким образом вот эти это
1:12:39
двойное неравенство Я могу написать что с одной стороны модуль x П модуль
1:12:45
Y больше либо равняется X + а с другой стороны Вот давайте
1:12:52
посмотрим вот на это неравенство вот опять-таки из этих свойств как я уже
1:13:00
отмечал для рациональных чисел вот там у нас умножить можно на положительное число на не отрицательное А если мы
1:13:08
умножаем на отрицательное то знак изменится на противоположный вот значит получается
1:13:15
что x П модуль Y больше либо равен ми +
1:13:25
Вот то есть смотрите вот это вот число поскольку Сумма двух неотрицательных чисел конечно неотрицательное а оно
1:13:33
больше вот какого-то числа и минус то же
1:13:38
самое число значит отсюда следует
1:13:44
что модуль X плю модуль плюс модуль X +
1:13:49
Y боль либо равен модуль X
1:13:56
не так я написал Не так я написал говорю просто вот уже думаю о другом модуль x П модуль
1:14:05
Y Я же ведь говорю так больше либо равен абсолютной величины x П Y опять-таки из
1:14:13
тех соображений вот из этих двух чисел X + Y и минус в скобках X + одной из них
1:14:22
является абсолютной величиной X + и оно большее из этих двух оно самое большее
1:14:28
Но если число больше и этого и этого то значит оно больше максимального значит
1:14:33
Вот что получается Значит получается то что нам надо абсолютная величина X + Y
1:14:41
меньше либо равна модуль X + модуль Y Так теперь нам
1:14:49
понадобится с разностью с разностью нам понадобится ээ вот как мы
1:14:57
выведем некоторое соотношение с разностью А
1:15:02
вот Давайте посмотрим возьмём X по абсолютной
1:15:10
величине Я могу написать что это
1:15:15
Y прибавить X –
1:15:20
Y так толь что доказано что модуль сум ран сумме модулей значит это меньше либо
1:15:28
равно абсолютная величина Y П x –
1:15:34
y то есть то есть абсолютная величина
1:15:40
разности больше либо равна X ми модуль
1:15:48
Y так дальше чит вот распишем вот это
1:15:53
вот выражение Давайте вот что возьмём ведь абсолютная величина X – Y это тоже
1:16:02
самое что абсолютная величина y – x
1:16:07
потому что это одинаковые числа только знаком различаются для абсолютной величины это же всё равно значит это
1:16:14
будет больше либо равно моду Y ми
1:16:23
Мот поча опять же Вот видите Абсолют вот одно
1:16:29
число не отрицательное оно больше Вот чего и
1:16:35
больше минус это же число Значит получается из этих двух
1:16:42
выражений что абсолютная величина X – Y
1:16:48
больше либо равна абсолютной величины разности
1:16:56
модуле Вот вот эти вот вот эти вот соотношения нам
1:17:02
понадобятся Какие вот вот это давайте я его обведу в
1:17:09
рамочку и вот
1:17:19
это значит вот вот
1:17:26
а теперь А теперь вот я вс-таки сейчас пожалуй не буду как в прошлый раз я вот
1:17:32
у меня оставалось какое-то такое время сечас даже немножечко больше остаётся всё-таки я как бы пойдём дальше пойдём
1:17:41
дальше в прошлый раз мне идти дальше не хотелось по вполне понятным причинам
1:17:46
потому что надо было доказывать теорему сейчас якава
1:17:59
рассказывать значит Итак мы построили вещественные числа Но на этом
1:18:06
расширении понятия числа знакомство с расширением понятия числа мы не закончим
1:18:12
А пойдём дальше следующее расширение понятия числа это так называемые
1:18:20
комплексные числа
1:18:25
я напишу вот посмотрю что могу
1:18:32
сделать значит ну уже на занятиях По крайней мере я в
1:18:38
своих группах уже вводил эти комплексные числа но как другие преподаватели Я не
1:18:44
знаю это уже пятое комплексные числа
1:18:55
числа можно сказать хотя исторически это конечно было не так но можно сказать что
1:19:00
они были вызваны тем появление их было вызвано тем что нужно было решать
1:19:07
некоторые уравнения например X к ра ми1 среди
1:19:13
вещественных чисел решения не имеет но почему-то захотелось чтобы оно имело
1:19:21
Ну точно также как решение среди рациональных чисел поэтому
1:19:27
у нас получились вещественные вот эти вот их мы построили с учётом того что я
1:19:33
тут говорил можно доказать можно доказать
1:19:38
так определение
1:19:44
определение комплексным числом Z
1:19:49
называется называется
1:19:55
пара вещественных чисел а обозначается оно по-разному
1:20:02
вот так может обозначаться может вот таким вот образом значит комплексным
1:20:08
числом называется пара вещественных чисел где x y значит принадлежат R при
1:20:16
этом при этом Давайте в это же определение введём X называется
1:20:22
вещественной частью комплексного числа Z Y называется мнимой
1:20:30
частью того же самого комплексного числа
1:20:37
Z так вот Я хочу сказать что вот здесь написано плюс Здесь вроде бы написано и
1:20:46
и значит вроде бы подразумевается умножение Нет пока что у на нету никаких
1:20:55
с комплексными числами но через некоторое время Ну я конечно понимаю что
1:21:01
это некоторое время наступит только на следующей лекции мы этим символам пока
1:21:08
это только символы предадим смысл именно сложения и
1:21:15
умножения так Ну вот пока что это вот такие вот
1:21:21
комплекс вещественных значат чи упорядоченная пара То есть это
1:21:28
получается что точка на плоскости плоскость естественно назвать
1:21:34
комплексной плоскостью значит как она изображается Но это вам хорошо известно
1:21:41
значит вот Z ра x П
1:21:48
И значит это X это и
1:21:54
Так значит это вот x П И – это вот такое число Точно также мы можем
1:22:05
нарисовать Вектор идущий из начала координат в эту точку Ну так как вот у
1:22:12
вас в аналитической геометрии вводили вводилось понятие
1:22:18
векторы Он соединяет две точки Ну а здесь вот обязательно из начала координат в эту точку
1:22:25
ось абсцис здесь уместно назвать вещественной осью Это другая ось ось ординат
1:22:32
называется мнимой осью это всё Число Вот это пока
1:22:39
множество мы написали введём на этом множестве
1:22:46
арифметические действия вот по таким
1:22:51
правилам вот тоже нам а да прежде чем числа вводить правило
1:22:58
давайте-ка вот се сделаем Пусть Имеются два комплексных числа Z1 ра X1
1:23:07
п1 Z2 равняется X2
1:23:13
П2 вот эти вот два комплексных числа называются
1:23:21
равными Z1 2 обозначается таким образом
1:23:30
если X1 равняется
1:23:35
X2 y1 ра y2 значит вот два комплексных
1:23:41
числа считаются равными если у них равны вещественные части и мнимые для вещественных чисел мы роли е
1:23:50
поняти больше меньше ЕС раз
1:23:55
или меньше для комплексных чисел поняти больше меньше не
1:24:01
определяются эти понятия при переходе от вещественных чисел к комплексным теряются А вот теперь введём
1:24:09
арифметические действия определение Но опять-таки пусть Z1 и Z2
1:24:17
вот так вот определяется
1:24:24
Z1 плюс или минус Z2 это вот
1:24:32
что X1 плюс или мину X2 п на
1:24:39
y1 плюс или соответственно ми y2 Вот тут
1:24:44
я хочу сказать что вот эти вот знаки – это знаки арифметических дест
1:24:51
пми для тут вводили вот а вот этот плюс это ещ
1:24:59
просто символ также как и и умноже на эту скобку
1:25:05
Z1 Умно на Z2 это вот
1:25:12
что X1 X2 –
1:25:17
y1 y2
1:25:23
п1 y2 + X2
1:25:29
y1 значит вот это вот произведение Вот у него вещественная
1:25:35
часть вот эта тут уже умножение и вычитание Это для вещественных чисел
1:25:41
здесь умножение и сложение тоже для вещественных чисел Вот это пока что символы А
1:25:49
если а если Z2
1:25:55
0 + 0i это так называемый комплексный 0
1:26:01
то Z1 де на
1:26:08
Z2 равно по определению это вот что
1:26:14
X1 X2 + y1
1:26:20
y2 X2 + y2 делить Как видите можно Потому что 0 П 0
1:26:28
и п и А здесь другая дробь X2 y1 – X1
1:26:38
y2 дели на X2 к п y2
1:26:44
к Ну вот а теперь вот я ввёл арифметические
1:26:49
действия Хочу дальше напоследок сказать вот самостоятельно
1:26:57
проверить что деление и
1:27:03
вычитание это действие обратные Ну вычитание обратно сложению а ээ деление
1:27:11
обратно умножению ну то есть вот тут у меня умножение деление разными строчками
1:27:17
То есть если я возьму вот это вот число и умножу на Z2
1:27:25
Умно на Z2 которое вот оно X2 + то вот проверьте сами что если перемножать вот
1:27:32
как положено вот здесь Получится Получится как раз Z1 точно также если я
1:27:39
к Z2 прибавлю то есть да к Z2 прибавлю Z1 – Z2 вот здесь вот минусы будут
1:27:47
стоять то это конечно устно проверяется Ну вот а уже дальше с комплексными
1:27:53
числами будем работать во вторник