Кратко рассматриваются два необходимых математических ингредиента квантовой механики: комплексные числа и матрицы.
Ква́нтовая (волнова́я) меха́ника — фундаментальная физическая теория, которая описывает природу в масштабе атомов и субатомных частиц. Она лежит в основании всей квантовой физики, включая квантовую химию, квантовую теорию поля, квантовую технологию и квантовую информатику
Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида a+bi, где a,b — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: i2=−1
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:11
квантовая механика исторически является
0:14
первой физической теории которая не
0:16
может обойтись без комплексных чисел
0:18
ранее комплексные числа считались уделом
0:21
и лишь математиков комплексное число z
0:25
можно представить в виде действительной
0:27
части плюс мне мои единицу помноженное
0:29
на мнимую часть a и b это обычные числа
0:34
мнимая единица обычно обозначается
0:36
буквой и
0:37
и по определению является квадратным
0:39
корнем из минус единицы или что то же
0:42
самое и квадрат равно минус единицу
0:45
если числа а и b считает декартовыми
0:48
координатами то комплексное число будет
0:50
. и на плоскости эта плоскость
0:53
называется также комплексной плоскостью
0:56
если из начала координат в эту точку
0:59
провести вектор то согласно теореме
1:01
пифагора квадраты его длины будет равен
1:04
сумме квадратов действительной и мнимой
1:06
части эта длина также называется
1:09
абсолютным значением или модулем
1:11
комплексным числа комплексный че
1:15
можно складывать и умножать друг на
1:17
друга согласно обычным законам
1:19
арифметики с учетом того что и квадрат
1:21
равно минус единицы еще одна операция на
1:25
которой не делается акцент в школьной
1:27
программе но которые широко используется
1:29
в квантовой механике это комплексное
1:31
сопряжение данная операция просто меняет
1:35
знак мнимая единица на противоположный
1:39
геометрически она соответствует
1:41
отражению комплексного числа
1:43
относительно действительной оси комплекс
1:47
на сопряженное число обозначается
1:49
звездочкой
1:53
квадратов
1:54
можно также записать как произведение
1:56
комплексного числа на своем сопряжение в
2:00
этом легко убедиться просто раскрыв
2:02
скобки
2:07
квантовой механики кого
2:10
комплексного числа несет в себе глубокий
2:11
физический смысл
2:14
также нам понадобятся матриц квантовой
2:18
механики используются квадратные матрицы
2:20
размером n на n матрицы единицы на н то
2:24
есть строки и матрица n на 1 то есть
2:26
столбцы матричные элементы могут быть
2:30
комплексными числами при умножении
2:34
квадратных матриц
2:35
также получается квадратная матрица
2:38
матрицы перемножаются по правилу строка
2:40
на столбец так элемент единице минус 2 и
2:45
получается как единицу умножить на 3
2:47
плюс единица минус и умноженный на -2
2:51
нее
2:59
порядок перемножения матриц имеет
3:02
значение в общем
3:04
и умножить на b не равно был нужно тогда
3:08
говорят что матрицы не коммутируют
3:13
деление матрица не определена вместо
3:16
него используется понятие обратной
3:18
матрицы обратный матриц в минус 1 это
3:22
такая что при умножении на исходную
3:25
матрицу
3:25
она дает единичную матрицу единичная
3:29
матрица обычно обозначается буквы и и
3:31
содержит единицы по главной диагонали и
3:34
0 и в остальных местах
3:39
умножая кого-то
3:41
трачу на столбец получим другой столбец
3:44
столбец обязательно должен стоять справа
3:47
от матрицы для того чтобы соблюсти
3:49
правила строка на столбец чтобы умножить
3:54
строку
3:54
ее надо поставить слева от матрицы в
3:58
результате мы также получим строку
4:00
правило строка на столбец соблюдается
4:02
элемент -2 минус и получается как минус
4:06
и умножить на 1 плюс минус 1 плюс i
4:10
умножить на единиц плюс и если он
4:16
жить строку на столбец то получим просто
4:18
число
4:22
для матриц существует операция
4:25
являющийся обобщением комплексном
4:27
сопряжения и широко использующийся в
4:29
квантовой механике на называется эрмита
4:32
сопряжения и обозначается крестиком
4:35
помимо замены знаков при мнимой единицы
4:38
она еще подразумевает замену строк на
4:40
столбцы
4:47
то есть or metal сопряжения матриц эта
4:49
комбинация транспонирования и
4:51
комплексного сопряжения
5:04
[музыка]