Расшифровка видео
0:00
привет сейчас поговорим о синусах
0:03
косинусов и прочие братья думаю вы без
0:07
меня знаете про отношении разных там
0:09
катетов прилежащих и противолежащих
0:11
гипотенузе но я хочу не просто дать вам
0:14
определения но и попытаться объяснить
0:17
зачем нужна синусы и косинусы
0:19
какого черта их вообще придумали
0:22
посмотрев урок вы убедитесь что
0:24
существуют они для очевидной
0:26
практической пользы а вовсе не за тем
0:28
чтобы усложнить жизнь школьникам и
0:31
студентам
0:33
итак представьте что вы ничего не знаете
0:36
про синусы катет и гипотенуза
0:39
представьте что вы строитель и вам нужно
0:41
построить дом стены у вас уже есть
0:44
сейчас вы возводите крышу
0:47
вам нужно чтобы крыша была под довольно
0:50
крутым наклоном чтобы снег зимой
0:52
скатывался ну допустим 30 градусов не
0:56
меньше длина ската крыши у вас задано
1:00
заранее она зависит от длины стропил то
1:03
есть брюсов бревен которые создают
1:05
основу крыши
1:07
длина стропил пусть будет 10 метров
1:11
возникает вполне практический вопрос
1:13
какой должна быть высота крыши чтобы
1:16
угол ее наклона оказался равным 30
1:19
градусов как бы вы его решали кто-то
1:24
скажет
1:24
чихал я на вашу науку я сейчас буду
1:27
поднимать конец бревна
1:29
а другой человек будет отмерять угол как
1:32
только угол станет равным 30 градусов я
1:35
засеку на какую высоту я его поднял
1:38
все было бы хорошо но бревно то нелегкая
1:41
задирать его да еще и ждать пока
1:43
напарник отмерит угол да и потом эту
1:46
процедуру несколько раз придется делать
1:48
и как вообще измерять угол на крыше не
1:51
совсем понятно но не транспортиром же
1:54
кто-то скажет ребята на к чему такие
1:57
сложности разве нельзя то же самое
1:59
нарисовать на бумаге берем транспортир
2:02
чертим угол в 30 градусов по наклонной
2:06
стороне угла откладываем длину нашего
2:08
стропила эль и смотрим на какую высоту h
2:12
поднимается конец это
2:13
стропила то есть наша крыша в общем все
2:17
ничего если нужно выполнить расчет один
2:20
раз но если вы профессиональный
2:23
строитель и делаете крыши на заказ то
2:26
каждый день вам придется выполнять эту
2:27
процедуру для разных углов и разных длин
2:31
стропил дома-то разные и пожелания
2:33
клиентов тоже разные придется носить с
2:36
собой транспортир блокнот карандаш
2:38
линейка ластик не проще ли один раз
2:41
сесть просчитать высоты для разных
2:44
случаев и свести результаты в табличку
2:46
например такую ее можно носить с собой
2:50
как шпаргалку о чем эти циферки нам
2:53
говорят о том что если мы хотим получить
2:57
нужный угол то мы должны взять бревно
3:00
длиной l и поднять один из концов этого
3:02
бревна на высоту указанную в таблице
3:05
чем больше высота тем круче скат нашей
3:08
крыше то есть больше угол это просто и
3:11
понятно
3:13
с другой стороны чем больше длина ската
3:16
эль при фиксированной высоте h тем
3:19
меньше угол то есть крыша будет более
3:22
пологой это тоже несложно представить и
3:25
понять а теперь самый важный момент если
3:30
мы возьмем отношение этих сторон аж
3:33
делённое на r то она будет полностью
3:36
характеризовать наш угол чем большее
3:39
число получится определение аж ноэль тем
3:43
больше будет наш угол аж ведь стоит в
3:45
числителе чем больше числитель тем
3:48
больше результат деления то есть угол
3:50
эль стоит в знаменателе чем больше
3:53
знаменатель тем меньшее число получится
3:56
в результате деления то есть тем меньше
3:58
будет наш угол это полностью
4:00
соответствует тому о чем мы говорили
4:03
раньше о том как влияют по отдельности
4:05
высота крыши и длина ее скота на угол
4:10
таким образом угол можно задать не двумя
4:13
числами как раньше
4:14
высотой и длиной одним числом тем числом
4:19
которое получается при делении аж ноэль
4:22
чем больше отношения аж ноэль тем больше
4:26
угол чем меньше отношения тем меньше
4:29
угол
4:30
тогда наша табличка сильно упростится
4:33
и примет такой вот краткий вид цифры в
4:38
таблице были получены делением аж ноэль
4:40
при этом для разных столбцов то есть
4:43
разных эль получились при делении одни и
4:46
те же цифры
4:47
получается что результат деления не
4:50
зависит от того чему равна l он зависит
4:54
только от угла для которого мы делаем
4:56
расчет для каждого угла
4:58
результат свой такой фокус возможен вот
5:02
почему если мы изменяем эль но держим
5:06
пугал фиксированным то мы тем самым
5:09
меняем размер нашего треугольника причем
5:12
все стороны меняются пропорционально
5:15
если увеличилось в два раза то и аж
5:19
увеличится в два раза а их отношения
5:22
останется прежним что очень даже логично
5:25
угол ведь не изменился
5:27
если эль уменьшится то и аж уменьшится а
5:31
их отношения тоже останется прежним это
5:34
значит что если мы выбрали угол то цифра
5:37
в таблице равная отношению а шкиль будет
5:41
одной и той же для треугольников любого
5:43
размера больших маленьких средних и
5:46
следовательно мы можем использовать эту
5:49
цифру для любого значения l чтобы найти
5:53
с помощью такой таблицы высоту для
5:55
нужного угла например 40 градусов нужно
5:59
число из таблицы умножить на длину скота
6:01
эль и мы получим высоту а если наоборот
6:05
заданном высота нужно найти длину
6:07
тогда нужно высоту разделить на число из
6:10
таблицы причем делать это можно для
6:13
любых значений h и n а не только для тех
6:16
которые были раньше посчитаны и внесены
6:18
в таблицу
6:19
например из первой таблице мы могли
6:22
получить данные только для elle равного
6:25
5 10 15 метров для 12 не могли сейчас же
6:30
когда у нас есть вторая таблица мы можем
6:33
взять любое значение l например 12
6:36
умножить его на число из таблицы и
6:38
получить высоту h для выбранного нами
6:41
значение n результат будет как раз между
6:45
этими числами
6:46
очень удобно согласен сейчас будут
6:52
думается мне что цифры во второй таблице
6:54
нужно как-то назвать дать им имя
6:58
а то как-то не солидно получается вроде
7:01
бы важные полезные данные а без названия
7:05
неизвестный древний математик наверное
7:07
думал так же когда придумал синусы вот
7:10
эти циферки в нашей второй таблице и
7:13
есть синусы
7:14
жил этот математик вроде бы в индии и
7:17
down им какое-то свое индийское название
7:20
потом синуса перебрались к рабам от них
7:24
к европейцам и при каждом таком
7:27
перемещении меня ли они свое имя
7:30
каждый новый переводчик кавер call их на
7:33
свой манер
7:34
в результате мы имеем то что имеем
7:37
настоящий глухой телефон
7:39
о первоначальном индийском название
7:42
теперь уже никто не помнит
7:45
на мой взгляд синус уж как-то больно
7:48
заумно звучит можно было бы и попроще
7:50
назвать ну да ладно все уже привыкли на
7:54
самом деле все проще пареной репы
7:57
синус это всего лишь отношение двух
7:59
чисел двух сторон в треугольнике когда
8:02
одну сторону
8:03
одно число мы делим на другую сторону а
8:06
другое число
8:08
вот и все никакого другого тайного
8:11
смысла в синусе нет теперь посмотрим на
8:14
нашу таблицу и увидим что для каждого
8:18
значения угла мы имеем свое значение
8:20
синуса
8:21
это значит что синус зависит от угла а
8:25
когда одна величина зависит от другой
8:28
то мы имеем что правильно функцию
8:31
значит синус это функция от угла а угол
8:35
это аргумент функции синуса
8:38
иногда аргумент синуса пишется без
8:41
скобок это тоже самое
8:46
для маленьких значений угла мы имеем
8:49
такой вот приплюснутый треугольник с
8:52
очень маленькой высотой если мы разделим
8:55
маленькую сторону аж на большую сторону
8:58
и
8:58
то получаем маленькое число то есть для
9:03
очень маленьких близких к нулю углов
9:06
получаем близкий к нулю значения синусов
9:09
отсюда делаем вывод что синус 0 равен
9:13
нулю если угол очень большой близких 90
9:18
градусам то треугольник наш будет очень
9:21
худым и высоким в таком треугольнике
9:24
высота h будет почти равна по длине
9:27
наклонной стороне el ну разве что
9:30
чуть-чуть
9:31
h будет короче чем эль следовательно их
9:34
отношения будет равно например 0,99 то
9:40
есть очень близко к единице отсюда
9:43
делаем вывод что синус 90 градусов равен
9:46
единице угол 90 градусов это то же самое
9:49
что pin 2-я радиан значит синус пи на 2
9:53
равен единице если угол равен 30
9:58
градусам и липина 6 радиан то в таком
10:01
треугольнике высота h ровно вдвое короче
10:05
стороны эль следовательно их отношение
10:09
равно одной второй то есть синус 30
10:12
градусов равен одной второй или то же
10:15
самое синус пи на 6 равен 1 2 подобным
10:20
образом можно вычислить синус любого
10:22
угла
10:23
для чего это нужно и как использовать на
10:26
практике результаты таких расчетов вы
10:28
уже знаете синусами разобрались теперь
10:32
пару слов о к синусах до сих пор мы
10:37
рассматривали только две стороны в
10:38
треугольнике эль и аж но есть еще третья
10:42
сторона
10:43
горизонтальная давайте обозначим ее
10:46
через б она соответствует длине стены на
10:50
которой лежит крыша так вот если вместо
10:54
h ноэль мы разделим был то получим не
10:58
синус и косинус
10:59
иными словами косинус это тоже отношение
11:02
сторон в треугольнике только немножко
11:05
других косинус точно также зависит от
11:08
угла то есть является его функции для
11:12
маленьких углов треугольник приплюснутый
11:14
сторона h как мы уже говорили очень
11:17
маленькая но зато сторона b близко к
11:20
стороне и их длины почти одинаковы ну
11:24
разве на самую малость б короче чем эль
11:27
значит отношении бена цель близка к
11:31
единице ну каких-нибудь там ноль целых
11:33
девяносто девять отсюда мы можем сделать
11:36
вывод что косинус 0 равен единице для
11:41
больших углов
11:42
наш треугольник преображается стране it
11:46
худеет вытягивается при этом сторона b в
11:49
нем сокращается становится совсем
11:51
короткой маленькое число b делим на
11:55
большое число n в результате получаем
11:58
маленькое число маленькое значение
12:00
косинуса значит чем больше угол чем он
12:04
ближе к 90 градусам тем меньше косинус
12:08
тем он ближе к нулю
12:09
отсюда делаем вывод что косинус 90
12:13
градусов или
12:14
и на 2 радиан равен нулю если угол равен
12:18
30 градусам
12:20
то про косинус этого угла мы с ходу
12:22
ничего не скажем зато про косинус 60
12:26
градусов сказать можем если в
12:29
прямоугольном треугольнике один из углов
12:31
равен 60 градусам то на другой острый
12:35
угол остается 30 градусов всего-то
12:38
должно быть 180 градусов один угол 92 60
12:43
значит 3
12:44
180 минус 90 минус 60 равно 30 а про
12:50
треугольник с углом 30 градусов мы уже
12:52
говорили в нем сторона лежащая напротив
12:55
угла 30 градусов то есть сторона b
12:58
вдвое короче стороны и значит отношении
13:02
был равно одной второй а это и есть
13:05
косинус альфа и того косинус 60 градусов
13:10
или косинус пи на 3 радиан
13:13
равен одной второй пришло время сказать
13:16
пару слов про официальное определение
13:19
про то что пишут в учебниках раздел
13:22
математики где изучаются синусы и
13:25
косинусы и другие подобные функции
13:27
называется тригонометрией
13:29
а сами эти функции называются
13:32
тригонометрическими думаю все помнят
13:35
название сторон в прямоугольном
13:37
треугольнике то что наклонная
13:40
эль скат нашей крыше это гипотенуза
13:43
а две остальные стороны лежачие b и
13:46
стоять я аж это катет и если мы берем в
13:51
треугольнике какой-нибудь угол например
13:53
альфа то у катетов появляются названия
13:56
катет h становится противолежащим ведь
14:01
он лежит напротив угла альфа
14:03
окатит b становится прилежащим ведь он
14:07
прилежит примыкает к углу альфа
14:09
соседствует с ним тогда синус угла альфа
14:13
который равен отношению hk л это все
14:17
равно что отношение противолежащего
14:19
катета к гипотенузе а косинус альфа
14:23
равная отношению был ни что иное как
14:26
отношение прилежащего катета к
14:28
гипотенузе
14:31
для угла бета противолежащим катетом
14:35
наоборот будет катит б а прилежащий
14:38
катет h тогда синус бета будет равен
14:43
отношению б л а косинус бета отношению
14:47
hk эль синусы и косинусы будто
14:51
поменялись местами если сравнивать с
14:53
углом альфа для угла альфа синус равен
14:57
отношению аж к л а для угла bed aaj kal
15:02
это косинус значит синус альфа равен
15:05
косинусу бета для угла альфа косинус это
15:09
отношение б л а для угла b to b cилe это
15:14
синус значит косинус альфа
15:16
равен синусу бета
15:21
и действительно синусы и косинусы очень
15:24
похожи они принимают одни и те же
15:27
значения 0 1 1 2 разница только в углах
15:33
синусы и косинусы принимает одни и те же
15:36
значения но при разных углах можно
15:40
сказать что косинус это синус
15:42
переехавший в противоположный угол
15:45
прямоугольного треугольника если синус
15:48
перемещается в противоположный угол он
15:51
превращается в косинус и наоборот
15:54
переехавший косинус превращается в синус
15:58
вот такие у них чудесные превращения
16:01
справедливости ради надо отметить что
16:04
сказанное относится только к углам альфа
16:06
и бета
16:07
внутри прямоугольного треугольника то
16:10
есть к острым углам
16:11
меньшим 90 градусов если же один из
16:15
углов больше 90 градусов то связь между
16:18
синусами косинусом не столь просто там
16:21
могут появляться минусы и происходить
16:24
другие чудеса например возникать при
16:27
ведении но если серьезно формулы
16:30
приведения
16:31
тема отдельного урока как вы заметили
16:36
для синусов и косинусов мы брали острые
16:39
углы альфа и бета
16:41
третий угол в треугольнике прямой угол
16:43
гамма мы не рассматривали почему в
16:48
принципе для прямых углов
16:49
синусы и косинусы существуют мы уже
16:52
знаем что синус 90 градусов равен
16:55
единице а косинус 90 градусов равен нулю
16:59
поэтому ограничений на величину угла
17:01
быть не должно просто для угла гамма
17:05
абакате то прилежащие
17:07
и непонятно какой из них брать чтобы
17:09
разделить на гипотенузу и найти косинус
17:12
и где брать противолежащий катет чтобы
17:15
вычислить синус поэтому если нам нужен
17:18
синус 90 градусов проще взять такой вот
17:21
вытянутый треугольник где угол альфа
17:23
близок к 90 градусам что мы успешно и
17:27
делали ну все теперь выводы
17:32
первое в прямоугольном треугольнике
17:35
синус острого угла равен отношению
17:37
катета лежащего напротив этого угла
17:40
гипотенузе косинус угла равен отношению
17:44
катета прилежащего к этому углу к
17:47
гипотенузе
17:49
второе эти отношения зависят от угла для
17:53
которого они находятся поэтому синус и
17:55
косинус это функции тригонометрические
17:59
функции тригонометрическими функциями
18:02
можно успешно пользоваться на практике с
18:06
их помощью можно по сторонам
18:07
треугольника находить углы или по углам
18:10
и одной из сторон
18:11
находить остальные стороны синусы и
18:15
косинусы близнецы-братья
18:17
они могут легко превращаться друг в
18:20
друга спасибо что досмотрели это длинный
18:25
урок до конца подписывайтесь и ставьте
18:28
лайки до новых встреч
