Пересказ видео
Текст представляет собой видео, в котором автор обсуждает различные аспекты бесконечности и связанные с ней парадоксы. Он начинает с объяснения того, что такое бесконечность и как она может быть связана с математикой и физикой. Для иллюстрации своих идей автор использует примеры из области кондитерских изделий и математики.
Первый пример касается вопроса о том, как бесконечность может быть связана с количеством сладостей в кондитерской. Автор представляет ситуацию, где в кондитерской продаются только маффины, и все они имеют свои формочки и номера. Он задает вопрос, можно ли добавить еще один маффин, не убирая ни одного из уже существующих. Затем он предлагает представить, что в кондитерской бесконечное количество сладостей, и спрашивает, изменится ли ответ на этот вопрос. После этого автор показывает, что, несмотря на кажущуюся абсурдность, можно добавить бесконечное количество маффинов, просто переложив их в соответствии с определенным алгоритмом.
Далее автор обсуждает различные типы бесконечности и их сравнение. Он объясняет, что бесконечность может быть больше или меньше в зависимости от контекста. Он приводит примеры, где бесконечность может быть увеличена или уменьшена, и обсуждает, как это влияет на наше понимание бесконечности.
Затем автор переходит к обсуждению различных типов бесконечности, включая счетные и несчетные множества. Он объясняет, что счетные множества – это те, которые можно пронумеровать, и что все натуральные числа являются счетными. Он также обсуждает, как можно пронумеровать различные типы чисел, включая целые, рациональные и иррациональные числа.
В заключение автор обсуждает гипотезу континуума, которая утверждает, что между счетными и несчетными множествами нет промежуточных мощностей. Он объясняет, что эта гипотеза является одной из самых сложных и неразрешенных проблем в математике, и что ее доказательство или опровержение может иметь глубокие последствия для нашего понимания бесконечности.
В целом, текст представляет собой интересное и информативное обсуждение различных аспектов бесконечности и связанных с ней парадоксов.
https://t.me/gigachat_bot Вот файл текста. Перескажи текст
Расшифровка видео
Вступление
0:00
все понимают что такое бесконечность спросите у любого случайного прохожего и он с лёгкостью назовёт вам пример
0:06
бесконечного множества натуральные числа целые числа количество секунд которые нужно ждать пока Мафин выпустит новое
0:13
видео и так далее идея о том что что-то никогда не заканчивается вроде довольно понятно но мы коп чуть глубже и
0:20
попытаемся ответить на вопрос А как эти бесконечности связаны взять скажем все натуральные числа и чётные числа тех и
0:27
других бесконечно много не правда ли Но какой из этих множеств больше по размеру если они одинаковы по размеру то тогда
0:33
мы признаём с виду абсурдный факт о том что натуральных чисел столько же сколько
0:39
и чётных А если натуральных чисел больше то нужно признать другой абсурдный факт
0:44
о том что одна бесконечность может быть больше другой в обоих случаях получается Парадокс или нам только кажется что Это
0:50
парадокс в этом видео мы обсудим этот вопрос и многие другие интересные вещи связанные с
0:56
бесконечностей подписаться на YouTube и Telegram канал это очень помогает В нашей
1:03
[музыка] работе прежде чем переходить к строгим математическим понятиям рассмотрим один
Парадокс “Гранд-кексель”
1:09
забавный пример из разряда фантастики представьте себе кондитерскую в которой продают только маффины вся витрина
1:15
просто забита сладостями под завязку причём у каждого Мафина есть своя формочка и номер для неё первый второй
1:21
третий и так далее ну и допустим 25 Можно ли положить двадцать шесто Мафин в какую-нибудь формочку избежав соблазна
1:29
съесть или брать один из них Ну конечно Нет скажет Любой человек в здравом уме Ну давайте мы с вами сейчас немного
1:35
выйдем за рамки здравого смысла Пусть витрин в магазине будет бесконечный да И
1:41
теперь у нас бесконечное количество кексов ответ всё ещё настолько же очевиден возможно многим может
1:47
показаться что и в этом случае ответ нет да на витрине нескончаемое число формочек Но ведь они же все заняты новые
1:53
Мафин никак не получится туда добавить если не убрать хотя бы одну сладость А что если я скажу вам что ничего убирать
2:00
е не нужно достаточно просто грамотно переложить кексы смотрите новый Мафин мы положим в формочку номер один а куда
2:06
девать Мафин который там находился его мы положим в формочку номер два кекс из второй формы кладём в третью и так далее
2:13
это может быть контри интуитивно но в итоге абсолютно все маффины будут иметь свою формочку никто в обиде не останется
2:19
вас волнует судьба Мафина номер 1.000 он перейдёт в формочку номер 1.1 А может быть будут проблемы с кексом 238 он
2:27
перейдёт в под номер 239 такой трюк оказался возможен благодаря особым свойствам бесконечностей в этом видео Я
2:34
постараюсь раскрыть эти свойства подробнее думаю после приведённого примера вы уже догадываетесь что
2:39
пополнить запасы кондитерской можно намного лучше чем одной сладостью что если к нам приедет грузовик с десятью
2:45
новыми Мафина догадываетесь как теперь их нужно перекладывать Ну конечно первый номер переходит в одиннадцатый второй в
2:51
двенадцатый третий в тринадцатый Ну и так далее Таким образом мы освобождаем 10 мест для десяти новых маффинов а
2:58
каждый старый всё ещё будет иметь свою форму чку просто немного дальше от изначальной теперь становится очевидно
3:03
что к бесконечности можно добавить любое конечное число и она при этом не поменяется так Мы ведь с вами уже
3:09
выходили за рамки здравого смысла Давайте сойдём с ума ещё сильнее Пусть к нашей кондитерский подъедет бесконечный
3:16
грузовик с бесконечным количеством маффинов можно ли теперь объединить их всех под одной витриной обязательно
3:22
поставьте видео на паузу и Попробуйте подумать о перестановке самостоятельно ведь наш старый приём здесь уже Не
3:27
сработает мы не сможем передвинуть первая Мафин на бесконечно далёкую позицию раньше мы как бы откусывай от
3:34
бесконечности конечный кусок и Бесконечность от этого не страдала Но если откусить от бесконечности
3:39
бесконечный кусок то интуитивно кажется что нам её может и не хватить А что если попытаться выделить внутри бесконечности
3:45
две бесконечные группы А ведь это и вправду возможно например количество чётных чисел и количество нечётных чисел
3:51
бесконечны эта идея поможет нам с бесконечным грузовиком та бесконечность маффинов что уже была на витрине просто
3:57
отправляется в чётные номера а конечность из грузовика в нечётное вот и всё так мы выяснили что бесконечность
4:03
плюс бесконечность – это бесконечность думали это конец безумия Ну уж нет теперь мы ша занёс окончательно
4:10
кондитерский подъезжает бесконечное количество бесконечных грузовиков с бесконечным количеством маффинов так Ну
4:17
это уже ни в какие ворота Ладно разделить одну бесконечность на две бесконечности на три бесконечности но
4:23
чтобы на бесконечность бесконечностей снова ставим видео на паузу и думаем Возможно ли такое ну а мы сейчас это
4:29
выясним идея о делении бесконечности на группы по принципу делимости на некоторое число Не сработает у любого
4:35
числа к сожалению конечное количество остатков на пример у числа два всего два остатка ноль и один поэтому в предыдущем
4:41
примере мы смогли разбить бесконечность только на две бесконечные группы если бы нам нужно было семь бесконечностей мы бы
4:48
разбили все номера на группы по остаткам при деления на сем 0 1 2 3 4 5 6 но
4:54
теперь нам нужно бесконечное количество групп требуется какая-то принципиально новая идея а что насчёт степеней
5:00
натуральных чисел их-то ведь бесконечно много и самих натуральных чисел бесконечно много можем отправить маффины
5:06
из первого бесконечного грузовика по степеням двойки 2 4 8 16 32 и так далее
5:11
из второго по степеням тройки 3 9 27 81 Из третьего по степеням четвёрки 4 16 64
5:19
Так стоп здесь что-то не так замечайте проблему некоторые степени двойки и четвёрки совпадают Ну например 4 и 16 и
5:26
это очень плохо потому что мы пытаемся положить сразу два Мафина в одну формочку эта проблема возникла потому
5:32
что у двойки и четвёрки есть общие множители точнее четвёрка – это и есть степень двойки может быть стоит совсем
5:38
избавиться от общих множителей какие числа хорошо подойдут на такую роль Ну например простые То есть те номера
5:44
больше единицы которые делятся только на один и на самих себя Вот первые несколько простых чисел их степени не
5:51
имеет никаких общих множителей друг с другом а значит они не могут быть равны например 5 в семи и 7 в пя точно не
5:58
равны так как первое число точно не делится на семь а второе точно не делится на пять К тому же и простых
6:04
чисел бесконечно много так мы получаем бесконечное количество групп с бесконечным числом номеров Удивительно
6:10
но факт бесконечная сумма бесконечностей – это всё ещё та же самая
6:17
[музыка] бесконечность пример с бесконечными Мафина нужен был лишь для того чтобы Вы
Как сравнивать бесконечности? Биекция
6:23
могли лучше прочувствовать общую концепцию работы с бесконечностей немного пост Вы заметили
6:30
что в рассуждениях употреблялись фразы вроде Бесконечность не поменялась или та же самая бесконечность Неужели это не
6:37
звучало странно будто могут существовать какие-то другие бесконечности кроме одной единственной и интуитивно всеми
6:43
понимаемой оказывается могут но как нам сравнивать бесконечности Как понять когда одна бесконечность равна другой А
6:49
когда больше интуитивное понимание количества здесь не поможет потому что бесконечности сами по себе – это не
6:56
числа по крайней мере в привычном для всех понимании а специфически характеристики множеств для лучшего
7:01
понимания мы начнём с конечных множеств возьмём два конечных множества множество из семи кружочков И множество из семи
7:07
треугольников то что в них одинаковое количество элементов мы и так понимаем По числу семь но равенство двух
7:13
количеств можно понимать И по-другому давайте сопоставим первому кругу какой-нибудь треугольник затем второму
7:18
кругу ещё один треугольник но уже другой и так проделаем со всеми кругами получается что каждому кругу сопоставлен
7:25
ровно один треугольник причём разным кругам разные треугольники Да и не один треугольник без пары не остался Мы
7:31
только что создали Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами будем в дальнейшем называть его биекция
7:38
выходит что если между двумя конечными множествами существует биекция то количество элементов в них равны причём
7:46
неважно Как именно мы Составляем биекция достаточно предъявить любую из них А их как видите может быть великое множество
7:52
Итак биекция между двумя множествами X и Y подразумевает что каждому элементу
7:58
множества X сопоставляется ровно один элемент множества
8:05
Y разным элементом X сопоставляются разные элементы
8:11
Y и все элементы Y должны быть использованы Таким образом мы получаем
8:19
способ сравнения множеств без привязки к понятию количества это и приблизит нас К
8:24
сравнению бесконечностей ведь с ними привычное понятие количества просто не работает на всякий случай для
8:30
закрепления Вот ещё несколько примеров сопоставления элементов двух множеств Какие из них можно назвать биекция а
8:36
какие нет подумайте на паузе знаете что мы сделали когда добавили один новый Мафин к бесконечному количеству маффинов
8:42
мы составили биекция биекция между множеством формочек И множество маффинов только Давайте теперь представлять их в
8:48
виде числовых множеств множество формочек – это все натуральные числа а маффинов все натуральные числа с
8:54
добавлением нуля Так мы сопоставить ноль единице единицу двойке двойку тройке и так далее или в общем виде сопоставить
9:01
числу N число n + 1 для всех неотрицательных N другими словами мы получили биекция f от N = N + 1 Да
9:09
биекция можно представлять не только как прямое предъявление соответствий но и как числовую функцию Хотя вообще-то
9:15
предъявление соответствий – это тоже функция мы сегодня не будем сильно в это углубляться а просто условимся что будем
9:21
пользоваться обоими способами задания биекция например функция fx = x – это
9:28
биекция Убедитесь что все три правила выполняются что насчёт fx = x к Это
9:36
точно не биекция ведь нарушается к примеру второе правило разному X соответствует один и тот же Y но функцию
9:42
Можно немного подправить например уберём из рассмотрения все отрицательный X и проблема решена Вот теперь это биекция
9:48
из неотрицательных чисел в [музыка]
9:53
неотрицательные помните как мы распределили маффины по чётным и нечётным формочкам этот пример
А давайте посчитаем… Счетные множества
9:59
вдохновляет на одну интересную мысль чётных чисел столько же сколько и натуральных Да такая формулировка
10:05
возможно многим покажется абсурдный но мы-то с вами теперь шарим за биекция Давайте составим такую между чётными
10:11
числами и натуральными первому чётном числу двойки сопоставим один четвёрки сопоставим два шестёрки три и так далее
10:19
Как видите мы действительно составили биекция пронумеровать все чётные числа абсолютно каждому чётного числу
10:25
сопоставляется свой уникальный номер и ни один номер не останется без своего чётного числа Кстати мы можем ещё задать
10:32
его функции f от N = 2n Убедитесь что она Выполняет все те же самые сопоставления То есть когда говорят что
10:38
чётных чисел столько же сколько и натуральных имеют в виду что между этими множествами существует биекция здесь
10:44
вовсе не имеется в виду равенство количеств в этом контексте количества вообще не имеют смысла надеюсь такая
10:51
формулировка вас будет смущать поменьше Если смущало ещё в таких случаях говорят что у множеств равная мощность считайте
10:57
слово мощность некой заменой слову количество заметили что Я использовал формулировку пронумеровать чётные числа
11:04
оказывается многие бесконечные множества можно так пронумеровать все такие множества называются счётными то есть
11:10
счётное множество имеет столько же элементов сколько И множество натуральных чисел кстати такая мощность
11:16
ещё обозначается как АФ 0 АФ 0 – это первая и самая маленькая бесконечность
11:21
Глядя на пример с Мафина можно отметить несколько крайне важных свойств счётных множеств если присоединить к счётной
11:28
множеству конечным множество то результат будет чётным если объединить два счётных множества то результат также
11:34
остаётся чётным например множество чётных чисел счётное тоже но их
11:40
объединение – это просто множество натуральных чисел и даже если объединить счётное множество счётных множеств то мы
11:47
всё равно в итоге получим счётное множество вспоминаем примеры с бесконечным количеством бесконечных грузовиков там мы распределили маффины
11:54
из каждого грузовика по степеням простых чисел простых чисел бесконечно много и точно не больше чем натуральных А значит
12:00
их множество счётное множество степеней конкретного простого числа Однако мы их все уместились множества знание этих
12:08
свойств поможет нам доказать счётной ещё нескольких важных множеств после всего увиденного вы наверное уже не удивитесь
12:15
что целых чисел столько же сколько и натуральных Ну вот что такое множество целых чисел это все натуральные плюс
12:21
ноль и плюс все натуральные со знаком минус здесь ведь просто объединены два счётных множества Ну ещё ноль сверху
12:27
добавили объединение двух счётных множеств плюс конечное множество из одного нуля как мы уже знаем это и есть
12:34
счётное множество Хотя можно и явно построить биекция Тут ничего хитрого просто выстроили целые числа вот в такую
12:39
последовательность и пронумеруй её очевидно каждому целому числу достанется номер Попробуйте предъявить эту биекция
12:45
в виде числовой функции в комментариях а что насчёт рациональных чисел или проще говоря дробей разве можно просто
12:51
выписать их вряд пронумеровать когда мы брали целые числа мы всегда знали какое число идёт следующим если в ряду
12:57
встретились -2 а потом 2024 то мы точно скажем что следующим идт -225 А какое число взять
13:05
следующим после нуля 05 А почему тогда не 01 оно вед стоит ближе А почему тогда
13:11
и не 01 Оно ещё ближе вообще какое близкое число к нулю мы бы не выбрали всегда найдётся ещё ближе ну хорошо
13:19
Может будем брать числа с одним и тем же знаменателем Например если брать числа только со знаменателем 2 то ясно что идт
13:25
после 1/2 и мы даже сможем пронумеровать все таки Ну вот только есть проблема Как
13:30
перебраться к знаменателю 3 ряд то бесконечный так погодите-ка а так выходит что эти два ряда лишь просто два
13:37
счётных множества о Так значит их объединение счётной остальные знаменатели Ну тогда
13:43
мы просто получим счётное множество счётных множеств А мы уже с вами знаем что их объединение также счётное кстати
13:50
Обратите внимание что я не использовал здесь отрицательные дроби но мы можем сказать что их множество также счётное а
13:55
значит в объединении с положительными дробями и нулём мы также получаем счётное множество то есть мы доказали
14:01
просто уму непостижимый факт дробей столько же сколько и натуральных чисел Но если в такое доказательства вам не
14:07
очень верится то можно просто явно пронумеровать все рациональные числа например точно также выписать эти ряды
14:13
но идти по ним не слева направо а змейкой правда Нам будут попадаться
14:19
повторяющиеся дроби вроде 2/2 и 3/3 но в этом нет ничего страшного повторяющиеся
14:24
Мы просто не Будем учитывать понятно что нумеруется их все и проблема с переходом к
14:30
следующему ряду решена кстати не обязательно идти змейкой можно придумать и другие биекция Например можно пойти по
14:37
диагоналям так Мы тоже сможем
14:42
[музыка] занумерованы что вообще любое
То, что невозможно посчитать. Континуум
14:47
бесконечное множество можно пронумеровать кажется что надо лишь придумать хитрый способ это сделать И
14:53
всё получится вернёмся в нашу кондитерскую с бесконечным числом маффинов дость пусти Некоторые из них
15:00
уже были распроданы в таком случае нужно заполнить пустые формочки но для этого
15:05
нам нужно знать какие из них пусты А какие ещё нет что ж Давайте составим бесконечный список если видим пустую
15:12
формочку ставим ноль а если видим кекс то один получается бесконечная строка состоящая из задних нулей и единиц с её
15:19
помощью мы справимся с поставленной задачей А теперь Представьте что начальнику настолько понравилась наша
15:26
идея что он поручил нам составить все такие возможные строки То есть все
15:31
возможные варианты распроданные нав Ну что ж поделать придётся составлять берём
15:36
себе бесконечное количество помощников и один за другим начинаем составлять бесконечные строки бесконечных нулей и
15:43
единиц Казалось бы после всего что мы сделали что может пойти не так составить всего-то бесконечный строк должно быть
15:50
для нас сущим пустяков наступает день X все бесконечные помощники собираются
15:55
вместе и сдают работу начальнику но начальник недоволен Он утверждает что работу мы выполнили плохо Оказывается он
16:02
нашёл такую строку которой у нас нет как же ему это удалось А идея вот в чём
16:09
посмотрев на первую строку начальник увидел что первой цифрой там стоит ноль а он взял и записал на своём клочке
16:15
бумаги один взглянув на вторую строку и увидев что там тоже ноль он тут же записал у себя один Далее в третьей
16:22
строке третья цифра оказалась единицей которая сразу же была переписана как ноль в четвёртой строке чет циф была
16:29
единица и её переписали как ноль в общем потратив некоторое бесконечное время
16:34
начальник составил свою собственную строку именно она по его мнению отсутствует в нашем списке так ли это
16:42
посмотрим Может ли эта строка совпадать с первой строкой Нет она отличается от
16:47
неё первой цифрой а может ли совпадать со второй строкой и тут нет ведь она отличается второй цифрой а с третьей
16:53
тоже нет отличие будет в третьей цифре понимаете к чему всё идёт какую строку
16:58
мы бы не выбрали всегда будет находиться какое-то отличие строка начальника отличается от любой энной строки в нашем
17:05
списке энной цифрой Значит мы действительно сделали нашу работу плохо с одной стороны да ведь мы не выполнили
17:12
требования выписать все возможные строки Но с другой стороны начальник заставил
17:18
нас выполнить невозможную работу да именно это требование невозможно выполнить как бы мы не пытались
17:24
составить нужный список к нему всегда можно подобрать отсутствующую строку поэтому к счастью никому не сделали
17:31
выговор и все разошлись по своим делам к чему же была приведена эта история А мы сейчас с вами только что доказали что
17:37
чисел в отрезке от нуля до единицы больше чем натуральных действительно
17:42
бесконечные строки из нулей и единиц можно сопоставить с числами вот такого вида то есть с числами от нуля до
17:49
единицы состоящими только из нулей и единиц а попытка составить бесконечный список из них – это попытка составить
17:56
биекция между такими числами и всеми натуральны то есть мы просто пытались
18:05
занумерованы не имеющий своего номера Ну а так как отрезок от нуля до одного содержит в себе все эти числа то его
18:12
мощность никак не меньше их А значит тоже больше мощности натуральных чисел впрочем Можно немного изменить
18:18
доказательства и вместо чисел из нулей и единиц просто взять все числа из отрезка Подумайте самостоятельно как это можно
18:25
сделать приведённое доказательство – это диагональный аргумент кантера который использовал Кантер Чтобы показать что
18:31
вещественных чисел больше чем натуральных Пусть и с упрощения но суть его примерно такая же этот аргумент
18:37
показывает что одна бесконечность действительно может быть больше другой Этот уровень бесконечности называется
18:43
Континуум а множество такой мощности называют не счётными таким образом мощность continuum больше чем мощность
18:51
а0 Кстати как вы думаете а Существует ли промежуточная мощность между ними
18:56
Отрицательный ответ на этот вопрос называе ком гипотезой оказалось что эту гипотезу невозможно Ни доказать ни
19:03
опровергнуть в рамках общепринятых аксиом Хотя если к этим аксиома добавить ещё одну аксиому то гипотезу доказать
19:10
всё-таки Можно Но это уже совсем другая [музыка]
19:16
история Итак мы узнали о новой не счётной бесконечности Интересно а какие
Зоопарк бесконечностей
19:21
ещё бывают несчетные множества Ну например любые два отрезка нечётны и при
19:27
этом равномощные друг другу биекция можно показать геометрически если поставить отрезки параллельно друг другу
19:33
и построить на них вот таким образом треугольник то прямая гуляющая внутри треугольника даст нам нужное
19:39
соответствие действительно какую точку на Малом отрезке мы бы не взяли она точно сопоставляется своей уникальной
19:46
точке на Большом отрезке и очевидно все точки на Большом отрезке будут использованы то есть Каким бы огромным
19:52
ни был второй отрезок и Каким бы малым ни был первый точек и там и там поровну эту биекция Также можно просто ввести
20:00
через функцию рассмотрим к примеру отрезки от одного до двух и от трёх до пяти чтобы получить нужную функцию
20:06
достаточно построить прямую вот через эти две точки справившись с этой задач кой для седьмого класса мы получаем
20:12
прямую y = 2X + 1 только для объективности определим её исключительно
20:17
на отрезке от одного до двух Как видим все точки этого отрезка Взаимно однозначно отображаются в отрезок от
20:23
трёх до пяти Попробуйте самостоятельно обобщить эту идею на произвольные отрезки от А до B и от от C до D А что
20:30
насчёт интервалов давайте докажем что отрезок от нуля до одного равномощные
20:36
как в примере с кексами сразу хочется просто взять две крайние точки и сопоставить каким-то двум точкам внутри
20:43
интервала А дальше перекладывать маффины по формочкам но вообще-то здесь так просто это Не сработает Дело в том что
20:49
маффины мы перекладывать в счётных множествах и там можно было чётко указать следующую формочку а отрезок и
20:55
интервал – это не счётные множество мы нем можем просто взять и переложить в них числа так как это по сути
21:02
равносильно бесконечному пронумерованих как мы знаем нельзя тогда
21:07
давайте просто возьмём такие их подмножества которые пронумеровать можно например дроби мы доказывали что их
21:13
множество чётно А значит дроби можно выстроить в такой бесконечный пронумерованный ряд Давайте сопоставим
21:19
ноль и один первым двум дробям из этого списка А все оставшиеся дроби из отрезка сопоставим всем оставшимся дробям из
21:26
интервала так как и тех и тех чётное количество Мы точно можем это сделать а что делать с не дробями или как их ещё
21:34
называют иррациональными числами А ничего Просто сопоставим их друг другу
21:39
напрямую в перекладывании дробей они никак не участвовали Да и вообще Это буквально одни и те же множество теперь
21:45
докажем равномощные числовой прямой есть очень хитрый способ
21:53
задать биекция нашего интервала по
21:59
радиус её также равен половине интервала Сначала мы сопоставим все точки этого интервала точкам полуокружности правда
22:06
пару точек с краёв придётся пропустить а затем отрази всю полуокружность Без двух точек на
22:13
числовую прямую из анимации хорошо видно что чем ближе мы к краю полуокружности
22:18
тем дальше убегает прямая приближаясь к краю полуокружности Сколь угодно близко
22:24
мы убегаем напрямую Сколь угодно далеко поэтому мы сможем покрыть её полностью
22:29
Это конечно очень красиво но есть варианты проще просто найти числовую функцию отображающую интервал в прямую
22:35
догадываетесь что это за функция Напишите в комментариях но давайте мы пойдём дальше отрази сферу в плоскость
22:42
правда конкретно для этого метода нам придётся выколоть одну из её точек расположи сферу таким образом чтобы она
22:47
касалась плоскости и выколи точку диаметрально противоположную точке касания уже догадались как поступим
22:53
здесь из выколоток самой с и да по аналогии с
22:59
двухмерным случаем здесь мы пройдём абсолютно все точки плоскости точно также лучи поднимая Сколь угодно круто
23:07
будут Сколь угодно далеко отходить на плоскость можно рассматривать это как бесконечно расширяющийся Круг чем больше
23:13
поднимаются лучи тем больше Круг и в конце концов вся плоскость целиком тоже будет покрыта А почему всё-таки Верхняя
23:20
точка выколотая не найдётся но вы можете подумать как построить биек между такой
23:26
неполноценной сферой и обычной сферой пишите свои догадки в комментариях Раз уж мы заговорили о плоскости Давайте
23:32
посмотрим какие равномощные множества могут быть в двухмерном пространстве помните мы доказывали что отрезки любых
23:39
размеров равномощные друг другу точно также можно утверждать о фигурах на плоскости например круги разных площадей
23:45
равномощные друг другу допустим у нас есть два Круга и радиус большого Круга в два раза больше радиуса маленького как
23:52
сопоставить все точки маленького Круга точкам большого возьмём произвольную окружность внутри маленького Круга чтобы
23:58
будет если удвоить её радиус мы отобразим точку окружности на окружность вдвое большего радиуса Ясно что так
24:04
можно сделать со всеми точками окружности то есть эта маленькая окружность полностью равномощные
24:12
окружностями внутри маленького Круга вот и получается что весь маленький Круг равномощные
24:19
его окружностям Давайте подытожим все отрезки равномощные друг другу любой
24:24
отрезок равномощные интервал равномощные все двух мерные фигуры равномощные
24:30
так равномощные фигуры одномерным мы знаем что отрезок
24:36
имеет не счётную мощность А какую мощность имеет например квадрат вообще интуитивно кажется что большую чем у
24:42
отрезка Континуум – Это конечно очень много но в квадрате какой-то Континуум континуума получается вот и кантр так
24:49
думал пока случайно не обнаружил что всё-таки это не так он нашёл способ однозначно сопоставить точки отрезка
24:55
точкам квадрата Мы за этот ролик довольно много безумных вещей наговорили но это кажется уже каким-то новым
25:01
уровнем безумия но так просто мы биекция строить не будем сначала докажем одну очень важную теорему которая позволяет
25:07
доказывать равномощные биекция
25:14
[музыка] сначала на пальцах Если первое множество
Биекции теперь не нужны! Теорема Кантора-Бернштейна
25:19
можно полностью засунуть во второе и второе можно полностью засунуть в первое
25:24
ТО такие множества равномощные не очень да хорошо Теперь построже если
25:30
первое множество
25:38
равномощные дело Итак мы знаем что а равно B1
25:44
которая вложена в B и B равномощные вложена в а а хотим доказать что а
25:50
равномощные
25:58
которая равномощные равномощные же собственному подмножество
26:03
А что означает что а равно мощна B1 Это означает что мы по некому правилу
26:09
сопоставить все элементы а всем элементам B1 в то же время элементы B были сопоставлены элементом А1 По
26:16
некоторому правилу тогда B1 по этому же правилу сможет сопоставить свои элементы в А1 но уже его подмножество назовём его
26:24
А2 Ну тогда получается что а равно А2 то есть щ своему же под множеству
26:30
действительно а равно B1 а B1 равно А2 таким образом можем теперь избавиться от
26:35
множество B и переформулировать задачу так множество А равномощные
26:46
утверждение мы и будем доказывать Итак а равно А2 А значит элементы а переводится
26:52
в А2 По некоторому правилу тогда по этому же самому правилу А1 переводится в
26:58
некое подмножество А3 продолжая так до бесконечности получаем цепочку равномощные
27:09
индексами равномощные множества с нечётными индексами собственно А зачем мы всё это делаем мы
27:16
разбиваем на части множества А и А1 для того чтобы потом собрать их по кусочкам
27:21
и показать что они равномощные за руками Теперь мы рассмотрим кольца которые
27:27
образуются у нас на картинке Давайте назовём их c0 C1 C2 C3 и так далее я
27:33
утверждаю что все кольца с чётными номерами равномощные Почему Давайте посмотрим из чего они состоят c0 – это а
27:40
из которого выкинули А1 C2 – это А2 из которого выкинули A3 C4 – это A4 – A5 и
27:49
так далее То есть они построены по принципу чётное множество минус нечётное Но мы же знаем что все чётные ашки
27:55
равномощные нечётные тоже всё сейчас задача рассыпается Давайте просто посмотрим Из
28:01
чего состоят множество А и
28:06
А1 под знаком плюс Я имею в виду объединение множеств Теперь смотрите все
28:12
чётные кольца равномощные значит можно сопоставить их всех вот так а что касается нечётных так их множество
28:18
Вообще одинаковые Так что просто сопоставляя их напрямую друг другу что и требовалось доказать не очень строго но
28:24
мы только что доказали теорему кантера бернштейна сверх мощное оружие для доказательства равномощные
28:31
нам не ломать голову на сложными биекция например с её помощью можно показать что
28:37
любые двухмерные фигурки с площадью равномощные указания биекция просто уменьшаем одну
28:43
фигурку так чтобы её можно было засунуть во вторую со второй проделываем то же самое и всё по теореме кантера Бернштейн
28:50
эти фигуры равномощные равномощные отрезка от нуля до одного и прямой очевидно что отрезок лежит внутри
28:57
прямой То есть равномощные под множеству в свою очередь все числа на прямой можно
29:02
однозначно закодировать двоичной системой То есть просто превратить все вещественные числа в набор нулей и
29:08
единиц А все такие наборы – это подмножество отрезка Так а что же всё-таки с
29:14
квадратом и [музыка] отрезком я вижу это но никак не могу
Оказывается КВАДРАТ = ОТРЕЗОК
29:21
этому поверить – сказал Кантер увидев это
29:30
Нет не анимацию сделанную в маним а доказательство равномощные
29:40
Итак сначала нужно засунуть отрезок в квадрат что ж это очень легко просто сопоставим отрезок с одной из сторон
29:46
квадрата но как засунуть целый квадрат в отрезок Кантер придумал просто гениальную вещь возьмём произвольную
29:53
точку на квадрате например с координатами 0432 и 0 то 865 и
30:07
перетаскивать данную точку квадрата и сделаем так вообще со всеми точками квадрата если точка квадрата имеет вот
30:14
такие координаты то мы сопоставим её точки отрезка вот с такой
30:19
координатой очевидно что все точки внутри квадрата уйдут внутрь отрезка
30:24
причём каждая в уникальную точку отрезка действительно перетасовка цифр двух разных точек квадрата никак не может
30:31
дать нам одно и то же число потому что хотя бы одна координата у разных точек различается хотя бы в одной цифре А
30:37
значит и
30:43
перетасовка най девятки то происходят забавные казусы например 02 9 9 9 и так
30:49
до бесконечности на самом деле равно 0,3 я не буду сейчас объяснять почему это так возможно про это выйдет отдельный
30:56
ролик Ну тогда если взять точки ноль 2 и9 в периоде и 0.5 в периоде то они будут соответствовать совсем разным
31:02
точкам отрезка Но
31:12
точка-точка к каким проблемам это может привести Ну мы не сможем ничего
31:18
сопоставить точки отрезка с координатами 0.2 59 5 99 5 и так далее А значит не
31:24
сможем покрыть весь отрезок Ну погодите так нам это и не нужно Мы же хотели засунуть квадрат именно внутрь отрезка
31:31
так что всё О’кей вопрос остаётся границам квадрата их координаты начинается с одного а не с нуля хм а
31:38
давайте просто Уменьши квадрат Мы же знаем что все квадраты равномощные так какая разница возьмём например квадрат
31:44
со стороной 0,5 теперь даже на его сторонах координаты начинаются с нуля всё таким образом большой квадрат
31:51
равномощные
31:57
множество отрезка по теореме кантера бернштейна получаем что утверждение
32:03
[музыка] Доказано Итак мы установили что не только прямая имеет мощность Континуум
Бесконечность бесконечностей
32:09
но и целая плоскость вообще оказалось что даже всё трёхмерное пространство континуальность
32:21
Так может тогда Континуум – это максимальная бесконечность А вот и нет существует бесконечности И больше
32:28
континуума их существование доказывает теорема кантера приготовьтесь Возможно это будет самое абстрактное место за всё
32:34
видео не считая недавней теоремы но сначала снова на пальцах возьмём множество из единицы и двойки и
32:40
рассмотрим множество всех его подмножеств пустое множество единица
32:46
двойка и само же исходное множество такое множество ещё называют бульоном очевидно что в були они элементов куда
32:53
больше чем в исходном множестве это становится ещё нагляднее на множестве из единицы дво и тройки его бульоном будет
32:59
следующее множество ещё больше элементов очевидно что для конечных множеств Булин всегда
33:06
больше исходного множества А что же с бесконечными Если вы досмотрели видео аж досюда то вам уже должно быть неочевидно
33:13
больше ли Булин исходного бесконечного множества или нет так вот теорема кантера утверждает что да Булин больше
33:19
давайте рассмотрим какой-нибудь бесконечное множество и его Булин и предположим обратно что они всё-таки
33:26
равномощные должна существовать биекция То есть все элементы исходного множества должны быть
33:32
как-то сопоставлены элементом булина всё это показано лишь для примера чтобы было лучше Понятно Глядя на примеры можно
33:38
заметить что некоторые элементы лежат в своих образах А некоторые нет образ –
33:44
это то куда мы отправляем элемент исходного множества например двойка лежит в множестве из единицы и двойки А
33:50
вот единица не лежит в своём образе впрочем как и тройка А давайте рассмотрим множество всех таких
33:56
элементов которые не жат в своих образах и назовём его C в нашем примере числа 1
34:02
ИТ как раз лежат в C но знаете что ещё можно сказать А это подмножество
34:07
исходного множества А значит оно лежит в були Ане тогда в исходном множестве
34:12
найдётся такой элемент а что а сопоставляется C ведь у нас тут биекция напоминаю осталось разобраться лежит ли
34:20
элемент а в C Ну допустим что лежит тогда а лежит в своём образе Ну погодите
34:26
вообще-то C состоит из элементов которые в своих образах не лежат противоречие
34:32
ладно тогда наверное а не лежит в C но и тут возникает проблема раз а не лежит в своём образе C то оно должно там лежать
34:39
ведь в C собраны все такие элементы опять противоречия обе возможности оказались противоречивы А значит биекция
34:46
построить нельзя ну а раз Булин уж точно не меньше исходного множества и биекция
34:51
нет то Булин строго больше таким образом Булин континуума множество буквально
34:57
больше чем Континуум а Булин от булина континуума ещё больше понимаете к чему
35:02
всё идёт существует бесконечно много разных бесконечностей бесконечно много
35:08
бесконечностей одна больше другой И вот тут уже становится страшно страшно представить что за монстры там обитают
35:14
за Континуум И в какой вообще математике могут применяться это мы сегодня тоже обсуждать не будем Но если вы осознали
35:21
доказательство теоремы кантера то Вам теперь придётся с этим жить на этой загадочной ноте мы и закончим Пусть это
35:26
будет открыты вопросом для вас и мотивацией познакомиться с
35:32
бесконечностей подписываемся на канал и про телегу тоже не забывайте до
35:39
[музыка]
35:56
скорого H