С какой вероятностью игла длины 1, брошенная на сетку из параллельных прямых с шагом 1, пересекает одну из линий этой сетки? А сколько пересечений с такой сеткой в среднем будет иметь гибкая вермишелина длины L?
Расшифровка видео
0:02
[музыка]
0:05
Привет всем любителям математики и
0:07
теории вероятности в особенности с вами
0:09
Алексей Колчин и сегодня мы поговорим об
0:12
одной интересной задаче которую впервые
0:15
поставил и решил знаменитый французский
0:18
естествоиспытатель Джордж Луи леклерк де
0:21
бюффон и произошло это почти 300 лет
0:25
назад бюффон хотел стать членом
0:28
Парижской Академии Наук и написал мемуар
0:32
об одном классе азартных игр и мы
0:37
сегодня рассмотрим задачу из этого
0:40
класса которая Сделала его имя
0:42
знаменитым среди математиков и задача э
0:46
так и называется задача об Эгле фона
0:51
представим себе что у нас имеется сетка
0:54
из параллельных прямых расстояние между
0:57
которыми мы будем считать равным единице
0:59
и на эту сетку мы бросаем иглу длину
1:03
которой для простоты мы пока что тоже
1:05
будем считать равно единице и
1:08
Спрашивается С какой вероятностью игла
1:11
упадёт на эту сетку Так что пересечёт
1:14
какую-нибудь из
1:16
линий и понятно что шансы игле пересечь
1:19
линию сетки зависит от того Под каким
1:22
углом она выпадет рассмотрим отрезок
1:25
этой прямой в полосе между соседними
1:27
линиями сетки приложим концу вытянутую
1:31
вдоль него иглу если иглу сдвигать
1:34
вправо Она сначала не будет пересекать
1:36
линии сетки а потом пересечёт линию
1:39
справа впервые вот в таком положении и
1:42
будет пересекать её и дальше пока не
1:44
уйдёт в следующую полосу тем самым шансы
1:48
игле пересечь линию сетки равны
1:50
отношению длины иглы а она равна единице
1:53
к длине гипотенузы прямоугольного
1:56
треугольника которая равна 1 Дели
1:59
косинуса
2:00
поэтому для данного угла альфа эти шансы
2:03
равны косинусу Альфа угол Альфа может
2:05
меняться от нуля до пи пополам и чтобы
2:08
найти полную вероятность надо
2:10
проинтегрировать P от Альфа от нуля до
2:13
пи пополам и разделить на полную меру
2:16
пространства событий то есть на пи
2:18
пополам интеграл от косинуса в этих
2:21
пределах равен единице и поэтому полная
2:24
вероятность равна
2:25
2пи что составляет
2:28
примерно 4% и вот исходная задача решена
2:33
но теперь можно посмотреть на Всё дело
2:36
совершенно по-другому и сказать Ну да
2:39
вероятность P ра 2 де пи но мы теперь
2:42
можем переписать всё и сказать это пи ра
2:45
2 по P Ну и теперь у нас появилась
2:50
Великая возможность и наверное бифон
2:54
обрадовался этой возможности и сказал я
2:56
могу вычислить число Пи эксперимента
3:03
опыты Я не знаю делали такие
3:06
эксперименты фона наверное всё-таки
3:08
делал он был человек
3:10
любознательный но мы сейчас свой опыт
3:12
проделаем и вот здесь у меня расчерчен
3:16
лист я буду бросать на него спички длина
3:19
спички 42 мм и с расстоянием 42 мм
3:23
проведены линии Ну а тепер я их буду
3:26
здесь
3:27
рассеивать вот яю спички горстями
3:31
надеясь что их распределение по сетке
3:34
будет по-настоящему
3:35
случайным и вот что у нас получилось 25
3:39
спичек пересекли линии сетки А 11 не
3:42
пересекли доля пересек составляет
3:46
2536 Это примерно
3:49
09 тогда приближённое значение числа Пи
3:52
равняется 2 по 0,69 и это примерно
3:58
2,9 14 не сильно похожи но всё же ошибка
4:03
составила всего
4:04
10% и понятно что для того чтобы
4:07
увеличить точность надо во-первых сильно
4:11
увеличить количество бросков Да ещё
4:14
Кроме того желательно построить такое
4:16
устройство которое обеспечит
4:19
равновероятно распределение спичек по
4:22
углам Потому что я не уверен что когда
4:23
бросал руками я это обеспечивал ну и по
4:27
такому случаю я решил от натурных
4:30
экспериментов перейти к компьютерному
4:32
моделированию идея состоит в том что я
4:35
буду выбрасывать два случайных числа на
4:39
отрезке от нуля до единицы и первое
4:42
число будет показывать Где у нас
4:44
находится левая точка иглы насколько она
4:48
отступает от линии которая слева а
4:52
второе число будет показывать насколько
4:54
игла
4:58
развёрнутая
5:00
ну и соответственно я буду смотреть
5:02
А правая точка иглы Она имеет координату
5:07
больше единицы Ну и тогда игла
5:10
пересекает правую линию или меньше и
5:13
посмотрю какая доля будет выпадать При
5:16
таком моделировании А дальше я загнал
5:19
это дело в Excel и стал единым махом
5:22
обрабатывать массивы по 10.000 строк Вот
5:25
так и вот перед вами пошли результаты
5:28
таких испытаний каж это усреднение
5:31
10.000
5:32
бросков видно что все они находятся в
5:35
пределах между 3 и10 и 318 с другой
5:40
стороны практически за эти пределы не
5:44
выскакивай понятно Если мы делаем 10.000
5:47
бросков
5:52
усреднять мы ожидаем среднеквадратичное
5:55
отклонение в со от самого
5:58
результата
6:00
Ну для 31 это есть плюс-минус 0 в ту и в
6:04
другую сторону вот мы это и видим А
6:08
сделаем Миллион бросков Ну отклонение
6:11
будет од
6:14
тысяч И тем самым мы третью цифру уже
6:18
вполне определим 314 Ну и где-то будем
6:22
там возиться с че
6:24
фро а тепер перейм к
6:28
реще дачи и вместо иголки будем бросать
6:33
на сетку из параллельных прямых
6:36
вермишели Ну длины L Ну и надо при этом
6:39
учесть что вермишель будем считать
6:41
гибкой поэтому она будет падать совсем
6:43
по-разному на сетку и мы будем
6:47
подсчитывать среднее число точек
6:50
пересечения вермишели и линии сетки
6:54
разделим вермишели Ну на две части и
6:56
покрасим их в красный и синий цвет
6:59
каждая из частей набирает за большое
7:01
число бросания своё среднее число
7:04
пересечений обозначим их к и NS с чертой
7:09
тогда среднее число пересечений для всей
7:11
вермишели будет равно сумме к и
7:15
NS пусть теперь эти две части имеют
7:18
одинаковую длину очевидно что средние
7:21
числа пересечений для них тоже будут
7:23
одинаковыми а среднее число пересечений
7:26
для всей вермишели будет равно 2n
7:29
мы можем делить вермишель на любое число
7:32
равных частей и отсюда следует что
7:35
среднее число пересечений
7:36
пропорциональной длине вермишели L
7:40
введём коэффициент пропорциональности K
7:42
И найдём его без всякого
7:45
интегрирования И для этого рассмотрим
7:48
вермишель специального вида состоящий из
7:51
окружности единичного диаметра и каждая
7:55
такая окружность пересекается с линиями
7:57
сетки всегда ровно два раза Ну и тогда и
8:01
среднее число пересечений очевидно будет
8:03
равно ровно двум Сколько бы мы раз не
8:07
кидали Ну и стало быть длина такой
8:12
окружности – Это пи и коэффициент
8:15
пропорциональности равен 2 де пи а
8:19
теперь вернёмся к исходной задаче про и
8:21
глуб фона Ну понятно что для единичной
8:24
длины среднее число пересечений будет
8:26
равно 2 пи ну а с другой стороны игла
8:31
либо пересекает одну линию сетки либо
8:35
вовсе их не пересекает и стало быть
8:38
среднее число пересечений совпадает с
8:41
вероятностью пересечь линии сетки и мы
8:45
получили решение исходной задачи
8:48
совершенно другим способом Ну а теперь я
8:51
хочу поблагодарить вас за внимание и до
8:54
новых
8:55
[музыка]
8:58
встреч
8:59
[музыка]
9:03
Y