https://www.youtube.com/watch?v=_M12G0dZXZM
Фрагмент лекции (без вопросов и обсуждения) Льва Ламберова «Теоремы Гёделя о неполноте» (2 декабря 2021 г.) из курса «Множества, типы, вычисления» для студентов Уральского гуманитарного института Уральского федерального университета им. первого Президента России Б.Н.Ельцина. Направление подготовки: 45.03.04 Интеллектуальные системы в гуманитарной сфере.
Расшифровка видео
0:00
это достаточно важная и интересная тема и важное на в том числе в связи с тем что
0:07
очень часто не понимает что же такое за теорема гёделя и что же они утверждают например
0:14
очень часто мне приходят приходилось и приходится слышать что теорема геделя
0:20
никакой арифметическую никакого арифметического смысла не имеют так вот это совершенно неверная точка зрения
0:27
потому что если бы теоремы гёделя никакого арифметического смысл они имели
0:33
то и бы нельзя было доказать и сегодня я попытаюсь это показать вам
0:38
в прошлые разы мы уже близкие темы обсуждали да и вот в прошлый раз мы
0:44
обсуждали году нумерацию на сегодня я еще подробнее а не буду говорить вам в
0:50
прошлый раз мы ее применяю для рассмотрения машин тьюринга и детали
0:55
война горация использовалась для доказательства соответственно ограничительных
1:01
результатов касательных касательно машин тьюринга вот сегодня мы примерно на
1:08
близкую тему будем говорить но уже без машин тьюринга очевидно но
1:16
тем ни менее году нумерацию нас тоже будет присутствовать значит некоторые детали куда можно
1:24
обратиться если какие-то моменты а кажутся непонятными
1:29
это конечно же классика книжка кеды лего доказательства нагели
1:35
ньюмана вот здесь у меня на слайде переведено приведена это вторая редакция которая под редакцией хофштадтер а вышла
1:43
в 2008 году дело в том что первое издание содержит некоторые неточности
1:50
небольшие ошибки и вот во втором издании они были исправлены это книжка есть даже
1:56
на русском языке но к сожалению перевод сделал во первых с первое издание то есть там все эти ошибки и неточности
2:02
которые в первом издании имеют вместо они перекочевали в перевод и кроме того на русский язык на русском
2:10
языке издана издана перевод сокращениями что мне целый текст они вся
2:17
книжка только фрагменты из нее некоторые моменты там опущены
2:24
а вот есть еще очень замечательная книга петра смита называется введение в
2:29
теореме геделя это 2013 год это второе издание этой книжке она тоже очень классная она
2:38
довольно объемное там 300 с чем-то страница 310 страниц то есть начиная от
2:45
самого введения вот то есть это очень такое очень доступное изложение теорем
2:51
геделя ну есть конечно же классика это вот статья с нарымского из
2:57
хинду к по математической логике под редакцией оборвать за статья 77 года
3:03
вот это конечно одна из лучших в принципе работы по теорем о неполноте ну
3:11
и в качестве еще такого дополнительного материала если кому-то
3:17
особо интересно теорема геделя то можно посмотреть вот это вот последнюю
3:22
книжку указываем на этом слайде это книга франция называется теорема геделя
3:30
не полное руководство по использованию и злоупотреблению ею вот там франсин очень
3:38
кратко дает доказательства объясняет очень кратко в чем состоит теорема
3:43
геделя и большая часть книги несколько глав посвящены тому
3:50
чтобы развеять мифы относительно теремки-1 там франции говорит что вот
3:55
теорема геделя не доказывают что бог существует как некоторые думают почему и
4:01
показывает ошибки в этих точках зрения или там не знаю что человеческий разум
4:07
превосходит разум искусственный интеллект преуспеть искусственный интеллект это тоже из
4:13
теорем педали никак не следует пусть это конечно можно принимать но нам требуются какие-то
4:19
дополнительные скорее философские посылки сами по себе теорема геделя конечно же это не устанавливают
4:26
но это давайте перейдем непосредственно к теорем геделя до в общий контекст
4:31
некоторые надо задать значит в 1931 году статье о формально
4:38
неразрешимых предложениях принципе математика исходных систем часть 1
4:43
гибель публикует собственно доказательства первая теорема о неполноте и там есть у него некоторые
4:50
фрагменты 1 2 теоремы он планировал что он напишет вторую часть но так и не
4:57
случилось значит он как сам гитлер кстати говоря
5:03
как сам гель объясняет почему он [музыка] предполагал такое деление на две части
5:10
он думал что этот результат настолько очевиден что он просто летает в воздухе
5:16
и вот ему надо было срочно опубликовать чтобы первенству закрепилось за ним
5:21
поэтому он даже не успел до конца дописать да вот свою статью он решил что
5:29
она надо остановиться на том что написано назвать это часть 1 и опубликовать что он считал что вот-вот
5:36
кто-нибудь другой докажет то же самое чем теоремы о неполноте интересны
5:43
теоремы о неполноте демонстрирует недостаточность аксиоматического метода предложенного
5:48
гилберта ну точнее говоря дни реализуемость программы гилберта вот это будет более корректно гилберт в одном из
5:56
своих выступлений самым знаменитым своем выступлении сформулировал набор открытых
6:04
математических вопросов которые требуют своего решения и вот в числе этих вопросов было доказательство
6:12
непротиворечивости для математики но вот собственно говоря
6:18
терема неполноте говорят что эта задача не выполнил
6:24
вот одна из важнейших задач для математики конца девятнадцатого века
6:30
и начала двадцатого это справиться с парадоксами которые в теории множеств
6:35
появились и показать не против непротиворечивость основании математике вот это собственно то о чем я только
6:42
сказал по поводу программы гилберт этом и гилберт и еще много других задач было
6:47
но вот это одна из них ну идиоты лего теорема конечно же
6:52
показывает что это нереализуемо оказывать теперь мы вспомним что же
6:57
такое горле о нумерации всякому символу всякой формуле и всякому
7:04
доказательства мы будем присваивать некоторые уникальный номер в прошлый раз тогда материал машины тьюринга обсуждали
7:13
и я уже говорил объявили войну миграции я упомянул что гель в нумерации работает
7:20
благодаря основной теореме арифметики которая гласит что всякое число
7:27
целое число можно разложить на простые множители причем уникальным образом ни
7:34
одно вот если вы какое-то число разложили на простые множители то
7:40
никакое другое число на те же самые простые множители разложены быть не может это основная теорема арифметики
7:49
что нам нужно для герлен операции нам нужно сопоставить символы с натуральными
7:55
числами следующим образом это вот только пример можно нумерацию задавать другими способами
8:01
суть доказательства не изменится и даже содержание теоремы никак не поменять от
8:09
этого здесь я беру собственно говоря в качестве конкретно вот этого примера я
8:15
беру то как это во втором издании книжки на гель или ньюмана дается то есть
8:22
отрицанию мы сопоставляем единицу не строгой дизъюнкции двойки двойку
8:28
импликации тройку quattro существования четверку равенство пятерку ну и так
8:33
далее вот ну 0 это понятно у нас 0 начала
8:38
натурального ряда с это функция следующее функция которая берет на вход
8:45
число и возвращает следующие за ним вот у нас все соответственно символы нашего
8:52
языка таким образом сопоставлены с натуральным числами кроме того дадим еще
8:59
коды для разного рода переменных вот для объектных переменных у нас будут вот
9:04
такие вот коды для икса 13 для игрека семнадцать для z19 вот для
9:10
пропозициональной переменных pqr у нас соответственно 13 в квадрате 17 в
9:16
квадрате 19 квадрате и для [музыка] значит
9:23
предикатов мы дадим 13 в 3 17 3 19 3
9:30
на самом деле это даже достаточно избыточный набор нам не требуется такое
9:35
большое разнообразие ну допустим нам надо найти идет лифт
9:40
номер для какой-то формулы допустим это вот такая вот формула существует x такое что x равно с 0 ну то есть существует
9:47
число которое следует за нулем получается вместо икса если эта формула
9:54
истинна мы должны подставить единицу единица существует какой-то объект
10:01
который является единицей от формула говорит тогда мы смотрим какие коды сопоставлены
10:10
этим символом вот квартиру существования мы сопоставили четверку переменной x мы
10:15
сопоставили 13 на предыдущем слайде открывающаяся округлой скобки 8 ну и так
10:22
далее а вот мы записали все коды этих символов затем мы должны посчитать
10:29
сколько у нас символов в этой формуле у нас 1 2 3 4 5 6 7 8 символов 8 символов
10:36
значит мы берем 8 первых простых чисел это 2357 1113 17-19
10:45
вот и каждый из этих простых чисел мы возводим в ту степень которая соответствует числу со поставленному
10:54
данному символу ну например у нас первый символ это quatre существования ему
10:59
сопоставлено 4 значит мы двойку возводим в четвертую степень второй символ
11:04
формуле эта переменная x и переменная x сопоставлено число 13 значит второе
11:11
простое число в ряду простых чисел то есть число 3 мы возводим в степень 13
11:18
затем у нас открывающаяся круглая скобка есть сопоставлено число 8 она является
11:24
третьим символов формуле значит третье число в ряду простых чисел а это число 5
11:30
мы возводим в степень 8 вот и у нас получается
11:35
затем такой расширенный вектора смысле код для
11:42
каждого символа вот то есть мы получаем следующий ряд 2 в 4 3 в 13 5 в 8 7 в 13
11:51
11 в 5 ну и так далее и затем мы все эти числа перемножаем нас получается кота
11:59
очень очень большое число в данном случае вот это большое число будет горделивым номером формулы существует tx
12:06
такой что x равно с 0 вот так мы получаем диоды ли вы номера
12:12
для форму геоглифы номер уникален как я сказал это
12:19
из основной теоремы арифметики следуют вот то есть нет никаких двух формул
12:24
которых быть отлив номер был одинаковым вот ну и удалив номер доказательства мы
12:31
точно также можем получать что такое доказательство это последовательность шагов каждый шаг представляет собой
12:37
формулу эта формула либо появляется посылкой либо оно получено из предыдущих путем применения правила вывода вот
12:44
соответственно мы делаем следующее мы по числу шагов берем
12:51
сколько у нас шагов в доказательстве столько мы берем этих простых чисел из
12:57
ряда простых чисел и каждое простое число возводим в степень которая равна
13:03
отдали в номеру формулы написанный на соответствующем шаги допустим число 2 мы возводим в
13:10
степень там м потому что н это берлев номер формулы написанный на первом шаге
13:17
нашего доказательства вот так вот мы нумеруем соответственно
13:22
доказательства и они тоже у нас получают уникальные номера
13:28
вот это как бы кодирование да получается соответственно мы можем раскодировать
13:34
мы можем взять какое-то число разложить его на простые множители и
13:39
соответственно узнаем что что это число в данной году ли вы нумерации обозначают
13:46
это может быть формула может быть какое-то доказательство например возьмем вот такое большое число
13:53
двести сорок три миллиона что это за число такое является она горделивым
14:00
номером или не является вот интересный вопрос разложим число двести сорок три
14:06
миллиона на простые множители у нас получится 2 6 3 5 и 5 в шестой
14:14
соответственно смотрим какие символы сопоставлены и шестерке пятерки шестерки
14:21
сопоставлен 0 пятерки сопоставляем знак равенства то есть эта формула 0 равно
14:26
нулю вот двести сорок три миллиона это года лев
14:32
номер формулы 0 равно нулю в нашей нумерации если мы она будет другая если
14:37
мы другие числа сопоставим символом то соответственно число тоже будет другой
14:42
вот еще раз хочу напомнить про основную
14:48
теорему арифметики всякое число уникальным образом раскладывается на простые множители то есть вот мы берем
14:54
какую-то формулу у нее есть какой-то свой собственный уникальный gear лифт номер берем какое-то число раскладываем
15:01
на простые множители и видим какая-то одна формула только
15:07
соответствует этому числу вот так вот теперь нужно пояснить кое-что по поводу
15:15
арифметика ци и вот как мы видим благодаря тому что мы можем
15:21
за нумеровать все утверждения все доказательства то у нас получается
15:28
что всякое выражение принципе математика имеет связанный с ним диоды лифт номер
15:34
вот поэтому получается что мета математическое утверждение о
15:41
формальных выражениях с одной стороны и типографские отношения между символами с
15:47
другой и выражениями могут пониматься как утверждение о соответствующей
15:53
гелевых номерах и их арифметических вот тут надо подчеркнуть обязательно
15:58
арифметических отношениях друг к другу и вот тут на слайде пример с мясным
16:05
отделом супермаркета что это означает такое это значит следующий пример вот в
16:10
некоторых странах супермаркеты работают таким образом вы приходите в супермаркет и на входе можете получить номеров
16:19
я специальная машина которая печатает номерки вот вы берете этот номерок это номер вашей очереди в мясной отдел
16:28
то есть мясном отделе есть человек который в порядке очереди обслуживает
16:34
клиентов вот но вы не обязательно сразу же идете в мясной отдел вы можете
16:41
сначала по супермаркету походить на брать там какие-то продукты себя соответственно время какое-то проходит
16:49
мясной отдел в это время работает и вот вы набрали уже себе продукты и
16:55
решаете что вот надо сейчас не пойти в мясной отдел и фарш купить приходите в
17:00
мясной отдел там какие-то люди стоят там очередь и вы сравниваете у кого какой
17:05
номер если у вас номер будет самый маленький из тех кто там находится то вас будут
17:12
обслуживать в первую очередь то есть вот этот номерок
17:19
он который вы получили при входе в супермаркет он работает как некоторые указания на то
17:26
в каком порядке клиенты должны быть обслужены в мясном отделе вот это позволяет избежать разных
17:33
споров и разногласий и всего прочего то есть супермаркет и в частности мясной
17:39
отдел работает намного лучше если такие номерки выдаются то есть никто там с клиентом друг другом
17:47
не спорит либо надо много мясников нанимать чтобы с
17:52
наплывом клиентов не было проблем вот то есть здесь у нас получается так
17:58
вот есть клиент одной стороны аналог некоторые формулы есть номерок
18:04
это аналог gear левого номера и соответственно вот отношение между номерами это те отношения которые
18:11
определяют отношения между клиентами да если номер меньше значит клиент идет в первую очередь обслуживаться если номер
18:19
больше топ извините вам надо подождать до никакого тут как бы не о чем спорить
18:26
чисто арифметически отношения между числами вот и все вот ну давайте возьмем такую штуку
18:35
допустим у нас есть формула неверно что 0 равен нулю
18:40
вот попытаемся выяснить уделив номер этой формулы он будет у нас вот такие вот назовем его для простоты а
18:49
это 2 в 1 умножить на 3 8 умножить на 5 6 ну и так далее вот это какое-то
18:55
большое число нам не важно знать что это за число просто назовем его число а если
19:01
надо можно вычислить его так вот утверждение мы можем
19:07
сформулировать утверждение о том что первым символом вот этой формулы является
19:13
знак отрицания и это утверждение будет соответствовать
19:18
утверждение о том что 2 является одним из множителей на которой раскладывается число а но при этом 2 в степени 2 не
19:27
является таким множителем то есть вот это вот утверждение чисто арифметическое
19:33
2 является одним из множителей числа а но 2 в квадрате множителем не является
19:41
вот это арифметическое утверждение вот это утверждение о числах и отношениях
19:47
между числами говорит что первым символом данной формулы является отрицание
19:54
почему потому что для того чтобы ну вот у поскольку у нас
20:00
тут отрицание да стоит отрицанию мы сопоставили единицу соответственно у нас
20:07
2 в 1 получается то есть просто 2 2 является простым множителем является
20:15
чтобы получить число 2 в квадрате при этом не является но тут
20:21
можно спросить почему 2 в квадрате не является это понятно почему два в третий
20:26
например не является потому что возведение в степень что это такое два в третьей степени то что это 2
20:33
умножить на 2 умножить на 2 то есть когда мы 2 в 1 умножаем на 2 в квадрате то у нас получается 2 в степени 1 плюс 2
20:41
вот то есть вот степени так вот у нас работают соответственно если у нас в
20:48
третьей степени бы здесь была то тогда мы могли бы разложить его как на 2
20:55
в 1 умножить на 2 в 2 это было бы тоже самое что 2 в третьей и 2 в четвёртой мы
21:01
могли бы разложить там на 2 2 умножить на 2 2 ну и так далее то есть два
21:08
сказать что 2 во второй не является множителем достаточно для того чтобы
21:13
исключить все остальные вот
21:19
ну то есть вот у нас есть чисто арифметическое утверждение 2 является
21:24
одним из множителей на которая раскладывается число а но 2 в квадрате
21:29
не является одним из множителей это арифметическое утверждение принципе математика может говорить нам может в
21:38
принципе математика можно формулировать утверждение числах значит мы можем сформулировать и утверждение вот такое
21:44
существует z такое что какое-то вот это длинное большое число a равно z умножить
21:51
на два и не существует z такое что вот это число равно z умножить на 2 умножить
21:58
на 2 вот эта формула которая говорит
22:04
что первым символом формулы закодированы с помощью числа а
22:10
является отрицание а
22:17
причем это при математика мы эту формулу можем
22:23
доказать в принципе математика если оно истинно если оно истинно мы можем ее
22:29
доказать в качестве теорем потому что отношение быть множителем является примитивно рекурсивным отношением
22:37
пара слов о том что такое примитивно рекурсивные отношении что такое
22:42
примитивное рекурсивные функции если не вдаваться в подробности то
22:47
примитивно рекурсивной функцией называется такая функция которая может быть вычислено с помощью
22:54
механического устройства и в этом механическом устройстве все циклы
23:00
имеют ограничения сверху на количество итераций вот число итераций всякого
23:08
цикла ограничена сверху причем она может быть определена еще до того как наши
23:14
механическое устройство войдёт в этот цикл ну условно говоря если вы
23:20
[музыка] знаете какие-нибудь языки программирования то получается что это
23:26
все циклы вида for fat for циклы
23:32
не в общем работают таким образом то есть мы всегда знаем до какого момента мы должны дойти в операциях и там мы
23:39
остановимся вот это примитивно рекурсивная функция это очень углубленно если это представить какие функции
23:46
являются примитивные рекурсивными ну например сложение и умножение взятие предыдущего числа
23:54
соответственного удвоения вот затем проверка на то является ли два числа
23:59
равными затем получается
24:06
[музыка] ответственно там это самое
24:13
является ли число нулем вот это все это все примитивно рекурсивная функция
24:21
вот ну то есть в принципе математика есть теорема
24:26
которая соответствует утверждение о том что первым символом формулы вот это вот
24:32
неверно что 0 равен нулю является отрицанием эта теорема у нас вот здесь
24:38
он записан вот получается что о свойствах наборов
24:45
символов можно говорить просто говоря о свойствах целых чисел и их множителях то
24:52
есть мы можем описывать благодаря тому что в принципе математика
24:57
выразимо арифметика дамы с помощью арифметических вот таких вот устройств
25:03
специальных можем описывать что у нас вообще происходит в самой принципе
25:08
математика вот то есть принципе математиков формализует арифметику
25:14
а с помощью арифметики мы можем описывать мета математику для принципе
25:20
математике то есть получается что принципе математика формализует одновременно и свою собственную мета
25:27
математику вот ну и получается так что мы можем
25:34
например взять взять вот
25:40
такое вот утверждение последовательность форму с гелевым номером x является
25:47
доказательством формулы с году ли он номером z вот и это утверждение мы можем
25:52
представить в виде формулы принципе математика то есть эта формула будет говорить что x раскладывается на простые
26:00
множители среди которых самым большим является
26:08
самое большое число возводится в степень z потому что это последнее а у нас
26:15
теорема это последняя формула в доказательство вот ну например у нас
26:21
допустим если доказательства имеет восемь шагов то соответственно число 19 будет возводиться
26:28
соответствующую степень то есть это чисто арифметически и отношения быть доказательством
26:37
это соответствует арифметическому отношении есть арифметические смысл и
26:42
вот соответственно мы можем сделать следующие мы обозначим с помощью вот такой записи dem вот x и z
26:50
арифметическое здесь опять надо подчеркнуть арифметическое отношение между числами x и z
26:57
такое что она имеет место в случае когда x является гелевым номером
27:03
доказательства для формулу z это примитивно рекурсивная функция да
27:11
потому что у нас набор аксиом обозримый набор правил и вода обозримый
27:16
соответственно определение того что является ли не что теорема или нет ну точнее не теоремой
27:24
доказательством является линейки доказательством для некоторые данной теоремы или не является является
27:31
разрешенным ну вот соответственно у нас примитивно рекурсивная функция
27:36
вот то есть получается что в принципе математика есть формула
27:43
которая говорит то же самое говорит что есть определенные отношения
27:48
между числами x и z вот и это отношение
27:56
ну точнее вот формулу которая об этом отношении что-то высказывать мы будем обозначить обозначать вот так то есть
28:02
это уже не чисто арифметическая какая-то формула это уже формула
28:09
принципе математика записано с большой буквы д м x и z эта формула принципе
28:15
математика она будет истинно да если x является
28:20
доказательством для формулы z
28:26
вот ну например у нас может быть какое-то арифметическое ложное утверждение
28:32
dm-255 между двойкой и пятерка нет отношения
28:38
которая вот обозначает с помощью вот этого д
28:43
ну и соответственно у нас есть еще в самой принципа математика такой
28:49
вот набор символов дым от этого двойка и эта пятерка но эта формула является ложной
28:56
отрицание и соответственно будет истинной ну и его можно доказать вот
29:02
отрицание будет скачать теоремы доказываются в принципе математика отрицание вот этой формулы
29:08
[музыка] вот получается что мета математические
29:13
утверждения вида то-то является доказательством того то они соответствуют теорема принципе
29:19
математика аналогично для утверждения вида то-то не является доказательством то вот
29:27
то есть принципе математика сама себе может говорить что в ней является доказательством и чего а что не является
29:35
да и само по себе может говорить что доказуемо в ней а что в ней не доказуемо
29:42
вот теперь смотрите мы еще можем что сделать мы еще можем заменить переменную
29:48
y дамы и сопоставили число 17 в некоторые формуле допустим вот формула
29:55
существует x такой что икс равно икс и игрек
30:00
допустим году лифт номер вот это вот формулы существует x такой что x равно
30:06
язык y это м вот и мы можем заменить y на м в этой формуле
30:15
тогда мы получим вот такую вот форму существует x такое что x равен
30:21
какому-то числу м потом с с с с с 0 это какое то
30:27
вот в этой формуле будет m + 1 символов с и эта формула утверждает что за м есть
30:36
какое-то следующее число что зовем есть какое-то следующее число
30:41
существует x такое что x равен следующим за м
30:47
вот сама по себе эта формула она тоже имеет году лифт номер и
30:53
его можно обозначить мета математически вот этот гель или в номер формулы
30:59
полученной из формулы с дягилевым номером м путем замены переменной с
31:04
гелевым номером 17 на м ну то есть вот если вернуться назад да вот у нас было
31:09
так что вот вот это вот формула имеет геоглифы номер м мы взяли наш ливни все перемен все
31:18
символы все символы которые сопоставлены с числом 17 а это вот этот игрек и
31:25
заменили вы
31:31
сопоставлены с числом 17 на число m
31:37
[музыка] вот то есть мы провели какую-то операцию
31:43
и это число вот году лифт номер формулы
31:48
которая получена из формулы с газелью номером м путем замены переменной с гелевым номером 17 на м это число
31:55
является значение функция от ми-17 и эта функция тоже является примитивная
32:02
рекурсивной мы можем обозначить ее вот так вот так
32:07
вот слова substitute sap x 17 x ну то
32:14
есть она получается вот это вот функция она имеет значение какое-то и ее
32:19
значением будет и отдалив номер формулы то есть некоторое число полученное если мы возьмем формулу с гос
32:29
гелевым номером x и заменим в ней все переменные за
32:35
поставленные с числом 17 на x потом посчитаем году лифт номер
32:42
соответственно мы получим некоторое число это чисто арифметически отношения траву у формул есть номера это числа
32:51
соответственно вот мы с числами и оперируем это на 100 нормальные арифметические отношения
32:57
вот с другой стороны на уровне мета математике у нас в принципе математика
33:04
имеется некоторая соответствующая формула вот такая вот
33:10
sap от x 17 x и оно обозначает уже не число а набор символов некоторую строго
33:20
некоторую строку которая представляет собой форму формулу которую мы получаем если берем
33:27
формулу с номером x заменяя в ней все символы с кодом 17 на x и вот
33:34
результат этой операции это некоторый набор символов некоторая строка какая-то
33:39
формула возможно вот
33:44
теперь это все что было предварительно относительно гида львы нумерации и общий
33:51
затеи как мы будем доказывать теорему о неполноте
33:56
значит теперь обзор что нам нужно сделать во первых нам нужно построить
34:02
формулу которая называется же построив формулу же в принципе математика и эта
34:07
формула должна выражать мета математическое утверждение же недоказуемо в принципе математика то
34:14
есть она себе должна говорить что оно в принципе математика недоказуемо затем нам нужно показать что
34:22
формула же доказуемо тогда и только тогда когда отрицание формулы же доказуемо
34:29
соответственно это будет противоречие у нас и если принципе математика
34:35
непротиворечиво то тогда же формально неразрешима то есть мы не можем не же доказать не отрицание же
34:43
затем нам надо показать что хотя же недоказуемо формально она является
34:48
истиной арифметической формулой ну то есть получается что
34:54
поскольку эта формула говорит что есть некоторые что не существует какого-то
35:00
числа которое находится в определенных отношениях с каким-то другим числом
35:08
то нам нужно получается показать что ни одно число не обладает определенным
35:14
арифметическим свойствам чисто арифметически свойств вот кроме
35:20
того мы покажем что принципе математика существенно не полна то есть оно не
35:25
пополняем а сколько бы мы ее ни расширяли все равно у нас неполнота будет [музыка]
35:31
иметь место затем надо нам будет построить еще формулу con эта формула
35:37
будет выражать мета математическое утверждение принципе математика непротиворечиво и мы затем покажем что
35:45
если con доказуемо то тогда и формула же доказуемо раз формула же доказуемо и раз
35:51
мы ранее в нашем изложение покажем что же доказуемо тогда и только тогда когда
35:57
отрицание же доказуемо то тогда это будет означать что принципе математика
36:02
просто напросто противоречиво то есть из того что принципе математика непротиворечиво следует что принципе
36:09
математика противоречиво [музыка] это уже вторая теорема о неполноте вот
36:17
ну давайте непосредственно к аргументу который герой использует в своем доказательства перейдем а вот напомню
36:24
что вот такой вот записью dm с большой буквы x z у нас обозначается что x есть
36:31
доказательства для z соответственно мы можем вот такую вот
36:36
форму луна построить существует x такой что x является доказательством для z
36:43
существует доказательство для зато есть или z доказуемо можно доказать z
36:50
если мы поставим отрицание то у нас будет формула что не существует доказательство для за
36:57
не существует доказательств для сам теперь возьмем вот такую вот форму не существует икса который будет
37:06
доказательством для формулы получены из формулы y путем замены всех
37:13
символов сопоставленных с числом 17 на y
37:18
то есть не существует доказательство для формула с номером вот таким вот
37:24
так y 17 y это уже чисто арифметическая часть
37:32
на языке вы если мы на язык арифметики это все переведём на естественные
37:38
арифметические язык то у нас получается что не существует такого числа которая
37:44
находится в особых арифметических отношениях с числом sap игрека
37:49
семнадцать y вот у этой формулы вот это вот
37:57
не существует x что x является доказательством для sap y 17 у них у
38:04
этой формулы есть какой-то года лев номер поскольку всякой формулы есть геоглифы
38:10
номер допустим это номер н мы не знаем что это
38:16
за число такое нам не хочется его считать оно слишком большое пусть это будет хорошо
38:25
y у нас здесь свободная переменная эти вместо игрека подставим м
38:33
что у нас получится у нас получится формула же эта формула говорит следующее не
38:41
существует такого икса который будет доказательством для формулы получена из
38:47
формулы с номером n путем замены в ней всех символов сопоставлены с числом 17
38:53
на n и что же это за формула такая мы договорились что число n у нас
39:00
обозначает вот это вот формулу
39:05
то есть мы берем эту формулу
39:11
находим в ней все символы обозначены число 17 а это у нас переменная y вот
39:17
она раз и вот она 2 и дальше мы должны заменить
39:23
берите символы обозначено числом 17 на н то есть мы вместо игрека сюда ставим н и
39:30
вместо этого игрека ставим н и что он получаем мы получаем вот эту формулу
39:37
то есть формула же говорит сама себе
39:43
а on они имеют доказательства она это делает конечно очень хитрым
39:48
образом но она сама себе говорит что она доказательства не имеет потому что она
39:55
как раз и является результатом вот этой вот операции
40:02
возьмите форму м-н и замените все символы с кодами 17 на н
40:09
нам что код для формулы же вот такой вот
40:16
это ее кот это и идет лив номер и между
40:21
числами n17 есть какое-то арифметическое
40:26
отношении арифметическое отношении
40:32
вот то есть благодаря тому что в принципе математика описывает свою ну
40:39
точнее формализует арифметику она может еще и описать сама себя
40:45
и она может даже иметь некоторую формулу мы можем сформулировать круто формулу в
40:51
принципе математика которая сама себе говорит что она не доказуемо вот эта
40:56
формула же вот она вот смотрите если же доказуемо
41:04
допустим мы можем это доказать то тогда значит мы нашли какой-то x который
41:10
является доказательством для нее самой то есть получается что мы
41:16
если можем доказать же то мы можем доказать отрицание для же она же сама себе говорит что не
41:23
существует такого а если мы найдем такое то значит мы докажем отрицали ее
41:30
и наоборот если мы сможем доказать ее отрицание то тогда доказуемое окажется
41:37
вот такая вот формула то есть она сама логика у нас здесь классическое двойное
41:43
отрицание у нас складывается мы его просто убираем вот ну то есть если у нас же доказуемо
41:53
это доказуемо не же если не же доказуемо то доказуемо же вот если доказуемое
41:59
формула и и отрицания то в классической логике система является противоречивой
42:06
получается что если принципе математика непротиворечиво то ниже не отрицание же
42:13
в ней доказать нельзя вот такой вот вывод
42:22
того формулы же и отрицание же они что-то утверждают о числах одна говорит
42:29
что есть какое-то число другая говорит что такого числа нет
42:35
чего определенными арифметическими свойствами
42:42
логика у нас классическая либо же либо не же должно быть истинным
42:49
какое то из этих утверждений о числах должно быть истинным или одно или другое
42:56
что они противоположны вот формула же говорит что не существует
43:02
доказательство для нее самой это и и мета математический смысл
43:08
арифметический смысл состоит в том что же говорит что не существует такого числа которое бы находилось в
43:15
определенном отношении с числом sap n17 н это арифметический смысл
43:23
вот мы видели что формула же неразрешима в принципе математика в принципе
43:29
математика у нас нет ни доказательства для же не доказательство для отрицания
43:34
же значит же не имеет доказательства
43:40
а поскольку а сама себе говоришь что она не имеет доказательства и она в принципе
43:47
не имеет доказательств значит она истинна она описывает что-то истины
43:52
получается формула же истины вот то есть же это истинная но не
43:59
доказуемо я в принципе математика утверждения
44:05
а ли мы говорим что формальная система является полной если в ней доказуемо все
44:10
истинные утверждения вот же является истинной формулы как только что мы выяснили но при этом же недоказуемо в
44:18
принципе математик значит принципе математика не полна
44:23
мы конечно можем принципе математика расширить и добавить к ней какие-то новые аксиом
44:30
которые позволят нам как что-то там доказать или например можем даже же прямо
44:36
добавить в качестве аксиомы тогда у нас уже будет тривиально доказуемо вот то есть мы получим какую-то расширенную
44:42
систему систему которую можно обозначить как принципе математика + z вот это
44:48
будет не консервативное расширение не консервативное расширение системы не
44:54
консервативно имеется ввиду что набор доказуемых утверждений стал больше
44:59
раньше мы не могли какие-то утверждения доказать сейчас мы можем доказать вот раньше же не могли в принципе математика
45:06
доказать а принципе математика плюс же мы можем потому что же это аксиома вот но в этом случае мы можем определить
45:15
новое отношение между числами которые обозначим дым со штрихом и ему будет
45:22
некоторое отношение такое типографское соответствовать дым с большой буквы со штрихом это будет доказуемо сть в новой
45:30
системе в расширенной системе ну и соответственно мы можем построить новую
45:36
формулу по той же по тому же самому принципу эта формула тоже будет истинно
45:41
но она будет недоказуемо в нашей расширенной системе соответственно принципе математика
45:48
существенно не полна то есть мы ее никак не можем пополнить сколько бы мы ее ни расширяли всегда мы можем
45:55
определить новые отношения доказуемо sti для новой системы из и построить там
46:00
недоказуемого формулу которая при этом будет еще и стены вот теперь посмотрим на следующие
46:08
рассуждение если принципе математика непротиворечиво то она неполна
46:15
но это мы вот только что как бы вы и стали давать если в противоречивой системы доказуемо
46:23
все формулы то в непротиворечивые имеется хотя бы одна недоказуемо формула
46:28
вот что значит для системы быть непротиворечивой нужно чтобы хотя бы
46:33
одна формула была недоказуемо то есть мы можем это выразить так существует такой
46:40
y что для него не существует доказательство то есть существует y
46:46
такой что не существует xa такова что x является доказательством
46:51
для игрека хотя бы одна недоказуемо формула есть
46:58
теперь значит неполнота неполнота то есть это мы выразили вот
47:04
получается on tits ident вот этой импликации pm непротиворечиво прям непротиворечиво если вот эта формула
47:10
имеет место теперь can sequent pm
47:16
неполна неполнота предполагают что есть хотя бы одна истинная
47:22
недоказуемо формула а у нас она уже есть это же то есть can sequent у нас это просто же
47:30
вот соответственно вот этот вот вот этой импликация у нас если pm непротиворечивы
47:35
то она неполна может быть представлена в виде вот такой вот форму если con тоже
47:42
или если хотите определение можно раскрыть у нас получится вот такая вот формула
47:48
существует игры такое что не существует икса являющегося доказательством для y а
47:54
импликация не существует x который является доказательством для формулы полученные
48:00
путем постановки для формулы с номером n там
48:08
то есть когда мы берем форму с номером n и заменяем все символы с номером 17 на
48:16
вот если бы формула вот это вот con было доказуемо в принципе математика
48:23
то тогда помаду с паном с мы могли бы легко доказать же амаду spawns нам
48:28
говорит если а то б а следовательно б вот если бы мы доказали con то про моду
48:35
спорным см и вы доказали же тем не менее это бы означало что
48:41
принципе математика противоречиво со снова непротиворечивость мы доказать
48:49
не можем значит если принципе математика непротиворечиво то в ней нельзя доказать
48:57
ее непротиворечивость это вторая теорема о неполноте
49:02
вот такой вот аргумент использует годы да вот так так выглядит его
49:08
доказательства на этом все у меня под теорему геделя
49:13
спасибо за внимание и значит еще раз хочу обратить внимание что с одной стороны у нас есть мета
49:20
математический смысл с другой стороны у нас есть чисто арифметически смысл
49:27
значит теорема геделя естественно обладают каким-то арифметическим смыслом
49:33
до формула же эта формула которое что-то говорит о числах и об арифметических
49:41
отношениях между числами она не просто формула говорит просто
49:47
дело в том что благодаря тому что мы значит задали определенным образом георга нумерацию у нас получилось так
49:54
что она еще и о символах говорит но даже
49:59
если бы мы делали в нумерацию задали каким то другим образом мы все равно смогли бы построить аналогичное
50:05
утверждение аналогичная геля в утверждении аналогичная же
50:12
вот и ещё раз конечно хочу повторить
50:18
вслед за франции нам что теорема геделя ничего не утверждает о том существует
50:25
бог или не существует она ничего не утверждает о том является ли человеческий интеллект более мощным чем
50:32
искусственный интеллект или же он не является таковым вот теорема геделя само
50:38
по себе является математическим результатом она ничего такого не утверждает можно ее интерпретировать
50:45
философски но для философской интерпретации требуется еще что от дополнительные мне очень нравится
50:52
утверждение бизнес и рафа которая говорит что вот значит и должна быть
50:58
какая-то посылка принцесса маргарет тогда мы можем вывести
51:04
философские следствия из математических результатов вот эта
51:09
посылка принцесса маргарет она всегда является проблематичным почему называется принцессы маргарет в инсаров
51:16
рассказывает анекдот о том что вот в еврейской семье вырос соответственно сын
51:21
да и надо его удачно женить ну и родители наняли брачного агента брачный
51:30
агент какое-то время через какое-то время приходит к нему говорит знаете я для вашего своем нашел замечательную
51:35
пару но есть некоторые заголовки ну вот родители спрашивают что значит за
51:41
загвоздки и брачные агентом говорит узнать и
51:46
дело в том что это девушка но нам замечательная она
51:53
сама все прекрасно и красиво этом трудолюбива и очень всеми самыми лучшими
51:59
качествами обладает но при этом она не еврейка в одну родители значит эти
52:04
против и говорят что значит наши дети будет гоями теперь не бойтесь внуки наши
52:11
внуки теперь будет горя мечтали нет никогда не потерпим чтобы у нас сын женился на еврейке значит нет это никак
52:19
не может быть ну брачной этом говорит знаете вот вообще говоря тут есть и хорошая сторона дело в том что это
52:27
принцесса принцесса маргарет она как бы представьте ваши дети будут
52:33
принцами великобритании ну значит вот это вот
52:39
еврейская чита некоторое время спорила со вещалась и потом они решили что ладно пусть
52:45
пусть сын их жениться на в этой принцессе маргарет из великобритании и внуки
52:52
соответственно будет гареме но зато они будут принцами и принцессами одну брачный агент выходит такой говорят
52:59
фуф осталось гораздо более простая задача теперь надо уговорить принцессу маргарет
53:05
вот то есть есть математический результат чисто
53:11
математически результат вполне себе нормальным конкретным арифметическим смыслом выводить из него
53:18
какие-то философские следствия можно но для этого требуется что-то сверх этого математического результаты сам по себе
53:24
этот математический результат ничего не утверждает не о боге не о человеческом интеллекте ни о чем угодно он просто
53:32
что-то утверждает об отношении между числами если мы придумываем себе какой то вот
53:39
эту какую-то посылку принцесса маргарет да и используемые для того чтобы вывести
53:44
философские следствия ну замечательно она правда надо еще принц вот эту
53:50
принцессу маргариту говорить эту философскую посылку нужно еще как-то обосновать а это зачастую бывает крайне
53:57
проблематично вот на этом по теореме о неполноте все
54:02
если у вас есть вопросы пожалуйста задавайте