Всем известно знаменитое тождество Эйлера e^(i*pi) + 1 = 0, которое собрало в себе главные математические константы. Оно следует из не менее знаменитой формулы Эйлера, которая чудесным образом связывает экспоненциальную и тригонометрические функции комплексного переменного.
Формулу Эйлера обычно доказывают с помощью предоставления экспоненты её степенным рядом. Но мы придём к этой формуле с помощью школьной физики, буквально на пальцах.
Расшифровка видео
0:00
Комплексные числа начинаются
0:01
с идеи о том, что квадрат числа не обязан быть положительным.
0:05
Из этой идеи возникает знаменитая формула Эйлера,
0:08
которая связывает экспоненциальную функцию с тригонометрическими.
0:11
Но почему формула Эйлера верна?
0:14
В этом видео мы получим ее, исходя из знаний школьной физики.
0:18
Комплексное число это обычное действительное число,
0:21
плюс необычная мнимая часть. Комплексное число z
0:24
можно изобразить точкой на координатной плоскости,
0:26
если вдоль горизонтальной оси откладывать действительную часть числа, то есть x,
0:31
а вдоль вертикальной оси откладывать его мнимую часть, то есть у. К каждой точке
0:36
можно придать смысл радиус-вектора, приходящего в точку из начала координат.
0:42
Представим, что частица движется так, что ее положение
0:44
в комплексной плоскости изменяется по закону
0:47
z = e^(t), где t действительное человеческое время.
0:51
Это всем привычная экспонента.
0:53
Ее значение остается действительным числом в любой момент времени t.
0:57
Например, в самом начале при t равном нулю
1:00
частица находится в точке z=1,
1:02
а с ходом времени она ускоряется вдоль действительной оси.
1:06
Да, ускоряется.
1:07
Ведь скорость или производная от координаты по времени, dz/dt,
1:12
тоже остается действительным числом на комплексной плоскости.
1:15
Скорость постоянно направлена вправо, а ее величина
1:19
равна координата частицы, которая, в свою очередь, растет.
1:23
А теперь попробуем представить, как будет двигаться частица, если в ее
1:27
траекторию внести небольшое изменение — добавить ко времени мнимую единицу.
1:32
Как и раньше, в момент времени t равном нулю
1:34
частица стартует из точки равно один.
1:37
Но вот начальная скорость частицы теперь равна i,
1:41
то есть направлена вверх перпендикулярно радиус вектору.
1:45
Сейчас мы не знаем, где окажется частица в любой другой момент
1:48
времени, помимо начального.
1:50
Но вот скорость частицы всегда будет равна
1:53
ее координате, умноженной на мнимую единицу.
1:57
Какой смысл несет в себе умножение на i?
2:00
Если умножить один на i — получим i
2:04
Если далее
2:05
умножить i на i, получим минус один.
2:08
Каждое следующее умножение на i вызывает поворот
2:11
радиус-вектора но прямой угол против часовой стрелки.
2:15
Но это верно и для любой другой точки комплексной плоскости. Умножение
2:19
на i повернет радиус вектор на 90 градусов против часовой стрелки.
2:24
Об этом говорят координаты точки z до умножения и после.
2:28
Получается, где бы ни оказалась точка
2:30
e^(it), вектор скорости в этой точке направлен перпендикулярно радиус-вектору.
2:37
То есть длина радиус вектора не увеличивается со временем,
2:40
а это и есть движение по окружности, радиус
2:43
которой равен радиусу в начальный момент времени.
2:46
То есть единице. Другими словами,
2:49
e^(it) равняется косинус fi
2:52
плюс i синус fi.
2:55
Остался последний вопрос:
2:57
Как угол fi меняется с ходом времени?
3:00
Вдруг точка по окружности двигается неравномерно
3:03
или даже очень неравномерно?.. Чтобы разобраться с этим вопросом,
3:07
обратимся ко второму
3:08
закону Ньютона: F = ma.
3:11
Из него следует, что ускорение частицы направлено туда же,
3:15
куда и равнодействующая всех сил.
3:17
А ускорение — это производная скорости по времени.
3:21
И оно равно произведение мнимой единицы на скорость.
3:24
То есть снова направление
3:26
силы, приложенной к частице, всегда перпендикулярно вектору скорости.
3:31
Такая сила не совершает работу и не может изменить
3:35
кинетическую энергию частицы, а следовательно, и саму величину скорости
3:39
такая сила лишь изменяет направление скорости.
3:42
Поэтому частица по окружности движется равномерно, а величина скорости
3:47
остается постоянной с самого начала движения, то есть равна единице.
3:52
Итак, радиус окружности равна единице.
3:55
Скорость равна единице.
3:57
Получается, что за единицу времени
3:58
частица равномерно проходит по окружности расстояние в один радиус.
4:02
А за время 2pi частица совершит полный оборот. 4:05 Это значит, что угловая скорость движения постоянна и равна одному радиану 4:10 в секунду. 4:11 То есть угол fi равен времени t. 4:16 Вот так 4:16 физика пригодилась там, где ее, казалось бы, и не ждали. 4:20 Теперь можно смело писать на заборах 4:22 знаменитое равенство из главных математических констант: 4:25 e^(ipi) = -1
4:29
Ведь никакой закон сохранения энергии при этом нарушен не будет.