Деление на ноль! Самый известный запрет математики ещё со школы. Повсюду мы слышим, что результат не определён и делить на ноль нельзя. Но оказывается, у деления на ноль куда более богатая история, а самое главное – решение этой проблемы уводит на край современной математики, в системы, где деление на ноль все-таки возможно. В чем проблема с делением на ноль? Почему нужно уметь делить на ноль? Причём тут теория колеса, математические луга и трансвещественная арифметика? И куда все-таки заводит деление на ноль?
Таймкоды
00:00:00 Введение в проблему деления на ноль
- В 2006 году профессор Джеймс Андерсон представил теорию транс-математики, позволяющую деление на ноль.
- Его теория была объявлена псевдонаукой и самозванством, а Андерсон вынужден был уйти из университета.
- Деление на ноль считается неопределенной операцией, что вызывает множество споров.
00:00:57 Личный опыт и парадоксы
- Автор видео предлагает зрителям попробовать поделить единицу на ноль на калькуляторе.
- Деление на ноль вызывает парадоксы и кажется бессмысленным.
- В видео будет рассказано о парадоксах и мифах, связанных с делением на ноль.
00:02:23 История и парадоксы деления на ноль
- Деление на ноль кажется бессмысленным, так как результат не имеет смысла.
- В университете объясняют, что деление на ноль приводит к бесконечности, что не является числом.
- Деление нуля на ноль приводит к абсурдным результатам, таким как равенство всех чисел.
00:05:36 Эволюция взглядов на деление на ноль
- Индийский математик Брахмагупта ввел ноль как число и определил деление на ноль как ноль.
- В XVII веке Джон Уоллес считал деление на ноль бесконечностью.
- В XIX веке деление на ноль стало неопределенной операцией.
00:07:14 Практическое значение деления на ноль
- Деление на ноль стало критически важным с появлением компьютеров.
- В 1997 году деление на ноль привело к катастрофе на американском военном корабле.
- В реальных приложениях деление на ноль может вызвать серьезные проблемы.
00:08:39 Примеры из истории математики
- Деление на ноль сравнивается с другими математическими парадоксами, такими как неевклидова геометрия и комплексные числа.
- Комплексные числа позволяют работать с отрицательными числами и полезны в приложениях.
00:11:16 Проективное расширение числовой прямой
- Проективное расширение числовой прямой объединяет бесконечность и минус бесконечность в одну точку.
- Это позволяет считать единицу на ноль бесконечностью, что делает деление на ноль осмысленным.
00:12:08 Проблемы с неопределенностями
- В системе остается пять неопределенностей: ноль деленное на ноль, бесконечность плюс бесконечность, ноль умножить на бесконечность, бесконечность минус бесконечность, бесконечность деленная на бесконечность.
- Эти неопределенности похожи на значения из матанализа, но бесконечность здесь рассматривается как полноценный элемент множества чисел.
- Аналогичную проекцию можно построить для комплексной плоскости.
00:13:37 Теория колеса
- Теория колеса была предложена Антоном Зельцером и развита Еспером Карлсом Стримом.
- Вводится новое число ноль деленное на ноль, называемое нульностью.
- Это число обозначается символом и имеет разные названия, такие как нулите, инфинити, дно, ноль на ноль или черная дыра.
00:14:25 Алгебра и аксиомы
- Алгебра строится на множестве чисел, операциях и аксиомах.
- Пример: дом из натуральных чисел, рациональных чисел, вещественных чисел и комплексных чисел.
- Для работы с бесконечностью и нульностью нужны более мощные инструменты.
00:16:44 Новые правила сложения и умножения
- Определяются новые правила сложения и умножения для бесконечных и нульных чисел.
- Вводится операция унарного деления, которая определена для всех чисел.
- Старые аксиомы больше не подходят, и появляются новые правила работы с нулем.
00:18:45 Колесо как новая алгебра
- Добавляются новые правила работы с унарным делением и нулем.
- Появляется новая алгебра, называемая колесом, где можно делить на ноль.
- Колесо позволяет делать то, что раньше казалось невозможным, и устраняет неопределенности.
00:21:49 Математические луга
- Луга — это попытка справиться с проблемой деления на ноль.
- Ян Бергстро предложил, что единица деленная на ноль равна нулю.
- Луга — это строго определенная алгебраическая структура с новыми аксиомами, делающими систему полной и непротиворечивой.
00:23:58 Деление на ноль в математике
- Теории колес и лугов существуют всего 20-30 лет.
- Попытки решить проблему деления на ноль остаются теоретическими.
- Программисты нашли практическое решение для деления на ноль в компьютерах.
00:24:36 Деление на ноль в компьютерах
- В компьютерах проблема деления на ноль возникла с их появлением.
- В целых числах деление на ноль запрещено и приводит к ошибке.
- В числах с плавающей точкой деление на ноль имеет разные результаты в зависимости от языка программирования.
00:25:14 Стандарт арифметики чисел с плавающей точкой
- В 80-х годах появился стандарт, который используется до сих пор.
- В этом стандарте деление на ноль приводит к бесконечности или неопределенному результату.
- Транс-вещественные числа Джеймса Андерсона работают аналогично, но с аксиоматическим подходом.
00:27:09 Итоги и перспективы
- Деление на ноль невозможно в привычных системах чисел.
- Новые математические системы, такие как колеса и луга, позволяют делить на ноль.
- Возможно, деление на ноль станет привычным, как корень из минус единицы.
00:28:06 Конкурс и завершение
- Вопрос о том, почему деление ломается именно на нуле, остается открытым.
- Конкурс на лучший комментарий о математике с призом в виде книги.
- Призыв наслаждаться красотой математики и подписываться на телеграм-канал.
Таймкоды сделпны в Нейросети YandexGPT https://300.ya.ru/v_ACVdz7VX
В этом видео
Вступление
0:00
Как делить на ноль в декабре 2006 года в
0:03
Великобритании произошла сенсация
0:05
профессор Джеймс Андерсон Решил
0:08
тысячелетнюю проблему Он представил
0:10
новую теорию транс математику в которой
0:13
возможно деление на ноль Уже через
0:15
несколько дней Андерсон объявили
0:17
самозванцем его теорию псевдо наукой а
0:19
журналистов дилетанта Травля
0:21
продолжалась годами через какое-то время
0:24
андерсону Пришлось уйти из университета
0:26
и завершить официальную академическую
0:27
карьеру Почему потому что на ноль делить
0:31
нельзя в выпуске про комплексные числа я
0:34
сказал вот такую фразу а ещё нас учили
0:36
что на ноль делить нельзя хотя на самом
0:38
деле можно это открыло портал в бездну
0:42
десятки комментариев в стиле такого не
0:43
может быть как я такое сказал я не
0:45
разобрался и так далее Почему Потому что
0:48
на ноль делить нельзя почему нельзя
0:51
делить на ноль мы не можем поделить
0:53
единицу на ноль операция просто не
0:55
определена на ноль делить нельзя так нас
0:58
учатся школы так говорят учителя
1:00
математики Но Давайте попробуем сами
1:02
возьмём среднестатистического человека
1:04
калькулятор И попросим его поделить
1:07
единицу на
1:12
ноль что ж видимо деление на ноль
1:15
действительно не для всех но вы сильно
1:17
удивитесь на ноль делить всё-таки можно
1:20
а чтобы это увидеть нам нужно заглянуть
1:22
в прошлое переосмыслить настоящее и
1:24
зайти на самый край современной
1:26
математики в дебре который по-настоящему
1:29
понимает несколько сотен А может и
1:31
десятков математиков во всём мире знаете
1:33
когда готовил выпуск думал найду и
1:35
быстро расскажу про простой ответ о
1:37
делени на ноль каких на самом деле уже
1:38
много в интернете но оказалось деление
1:41
на ноль – Это куда более глубокая
1:43
сложная и загадочная тема это наверное
1:46
один из самых больших мифов в математике
1:48
и сегодня мы приоткрой завесу Тайны
1:51
Почему нам Запрещают деление на ноль
1:54
Какие парадоксы это создаёт Почему
1:56
делить на ноль не просто можно но и
1:58
нужно Причём тут изобретение колеса Что
2:01
такое математический лук и Что находится
2:04
на самом краю математики это Виталий
2:06
Давайте вместе наслаждаться и
2:07
погружаться в мир математической красоты
2:10
в конце видео будет конкурс Так что Не
2:12
пропустите и обязательно подписывайтесь
2:14
на мой Telegram канал о красоте
2:16
математики каждый день итак деление на
2:19
ноль
В чём проблема
2:22
поехали для начала Давайте поймём в чём
2:24
проблема Почему деление на ноль – Это
2:26
кошмар для математики а выражение едини
2:29
де но бессмысленно обычный человек
2:31
скажет это не интуитивно поделить значит
2:35
распределить что-то на части например
2:37
без проблем можно представить как
2:38
разрезать пирог на две части или на 17
2:41
частей Но если гостей ноль сколько
2:43
частей нужно каждому ответ не имеет
2:46
смысла учитель в школе тоже скажет
2:49
смысла в делении на ноль нет по
2:52
определению деление числа а на число b –
2:55
это такое число с которое при умножении
2:57
на B даёт а а теперь тепер подставьте
3:00
вместо B 0 А вместо а единицу получается
3:04
C X 0 ра 1 но любое число при умножении
3:09
на ноль даёт Но значит но равен единице
3:13
но такого не может быть в университете
3:16
преподаватель тоже объяснит
3:18
бессмысленность деления на ноль
3:20
Попробуйте делить единицу на всё меньшее
3:22
и меньшее числа 1 1 1 1 – это 10 на это
3:28
100 миллионную миллион чем ближе мы
3:32
приближаемся к нулю тем больше
3:33
становится результат хочется сказать что
3:36
результат – это бесконечность Но вот в
3:39
чём проблема бесконечность – это не
3:41
число это символ концепции идеи что
3:44
угодно но не число её нет среди
3:47
натуральных рациональных вещественных и
3:49
даже комплексных
3:50
чисел более того А что если знаменатель
3:54
становится отрицательным результат будет
3:56
всё меньше и меньше и уходит в минус
3:58
бесконечность
4:00
то есть с разных сторон нуля дробь
4:01
расходится в абсолютно противоположных
4:04
направлениях но как минус бесконечность
4:07
может быть равна плюс бесконечности
4:09
Парадокс наконец ещё больше абсурда
4:11
возникает если поделить на ноль само
4:13
число ноль подставьте в определение
4:15
деление ноль в числителе и знаменателе
4:18
правая часть – это ноль а левая
4:20
произведение нуля на искомое число Но
4:23
это произведение всегда будет равно нулю
4:25
для любого значения C то есть
4:28
результатом деления нуля на но может
4:30
быть любое число согласитесь Это же не
4:32
имеет смысла а самое интересное смотрите
4:35
сейчас я докажу что двойка равна тройки
4:38
возьмём простое равенство сумма двойки и
4:40
тройки равна сумме двойки и тройки
4:43
перенесём двойки в одну сторону а тройки
4:45
в другую вынесем общие множители за
4:47
скобку и сократим левую и правую часть
4:50
на общую скобку в результате получаем 2
4:54
= 3 Но это же абсурд почему так потому
4:58
что но на 0 вот в этом месте если мы
5:02
разрешим делить на ноль все числа
5:04
окажутся равными друг другу Как же так
5:07
единица дел на 0 не имеет смысла в
5:09
лучшем случае это плюс бесконечность и
5:11
минус бесконечность одновременно причём
5:13
бесконечность – это не число а но на но
5:16
ещё более бессмысленная вещь оказывается
5:18
в этом случае все числа равны а
5:20
результатом может быть любое число это
5:22
такая чёрная дыра в которой может быть
5:24
всё что угодно из всего этого вывод
5:26
только один деление на ноль рушит
5:28
математику поэтому его нужно запретить и
5:31
Точка Но так было далеко не
5:35
всегда впервые ноль Как число вводит
Как делили раньше
5:38
индийский математик брахмагупта ещё в VI
5:40
веке он же задаёт первые правила деления
5:43
на ноль число делённое на ноль – это Но
5:45
а 0 де 0 – это тоже ноль через 200 лет
5:49
его соотечественник Маха Вира пытается
5:51
исправить ошибку и объявляет что число
5:53
не меняется определение на ноль ещё
5:56
через 300 лет математик Хара в пишет
6:00
правило где деление числа на ноль – это
6:02
бесконечность позже деление на ноль
6:04
добирается и до Европы в середине XV
6:07
века английский математик Джон уоллис
6:08
считает что деление на ноль даёт
6:11
бесконечность при уменьшении знаменателя
6:13
значение бесконечно растёт кстати именно
6:16
уолис вводит символ бесконечности
6:18
похожий на перевёрнутую восьмёрку более
6:20
того даже величайший математик всех
6:22
времён Леонард Эйлер утверждает число
6:25
дено на 0 – это бесконечность а но
6:28
умноже на бесконечность дат
6:31
наконец в веке математика становится
6:33
строже математик Мартин ом одним из
6:36
первых утверждает деление на ноль
6:38
бессмысленно так как умножение на ноль
6:41
не может восстановить числитель Мартин
6:43
кстати ввл термин Золотое сечение а его
6:45
брат известный физик герм честь которого
6:48
названы единиц сопротивления к концу X
6:51
века появляется формальное определение
6:53
чисел натуральных рациональных
6:54
вещественных в основе лежат аксиомы на
6:57
которых строятся все прави алгебры в
7:01
этих аксиомах явно указано что обратные
7:03
операции к умножению работают только для
7:05
ненулевых значений деление на ноль
7:08
официально стало неопределённой
7:09
операцией не имеющей смысла поэтому на
7:12
ноль нельзя делить и до сих пор вот так
7:15
за пол сся лет деление на ноль прошло
7:17
путь от конечного числа бесконечности И
7:20
в итоге остановилось на неопределённости
7:22
но в справедливости ради кажется что мы
7:24
хорошо справляемся и без деления на ноль
7:26
мы можем считать решать уравнения И
7:28
вообще делать всё что нужно в
7:29
повседневной жизни без деления на ноль
7:32
Но это представление обманчиво деление
7:35
на ноль стало критически важным с
7:37
появлением
7:39
компьютеров в сентябре 1997 года деление
7:43
на ноль превратило передовой военный
7:45
корабль в беспомощный поплавок
7:47
американский ракетоносец йорктаун в
7:50
начале девяностых одним из первых прошёл
7:52
модернизацию на него установили много
7:54
инновационной компьютерной техники но в
7:57
какой-то момент кто-то ВЛ пустое
7:59
значение в базу данных компьютер
8:02
интерпретировал это как ноль что вызвало
8:05
катастрофическое деление на ноль система
8:08
не смогла справиться с ошибкой программа
8:10
аварийная завершилась а за ней рухнула и
8:12
вся операционная система Windows NT 4.0
8:15
кто помню такую Почти 3 часа корабль был
8:18
полностью парализован ни двигателей ни
8:20
управления ни оружия ему сильно повезло
8:22
что он был у берегов Вирджинии а не
8:24
где-нибудь ещё А всё из-за деления на
8:27
ноль и это не единичный случай в мире
8:29
математической теории мы можем спокойно
8:31
решить на ноль не делим и не делить но в
8:34
реальности где каждую секунду работают
8:36
миллионы и миллиарды компьютерных
8:37
программ могут возникать вот такие
8:39
нюансы обработка нулевых значений
8:41
сенсоров самолёта движение роботов
8:42
вычисление траектории рендеринг объектов
8:45
ТД графики физические процессы везде
8:48
может возникать деление на ноль например
8:49
раз уж вспомнили про братьев омов вот
8:51
формула расчёта сопротивления Но если
8:53
одно из сопротивление равно нулю весь
8:55
расчёт сломается Хотя физически ситуация
8:58
возможна то есть То есть получается
9:00
деление на ноль нужно как минимум в
9:02
практических приложениях но как его
9:05
разрешить так же как в математике
9:06
справлялись с другими запретами смотрите
9:09
почти 2.000 лет считалось что
9:11
параллельные прямые не пересекаются это
9:13
Пятая аксиома евклида на основе которой
9:16
строится вся геометрия но в XIX веке
9:19
Николай Иванович лобачевский предположил
9:21
А что если эта аксиома не верна так
9:24
появилась неевклидова геометрия которая
9:26
легла в основу общей теории
9:28
относительности Эйнштейна и объяснения
9:30
искривления пространства и времени Кроме
9:32
того даже привычные нам числа когда-то
9:34
считали бессмысленными для пифагорейцев
9:36
открытие кор из ДХ стало настоящей
9:39
трагедией они верили что всё в мире
9:41
состоит из натуральных чисел а
9:43
оказывается есть ещё иррациональные с
9:46
бесконечной десятичной записью
9:49
отрицательные числа тоже называли
9:50
ложными невозможными и абсурдными ещё
9:52
200 лет назад столетиями отрицательные
9:55
решения просто игнорировали так как они
9:57
не имеют смысла ничего не напоминает про
10:00
то как мы думаем о делении на ноль
10:02
сейчас Да и сам ноль вплоть до XV века
10:04
Практически везде казался нелеп Как это
10:07
ничего может быть числом но самый
10:10
наглядный пример – это комплексные числа
10:13
это такие непонятные монстры которые
10:15
часто возникает при решении уравнений в
10:17
XV веке джероламо кардана предложил не
10:20
пытаться извлечь корень из минус единицы
10:22
а вместо этого работать с ним как
10:24
самостоятельным объектом математики
10:27
просто обозначили мину единиц числом и в
10:29
квадрате и в результате появились
10:31
комплексные числа очень полезные во
10:33
многих приложениях про все эти числа
10:36
есть кстати отдельный выпуски и не
10:37
забудьте посмотреть замечайте
10:39
закономерность математики столетиями
10:42
называют новые числа бессмысленными а
10:44
потом расширяют мер чисел и добавляют
10:46
новые правила так Почему бы не поступить
10:49
так же с делением на ноль напомню в
10:50
нашей привычной арифметике есть две
10:52
проблемы две неопределённости у единицы
10:55
на ноль кризис самоопределения с
10:56
результатом равным плюс бесконечности
10:58
или минус бесконечности И чёрная дыра
11:01
ноль на 0 где результатом может быть что
11:03
угодно как эти неопределённости
11:06
исправить начнём с той которая проще с
11:08
едини дел на ноль решение так называемое
11:11
проективное расширение числовой
Проективное расширение числовой прямой
11:15
прямой Представьте Экватор когда-то люди
11:18
были уверены что Земля плоская если
11:21
долго идти по экватору либо свалишься с
11:23
края Либо так и будешь идти бесконечно
11:26
но оказалось земля круглая если
11:29
двигаться по экватору рано или поздно
11:31
вернёшься в ту же
11:33
точку А теперь представим что наша
11:35
привычная числовая ось – Это тот же
11:37
Экватор давайте сделаем из числовой оси
11:40
окружность соединив бесконечность и
11:42
минус бесконечность в одну точку эту
11:45
точку мы обозначим новым символом
11:47
бесконечность без знака и скажем что
11:49
бесконечность – это полноценное число
11:52
так и получается расширение мы добавили
11:54
к вещественным числам новое аналог точки
11:57
переменно да для экватора теперь можем
11:59
спокойно сказать что единица на ноль –
12:01
это бесконечность во-первых
12:03
бесконечность – это число а во-вторых
12:05
плюс и минус бесконечности неразличимы
12:08
Всё мы быстро нашли решение но нет есть
12:12
большая проблема в такой системе
12:15
остаётся целых пять неопределённостей
12:17
во-первых 0 де на 0 всё ещё не определён
12:20
и Кроме того появляется ещё четыре новых
12:23
проблемы бесконечность плюс
12:24
бесконечность результат не определён
12:27
помните новая бесконечность без знака
12:28
может быть как плюс так и Минус Ноль
12:30
умножить на бесконечность бесконечность
12:32
минус бесконечность бесконечность
12:34
делённая на бесконечность всё это
12:36
неопределено такой результат конечно
12:38
Никуда не годится мы избавились от одной
12:40
неопределённости чтобы получить четыре
12:42
новых эти неопределённости кстати очень
12:45
похожие на значение из мата анализа но
12:47
сразу скажу это другое в матанализе
12:50
бесконечность – это не более чем символ
12:52
или компактная запись больших выражений
12:53
пределов здесь же бесконечность – это
12:56
полноценный элемент множества чисел
12:58
ничем не отличающийся от нуля единицы
13:00
десятки или минус сотни аналогичную
13:03
проекцию можно построить не только для
13:04
вещественной числовой прямой но и для
13:06
комплексной плоскости смотрите каждую
13:09
точку плоскости можно спроектировать на
13:11
Сферу а самая Верхняя точка сферы
13:13
соответствует новому числу бесконечности
13:16
без знака в результате получается сфера
13:18
римана простой и универсальный
13:20
инструмент в комплексном анализе и
13:21
физических приложениях на этой сфере
13:23
любое комплексное число можно поделить
13:25
на ноль ответ равен бесконечности но
13:28
пять неопределённости всё ещё остаются
13:31
как обычно не стоит расстраиваться
13:33
решение всё-таки
Теория колеса
13:36
нашлось совсем недавно на стыке нового
13:39
тысячелетия появилась теория колеса само
13:41
название предложил Антон зельцер а чуть
13:44
позже еспер Карл срм развил идеи в
13:47
полноценную теорию в чём её суть
13:49
вспомните как математики решили проблему
13:51
с непонятными комплексными числами они
13:53
просто ввели новое обозначение и стали
13:55
работать с новыми числами как с чем-то
13:58
известным а что если сделать с делением
14:00
на ноль тоже самое что и с комплексными
14:02
числами мы уже ввели бесконечность как
14:05
новое число теперь добавим ещё одно 0 де
14:09
0 его обозначают вот таким символом это
14:13
число называют по-разному нули от слова
14:16
инити дно но на но или даже чёрная дыра
14:20
А мы для себя по аналогии слова
14:22
бесконечность будем называть его Ну вот
14:26
такое множество привычные чис
14:29
и ну но оказывается вс не так просто как
14:33
с комплексными числами чтобы это понять
14:35
Давайте заглянем вглубь и посмотрим как
14:37
устроена алгебра Представьте что вы
14:40
строите дом вам понадобятся три вещи
14:43
материалы инструмент и инструкция для
14:46
дома из соломы нужна солома руки и
14:48
простые правила для дома из хвороста
14:50
нужен То же самое иногда ещё ноги а вот
14:52
для дома из кирпича уже понадобятся
14:54
другие инструменты и более сложные
14:56
инструкции точно также работает математи
15:00
материалы – это множество то есть числа
15:02
из которых мы строим математику
15:04
инструменты – это операции с числами
15:06
например сложение и умножение а
15:08
инструкция – это те самые аксиомы
15:11
которые мы принимаем без доказательств и
15:13
на их основе строим всю систему
15:15
Посмотрите на примеры дом из натуральных
15:17
чисел материал – это числа 1 2 3 и так
15:20
далее инструменты сложение и умножение а
15:23
инструкция – это набор аксиом Как
15:25
работать с числами математики называют
15:28
такой дом по сложению и умножению для
15:31
рациональных чисел мы используем те же
15:33
инструменты но добавляем новые правила
15:35
которые задают отрицательные числа и
15:38
деление при этом деление на ноль
15:40
невозможно получается Более сложный Дом
15:43
который математики назвали полем
15:45
рациональных чисел эти же инструменты и
15:47
инструкции работают для вещественных и
15:49
комплексных чисел только дома становятся
15:51
всё сложнее а случае с комплексными в
15:54
доме появляется wi-fi Телевизор
15:55
компьютер и вся бытовая техника
15:57
посмотрите что удобно для рациональных
16:00
вещественных и даже комплексных чисел
16:01
действуют одни и те же аксиомы сложение
16:04
умножение вычитание деление работают так
16:07
как нас учили с начальной школы например
16:09
сумма не меняется От перестановки
16:11
слагаемых местами прибавление нуля или
16:13
умножение на единицу не меняет число а
16:16
скобки можно спокойно раскрывать без
16:18
этого мир был бы намного более хаотичным
16:21
и непредсказуемым Представьте вы бы не
16:23
смогли решить простое уравнение x + 3 =
16:25
5 если бы не выполнялось ассоциативных
16:27
сложений поэтому конечно мы хотели бы
16:30
эти правила максимально сохранить Но для
16:33
работы с бесконечностью и нужность нужны
16:36
более мощный инструмент вместо отвёртки
16:39
и ручной дрели будем использовать
16:42
электропилу и перфоратор для начала до
16:44
определим сложение и умножение по вот
16:46
таким правилам это такие новые таблицы
16:49
сложения и умножения конечные числа
16:51
складываются и умножаются как обычно
16:53
конечное число плюс бесконечность – это
16:55
бесконечность бесконечность плюс
16:57
бесконечность – это ну а нужность в
16:59
сумме с любым числом превращает
17:01
результат в себя Представьте это такая
17:03
чёрная дыра которая поглощает Всё вокруг
17:06
с умножением похожая история
17:08
бесконечность умноженная на ноль
17:09
превращается в нуль А всё что умножается
17:12
на нуль тоже становится ную помимо этого
17:16
нужен ещё один инструмент в старом доме
17:19
мы не знали как поделить на ноль
17:20
Представьте дом где отовсюду свисают
17:22
оголённые провода которые вы не можете
17:24
починить потому что у вас есть только
17:26
руки и отвёртка оголённые провода
17:28
трогать нельзя ноно Если вам дать
17:31
резиновые перчатки и мультиметр вы уже
17:33
спокойно почините всю электрику так и
17:35
здесь резиновые перчатки – это унарной
17:38
деление новая операция для которой нужен
17:40
только один аргумент и которые самое
17:42
главное определена для всех чисел вот по
17:45
таким правилам для конечного числа
17:47
результат привычное обратное число для
17:50
нуля результат бесконечность для
17:52
бесконечности результат ноль а для
17:53
нужности Как вы уже могли догадаться
17:55
результат сама нужность инструмент готов
17:59
но есть проблема оказывается старые
18:02
инструкции больше не подходят мы сломали
18:05
три аксиомы смотрите сложение
18:07
противоположных элементов не всегда даёт
18:09
ноль например бесконечность плюс минус
18:11
бесконечность – Это нужность то же самое
18:14
вычитание нужности даёт нужность а не
18:16
ноль число делённое само на себя не
18:19
всегда теперь равно единице для
18:21
бесконечности И нуль результат снова
18:23
нуль а не единица наконец перестало
18:26
работать свойство дистрибутивности это
18:28
немного неприятно мы теперь не можем
18:30
раскрывать скобки можете сами
18:32
попробовать подставить 2 оди и
18:33
бесконечность вместо AB и C
18:36
бесконечность равна нужности что неверно
18:38
но есть решение вместо этой аксиомы
18:41
появилась другая которая всё
18:44
исправляет наконец к такой системе
18:46
аксиом нужно добавить ещё несколько
18:48
правил правил работы с унарный делением
18:50
и нулём и вот этот набор аксиом как раз
18:54
определяет новую алгебру называемую
18:57
колесом всё готово ещ раз что произошло
19:01
мы сделали Невозможное возможным
19:03
добавили новые числа ввели операции для
19:05
работы с ними и переписали правила или
19:08
аксиомы теперь любая операция становится
19:11
определённой для Всех элементов никаких
19:13
нельзя больше нет Так мы построили новый
19:15
дом котором можно делить на ноль Это
19:18
новая алгебраическая структура это
19:20
всё-таки возможно можно выдыхать Почему
19:22
колесо вспомните проективное расширение
19:25
числовой оси это вот такое кольцо с
19:27
бесконечностью а мы добавили ещё одно
19:29
число нужность теперь эта конструкция
19:32
напоминает колесо круг с Центральной
19:34
точкой согласитесь очень похоже колесо
19:37
позволяет нам делать то что раньше
19:39
казалось невозможным арифметика с
19:41
привычными числами работает как и прежде
19:43
Но кроме того в новой системе нет
19:45
никаких неопределённостей любое конечное
19:48
число можно складывать или умножать на
19:50
бесконечность бесконечность можно
19:51
Вычитать на неё Можно делить её можно
19:54
делить Можно делить конечное число на но
19:56
делить но на но умножать но конечность
19:59
складывать бесконечности Вычитать
20:00
бесконечности делить бесконечности в
20:03
этом мире можно всё более формально
20:05
такую алгебру можно красиво построить
20:07
например для поля частных оставлю ссылку
20:09
на видео с очень хорошим и понятным
20:11
объяснением конечно ссылки на источники
20:14
чтобы почитать разобраться самим во всех
20:15
непростых алгебраических структурах
20:17
Неудивительно Почему про это не говорят
20:19
в школе а пока что давайте Ещё немного
20:22
погуляем в этом новом доме новом мире и
20:24
удивим как он работает смотрите
20:27
произведение нуля на
20:29
вообще говоря не но например когда число
20:31
равно бесконечности или Ну Но что это
20:34
значит а то что в этом мире нельзя
20:37
решать уравнения как мы обычно их решаем
20:40
если выражение равно нулю мы
20:41
раскладываем его на множители и каждый
20:43
множитель приравнивать к нулю в общем
20:46
случае в новом мире это
20:48
неверно ещё пример число делённое само
20:51
на себя не равно едини это мы уже
20:54
говорили но зато верно Вот такое
20:56
равенство
20:58
само на себя равно едини плюс
21:00
произведение нуля на такое же
21:03
соотношение ещ одно интересное свойство
21:05
сумма двух произведений нуля на число
21:07
равна произведению этих чисел и нуля как
21:11
следствие получаются интересные правила
21:13
раскрытия скобок вот для таких трёх
21:15
скобок суммами чисел и произведения
21:17
чисел на ноль всё выражение разбивается
21:19
на произведение чисел без нуля и суммы
21:22
всех чисел с нулями а Сумма чисел с
21:24
нулями как уже поняли заменяется
21:27
произведением вот такой дом где можно
21:29
делить на ноль но это только начало
21:32
оказалось колёс можно построить много и
21:35
Кроме того колесо всего лишь одна из
21:37
систем с делением на ноль математики
21:39
продолжают строить новые дома новые
21:42
алгебраические конструкции так появилась
21:44
ещё одна теория математические
Математические луга
21:49
Луга чего математики хотят от жизни
21:52
конечно полноты полноты действий чтобы
21:54
всё работало в любой ситуации деление
21:57
которое то можно то нельзя это как Рояль
21:59
без нескольких клавиш вроде звучит но
22:01
что-то не так Луга – это попытка
22:03
справиться с этой проблемой понятие луг
22:05
вёл в середине дся голландский математик
22:07
и специалист по компьютерным наукам Ян
22:09
берст Он предложил а давайте скажем что
22:12
единица Дена на 0 равна нулю как
22:16
следствие 0 де 0 тоже ноль в этой теории
22:19
Но ведь это уже было скажете вы это же
22:21
ровно то что предлагал брахмагупты ещё
22:23
по лет назад да но есть одно важное
22:27
отличие че строгость Лук – это не просто
22:30
идея Это новая и строго определённая
22:33
алгебраическая структура Представьте что
22:35
мы строим ещё один дом но с новой
22:37
инструкцией с новыми аксиомами Да и
22:39
чтобы не путаться Лук – это реальный
22:41
математический термин аналогичный полю
22:43
как поле вещественных чисел а дом – это
22:46
наша с вами иллюстрация для наглядности
22:48
сегодня помните в колесе Мы сначала
22:51
ввели новые числа бесконечности Ну а
22:53
потом думали Как поменять инструменты то
22:55
есть операции и аксиомы лугат ги ТМ
22:59
числа остаются теми же операции не
23:03
меняются но снимаются все ограничения и
23:06
появляются новые аксиомы если раньше мы
23:09
не делили потому что боялись трогать
23:11
оголённые провода то теперь говорим наши
23:13
руки не пропускают ток можем спокойно
23:16
браться за провод Не пытайтесь повторить
23:19
такое в домашних условиях так же как и
23:21
деление на ноль в итоге в лугах меняется
23:23
правила работы с нулём и появляются
23:26
несколько новых аксиом которые делают
23:27
всю си полной и непротиворечивой и вот
23:31
он ещё один дом котором тоже можно
23:33
делить на ноль деление здесь полная
23:36
операция но Луга тоже бывают разными тот
23:39
луг который мы уже видели называется
23:41
обратимым единица на ноль в нём равна
23:43
нулю есть ещё общие Луга где ноль на
23:46
ноль равен произвольному числу Или даже
23:49
специальному символу обозначающего
23:50
например ошибку вычислении такие Луга
23:53
требуют немного других аксиом но
23:56
операции числа остаются прежними Вот так
23:59
мы подошли к краю математики деления на
24:01
ноль теории колёс и лугов существует
24:03
всего 20-30 лет Это всё ещё свежие идеи
24:06
почти 200 лет математики смирять с тем
24:08
что делить на ноль нельзя и вот теперь
24:11
появляются реальные попытки решить эту
24:13
тысячелетнюю проблему Но есть одно
24:15
большое но пока что все эти подходы
24:18
остаются теоретическими они строят
24:21
сложные алгебры и продвинутую логику для
24:23
компьютеров но всё ещ в теории А пока
24:27
математики думают о новых алгебра
24:28
коммутативный монои дах полях лугах и
24:30
колёсах программисты нашли практичное
Практичное решение
24:35
решение в компьютерах проблема деления
24:37
на ноль возникла практически с момента
24:39
их появления и как результат
24:41
понадобилось какое-то практическое
24:43
решение в компьютерной арифметике
24:45
ключевыми являются два типа чисел целые
24:48
числа и числа с плавающей точкой для
24:50
целых чисел проблема решается
24:51
более-менее Просто Практически во всех
24:54
языках программирования результат
24:56
деления на ноль либо ошибка либо иск то
24:58
есть сигнал об ошибке фактически деление
25:01
на ноль в целых числах просто
25:03
запрещается но намного хуже обстоять
25:05
дела с числами с плавающей точкой это по
25:08
сути способ записи очень больших очень
25:10
маленьких или рациональных чисел с
25:12
большим количеством знаков после запятой
25:14
в Восьмидесятых годах появился стандарт
25:16
которым почти все языки программирования
25:18
пользуются до сих пор вы сейчас сильно
25:20
удивитесь программисты спокойно делят на
25:23
ноль уже почти 40 лет Практически во
25:25
всех языках программирования единица
25:27
делённая на ноль – это это бесконечность
25:29
минус едини де на 0 – это минус
25:31
бесконечность А 0 де 0 – это нано или
25:35
неопределённый результат Кроме того в
25:38
этом стандарте есть ещё и два нуля
25:40
отрицательные и положительные Но зачем
25:42
единица Ден на Но – это плюс или минус
25:44
бесконечность это просто предсказуемо и
25:47
удобно Особенно для работы с очень
25:49
маленькими и очень большими числами А
25:51
как говорил мой преподаватель по
25:53
матанализу на практике это самое оно
25:56
кстати Одним из наиболее сильных
25:58
аргументов против транс математики
25:59
Джеймса Андерсона – это плагиат того
26:01
самого стандарта арифметики чисел с
26:03
плавающей точкой Дело в том что
26:05
арифметика транс вещественных чисел
26:06
работает очень похоже в ней тоже две
26:09
бесконечности плюс и минус бесконечность
26:11
А результат деления ноль на но задаётся
26:13
равным некоторому числу фи согласитесь
26:16
очень похоже на нану программистов но
26:18
отличие Андерсона в аксиоматическое
26:21
подходе трансе числа – это ещё один
26:24
способ построения дома в котором можно
26:26
делить на ноль в качестве материа
26:28
привычные вещественные числа дополненные
26:31
двумя
26:33
бесконечностей такие же как у
26:36
вещественных чисел а вот инструкции
26:38
аксиомы отличаются правда большинство
26:41
математиков эту теорию игнорируют считаю
26:43
её бесполезной но кто знает стремление
26:47
решить величайшие проблемы в математике
26:49
может быть очень опасным но иногда
26:51
всё-таки Дат результат Так что очень
26:54
интересно посмотреть что будет дальше
26:57
если вы смотрите видео в будущем
26:59
напишите что там нового с транс
27:01
математикой Да и вообще с делением на
27:03
ноль а пока что давайте уже подведём
27:06
небольшой
Заключение
27:08
итог деление на ноль – это глубокая тема
27:11
на стыке истории современной математики
27:13
три вывода про деление на ноль во-первых
27:15
делить на ноль нельзя в привычных
27:17
системах чисел рациональных вещественных
27:19
и комплексных так уж построены эти числа
27:22
а попытки нарушить запрет приводят к
27:24
парадоксом неопределённости во-вторых
27:25
делить на ноль можно в математических
27:29
системах Для этого нужны новые алгебры
27:31
такие как колса Луга или даже трансв
27:33
числа каждый из них предлагает свои
27:36
правила и возможность наконец третий
27:38
вывод скорее всего мы только в начале
27:40
пути история показывает многие привычные
27:43
сейчас числа когда-то считали
27:45
бессмысленными √2 отрицательные числа
27:48
комплексные числа всё это Однажды
27:50
вызывало недоумение и отрицание Возможно
27:52
с делением на ноль будет такая же
27:55
история и мы находимся в той же точке
27:57
что и компле чис 500 лет назад пишите
27:59
что думаете К какому результату мы
28:01
придём Будет ли деление на ноль таким же
28:03
привычным как ре ми1 сейчас а кроме того
28:07
остаётся вопрос А почему именно ноль
28:10
Почему деление ломается именно на нуле
28:14
Ноль – это не просто число это концепция
28:16
Ноль – это ничего мы не можем увидеть
28:19
ноль предметов Но насколько хорошо мы
28:22
понимаем Как устроено ничего вопросов
28:25
больше чем ответов а завершение конкурс
28:29
победитель получит вот такую книгу на
28:31
русском К сожалению нет книг о нуле
28:33
издательства если смотрите Давайте
28:35
переводить и исправляться А вот на
28:37
английском есть хорошая книга ноль
28:39
биография опасной идеи как её получить
28:42
нужно написать ответ под закреплённым
28:44
комментарием под этим видео ответ на
28:46
следующий вопрос что вас больше всего
28:49
удивило в математике и почему
28:51
необязательно про ноль может быть любая
28:52
математическая Тема самый интересный
28:55
комментарий и получит книгу причём
28:57
обязательно нужно подписаться на
28:59
Telegram канал математика удивительна а
29:01
деление на ноль – её особенно загадочная
29:03
глава думайте и наслаждайтесь красотой
29:06
математики увидимся пока