https://www.perplexity.ai промт – Сделай пересказ текста на 500 символов. Выдели несколько основных идей. Предложи 3 варианта заголовка. Сделай 3 вывода из текста
Answer
Текст обсуждает важность комплексных чисел в квантовой механике, подчеркивая их необходимость для корректного описания физических процессов. Основные идеи включают:
- Фундаментальность комплексных чисел: Комплексные числа необходимы для соблюдения принципа суперпозиции в квантовой механике.
- Уравнение Шрёдингера: Это уравнение требует наличия мнимой единицы для сохранения нормы волновой функции, что критично для правильного описания квантовых систем.
- Коммутаторы и операторы: Важность мнимой единицы также проявляется в коммутаторах, таких как координаты и импульс, где она обеспечивает правильное поведение операторов.
Варианты заголовка:
- “Необходимость комплексных чисел в квантовой механике”
- “Роль мнимой единицы в уравнении Шрёдингера”
- “Квантовая механика: от суперпозиции к коммутаторам”
Выводы:
- Комплексные числа являются основой для понимания квантовых процессов.
- Уравнение Шрёдингера невозможно без мнимой единицы, что подчеркивает его фундаментальную роль.
- Коммутаторы требуют наличия комплексных значений для корректного описания физических свойств систем.
Расшифровка видео
Поиск по видео
0:06
многие начинающие
0:10
кабинетный
0:14
близкой прений puffy реки которую
0:16
когда-то были лучшими практиками
0:17
квантовой механики в мире но которые уже
0:20
забыли все основы физики имеют проблемы
0:22
с некоторыми фундаментальными
0:23
элементарными и универсальными
0:25
особенностями законов природы а именно с
0:27
постулатами квантовой механики они
0:29
готовы рассказать вам что хотят
0:31
построить или в более безнадежных
0:33
случаях они уже построили теорию которые
0:36
способны делать все что может квантовая
0:38
механика но она позволяет только
0:40
некоторые предпочтительные состояния
0:42
по-настоящему реализовать ну и что
0:44
суперпозиции менее реальна или они
0:47
говорят вам что они могут воспроизвести
0:49
квантовую механику даже если они имеют
0:51
дело только с действительными то есть не
0:53
комплексными супер позициями конечно
0:56
каждый комментарий такого рода
0:57
совершенно по-детски не веря на принципе
0:59
суперпозиции который гласит что каждая
1:01
линейная комбинация двух допустимых
1:03
состояний например начальных условий
1:05
одинаково допустимо является совершенно
1:08
элементарным принципам квантовой
1:09
механики именно поэтому полторак
1:12
посвятил этому первый раздел своей книге
1:14
принципы квантовой механики
1:16
почему действительных чисел недостаточно
1:18
в квантовой механике в прошлом я
1:21
несколько раз обсуждал почему
1:23
комплексные числа являются
1:24
фундаментальными физики я напоминал
1:26
читателем о важных свойствах комплексных
1:28
чисел таких как фундаментальной теорема
1:30
алгебры то есть существование n корней
1:32
полинома иной степени с комплексными
1:34
коэффициентами
1:35
это не сработало бы если бы мы требовали
1:38
решения в действительных числах
1:39
комплексные числа важны даже если
1:41
требуется найти действительно и решение
1:43
вещественного многочлена например
1:46
кубического поэтому мы получаем больше
1:48
чем вносим изначально гола морфий
1:50
функций комплексной переменной обладают
1:52
многими важными математическими
1:54
свойствами которые превращают
1:55
комплексные числа в полезные если не
1:57
сказать необходимые инструменты например
2:00
в случае двумерных конформных теорий
2:01
поля во многих приложениях комплексные
2:04
числа можно рассматривать не как
2:05
незаменимое но все же как очень полезны
2:08
и технические приемы но в этой статье я
2:11
хочу сосредоточиться на квантовой
2:12
механики где комплексные числа это
2:14
больше чем просто полезные инструменты
2:16
они действительно важны для работы
2:18
теории почему же волновые функции и
2:21
следовательно матричные элементы всех
2:22
наблюдаемых величин должны быть
2:24
комплексными почему мы должны допускать
2:26
комплексные суперпозиции позвольте мне
2:29
начать перечисление трех фундаментальных
2:30
законов квантовой механики в которых
2:33
встречается мнимо единица уравнение
2:35
шрёдингера
2:36
интеграл по траекториям фей мэна и
2:38
коммутатор принципе неопределенности
2:39
гейзенберга
2:41
уравнение шрёдингера
2:42
отлично зависящие от времени и уравнение
2:45
шрёдингера говорит нам что и умножить на
2:48
hd psy и pdt равно гамильтониан и
2:51
умноженное на вектор все производные по
2:54
времени вектора состояния psy
2:55
пропорциональные действие гамильтониан
2:57
она тот же вектор состоянии коэффициент
3:00
пропорционален очень малой величине
3:02
постоянной планка это должно быть так
3:05
потому что волновая функция должна
3:06
колебаться очень быстро чтобы ее нельзя
3:08
было обнаружить в макроскопических
3:10
ситуациях но коэффициент также включает
3:13
себя фактор и он чисто мнимой почему он
3:16
должен быть чистым не вам что же
3:18
необходимо сохранить норму вектор
3:20
состояния давайте вычислим производную
3:22
по времени от нормы используя правила
3:24
лейбница для производных произведения
3:26
умножить на v штрих равно умножить на v
3:30
штрих плюс 3х умножить на 1 члена и
3:33
умножить на весь штрих был получен
3:35
простым умножением исходного уравнения
3:37
шредингера на бра вектор xi слева второй
3:41
член плюс 3х умножить на 2 был получен
3:44
путем умножения ирме этого сопряженного
3:46
исходного уравнения шредингера на head
3:49
vector psy справа забавно то что
3:51
производной по времени от нормы
3:53
обращается в ноль тому что результат
3:55
равен нулю два члена сокращается потому
3:58
что умножение знак знак точки
4:00
ассоциативно это все же обычное
4:02
умножение матриц потому что и комплексно
4:04
сопряженная равна минус и это здорово
4:08
потому что общей вероятности не
4:09
сохранялось бы если бы не было мнимая
4:12
единица волновая функция эксперт
4:13
экспоненциально увеличилось бы или
4:15
экспоненциально уменьшалась чистым ним и
4:18
числа это единственные комплексное
4:20
сопряжения которых равны минус исходным
4:23
числам и это именно та достоинства
4:25
которое нам здесь была нужна кроме того
4:27
если кет вектор psy является собственным
4:29
вектором оператора энергии собственное
4:31
значение которого равно я лично все
4:34
равно иен обсе зависящие от времени
4:37
уравнение шрёдингера сводится к не
4:38
зависящему от времени уравнение
4:40
шрёдингера и его решению все t равно
4:43
есть степени и это деленное на вич
4:46
умножить на p от 0 минут момент времени
4:49
это хорошо потому что единственное что
4:51
колеблется эта фаза обратите внимание
4:54
что комплексный экспонент позволяет нам
4:56
различать положительные частоты энергии
4:58
и отрицательные частоты энергии что
5:01
синус и косинус не могут делать тот же
5:03
комментарий применим ко многим другим
5:05
зависимостям волновой функции например
5:07
плоская волна я степени плюс и по x
5:10
деленный на аж отличается от есть
5:13
степени минус и px деленное на речь
5:16
поэтому становится возможно отличить
5:18
частицу движущегося влево с
5:20
отрицательным импульсом очиститься
5:22
движущейся вправо с положительным
5:24
импульсом таким образом ним и единица
5:27
абсолютно необходимо для того чтобы
5:28
уравнение шрёдингера работала если бы вы
5:31
ее опустили вы получили бы совершенно
5:33
другое уравнение совершенно другим
5:35
поведением было бы совершенно нелепо
5:38
утверждать что вы успешно имитируете
5:40
уравнение шрёдингера
5:41
и вы бы легко обнаружили что ни одно из
5:43
таких уравнений не может точно описать
5:45
процессы в природе которые зависит от
5:47
квантовой механики излишне говорить что
5:49
стандартные доказательство
5:51
эквивалентности представление шрёдингера
5:53
и представления гейзенберга может быть
5:55
использован чтобы показать что по той же
5:57
причине мнимо единица также должна
5:59
присутствовать уравнение движения
6:00
гейзенберга и на яичный по dt равно
6:03
коммутатор или с гамильтониан я мог бы
6:06
также оптимизировать аргументы
6:08
непосредственно для представления
6:09
гейзенберга которые не зависели от
6:11
представления шрёдингера
6:13
интеграл по траекториям аналогичный
6:16
комментарии применимых интегралы по
6:18
траекториям фильм она опять же видны
6:20
присутствие мнимая единица в экспоненте
6:22
это мнимая единица абсолютно необходимо
6:25
потому что абсолютное значение веса
6:26
истории всегда одно и то же что хорошо
6:28
на самом деле это и полностью их
6:31
эквивалентно и уравнение шрёдингера
6:33
когда вы доказываете формулы интегралы
6:35
по траекториям для амплитуды эволюции
6:37
системы из гамильтона в эволюции вы в
6:40
конечном счете используйте с отношениями
6:42
что в момент анионом и лагранжа нам ведь
6:44
или равна сумма кисточкой на п поскольку
6:48
уравнение шрёдингера переда гамильтониан
6:50
им стоит мне мы единицах то перед
6:52
действием который есть интеграл от
6:53
лаганжа она также должна стоять и
6:56
излишне говорить что комплексно
6:58
экспонента в уравнение шрёдингера
7:00
или интеграл по траекториям feynman а
7:02
также необходимо для существования
7:03
interference и подумайте я 2 целевом
7:06
эксперименте
7:07
существуют и другие детализированной
7:10
ситуации в которых можно увидеть
7:11
ключевую роль в нем а единица кроме того
7:14
можно легко утверждать что раз волновой
7:17
функции для под системы разрешено быть
7:18
комплексной той волновой функции всей
7:21
вселенной тоже должно быть разрешено
7:22
быть комплексной потому что в кластере
7:25
зова ных ситуациях волновой функции всей
7:27
системы разлагается на произведение
7:29
волновых функций под систем и
7:30
произведение комплексного числа и числа
7:33
из любого другого поля является
7:35
комплексным числом
7:37
коммутаторы давайте обсудим коммутатор
7:40
координаты и импульса x на p минус b на
7:42
x равно и на вич существует простая
7:45
причина по которой комплекс на числом
7:47
правой части должно быть чистым мнимом
7:49
причинам в том что левой части является
7:51
анти army твой то есть она должна
7:53
подчиняться x на p минус b на
7:55
экскрементов сопряженное равно минус x
7:58
на p минус п на x он термит есть
8:01
означает что металл сопряжение левой
8:03
части равно минус левой части мы
8:05
использовали фирме то есть оператор в
8:07
координаты и импульса в доказательстве
8:09
это необходимо потому что они имеют
8:11
действительно и собственные значения
8:13
измеренные координаты и импульса помимо
8:15
тождества умножить на b эрмитаж
8:17
сопряженное равно в пермь этого
8:19
сопряженным нужно аир митава сопряженной
8:22
таким образом ним и единицы неизбежно
8:24
должна появляться в этом коммутаторе и
8:26
большинстве других коммутаторов как я
8:28
уже упоминал коммутатор и также
8:31
необходим для того чтобы собственное
8:32
состояние импульса имели форму плоских
8:35
волн x порядка и степени и px деленный
8:39
на постоянную планка которые не выбирают
8:42
определенное место в пространстве
8:43
которые не экспоненциально увеличиваются
8:46
или уменьшаются опять же синусов и
8:48
косинусов было бы недостаточно потому
8:50
что они не запомнили в знаку импульса я
8:53
мог бы добавить комментарии о десятках
8:55
других катастрофических сбой в которые
8:57
последовали вы отсутствием ним единица
9:00
поскольку коммутатор оператор в
9:02
координаты и импульса является
9:03
оператором и умножить на ведь отличный
9:06
элемент которого явно комплекс назначена
9:08
яме виду не действительные числа из
9:11
этого следует что не может быть так
9:13
чтобы все матричные элементы операторов
9:16
координаты и импульса были
9:17
действительными числами по крайней мере
9:19
один из них должен иметь комплексное
9:21
значение в координатном представлении и
9:23
импульсном представлении один из
9:25
операторов задается вещественной матрицы
9:27
а другой чистому нимой матрицы но в
9:30
более общих базис операторы задаются
9:32
комплексными матрицами ни одна из них не
9:35
является действительной и ни одна из них
9:37
не является чистым ними