Квантовая механика без комплексных чисел

https://www.perplexity.ai промт – Сделай пересказ текста на 500 символов. Выдели несколько основных идей. Предложи 3 варианта заголовка. Сделай 3 вывода из текста

Answer

Текст обсуждает важность комплексных чисел в квантовой механике, подчеркивая их необходимость для корректного описания физических процессов. Основные идеи включают:

  1. Фундаментальность комплексных чисел: Комплексные числа необходимы для соблюдения принципа суперпозиции в квантовой механике.
  2. Уравнение Шрёдингера: Это уравнение требует наличия мнимой единицы для сохранения нормы волновой функции, что критично для правильного описания квантовых систем.
  3. Коммутаторы и операторы: Важность мнимой единицы также проявляется в коммутаторах, таких как координаты и импульс, где она обеспечивает правильное поведение операторов.

Варианты заголовка:

  1. “Необходимость комплексных чисел в квантовой механике”
  2. “Роль мнимой единицы в уравнении Шрёдингера”
  3. “Квантовая механика: от суперпозиции к коммутаторам”

Выводы:

  1. Комплексные числа являются основой для понимания квантовых процессов.
  2. Уравнение Шрёдингера невозможно без мнимой единицы, что подчеркивает его фундаментальную роль.
  3. Коммутаторы требуют наличия комплексных значений для корректного описания физических свойств систем.

Расшифровка видео

Поиск по видео
0:06
многие начинающие
0:10
кабинетный
0:14
близкой прений puffy реки которую
0:16
когда-то были лучшими практиками
0:17
квантовой механики в мире но которые уже
0:20
забыли все основы физики имеют проблемы
0:22
с некоторыми фундаментальными
0:23
элементарными и универсальными
0:25
особенностями законов природы а именно с
0:27
постулатами квантовой механики они
0:29
готовы рассказать вам что хотят
0:31
построить или в более безнадежных
0:33
случаях они уже построили теорию которые
0:36
способны делать все что может квантовая
0:38
механика но она позволяет только
0:40
некоторые предпочтительные состояния
0:42
по-настоящему реализовать ну и что
0:44
суперпозиции менее реальна или они
0:47
говорят вам что они могут воспроизвести
0:49
квантовую механику даже если они имеют
0:51
дело только с действительными то есть не
0:53
комплексными супер позициями конечно
0:56
каждый комментарий такого рода
0:57
совершенно по-детски не веря на принципе
0:59
суперпозиции который гласит что каждая
1:01
линейная комбинация двух допустимых
1:03
состояний например начальных условий
1:05
одинаково допустимо является совершенно
1:08
элементарным принципам квантовой
1:09
механики именно поэтому полторак
1:12
посвятил этому первый раздел своей книге
1:14
принципы квантовой механики
1:16
почему действительных чисел недостаточно
1:18
в квантовой механике в прошлом я
1:21
несколько раз обсуждал почему
1:23
комплексные числа являются
1:24
фундаментальными физики я напоминал
1:26
читателем о важных свойствах комплексных
1:28
чисел таких как фундаментальной теорема
1:30
алгебры то есть существование n корней
1:32
полинома иной степени с комплексными
1:34
коэффициентами
1:35
это не сработало бы если бы мы требовали
1:38
решения в действительных числах
1:39
комплексные числа важны даже если
1:41
требуется найти действительно и решение
1:43
вещественного многочлена например
1:46
кубического поэтому мы получаем больше
1:48
чем вносим изначально гола морфий
1:50
функций комплексной переменной обладают
1:52
многими важными математическими
1:54
свойствами которые превращают
1:55
комплексные числа в полезные если не
1:57
сказать необходимые инструменты например
2:00
в случае двумерных конформных теорий
2:01
поля во многих приложениях комплексные
2:04
числа можно рассматривать не как
2:05
незаменимое но все же как очень полезны
2:08
и технические приемы но в этой статье я
2:11
хочу сосредоточиться на квантовой
2:12
механики где комплексные числа это
2:14
больше чем просто полезные инструменты
2:16
они действительно важны для работы
2:18
теории почему же волновые функции и
2:21
следовательно матричные элементы всех
2:22
наблюдаемых величин должны быть
2:24
комплексными почему мы должны допускать
2:26
комплексные суперпозиции позвольте мне
2:29
начать перечисление трех фундаментальных
2:30
законов квантовой механики в которых
2:33
встречается мнимо единица уравнение
2:35
шрёдингера
2:36
интеграл по траекториям фей мэна и
2:38
коммутатор принципе неопределенности
2:39
гейзенберга
2:41
уравнение шрёдингера
2:42
отлично зависящие от времени и уравнение
2:45
шрёдингера говорит нам что и умножить на
2:48
hd psy и pdt равно гамильтониан и
2:51
умноженное на вектор все производные по
2:54
времени вектора состояния psy
2:55
пропорциональные действие гамильтониан
2:57
она тот же вектор состоянии коэффициент
3:00
пропорционален очень малой величине
3:02
постоянной планка это должно быть так
3:05
потому что волновая функция должна
3:06
колебаться очень быстро чтобы ее нельзя
3:08
было обнаружить в макроскопических
3:10
ситуациях но коэффициент также включает
3:13
себя фактор и он чисто мнимой почему он
3:16
должен быть чистым не вам что же
3:18
необходимо сохранить норму вектор
3:20
состояния давайте вычислим производную
3:22
по времени от нормы используя правила
3:24
лейбница для производных произведения
3:26
умножить на v штрих равно умножить на v
3:30
штрих плюс 3х умножить на 1 члена и
3:33
умножить на весь штрих был получен
3:35
простым умножением исходного уравнения
3:37
шредингера на бра вектор xi слева второй
3:41
член плюс 3х умножить на 2 был получен
3:44
путем умножения ирме этого сопряженного
3:46
исходного уравнения шредингера на head
3:49
vector psy справа забавно то что
3:51
производной по времени от нормы
3:53
обращается в ноль тому что результат
3:55
равен нулю два члена сокращается потому
3:58
что умножение знак знак точки
4:00
ассоциативно это все же обычное
4:02
умножение матриц потому что и комплексно
4:04
сопряженная равна минус и это здорово
4:08
потому что общей вероятности не
4:09
сохранялось бы если бы не было мнимая
4:12
единица волновая функция эксперт
4:13
экспоненциально увеличилось бы или
4:15
экспоненциально уменьшалась чистым ним и
4:18
числа это единственные комплексное
4:20
сопряжения которых равны минус исходным
4:23
числам и это именно та достоинства
4:25
которое нам здесь была нужна кроме того
4:27
если кет вектор psy является собственным
4:29
вектором оператора энергии собственное
4:31
значение которого равно я лично все
4:34
равно иен обсе зависящие от времени
4:37
уравнение шрёдингера сводится к не
4:38
зависящему от времени уравнение
4:40
шрёдингера и его решению все t равно
4:43
есть степени и это деленное на вич
4:46
умножить на p от 0 минут момент времени
4:49
это хорошо потому что единственное что
4:51
колеблется эта фаза обратите внимание
4:54
что комплексный экспонент позволяет нам
4:56
различать положительные частоты энергии
4:58
и отрицательные частоты энергии что
5:01
синус и косинус не могут делать тот же
5:03
комментарий применим ко многим другим
5:05
зависимостям волновой функции например
5:07
плоская волна я степени плюс и по x
5:10
деленный на аж отличается от есть
5:13
степени минус и px деленное на речь
5:16
поэтому становится возможно отличить
5:18
частицу движущегося влево с
5:20
отрицательным импульсом очиститься
5:22
движущейся вправо с положительным
5:24
импульсом таким образом ним и единица
5:27
абсолютно необходимо для того чтобы
5:28
уравнение шрёдингера работала если бы вы
5:31
ее опустили вы получили бы совершенно
5:33
другое уравнение совершенно другим
5:35
поведением было бы совершенно нелепо
5:38
утверждать что вы успешно имитируете
5:40
уравнение шрёдингера
5:41
и вы бы легко обнаружили что ни одно из
5:43
таких уравнений не может точно описать
5:45
процессы в природе которые зависит от
5:47
квантовой механики излишне говорить что
5:49
стандартные доказательство
5:51
эквивалентности представление шрёдингера
5:53
и представления гейзенберга может быть
5:55
использован чтобы показать что по той же
5:57
причине мнимо единица также должна
5:59
присутствовать уравнение движения
6:00
гейзенберга и на яичный по dt равно
6:03
коммутатор или с гамильтониан я мог бы
6:06
также оптимизировать аргументы
6:08
непосредственно для представления
6:09
гейзенберга которые не зависели от
6:11
представления шрёдингера
6:13
интеграл по траекториям аналогичный
6:16
комментарии применимых интегралы по
6:18
траекториям фильм она опять же видны
6:20
присутствие мнимая единица в экспоненте
6:22
это мнимая единица абсолютно необходимо
6:25
потому что абсолютное значение веса
6:26
истории всегда одно и то же что хорошо
6:28
на самом деле это и полностью их
6:31
эквивалентно и уравнение шрёдингера
6:33
когда вы доказываете формулы интегралы
6:35
по траекториям для амплитуды эволюции
6:37
системы из гамильтона в эволюции вы в
6:40
конечном счете используйте с отношениями
6:42
что в момент анионом и лагранжа нам ведь
6:44
или равна сумма кисточкой на п поскольку
6:48
уравнение шрёдингера переда гамильтониан
6:50
им стоит мне мы единицах то перед
6:52
действием который есть интеграл от
6:53
лаганжа она также должна стоять и
6:56
излишне говорить что комплексно
6:58
экспонента в уравнение шрёдингера
7:00
или интеграл по траекториям feynman а
7:02
также необходимо для существования
7:03
interference и подумайте я 2 целевом
7:06
эксперименте
7:07
существуют и другие детализированной
7:10
ситуации в которых можно увидеть
7:11
ключевую роль в нем а единица кроме того
7:14
можно легко утверждать что раз волновой
7:17
функции для под системы разрешено быть
7:18
комплексной той волновой функции всей
7:21
вселенной тоже должно быть разрешено
7:22
быть комплексной потому что в кластере
7:25
зова ных ситуациях волновой функции всей
7:27
системы разлагается на произведение
7:29
волновых функций под систем и
7:30
произведение комплексного числа и числа
7:33
из любого другого поля является
7:35
комплексным числом
7:37
коммутаторы давайте обсудим коммутатор
7:40
координаты и импульса x на p минус b на
7:42
x равно и на вич существует простая
7:45
причина по которой комплекс на числом
7:47
правой части должно быть чистым мнимом
7:49
причинам в том что левой части является
7:51
анти army твой то есть она должна
7:53
подчиняться x на p минус b на
7:55
экскрементов сопряженное равно минус x
7:58
на p минус п на x он термит есть
8:01
означает что металл сопряжение левой
8:03
части равно минус левой части мы
8:05
использовали фирме то есть оператор в
8:07
координаты и импульса в доказательстве
8:09
это необходимо потому что они имеют
8:11
действительно и собственные значения
8:13
измеренные координаты и импульса помимо
8:15
тождества умножить на b эрмитаж
8:17
сопряженное равно в пермь этого
8:19
сопряженным нужно аир митава сопряженной
8:22
таким образом ним и единицы неизбежно
8:24
должна появляться в этом коммутаторе и
8:26
большинстве других коммутаторов как я
8:28
уже упоминал коммутатор и также
8:31
необходим для того чтобы собственное
8:32
состояние импульса имели форму плоских
8:35
волн x порядка и степени и px деленный
8:39
на постоянную планка которые не выбирают
8:42
определенное место в пространстве
8:43
которые не экспоненциально увеличиваются
8:46
или уменьшаются опять же синусов и
8:48
косинусов было бы недостаточно потому
8:50
что они не запомнили в знаку импульса я
8:53
мог бы добавить комментарии о десятках
8:55
других катастрофических сбой в которые
8:57
последовали вы отсутствием ним единица
9:00
поскольку коммутатор оператор в
9:02
координаты и импульса является
9:03
оператором и умножить на ведь отличный
9:06
элемент которого явно комплекс назначена
9:08
яме виду не действительные числа из
9:11
этого следует что не может быть так
9:13
чтобы все матричные элементы операторов
9:16
координаты и импульса были
9:17
действительными числами по крайней мере
9:19
один из них должен иметь комплексное
9:21
значение в координатном представлении и
9:23
импульсном представлении один из
9:25
операторов задается вещественной матрицы
9:27
а другой чистому нимой матрицы но в
9:30
более общих базис операторы задаются
9:32
комплексными матрицами ни одна из них не
9:35
является действительной и ни одна из них
9:37
не является чистым ними

Поделиться: