Существует серьезная математическая проблема с настройкой музыкальных инструментов. Проблема, которую пытались решить даже Галилей, Ньютон и Эйлер. Это видео об этой проблеме и о некоторых способах ее решения. Он начинается с основ физики звука, математически доказывает, почему некоторые музыкальные инструменты никогда не могут быть идеально настроены, а затем представляет основные решения, которые были предложены для решения этой проблемы, вместе с их достоинствами и недостатками: Пифагорейский строй, Справедливая интонация, Средняя темперация, и, наконец, ровная темперация, которая является системой настройки, которую сегодня используют почти все на Западе.
Расшифровка видео
0:02
С настройкой музыкальных инструментов связана серьезная математическая проблема, которую пытаются решить некоторые из величайших ученых мира.
0:10
Это видео об этой проблеме и о некоторых способах ее решения. Мы начнем
0:15
из основ физики звука, тогда математически поймут, почему некоторые музыкальные инструменты могут
0:21
никогда не быть в идеальной гармонии, и, посмотрев на некоторые решения этой проблемы,
0:26
мы поймем равную темперацию, которая является системой настройки, которую почти все используют сегодня.
0:32
В этом видео есть несколько звуковых демонстраций тонких различий между тонами, поэтому рекомендуется использовать хорошие наушники.
0:41
Начнем с самого начала – что такое звук? Ну, физически говоря, звук — это колебания давления воздуха,
0:49
которые представляют собой колебания плотности молекул воздуха, которые мы можем ощущать нашими ушами.
0:54
Скорость, с которой эти вибрации достигают наших барабанных перепонок, называется частотой звука.
1:00
А частота измеряется в герцах, что является количеством колебаний в секунду.
1:06
Частота музыкальных тонов обычно составляет от 50 до нескольких тысяч герц.
1:11
это означает, что звуковые колебания ударяют в наши уши сотни и тысячи раз в секунду,
1:17
так что эта анимация на самом деле очень медленная. Наши уши и мозг воспринимают тона с более высокой частотой как имеющие более высокий тон.
1:26
Вот, например, как звучит тон в 200 герц,
1:32
и это тон 1000 герц.
1:38
Оказывается, все музыкальные тона, в некотором смысле, сделаны из строительных блоков, называемых «чистыми тонами».
1:46
которые ведут себя согласно математической функции синуса. Вот как звучит чистый тон.
1:54
Теперь можно многое сказать о том, что именно означает, что тон состоит из других тонов.
2:00
но для целей нашего видео, когда мы слышим тон определенной частоты, назовем его f,
2:09
то этот тон на самом деле содержит несколько чистых тонов, где частоты этих чистых тонов
2:15
равны f, 2f, 3f, 4f и т. д. Всегда кратны f.
2:30
Эти чистые тона называются «гармониками». Есть первая гармоника, вторая гармоника и так далее.
2:36
Так что имейте в виду эти гармоники, потому что они нам понадобятся позже. Теперь в музыке у нас есть мелодии, которые представляют собой последовательности тонов, следующих один за другим.
2:47
Вот мелодия, в которой используются только три тона с частотами 440, 660 и 733,3 Гц.
3:00
А вот еще одна мелодия, в которой тоже три тона, но на этот раз частоты 550, 825 и 916,6 герц.
3:17
Теперь эти две мелодии одинаковы? Ну, строго говоря, нет, потому что у них нет даже
3:23
одна нота общая частота. Но, с другой стороны, мы все твердо убеждены, что они
3:29
по сути та же самая мелодия. Что именно заставило нас это почувствовать? Ответ заключается в том, что обе мелодии имеют одинаковые соотношения между частотами своих тонов.
3:38
В мелодии 1 соотношение частот между вторым тоном и первым составляет 3:2,
3:44
и соотношение между третьим тоном и первым 5:3. В мелодии 2 частоты другие, но пропорции те же: 3:2 и 5:3.
3:54
Получается, что наш мозг воспринимает две такие мелодии, имеющие одинаковые соотношения между их
4:00
частоты нот, как по сути одна и та же мелодия. И акт изменения всех частот
4:06
мелодии с тем же коэффициентом, так что соотношения остаются прежними, как замена мелодии 1 на мелодию 2,
4:13
называется транспонированием из одной тональности в другую. А транспозиция чрезвычайно важна в музыке.
4:19
Например, если певец с определенным диапазоном голоса хочет спеть песню, но не может достать несколько высоких нот, то ему лучше транспонировать песню в более низкую тональность,
4:29
что математически означает, что он должен петь все ноты с частотами ниже, чем исходные частоты
4:37
по тому же фактору. По сути, это будет звучать та же песня, но в более низкой тональности. И, надеюсь, теперь ноты в пределах его диапазона.
4:45
Следующее, что нужно обсудить, это интервалы. Между любыми двумя тонами есть музыкальный интервал.
4:57
Интервал — это музыкальное расстояние между двумя тонами. И судя по тому, что мы только что сказали, это определяется соотношением частот двух тонов.
5:06
Один важный интервал называется октавой и соответствует соотношению частот 2:1.
5:12
Например, два тона с частотами 880 и 440 герц находятся на расстоянии октавы друг от друга.
5:19
Октава очень приятна на слух.
5:26
Вы слышали, как гармонично звучали два тона, когда их играли вместе? Октавы особенно важны в музыке из-за психологического феномена.
5:36
называется «эквивалентностью октавы», когда люди воспринимают два тона, отстоящих друг от друга на октаву.
5:41
как сильно похожи. Настолько похожи, что музыканты называют их одним именем, а музыковеды говорят, что они принадлежат к одному и тому же звуковысотному классу.
5:50
Например, тон в 440 герц называется «ля», как и тон на одну октаву выше, с частотой 880 герц.
6:02
или на две октавы выше, на одну октаву ниже,
6:08
и так далее. И все эти А принадлежат к одному и тому же классу основного тона.
6:13
Помимо октавы, еще один важный интервал называется квинтой и соответствует
6:19
соотношение частот 3:2. Например, на тона с частотами 660 и 440 Гц.
6:27
Квинты широко распространены в музыке всех культур, и они очень приятны на слух.
6:37
Открытие того, что за музыкальными тонами и тем, как мы их воспринимаем, стоит некоторая математика.
6:42
приписывается Пифагору. И если я правильно понял свою историю, это первый закон природы,
6:48
был выражен в числовом выражении более чем за 200 лет до Аархимеда и его закона рычага.
6:55
Но мы здесь, чтобы обсудить настройку музыкальных инструментов. Так, некоторые инструменты могут производить
7:01
континуум бесконечного множества различных тонов. На скрипке, например, скрипач может поставить
7:07
ее палец в какой-то точке на грифе, чтобы произвести одну ноту, может поместить ее в другую точку,
7:15
скажем, на расстоянии одного дюйма, чтобы произвести еще одну ноту, а также может приложить палец к любой из
7:22
бесконечно много мест между этими двумя точками, чтобы произвести бесконечно много различных звуков нот.
7:32
Но некоторые другие инструменты ограничены в количестве нот, которые они могут воспроизвести. Стандартное пианино, например, имеет только 88 клавиш, поэтому оно может воспроизводить только 88 различных нот.
7:43
Большой вопрос – какой ноты они должны быть? Давайте сосредоточимся на октаве между 440
7:49
и 880 герц, и создайте список частот нот в этом диапазоне, которые мы хотим, чтобы наше пианино могло играть. Теперь достаточно рассмотреть только одну октаву из-за
8:00
Эквивалентность октавы: как только мы определились с частотами в этой октаве, мы можем их умножить
8:05
все на 2, чтобы получить частоты в следующей октаве, или разделить их все на 2, чтобы получить предыдущую октаву,
8:11
и так далее. Мы сказали, что октава и квинта — очень важные интервалы, поэтому минимальный
8:18
Требование от нашего пианино состоит в том, что оно сможет играть октавы и квинты. Начнем с 440
8:25
как первая частота в нашем списке. Пятой выше за 440 у нас есть 660, и мы хотим, чтобы наши
8:33
пианино, чтобы иметь возможность играть квинты, поэтому мы добавляем 660 в наш список. Еще на одну пятую мы добираемся до 990.
8:42
Теперь 990 находится за пределами нашего диапазона, но на октаву ниже 990 у нас есть 495, что находится внутри диапазона, и мы
8:51
мы хотим, чтобы наше пианино могло играть октавы, поэтому 495 тоже в ходу. На квинту выше 495 мы получаем 742,5,
9:02
поэтому мы добавляем его тоже. Таким образом, мы продолжили этот путь, неоднократно поднимаясь на пятые и
9:07
время от времени опускаясь на октаву, если мы достигнем частоты выше 880. Теперь, когда мы должны остановить этот процесс? Ну, а если в какой-то момент мы попадем ровно в 880,
9:21
затем, спустившись на октаву вниз, мы вернемся к нашей исходной точке, 440, и больше не будет
9:27
новые заметки, чтобы получить от процесса. Но этого не произойдет. Мы докажем это математически через мгновение,
9:32
что мы никогда не вернемся ровно к 440, даже за миллион шагов. Итак, наш список
9:39
будет иметь бесконечно много нотных частот. Теперь это ужасная новость, потому что это означает, что наши
9:45
фортепиано нужно бесконечно много клавиш для одной октавы между 440 и 880, и это, конечно, непрактично.
9:53
Чтобы доказать, что мы никогда не вернемся к 440, мы будем использовать подход, называемый «доказательством от противного».
9:59
который говорит, что что-то истинно, если его противоположность не может быть истинной, потому что это приводит к противоречию. Итак, если мы в какой-то момент вернемся к 440, это произойдет через определенное время.
10:09
количество раз, назовем это число n, в котором мы поднялись на пятую часть. А еще был какой-то номер
10:15
раз, назовем его k, в котором мы опустились на октаву. Начиная с 440, увеличение на n пятых означает
10:23
умножение 440 на 3/2 n раз, то есть умножение на 3/2 в n-й степени.
10:29
И спуститься на k октав вниз означает умножить это на 1/2 до kth. И это якобы приводит нас
10:37
обратно к 440. Теперь два 440 сокращаются, и если мы переставим то, что осталось, мы получим 3 в n
10:45
равно 2 в степени n плюс k. Но любая степень 3 является нечетным числом, а любая степень 2
10:52
является четным числом. Итак, мы получили противоречие – число не может быть одновременно нечетным и четным.
10:57
А это значит, что не может быть правдой, что мы вернулись к 440 и доказали свое положение.
11:04
Таким образом, фортепиано, которое может играть точные квинты и октавы выше или ниже любой из его нот, требует
11:11
бесконечно много клавиш для одной октавы. И это не какая-то теоретическая проблема или математический
11:17
любопытство, но серьезная практическая проблема в конструировании музыкальных инструментов, которая занимала
11:24
некоторые из величайших умов в истории, включая Пифагора, Галилея, Кеплера, Ньютона и Эйлера.
11:30
Эти люди и многие другие. придумал десятки способов решения проблемы.
11:36
Каждый способ приводит к определенному выбору нотных частот для одной октавы, и такой выбор частот
11:43
называется «строй», или «интонация», или «темперамент». И я буду использовать эти три термина взаимозаменяемо.
11:51
В этом видео мы обсудим лишь несколько основных темпераций, и первая из них называется пифагорейской настройкой.
11:57
Эту настройку часто приписывают самому Пифагору, и она была распространена в западной музыке до позднего средневековья.
12:04
Идея пифагорейской настройки состоит в том, чтобы использовать октавы и квинты, которые имеют точное соотношение 2:1 и 3:2.
12:11
но их не слишком много. Достаточно, чтобы сыграть несколько простых мелодий. Как и прежде, достаточно рассматривать только один октавный диапазон, а поскольку нас интересуют только соотношения частот,
12:23
фактические частоты не имеют значения, и мы можем удобно обозначить нижнюю ноту в октаве цифрой 1, а верхнюю ноту цифрой 2.
12:31
Чтобы получить фактические частоты в какой-то определенной октаве, например, между 440 и 880, мы просто перемножаем все значения, которые будем
12:39
есть на 440. Теперь нам нужно заполнить этот диапазон нотами, и получается, что семь нот
12:46
до октавы достаточно для простых мелодий, к которым мы стремимся. Итак, давайте повторим наш предыдущий процесс, но только для нескольких шагов. На квинту выше нижней ноты мы имеем 3/2.
12:58
Еще квинту вверх и одну октаву вниз, получаем 9/8. Так что продолжаем в том же духе,
13:06
и также опускайтесь на одну пятую от октавной ноты, но затем останавливайтесь. Давайте послушаем полученные ноты.
13:17
Они могут звучать для вас как обычные ноты современных музыкальных инструментов, но на самом деле они немного отличаются, как мы увидим позже.
13:25
Тем не менее, звучат они неплохо, и их достаточно для воспроизведения простых мелодий.
13:36
Одним из недостатков пифагорейского строя является то, что даже для простых мелодий транспозиция
13:42
становится проблемой. Например, если мы хотим транспонировать только что услышанную мелодию, которая
13:48
начали с этой заметки, и начнем вместо этого с этой заметки, у нас просто не будет некоторых
13:53
необходимые примечания. Но если мы снова воспользуемся только октавой и квинтой и добавим еще одну
13:59
ноту между двумя нотами, которые у нас уже есть, мы сможем сыграть начало нашей мелодии.
14:08
И если мы добавим таким образом еще несколько заметок, все станет еще лучше. Но всегда будет
14:14
проблемы транспонирования с этим подходом, независимо от того, сколько нот мы добавляем. Картинка, которую мы сейчас имеем, похожа на фортепианную клавиатуру, и это не случайно.
14:24
Ранние клавишные инструменты имели только так называемые белые клавиши, а позже постепенно стали появляться все больше и больше черных клавиш.
14:32
Наш следующий темперамент называется Справедливая интонация, и он связан с поздним средневековьем и ранним Ренессансом.
14:39
хотя его корни намного старше. Просто интонация сохраняет некоторые пифагорейские пропорции,
14:48
но заменяет другие новыми. Вот как это звучит.
14:58
Новые пропорции Справедливости численно довольно близки к пифагорейским. Например, пифагорейская третья нота, 81/64, всего на 1,25% выше только третьей ноты, 5/4.
15:13
А еще есть отклонение в 1,25 процента в шестой ноте и в седьмой ноте.
15:19
Можем ли мы вообще услышать такую маленькую разницу? Давай выясним. Через мгновение я сыграю
15:24
Пифагорейская третья нота и правильная третья нота, но я не говорю вам, в каком порядке.
15:30
Так что слушайте внимательно и постарайтесь услышать, является ли вторая нота ниже первой, что означает, что это Справедливая, или вторая нота выше. Готовый? вот так.
15:43
Вы можете перемотать видео назад, чтобы услышать еще раз, или позвольте мне показать, что вторая нота была … выше.
15:49
Это был пифагорейский. Сейчас 1,25 процента небольшая разница, но все же
15:56
достаточно большим, чтобы при хороших условиях прослушивания его могли слышать большинство музыкантов и многие немузыканты.
16:03
Но в чем смысл Just Intonation? Зачем изменять некоторые отношения Пифагора?
16:08
Это потому, что когда мы играем вместе определенные комбинации нот, они звучат лучше в Just Intonation.
16:15
Сочетание первой, третьей и пятой нот является важной комбинацией нот в музыке.
16:21
называется мажорным аккордом. Давайте сначала послушаем это в Just Intonation
16:29
а затем в пифагорейской настройке.
16:34
Вы слышали, что пифагорейская комбинация звучит несколько грубее? есть причина
16:41
почему правильное сочетание звучит более гладко, и это связано с гармониками, из которых состоят тона.
16:47
Мы видели, что тон с частотой f содержит гармоники с частотами 2f, 3f, 4f и т. д.
16:55
Давайте подумаем о f как о частоте первой ноты в темперации. Если мы возьмем пифагорейскую терцию, для
17:01
этой темперации и посмотрите на ее гармоники, затем на четвертую гармонику этой третьей ноты
17:08
будет немного выше 5f, то есть немного выше пятой гармоники первой ноты.
17:17
И эти две близкие частоты, играя вместе,
17:22
сталкиваются в наших ушах и создают ощущение грубости. Но если мы возьмем за этот темперамент Справедливого третьего,
17:28
что составляет 5/4, то четвертая гармоника этой третьей ноты будет точно 5f, прямо на
17:34
пятая гармоника первой ноты, и конфликта нет. И что-то очень похожее происходит с третьей и пятой нотами. В пифагорейском строе есть столкновение гармоник, и оно исчезает.
17:45
в просто интонации. Это соотношение 4:5, которое устранило конфликт, встречается в трех
17:52
ключевые места в Just Intonation, поэтому многие сочетания нот в Just Intonation звучат
17:58
более гладкий. Но недостатком простой интонации является то, что транспозиция становится еще более проблематичной.
18:05
Например, в пифагорейском строе интервал между первой нотой и второй равен 9/8,
18:10
и это то же самое, что и интервал между второй и третьей нотами. Итак, если у нас есть
18:16
чрезвычайно простая мелодия, в которой используются только первые две ноты, мы можем ее немного транспонировать,
18:21
и сыграйте его со второй и третьей нотами. Но в Just Intonation эти интервалы не те –
18:28
они 9/8 и 10/9, поэтому мы даже не можем правильно транспонировать такую смехотворно простую мелодию.
18:36
Наша следующая темперация называется подразумеваемой темперацией, и она использовалась в основном в период барокко. Мы обсудим наиболее распространенную версию этого темперамента, называемую четвертью запятой.
18:48
Просто интонация научила нас, что это хорошая идея, чтобы третья нота была 5/4, поэтому мы сохраняем ее. Но была проблема с транспозицией только в интонации этих трех нот,
18:59
потому что эти два интервала не были равны. Таким образом, чтобы избежать этой проблемы, подразумевается один темперамент.
19:05
интервал между первой и второй нотами равен интервалу между второй и третьей нотами. Оба они равны некоторому a. Таким образом, мы получаем, что один раз умножить на а равно 5/4,
19:18
и решение этого уравнения состоит в том, что а равно квадратному корню из пяти на 2, и это
19:24
означает одну вторую ноту. На математическом языке эта вторая нота есть среднее геометрическое
19:31
первая и третья ноты. Обычно, когда у нас есть два числа на числовой прямой, давайте называть их
19:37
x и y, их средняя точка является их обычным средним значением – x плюс y больше 2. Этот тип среднего называется в
19:44
математика среднее арифметическое, и мы используем его, когда измеряем расстояния через разности,
19:50
через сколько нам нужно прибавить к точке слева, чтобы добраться до точки справа. Например, если x равно 100, а y равно 400, их средняя точка равна 250. Нам нужно добавить
20:03
150, чтобы получить от 100 до 250, и то же число, 150, чтобы получить от 250 до 400. И действительно, 250 — это
20:14
обычное среднее 100 и 400. Это понятие расстояния обычно правильное в реальной жизни.
20:21
Например, когда x и y являются физическим расположением двух зданий вдоль какой-либо дороги,
20:26
и наша числовая линия представляет собой мили. Но музыкальная дистанция, как мы видели, соответствует соотношению частот,
20:34
поэтому, когда числовая линия представляет частоту, музыкальную середину между двумя частотами тона
20:40
это точка, которая находится на равном расстоянии в смысле отношения между ними. А в нашем примере это
20:46
получается два 200: нам нужно умножить 100 на 2, чтобы получить 200, и снова умножить на 2, чтобы получить из
20:53
От 200 до 400. И формула для вычисления средней точки этого типа представляет собой квадратный корень из x, умноженный на y,
21:00
который называется средним геометрическим x и y. И действительно, 200 — это квадратный корень из 100, умноженный на 400.
21:09
Итак, вернемся к нашему изначальному темпераменту. Мы хотели, чтобы наш второй узел находился на равном музыкальном расстоянии.
21:15
с первой и третьей ноты, поэтому мы использовали немного математики и выяснили, что это должно
21:20
равно квадратному корню из пяти больше двух. Но, надеюсь, теперь мы это понимаем, потому что мы
21:26
Имея дело с музыкальной дистанцией, мы ищем на самом деле среднее геометрическое 1 и
21:32
5/4, поэтому мы можем использовать нашу формулу для среднего геометрического и сразу получить, что второе
21:38
примечание должно быть квадратным корнем из единицы, умноженной на 5/4, что действительно является квадратным корнем из пяти на 2.
21:46
Но как насчет других заметок? И, в частности, что касается пятой ноты,
21:51
что, как мы знаем, особенно важно? Напомним, что в настройке по Пифагору мы поднялись на две пятых вверх.
21:58
а затем вниз на одну октаву, чтобы получить вторую ноту. И квинты, которые мы использовали, имели точное соотношение 3:2.
22:04
Ключевая идея в подразумеваемой темперации состоит в том, чтобы немного поступиться квинтами и слегка
22:10
отклоняться от этого точного соотношения 3:2. Итак, давайте обозначим буквой b номер пятой.
22:16
Если теперь мы поднимемся еще на одну квинту вверх, а затем на октаву вниз, мы получим вторую ноту, квадратную.
22:23
корень из пяти из 2, должен быть равен b в квадрате из 2, и решение этого уравнения состоит в том, что
22:30
b равно четвертому корню из пяти, который также можно записать как пять в степени одной четвертой.
22:36
Итак, это означает одну пятую. Теперь это означало, что одна пятая находится менее чем в трети процента от
22:44
от точного 3:2 квинты. Вы слышите такую маленькую разницу? Давайте снова сыграем в нашу игру.
22:50
Постарайтесь услышать, будет ли вторая нота, которую я собираюсь сыграть, ниже или выше первой.
22:59
Ответ в том, что вторая нота была выше. Это был Просто пятый. Теперь эта разница
23:05
намного меньше, чем разница в нашем предыдущем тесте, и гораздо труднее услышать. Теперь мы можем заполнить оставшиеся ноты, используя нашу среднюю одну пятую, корень четвертой степени из пяти,
23:15
и получить этот набор нот для нашей октавы, которые звучат нормально.
23:23
Мы по-прежнему получаем соотношение 4:5 в трех ключевых местах, которые мы сделали в Just Intonation,
23:29
что хорошо, и наш крошечный компромисс по пятым не слишком значителен. Чтобы улучшить ситуацию, мы можем добавить больше нот, по-прежнему используя одну квинту, но обязательно будут
23:41
один интервал, который в этой раскладке находится между этими двумя нотами, звучит ужасно фальшиво.
23:52
Этот интервал называется интервалом волка, и это сложная проблема в характере одного из них.
23:58
Примерно в период барокко люди иногда немного улучшали вещи, добавляя еще больше ключей к своим клавишам.
24:04
клавишные инструменты, но это не идеальное решение, и всегда будет волчий интервал
24:10
где-то в этом подходе. Как же на практике люди настраивали свои инструменты по таким соотношениям сотни лет назад,
24:18
а без современных технологий тюнеров и калькуляторов? Это интересный вопрос, но выходит за рамки этого видео.
24:25
Я просто скажу, что результаты на практике часто были лишь приближением к теоретическим темпераментам, которые мы здесь обсуждаем.
24:34
Наконец-то мы достигли равного темперамента, которым пользуются почти все.
24:39
в западной музыке с середины 19 века. Ключевое наблюдение заключается в том, что если мы поднимемся на 12 точных пятых,
24:46
а затем вниз на 7 октав мы почти точно возвращаемся к 1, нашему исходному месту. Чуть-чуть выше.
24:55
Итак, если мы немного сократим все пятые, мы вернемся точно к 1, пройдя через
25:01
12 различных нот, или, точнее, через 12 различных классов высоты тона. Итак, идея, стоящая за
25:07
равная темперация состоит в том, чтобы разделить октаву на 12 равных интервалов. Равные интервалы означают равные соотношения,
25:14
поэтому, если мы позволим r быть отношением между любыми двумя соседними нотами, мы получим это, умножив 1 на r 12 раз.
25:21
должно привести нас точно к 2, или что r в 12-й степени должно равняться 2.
25:27
Таким образом, r — это 12-й корень из 2, что составляет около 1,06. Мы можем записать 12-й корень из 2 также как 2 в степени 1/12,
25:37
и, используя это обозначение, 12 нот одинаковой темперации могут быть расположены таким образом.
25:43
Интервал между любыми двумя соседними нотами в равной темперации, являющийся корнем двенадцатой степени из двух.
25:48
называется полутоном. Теперь квинта в равной темперации равна 2 в степени 7/12,
25:56
и это всего лишь около одной десятой процента от точного 3:2 квинты. Ты можешь слышать
26:02
такая маленькая разница? Посмотрим обычным способом. Вторая нота ниже или выше первой?
26:12
Вторая нота была ниже, но услышать такую маленькую разницу крайне сложно даже опытным музыкантам в идеальных условиях.
26:22
Огромным преимуществом одинаковой темперации является то, что она позволяет идеально транспонировать любую мелодию из
26:28
любой ключ к любому другому ключу. И это потому, что между любыми
26:35
две соседние ноты. Это полезно не только с практической точки зрения, например, для сопровождения певца в
26:41
любой тональности, которая соответствует его диапазону, но это также освобождало композиторов для сочинения более сложных произведений, которые
26:47
изменить ключи в их середине. Но есть и недостатки у равного темперамента. За исключением
26:53
октаве, которая осталась на 2, все интервалы равной темперации выключены, относительно
26:59
любой из других темпераментов, которые мы обсуждали, и, в частности, относящийся к Справедливой Интонации.
27:04
Мы видели, что равный темперамент имеет отличное приближение к простому пятому, но дело обстоит не так.
27:10
что везде хорошо. Особенно надоедает третья нота, потому что она почти восемь десятых процента
27:16
вдали от соотношения Just 5:4. Итак, последний раз — вы слышите эту разницу?
27:26
На этот раз вторая нота была ниже. Это был именно третий, и эта разница относительно заметна,
27:32
поэтому многие музыканты справедливо жалуются на ровную темперированность терции.
27:37
Другая проблема с равной темперацией заключается в том, что в период барокко, до того, как она стала популярной, использовались другие темперации, которые также делили октаву на 12 интервалов.
27:47
но эти интервалы не были точно равными. Это означает, что каждая клавиша имела уникальный символ,
27:53
который теряется в ровном темпераменте. И некоторые люди сегодня сожалеют об этой утрате.
27:58
Знаменитый «хорошо темперированный клавир» Баха, вероятно, был написан для одного из этих темпераментов, а не
28:04
для равного темперамента, как думают некоторые. Давайте послушаем первые несколько тактов первого
28:09
прелюдия из хорошо темперированного клавира, сыгранная в оригинальной тональности и в ровной темперации.
28:14
Постарайтесь услышать легкую шероховатость, которая исходит от неравномерных интервалов.
28:32
Вот снова прелюдия, по-прежнему в оригинальной тональности, но теперь в Just Intonation, и попытайтесь услышать, как смешиваются ноты.
28:40
более плавно. Ну, по крайней мере, в первом и последнем тактах, содержащих ноты мажорного аккорда.
28:58
Далее, давайте снова послушаем его в двух темперациях, но уже в другой тональности.
29:03
Равнотемперированная версия по-прежнему звучит лишь немного грубо, потому что равнотемперированная версия обеспечивает идеальное транспонирование.
29:23
Но версия Just Intonation, которая исполняется на фортепиано, настроенном на оригинальную тональность, звучит совершенно ужасно из-за ограничений транспонирования Just Intonation.
29:47
Система равного темперамента, безусловно, самая популярная система, используемая сегодня и в недавнем прошлом, но она
29:53
не единственный. В так называемом исторически обоснованном подходе к музыкальному исполнению
29:58
музыканты часто используют темпераменты, которые были распространены, когда сочинялись пьесы, которые они играют.
30:07
В арабской, турецкой и персидской музыке используются микротональные интервалы, основанные на более тонком
30:13
деление октавы по сравнению с 12-тональной равной темперацией. Общий подход к
30:18
приспособиться к этому, состоит в том, чтобы разделить октаву на 24 равных интервала, называемых четвертями тона, но не все
30:25
в этих музыкальных традициях доволен этим строгим 24-тоновым равномерным разделением, и практики сильно различаются.
30:33
Некоторые теоретики музыки и композиторы придумали другие микротональные темпераменты и разделили октаву на 19 равных интервалов, 31 равный интервал, 41 равный интервал и многие другие числа, с
30:45
различные математические и музыкальные обоснования за ними. Совершенно другой подход к темпераментам состоит в том, чтобы забыть о равных делениях октавы и вернуться к чисто целочисленным соотношениям.
30:56
просто интонации. Сеть Just Intonation уже несколько десятков лет продвигает этот подход.
31:03
а некоторые проблемы именно интонации сегодня можно преодолеть с помощью современных технологий.
31:10
Можно еще многое сказать о математике музыкальной настройки, но это все для этого видео. Ознакомьтесь с описанием для ссылок на дальнейшие
31:18
чтение и дальнейшее ютубинг. Спасибо за просмотр, и… следите за обновлениями!