Функцию Вейерштрасса многие математики называли «математическим монстром» и отказывались замечать. Но этот «монстр» изменил мир матанализа и повлиял на создание новых разделов в математике. В чем особенность функции Вейерштрасса? Что общего у функции с фракталами, финансовой математикой и погодой? И что же революционного сделал сам Вейерштрасс? #vitalmath
Что почитать:
- Подробно и понятно про роль функции и приложения https://habr.com/ru/post/407883/
- Биография Вейерштрасса https://mathshistory.st-andrews.ac.uk…
- Подробно про вклад Вейерштрасса https://www.sciencedirect.com/science…
Расшифровка видео
0:00
[музыка]
0:00
Всем привет это Виталий монстры
0:04
математические монстры сегодня будет
0:06
очень красивая математика про одного
0:08
ужасного монстра как его называли
0:11
великие математики Но этот Монстр
0:13
поменял сознание тысяч математиков и дал
0:16
начало новым разделом на которых сейчас
0:18
держится сложнейшие математические
0:20
модели начиная красивых и бесполезных
0:24
фракталов и заканчивая стохастической
0:26
математикой погодой и много триллионными
0:29
финансами рынками там где они есть
0:31
конечно так вот сегодняшний
0:33
математический Монстр это функция веер
0:36
штрассе
0:37
непрерывная но нигде не дифференцируемая
0:40
функция это функция произвела революцию
0:43
в математике многие математики пытались
0:45
убежать от нее но страшная функция их
0:48
победила функция верштрассе
0:49
действительно выглядит пугающей его 150
0:51
лет назад с ее помощью удалось
0:53
перевернуть представление математическом
0:55
анализе Да и вообще связи математики с
0:58
физическим миром функция сначала
0:59
оторвала математику от реальности а
1:01
потом склеила еще сильнее оказалось что
1:04
мир и математика намного Более сложный и
1:07
фрактальное чем думали Ньютон и лейбни
1:09
как всего одной функции удалось сделать
1:11
так много Почему эта функция называет
1:14
монстром и Какой вклад внесла эта
1:15
функция в развитие броуновского движения
1:17
сократической математики финансовых
1:19
рынков и всеми любимых фракталов Если вы
1:22
первый раз на канале Не забывайте
1:23
подписываться здесь мы говорим и
1:25
наслаждаемся красотой математики просто
1:27
не на пальцах поехали с чего все
1:30
началось в 17 веке великий английский
1:33
математик и физик Исаак Ньютон придумал
1:35
математический анализ и законы движения
1:37
то что сейчас мы называем законами
1:39
Ньютона в основе теории лежат два
1:42
математических понятия непрерывность и
1:45
дифференцируемость если эти слова Вам ни
1:47
о чем не говорят то по простому функция
1:49
непрерывна Если можно нарисовать ее
1:51
график не отрываясь карандаш от листа
1:53
бумаги то есть график функции визуально
1:55
выглядит как непрерывная линия
1:57
дифференцируемость это существование
1:59
производных чуть сложнее чем
2:01
непрерывность но по простому Это значит
2:03
что функция визуально еще и достаточно
2:05
гладкая то есть на графике нет острых
2:08
углов конечно математики сейчас будут
2:10
возмущаться что гладко это бесконечно
2:12
дифференцируемая функция но давайте пока
2:15
без больших осложнений если Чуть более
2:17
формально у дифференцируемой функции в
2:19
каждой точке есть производная а
2:21
производная от точки существует если
2:23
Понятно направление касательной в этой
2:24
точке самые частые пример модуль X Вот
2:28
такая функция где в нуле происходит
2:30
резкая смена направления нарисовать
2:32
такую функцию не отрывая карандаша можно
2:34
легко она непрерывна вот в нуле Не
2:37
дифференцируем потому что в нуле
2:39
по-простому острый угол и перегиб самой
2:42
точки ноль направление касательно
2:43
Непонятно какое есть много прямых
2:46
которые будут касаться угла и направлены
2:48
в разные стороны то есть функции могут
2:50
быть или не быть непрерывными и
2:53
дифференцируемыми Давайте проведем
2:55
эксперимент закройте на секунду глаза и
2:58
Представьте Любую функцию представили
3:00
так вот большинство функций которые вы
3:04
можете представить будут непрерывными
3:06
скорее всего даже дифференцируемыми и
3:09
гладкими потому что именно такие функции
3:10
нам кажутся более естественными и
3:13
правильными также думал и Ньютон причем
3:15
при разработке законов движения
3:17
вдохновлялся реальными физическими
3:19
объектами движением планет колебаниям
3:20
маятника движущемся предметами это
3:22
привело к так называемой геометрической
3:25
интуиции То есть когда математический
3:28
объект должен иметь тот же смысл что и
3:30
физический объект действительно
3:31
Посмотрите на движение автомобиля график
3:34
перемещения в зависимости от времени или
3:37
скорость автомобиля от времени всё
3:39
непрерывные функции можно нарисовать не
3:42
отрывая руки и автомобиль тоже движется
3:45
непрерывно нет никаких Скачков
3:47
пространстве как зависшим компьютере но
3:49
как связаны непрерывности
3:51
дифференцируемость если функция
3:53
дифференцируемая то она непрерывна затем
3:55
никто никогда не спорил гладкую функцию
3:58
всегда нарисовать не отрывая карандаша
4:01
Но более того математики в 18 начале 19
4:04
века считали что верно и обратное если
4:07
функция непрерывная то она
4:09
дифференцируемая Точнее они считали что
4:12
у любой непрерывной функции найдутся
4:14
куски которые являются гладкими то есть
4:17
функция будет дифференцируемой в каждой
4:19
точке этих кусков Давайте посмотрим на
4:22
тот же график модуля X с острым углом в
4:24
нуле хорошо функция не дифференцирована
4:27
но Возьмите Два куска где функция больше
4:30
нуля или меньше нуля это обычные прямые
4:33
где все гладко функция непрерывная
4:36
дифференцируемая вроде бы все хорошо
4:38
Великий французский физик и математик
4:40
Андре Мари ампер привел доказательство
4:43
того что у любой непрерывной функции
4:45
всегда есть несколько кусков которые
4:47
являются гладкими правда доказательство
4:49
по сегодняшним меркам было не совсем
4:51
строгим почти как мои видео оно было
4:54
построено на интуитивном факте что
4:55
непрерывная кривая имеет части на
4:57
которых она увеличивается уменьшается
5:00
или остается постоянным действительно
5:01
что-то такое должно же происходить с
5:04
функцией А математиком того времени в
5:06
отличие от более внимательных и
5:07
продвинутых вас этого было достаточно
5:09
поэтому к середине 19 века
5:11
доказательство ампера Было почти во всех
5:13
учебниках математики ампер Кстати это
5:16
тот самый в честь которого называют
5:17
единицы измерения силы тока на всех
5:19
приборов в общем вот такая ситуация
5:21
сложилась в середине 19 века есть вроде
5:24
бы развитое общепринятое теория
5:26
математического анализа эту теория уже
5:29
достаточно фундаментальна они основаны
5:31
механика и законы движения объектов
5:32
которые каждый может наблюдать и
5:34
измерить студенты университетах активно
5:36
изучают эту математическую теорию
5:38
математики пытаются строить все более
5:40
более сложные теоремы вроде бы все идет
5:43
хорошо но не все было так гладко В
5:46
теории Гладких функций во-первых
5:47
математика была не строгой
5:50
доказательство и описание ключевых
5:52
математических понятий были достаточно
5:53
многословные и не совсем четкие даже для
5:56
таких ключевых вещей как определение
5:58
непрерывной или производной например был
6:01
такой известный французский математика
6:03
гюстен Луи каши определение предела
6:06
которого мы сейчас учим в университетах
6:08
так вот каши писал что Градиент или
6:10
производная неограниченно приближается к
6:13
фиксированному значению таким образом
6:14
что в результате отличается от него
6:16
настолько насколько это требуется причем
6:19
описание было реально текстовое а не на
6:21
языке форму можете себе такое
6:23
представить в математике сейчас
6:24
во-вторых привязка математических
6:26
свойств физическим объектам была очень
6:28
сильной по сути связь математики и
6:31
физики лежала в основе изначального
6:32
математического анализа придуманного
6:34
физика Ньютона те объекты и функции
6:36
которые появляются от анализе должны
6:38
были иметь понятную геометрическую
6:40
интерпретацию описывать реальные
6:42
физические объекты например движение
6:44
пущенного ядра
6:46
наконец в-третьих в 1860-х годах стали
6:50
появляться слухи что есть функции
6:52
которые противоречат общепризнанной
6:55
теореме ампера о том что если функция
6:57
непрерывна то она дифференцирует и вдруг
6:59
внезапно практически из ниоткуда
7:01
появляется Один математик-любитель
7:02
который занялся исправлением всех
7:04
недочетов математического анализа до
7:06
времени построил строгую понятную теорию
7:09
которую мы пользуемся до сих пор и
7:11
описал математического монстра функцию
7:13
которая поставила под сомнение труды
7:16
великих математиков и кардинально
7:18
изменило представление математиков а
7:20
математическом анализе эта функция
7:22
сейчас называется функцией верштрассе а
7:27
математика любителей изменившего
7:28
математические миры в итоге ставшего
7:30
одним из величайших математиков всех
7:33
времен звали
7:35
карлштрасс король веришь трасс это очень
7:37
необычная математика у которого можно
7:39
много чему поучиться только Представьте
7:41
до 39 лет он не был профессиональным
7:44
математиком А был простым шко
7:46
исключителем про которого Никто из
7:48
математика даже не знал до 39 лет Карл
7:51
Карл с детства любил математику
7:52
собирался поступать на математический
7:55
факультет но отец настоял на финансах и
7:58
экономике это привело к тому что веер
8:01
штраф не изучал ни то ни другое а все
8:03
студенческие годы только гуляла
8:05
занимался фехтованием после стал работы
8:07
учителя математики Но преподавания в
8:09
школе было для него слишком скучным и
8:11
Карл старался самостоятельно изучать
8:13
математику свободно от работы время
8:14
просто для себя ведь штраф размещал свои
8:17
результаты в школьных журналах поэтому
8:19
конечно Никто из математиков проверишь
8:22
трассы даже не знал И вот в 1854 году
8:25
когда ему было уже 39 лет и штраф
8:28
опубликовал статью под названием теория
8:30
абелевых функций математическом журнале
8:32
и как бы сейчас сказали словил огромный
8:35
хайп математики не просто заметили лишь
8:37
раз они готовы были сделать что угодно
8:39
чтобы он с ними работал Через два года
8:41
лишь раз опубликовал продолжение его
8:43
реабили его функции и тут же стал
8:45
получать работе из самых крутых
8:47
университетов в Германии авторе наконец
8:49
в 1856 года вирш Раш стал полноценным
8:53
профессиональным математиком профессором
8:55
Берлинского университета и за следующие
8:57
20 лет совершил революцию мат анализе Но
9:00
что же такого сделал Карл вештрасс в
9:03
основе его работ лежат две
9:04
фундаментальные вещи арифметизация
9:06
математического анализа и степенные ряды
9:09
первая вещь арифметизация анализа Это
9:11
отделение мат анализа от геометрического
9:13
подхода и построение строгого
9:16
аналитического фундамента через
9:18
многочисленные лекции и немногочисленные
9:20
публикации был ключевым математиком Кто
9:23
построил строгий и логичные основы для
9:26
работы с рациональными числами и
9:28
функциями благодаря ему математический
9:30
анализ приобрел сегодняшний вид а
9:32
длинные и нечеткие словесные
9:34
доказательства окончательно ушли в
9:35
прошлое простыми словами вид штраф
9:38
перевел математический анализ не Четкого
9:40
словесного описания на строгий
9:42
математический язык вторая вещь которая
9:45
работала
9:45
степенные ряды то есть бесконечная сумма
9:49
с переменной в растущей степени сам
9:51
верштрасс говорил что вся его работа в
9:53
математическом анализе ничего более чем
9:55
степенные ряды именно из этих двух вещей
9:58
строгогом от анализа и степенных рядов
10:00
родилась функция вежтраса придав анализу
10:02
привычную нам теперь математическую
10:04
строгость и используя степенные ряды в
10:06
1872 году вильштрасс представил
10:09
шокирующую для всех функцию Давайте
10:12
повнимательнее посмотрим на эту функцию
10:14
функция эта сумма бесконечного ряда
10:16
косинусов В чем ее особенность функция
10:18
непрерывная но не является
10:20
дифференцируемой ни в какой точке можете
10:22
такое представить Вот и математиком того
10:25
времени было тяжело это представить
10:27
непрерывные не гладкие функции называли
10:29
монстрами потому что они ломали порядок
10:31
их не хотели замечать делали вид что это
10:34
просто какой-то ненужное отклонение
10:36
которое только портит математический
10:38
анализ вместо добавления чего-то
10:39
полезного известный французские
10:41
математик Шарль эрмит писал я в страхе и
10:44
ужасе отворачиваюсь от плачевного
10:46
бедствия непрерывно окно
10:47
недифференцируемых функций
10:49
другой французский математик Анри
10:52
Пуанкаре который как раз и назвал такие
10:54
функции чудовищами говорил что работа
10:57
вирштрассе является оскорблением здраво
10:59
смысла и является нахальным отличием от
11:03
сути предмета
11:04
Пуанкаре писал про непрерывную
11:07
недифференцируемые функции что их
11:09
изобрели с целью показать ошибочность
11:11
рассуждений наших предшественников кроме
11:13
этого мы не можем ничего из них взять но
11:16
почему эту функцию так не любили
11:18
во-первых это уродливая функция которая
11:21
даже непонятно как выглядит Попробуйте
11:22
нарисовать А в то время в 19 веке это
11:26
сделать было невозможно потому что
11:28
первое изображение функции получили
11:30
столько с появлением компьютеров
11:31
практически через сто лет Посмотрите
11:33
функция это сумма бесконечного числа
11:36
косинусов как она выглядит если есть
11:39
только один косинус то получает простая
11:42
гладкая линия просто график косинус если
11:45
есть два слагаемых начинают появляться
11:47
волны три слагаемых волны становятся
11:50
чаще 4 слагаемых волны еще чаще и так
11:53
далее когда слагаемых бесконечно много
11:56
колебаний и резких изменений происходит
11:58
еще больше в каждой точке функция резко
12:01
меняет направление на противоположное
12:04
почти как X можете себе такое
12:06
представить Это ужасно и ужасно красиво
12:08
есть еще два параметра A и B которые
12:11
собственно задают Как часто С какой
12:13
амплитуды будут происходить изменение
12:14
функции причем функция не имеет
12:17
производной при определенных условиях
12:19
для А и Б за что еще не любили функцию
12:22
verstrassa во-вторых функция
12:24
противоречила общепризнанным результатам
12:26
например теореме ампера про то что
12:29
каждая непрерывная функция должна быть
12:31
дифференцирована в-третьих стиль
12:33
доказательства был неизвестным для
12:35
многих логические рассуждения на десятки
12:38
страниц требовали хорошего технического
12:40
понимания наконец основная причина
12:43
функция мало представления о сути
12:46
математического анализа функция
12:47
противоречила геометрической интуиции
12:49
когда функции были аналогом каких-то
12:53
явлений в реальном мире например
12:55
описывали движение корабля повозки или
12:58
ядра но функции веришь трассы этого
13:00
ничего не описывала просто страшное
13:02
сложное бесполезная функция над
13:05
реальности Но оказалось что это совсем
13:08
не так то есть еще раз функция верштраса
13:11
непрерывная но нигде не дифференцируемой
13:13
считалась величайшей математике
13:14
бесполезным математическим монстром
13:17
потому что она была далека от физических
13:19
реальных объектов на самом деле это
13:21
далеко не новость математики когда
13:23
какой-то Объект который сейчас считается
13:25
очень нужным и обычным первое время не
13:28
признается и просто отвергается самый
13:30
простой известный пример 0 если еще не
13:34
видели Посмотрите Вот это видео про то
13:36
как люди тысячелетиями жили без нуля и
13:39
просто его не замечали кстати видео про
13:42
ноль рекомендации YouTube до сих пор не
13:44
замечают также как и сам ноль в свое
13:45
время вроде бы все плохо Для таких
13:47
бесполезных функций как функция
13:49
верштраса но не тут-то было всего через
13:52
30 лет после публикации все начинает
13:55
кардинально меняться математические
13:59
монстры непрерывные но не гладкие
14:00
функции начинают уверенно захватывает
14:02
научный мир все началось с Альберта
14:05
Эйнштейна
14:06
1905 году он опубликовал работу о
14:09
движении взвешенных в покоящейся
14:11
жидкостей частиц требуемой
14:12
молекулярно-кинетической теории теплоты
14:14
который познакомил физиков с уже
14:16
известным науке броуновским движением и
14:19
описал математический аппарат для работы
14:22
с броуновским движением простыми словами
14:24
Броуновское Движение то хаотичное
14:26
движение маленьких частиц которые
14:27
постоянно толкают друг друга и постоянно
14:30
меняют траектории
14:31
столкновение частиц очень много поэтому
14:34
траектория эти маленькие частицы очень
14:36
сложные
14:37
бесконечные ломаные функции так вот
14:41
математические они описываются процессом
14:44
у которого траектория непрерывные не
14:46
гладкие функции то есть похожие на
14:48
функции Также как для функции верштраса
14:52
траектория движения частицы можно
14:53
нарисовать не отрывая карандаша от
14:55
бумаги Но вам потребуется бесконечно
14:58
много графитов карандаше потому что
15:00
функция не гладкая в каждой точке у неё
15:03
очень много для маленьких изменений
15:05
траектории которые в итоге дают
15:07
практически
15:08
бесконечную длину линии для физики
15:10
Броуновское Движение было свидетельством
15:12
существования атомов и молекул то есть
15:14
только представьте себе распылите газ в
15:17
комнате и перед вами будут происходить
15:19
процесс который математически содержит
15:21
себе непрерывную и не гладкую функцию
15:24
математического монстра как это ни
15:26
странно оказалось что математические
15:29
монстры не так уж и оторваны от
15:30
физической реальности работа Эйнштейна
15:32
стала серьезным прецедентом математики
15:34
поняли что не гладкие функции не такие
15:37
уж и бесполезные и стали искать способы
15:39
работы с негладкими функциями одним из
15:42
таких направлений стал стохастический
15:44
анализ Японский математик киоссеита из
15:47
токийского университета перевел объекты
15:49
классического математического анализа
15:51
вирштраса на язык вероятности Пишите в
15:54
комментариях если интересно подробнее
15:55
разобрать как же на пальцах работает
15:57
статистический анализ и в чем его суть
16:00
если очень
16:01
короткоцитический анализ и то позво
16:04
работать с негладкими функциями для
16:06
которых ломался обычный математический
16:08
анализ То есть можно было считать
16:10
производные для Вот таких
16:12
недифференцируемых не Гладких функций
16:14
которые описывают движение очень
16:16
маленькие частицы в воздухе Но чем на
16:19
самом деле знаменитая хаотический анализ
16:21
так это огромными применениями финанса
16:23
Посмотрите на цену акции и правда ли
16:25
очень похоже на график движения
16:26
случайной частицы оказалось что
16:29
стохастический анализ основанный на не
16:31
Гладких функциях можно использовать для
16:33
описания цен финансовых инструментов
16:35
акции или опционов появилась формула
16:38
блэка-шоуза которая описывала Как
16:40
считать цену опциона в результате чего
16:43
случился бум рынка опционов семидесятых
16:46
восьмидесятых годах появились новые
16:48
триллионные финансовые рынки люди
16:50
заработали миллиарды на математических
16:52
монстрах до сих пор кванты финансах
16:54
применяющиеся классический анализ
16:56
считается ключевыми во многих банках
16:58
фонда которые по мнению некоторых на
17:01
самом деле управляют миром все
17:03
начиналось безобидной но не нужной
17:07
функции вежтраса А говорят математика
17:09
бесполезна еще один пример где они
17:11
гладкие функции не дают покоя это
17:13
формула на въезд токсо на практике это
17:17
Ключевое уравнение для описания потоков
17:19
жидкости движения воды в трубах или в
17:21
океане движения воздушного потока и
17:23
турбулентности даже для описания погоды
17:25
есть многочисленных приближенных решений
17:28
уравнения но единого теоретического
17:31
аналитического ответа пока нет то есть
17:33
ответов в виде формулы более того этот
17:36
вопрос является одной из семи задач
17:38
тысячелетия за решение которой можно
17:40
получить 1 миллион долларов нужно всего
17:43
лишь доказать Существует ли гладкие
17:45
решения этого красивого уравнения или
17:47
нет Пишите в комментариях ваши
17:49
предположения Если хотите увидеть
17:50
отдельное видео про формула нам есть Tax
17:53
наконец функция дала толчок теории всеми
17:56
любимых фракталов после веер штраса все
17:58
больше и больше математик остались
18:00
создавать аналогичных монстров похожих
18:02
на функцию
18:04
известный математик Давид гильберт
18:05
создал кривую заполняющую все
18:08
пространство
18:09
шведский математик хельги фон Кох
18:11
пытался создать непрерывную форму
18:13
которая не будет гладкой ни в какой
18:15
точке Он хотел показать что монстры
18:17
аналогичные функции верштрасс есть не
18:20
только в анализе но и в алгебры с
18:22
геометрией в результате в 1904 году он
18:25
получил форму которая называется
18:27
снежинкой Коха она строится очень легко
18:30
все начинается с разностороннего
18:31
треугольника потом с каждой стороны
18:33
добавляется три равносторонних
18:35
треугольника и так далее до
18:38
бесконечности более того у снежинки Коха
18:41
есть одна очень интересная особенность
18:42
это свойство самоподобие как бы близко
18:46
вы не приближались снежинку в любых
18:48
масштабах ее формы будут повторяться
18:51
самое удивительное что функция верштраса
18:54
тоже обладает этим свойством сколько не
18:57
приближай форума функции будет
18:59
оставаться постоянной это Ключевое
19:01
свойство легло в основу появления
19:03
фракталов понятие придуманном Бенуа
19:05
мендельбротом в 1980-х годах фракталы
19:09
это очень красивые бесконечно
19:10
повторяющиеся подобные объекты во многом
19:13
похожие на функции верштраса То есть
19:16
можно сказать что математический Монстр
19:18
веет штрассе был одним из первых
19:20
фракталов но самый удивительно оказалось
19:22
то что и наш физический мир во многом
19:25
напоминает фрактальные объекты береговая
19:27
линия форма облаков кровяные сосуды
19:30
ветви деревьев брокколи снежинки
19:31
растения Неужели весь наш мир состоит из
19:35
объектов по своей сути похожих на этого
19:38
красивого математического монстра
19:40
непрерывную и не гладкую функцию вот
19:44
такая страшная и Страшно красивая
19:46
жизненная математика Фух много всего
19:50
простого и сложного каждое приложение
19:52
пример заслуживает отдельного видео
19:54
Пишите в комментариях про Что из всего
19:56
этого интересно рассказать подробнее
19:57
просто на пальцах а пока что какие три
20:01
вывода можно сделать из всей этой
20:02
истории про функцию вежтраса во-первых
20:04
функция verstras Это пример всюду
20:07
непрерывный но нигде не дифференцируемые
20:09
функции которую математики называли
20:12
математический Монстр бесконечный ряд
20:14
суммы косинус в каждой точке функция
20:17
меняет направление роста или падения
20:18
поэтому ни в какой точке нельзя
20:20
посчитать производную график можно
20:23
рисовать не отрывая карандаш от бумаги
20:25
но графита или чернил понадобится
20:27
бесконечно много из-за постоянных
20:29
изгибов любых масштабах во-вторых
20:31
функция веер штрассе перевернула взгляд
20:34
человечества на связь математики и
20:36
реального мира раньше считалось что все
20:38
функции из мод анализа должны иметь
20:40
понятную геометрическую интерпретацию
20:42
описывать объекты в реальном мире но
20:44
функция верштрасс это фрактал
20:47
самоподобный объект который в любом
20:48
масштабе будет похож сам на себя такого
20:50
движения я ничего не наблюдала из того
20:52
что мы видим ничто не движется как
20:54
функция верштрассе вроде бы но оказалось
20:57
что мир намного сложнее и многие вещи
21:00
которые мы видим сейчас описываются
21:03
математические монстрами движение газа
21:05
стоимость акций опционов погода многие
21:08
вещи в мире имеют фрактальную природу
21:11
похожую на функцию верштраса наконец
21:13
в-третьих нам всем есть чему поучиться у
21:16
самого Карл вешать трассы а именно не
21:18
стоит бояться думать нестандартно он
21:20
долгое время был просто школьным
21:21
учителем но занимался своим хобби
21:23
математикой в результате создал строгую
21:26
версию математического анализа которую
21:28
мы пользуемся до сих пор его утверждение
21:30
были строгими и противоречили важным
21:32
утверждением великих математиков но
21:35
верштрасс оказался прав Так что Будьте
21:38
как верштрасс отстаивайте свою точку
21:40
зрения Конечно если она подкреплена
21:42
строгими доказательствами они просто
21:44
набором слов в общем вот такая сегодня
21:47
история получилась про функцию для нас
21:50
самый главный что эта функция Просто
21:52
красивая Посмотрите описывается емкой
21:55
формулой с бесконечной суммой косинусов
21:57
имеется подобный график как его не
21:59
масштабируют и ко всему этому функция
22:01
еще несла большой вклад в математике
22:03
помогла создать новые разделы практичные
22:07
прикладные разделы математики и все это
22:09
Несмотря на то что этот бесконечный ряд
22:11
косинусов называли математическим
22:13
монстром и не хотели воспринимать
22:15
всерьез ужасное и ужасно красивая
22:18
функция все как мы любим Не забывайте
22:20
писать комментарии что про все это дело
22:22
думаете думаете и наслаждайтесь
22:25
математикой увидимся пока
22:27
[музыка]