Расшифровка видео
Intro
0:00
Матт Паркер: 0 это отличное число.
0:01
И вы зря игнорируете его.
0:03
Проблема заключается в том, что это опасное число.
0:05
И некоторые вещи могут пойти наперекосяк с нулём.
0:07
И это потому, что это немного необычное число, с нюансами,
0:11
Вы должны быть немного более осторожны с тем
0:12
как вы с ним обращаетесь.
0:13
И некоторые вещи с ним нельзя делать.
0:16
Нельзя разделить что-то на 0.
0:19
И нельзя возводить 0 в степень 0.
0:23
Меня постоянно об этом спрашивают.
0:25
Постоянно: почему я не могу разделить на 0?
0:28
Я хочу разделить на 0!
0:29
Разве это не просто бесконечность?
0:30
И т.д. и т.п.
0:31
И я подумал, что я могу сделать две вещи.
0:33
Прежде всего, я собираюсь показать вы почему, нет, вы не можете
0:36
разделить на 0.
0:36
Это не просто бесконечность.
0:38
Все немного сложнее чем это.
0:39
И потом, я также покажу, почему вы не можете возводить 0
0:42
в степень 0.
glorified subtraction
0:44
Джеймс Грайм: ОК, это что-то такое, про что нам
0:47
задавали много вопросов на Numberphile.
0:49
Как вы знаете, умножение
0:52
это просто сокращённое сложение, по сути.
0:54
Вы хотите умножить 5 на 10?
0:56
Вы просто добавите 5 плюс 5 плюс 5 плюс 5 десять раз.
1:01
Деление это просто сокращённое вычитание.
1:03
Если я хочу взять число, например 20, а затем разделить
1:07
эго на 4, я просто продолжаю вычитать 4.
1:11
Вы уберете 4, уберете 4, уберете 4.
1:14
Повторяете это пять раз.
1:16
И это число, 5, и есть ваш ответ.
1:19
20 разделить на 4 равно 5.
1:22
Так что это просто сокращённое вычитание.
1:24
Вот что это такое на самом деле.
1:25
Теперь. Если я делю на 0, то, что это означает? Я вычитаю 0
1:31
вновь и вновь.
1:32
Таким образом, 20 разделить на 0 означает что я вычитаю 0.
1:36
У меня получилось 20.
1:38
А потом я вычитаю 0 снова.
1:39
У меня все еще 20.
1:41
Вычитаю 0, и опять 0, и это продлится вечно.
1:43
Вы никогда не продвинетесь слишком далеко, делая подобные вещи,
1:46
продолжая вычитать 0.
1:48
Таким образом, 20 разделить на 0
1:52
Это бесконечность, не так ли?
1:53
Конечно же–
1:54
безусловно, это бесконечность.
1:55
Полагаю, люди так и думают.
1:57
Конечно, только ботан скажет что-то другое.
2:00
И в этот момент перейдем к Мэтту, который скажет иначе.
infinity
2:02
Мэтт Паркер: В первую очередь, все говорят, почему нельзя
2:04
просто сказать, что что-то делится на 0?
2:07
Скажем, я собираюсь сделать функцию.
2:08
Я нарисую график функции 1/х.
2:11
Джеймс Грайм: Мы не говорим что что-то равно
2:14
бесконечности, хорошо?
2:15
Бесконечность не является числом, и она не может
2:17
рассматриваться как число.
2:18
Это идея.
2:19
Таким образом, мы не можем сказать, 1 разделить от 0 равно бесконечности.
2:24
Это всё равно, что сказать что 1/0
2:28
равно синему цвету.
2:30
Но если я буду немного наглым и сделаю это, 1 разделить на 0 равно
2:35
бесконечности, то вы в равной степени получите, что 2 разделить на 0
2:40
равняется бесконечности.
2:42
И, очевидно, здесь получается проблема.
2:44
Что 1 становится равным 2.
2:48
Ааа, мы видим, что это чушь.
2:49
И именно поэтому мы– по именно этой очень хорошей причине, мы
2:52
не говорим, что это равно бесконечности.
2:54
Вы получите нонсенс типа 1 равно 2.
limit
2:56
Мэтт Паркер: Но что если взять предел?
2:57
Что, если вы просто возьмете предел при х стремящемся
3:00
очень близко к 0?
3:02
Разве это не равно бесконечности?
3:06
И таким образом вы бы могли сказать, что на самом деле, при делении на 0,
3:09
можно было бы заключить, что 1
3:11
разделить на 0 равно бесконечности.
3:14
И я собираюсь показать вам, почему так делать нельзя.
3:15
Если вы представите координатную ось.
3:18
Вот она.
3:19
Поставлю 0 прямо здесь.
3:21
Вот 0 прямо в посередине.
3:22
А здесь может быть 1, и так далее
3:24
И по мере того как вы продвигаетесь. Я нарисую
3:27
эту ось вверх.
3:30
Вот здесь 1/х.
3:33
Здесь у меня будет 1/х.
3:34
И там где x=1, это будет примерно 1 тут.
3:38
Когда вы возьмёте к, скажем, примерно 1/2, получится
3:42
немного больше.
3:43
Это будет в два раза больше.
3:44
К тому времени, когда вы перейдете к 1/4, это будет
3:47
опять в два раза больше.
3:48
И если вы продвинетесь–, пока вы продвигаетесь все ближе и ближе, это становится–
3:51
я абсолютно согласен, это становится все больше и больше.
3:54
Она мчится как гоночная машина.
3:55
И эта функция действительно стремится к бесконечности.
3:58
Это абсолютно верно.
3:59
Но это работает только тогда, когда вы приближаетесь к 0
4:03
со стороны положительных чисел, если приходите справа
4:06
на оси.
4:07
Если же вы пришли слева, все будет совершенно по-другому.
4:10
Если вы начнете здесь с -1, то ваше значение
4:13
на самом деле здесь внизу на 1.
4:17
Если вы затем перейдете к -1/2, то это здесь внизу
4:19
-2.
4:21
И, по мере того как вы приближаетесь все ближе и ближе, значение ускоряется
4:24
в этом направлении.
4:25
На самом деле, она мчится к минус бесконечности.
4:29
Так что да, если приближаться к 0 с одного
4:32
направления, вы получаете бесконечность.
4:33
Но если вы приходите с другого направления
4:36
в точно то же место, вы получаете–
4:38
вы не можете получить более разных значений
4:39
чем минус бесконечность.
4:40
И люди накричат на меня, если я скажу, что это бесконечно
4:43
отличается от положительной бесконечности, тра-ля-ля
4:45
Может быть, эта линия проходит все вокруг и обтекает
4:47
всю вселенную, а затем возвращается сюда.
4:50
Но, насколько я понимаю, если вы пришли из одного
4:53
направления, вы получите один ответ.
4:54
А если вы пришли из другого направления, вы получаете
4:55
другой ответ.
4:56
Вы стремитесь в то же самое место.
4:58
Нету одного конкретного предела, когда вы приближаетесь все ближе и ближе к
5:01
делению на 0.
5:02
Есть больше, чем один предел
5:03
с совершенно разными ответами.
5:04
И именно поэтому мы говорим, что ответ не определен.
5:06
Математически, мы могли бы сказать–
5:08
Хочу взять синий цвет на этот раз, извините.
5:10
Если подходить к пределу при х стремящемся к 0 с положительной
5:13
стороны, равно положительной бесконечности.
5:16
А затем, отдельно, здесь внизу, предел при х
5:20
стремящемся к 0 с отрицательной стороны 1/x равно
5:24
отрицательной бесконечности.
5:25
И они разные.
5:26
Они равны разным вещам.
5:27
Мы просто не можем принять, что 1/0 равно бесконечности.
5:32
Джеймс Грайм: Если вы идете к 0 с этого направления,
5:35
оно идет к плюс бесконечности.
5:38
А если вы идете к 0 с этого направления,
5:42
оно уходит к минус бесконечности.
5:43
Два разных ответа.
divided by zero
5:45
Брэди Харан: Когда я печатаю 1 разделить на 0
5:48
в мой калькулятор или компьютер, он не может это сделать.
5:52
Он не может с этим справиться.
5:53
Что же он пытается сделать?
5:55
И что он не может сделать?
5:56
Что происходит в его схемах?
5:57
Что он пытается сделать и у него не получается?
5:59
Или калькулятор просто научили?
6:01
Мэтт Паркер: О, это очень хороший вопрос.
6:02
Пытается ли он что-то сделать, и потом
6:07
не получает ответ?
6:07
Или он заучил наизусть не делить на 0?
6:10
Если честно, я не знаю.
6:11
Я подозреваю, что его просто научили что если кто-то вбивает
6:18
“Разделить на ноль”, скажи “Ошибка”.
6:20
А может и так, что на самом деле он пытается добраться
6:23
до ответа итерационным способом, и затем находит
6:27
что он взрывается в одну или другую сторону.
6:29
И у него есть какое-то встроеное ограничение или какой-то
6:32
предохранитель, который срабатывает и говорит “Этот расчет
6:34
выходит из-под контроля.
6:36
Пора остановить его.
6:37
Просто скажи, математическая ошибка.”
6:38
Я предполагаю, что это может даже варьироваться от устройства к устройству.
6:40
Но это было бы одно из двух.
zero to zero
6:42
Как насчет 0 в степени 0?
6:45
Другое дело, что люди раздражаются,
6:48
когда вы возводите 0 в степень 0.
6:51
И причина, по которой они раздражаются, это то,
6:53
что что угодно, абсолютно все что угодно, в степени 0,
6:58
равно 1.
7:00
И когда вы возводите 0 в любую степень, это
7:04
равно 0.
7:05
Что же происходит, когда эти две ситуации сталкиваются?
7:07
И люди, если честно, утверждают различные вещи в зависимости от того,
7:10
что им нужно.
7:11
Чаще всего, люди приводят доводы в пользу того, что 0 в степени 0 равен 1
7:16
Это основываясь на моем опыте, хотя видео, которое я сделал о 345 для
7:21
Numberphile, люди в комментариях утверждали, что 0
7:24
в степени 0 должен быть 0, что конечно, столь же безумно.
7:28
И я покажу вам, почему так нельзя делать.
7:30
И это абсолютно прекрасно, потому что, когда вы начинаете с
7:32
координатной прямой–
7:33
обычной координатной прямой.
7:34
Вот 0 в середине.
7:36
На этот раз, вы можете посмотреть на предел при х стремящемся к 0.
7:41
Только в этот раз наша функция это х в степени х, не так ли?
7:44
И мы вставим ее.
7:45
И вообще-то, мы должны сделать это с обоих направлений.
7:47
Мы должны прийти с положительного направления.
7:49
И, как мы знаем, что мы должны прийти к пределу при х
7:52
стремящемся к 0, с отрицательного направления х в степени х.
7:56
И посмотрим, что у нас получится.
7:57
И очевидно, что если они различны, то вещи
7:59
сложились ужасно неправильно.
8:00
Если я нарисую здесь ось y.
8:04
Вот где я собираюсь строить графики х в степени х.
8:07
По мере приближения к–
8:08
и честно говоря, наш путь не имеет никакого значения.
8:11
Но вот что происходит, идя с одной стороны
8:14
мы попали в 1.
8:17
И идя с другой стороны, мы попали в 1.
8:20
На самом деле, они имеют точно такой же ответ.
8:22
Они оба дают 1.
8:24
И тогда вы скажете, ну, если это не имеет значения, с какой стороны
8:26
мы приближаемся… Если мы можем приблизиться по оси
8:30
с этой стороны в середину, или мы можем приблизиться вдоль
8:33
оси с этой стороны в середину, и в обоих случаях,
8:37
функция имеет тот же предел, конечно же, мы можем назвать его просто 1.
8:40
Но здесь есть небольшое осложнение в том, что
8:42
это только ось вещественных чисел.
8:45
Я не буду в это вдаваться.
8:46
Но ось вещественных чисел очень скучна, потому что
8:49
она одномерна.
8:49
Вы можете идти в прямом и обратном направлениях.
8:51
Но у нас также есть комплексные числа.
8:53
И для этого, нужно расположить мнимые.
8:56
Я собираюсь нарисовать здесь– это моя мнимая ось.
8:59
И теперь у нас есть вся плоскость чисел.
9:03
Вещественные в одном направлении,
9:04
мнимые в другом.
9:05
И любая точка здесь является частью комплексной плоскости.
9:08
На самом деле, теперь есть куча различных способов прийти
9:11
к началу координат.
9:12
И вы могли бы подходить к нему из любого места на комплексной плоскости.
9:16
И тогда, делая эти подходы, вы получите различные пределы.
9:19
Вы уже не получите 1.
9:21
Все начинает разваливаться, как только вы перейдете в комплексную плоскость.
9:24
И вот почему, несмотря на то, что на поверхности
9:28
может выглядеть что предел должен быть 1, это не работает
9:32
как только вы перейдете к комплексным числам.
9:33
И именно поэтому математики становятся очень нервными когда
9:37
вы пытаетесь сказать, что 0 в степени 0 имеет ответ.
9:39
На самом деле, оно до сих пор не определено, потому что пределы различны. Как начсет 0 разделить на 0?
9:45
Джеймс Грайм: Как насчет х разделить на у?
9:50
Я нарисую
9:51
вот х и вот у.
9:54
Если я думаю про х разделить на y–
9:56
Брэди Харан: Подвинь бумагу немного?
9:57
Джеймс Грайм: Когда я думаю про х разделить на у, это будет
10:01
нормально и хорошо, за исключением этой точки.
10:04
Она называется начало координат.
10:05
Это точка 0, 0.
10:07
Здесь х=0 и y=0.
10:10
Таким образом, в этой точке, у нас будет
10:13
0 разделенный на 0.
10:16
Это не звучит как хорошие новости.
10:18
Что это?
10:18
Является ли это 0?
10:19
Является ли это бесконечностью?
10:20
Что это?
10:21
На самом деле, ответ может быть любым. Всем чем вы хотите, в зависимости от
10:26
того, под каким углом вы пришли.
10:27
Я покажу, что имею в виду.
10:28
Вот линия у=х.
10:32
Эта линия.
10:33
Если я путешествую по этой линии, то
10:36
эта штука здесь, х/y
10:40
Почему я так сказал? у=х
10:41
На самом деле это теперь х разделить на х, или 1.
10:47
Так что это 1.
10:47
Все, что на этой линии это 1.
10:51
Поэтому было бы хорошо, если бы я путешествовал только по этой линии.
10:54
Я был бы рад сказать, что это тоже является 1.
10:58
Как и все остальное.
10:59
Так что я скажу, да, так и есть.
11:01
Это называется устранимая особая точка.
11:02
Это правильное название.
11:04
Если я путешествую в этом направлении, это линия
11:09
y=-х.
11:11
Сделаю так, у=-х.
11:14
В этом случае вы получите х разделить на у.
11:17
у равно минус х.
11:20
Так что это минус 1.
11:22
Все, что на этой линии, это минус 1.
11:24
Теперь давайте попробуем так.
11:26
Я собираюсь идти вдоль оси х.
11:28
Ось х…
11:29
Другими словами, у равен 0.
11:31
Вот что такое ось х.
11:33
у=0.
11:35
Если я сделаю так, я получу х разделить на у.
11:39
Я сказал, у равен 0.
11:42
Так вот здесь х разделить на 0.
11:44
О, нет.
11:45
И так, мы знаем что это проблема.
11:47
Но это будет что-то вроде– (я буду наглым).
11:52
Это будет уходить в бесконечность
11:54
плюс бесконечность, минус бесконечность.
11:56
Что-то вроде этого.
11:58
Если я иду по этому направлению, которое является осью у, здесь х
12:05
равен 0.
12:07
Но у вас везде то же самое, правильно? х равно 0.
12:11
Так что я скажу 0.
12:12
х равно 0.
12:14
Разделите его на у.
12:15
Вот 0 делится на 1.
12:17
Все, что на этой линии равно 0.
12:20
Так что было бы оправданно сказать, что эта точка является
12:24
единственной проблемой.
12:25
Уберите её, и назовите её 0.
12:27
Так что это просто зависит от угла приближения.
12:29
На самом деле, я могу сделать любое число.
12:31
Я сделал -1, +1, бесконечность, и 0.
12:36
И в зависимости от того, под каким углом вы приходите, вы можете сделать его любым
12:40
числом, каким хотите.
12:41
Таким образом, 0, разделенный на 0 является неопределённостью.
12:48
Откровенно говоря, мы могли бы сделать его всем, чем бы мы ни захотели
12:51
в зависимости от угла с которого мы приближаемся.
12:55
[ВМЕШИВАЮЩИЕСЯ ГОЛОСА]
12:55
Мэтт паркер: Это все зависит от угла спички
12:57
это становится своего рода–
12:59
